10 1 Dünne Linsen, aktualisiert am 29-05-2008

Versuch 10/1
DÜNNE LINSEN UND LINSEN-SYSTEM (29-05-2008)
Blatt 1
DÜNNE LINSEN UND LINSEN-SYSTEM
Es werden die optischen Eigenschaften dünner Linsen sowie die eines Linsen-Systems vorgestellt. Es
soll die Brennweite einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse sowie die Brennweite und
Hauptpunktlage eines Linsen-Systems bestimmt werden.
I Theorie: Dünne Linsen
Als Linse bezeichnet man einen von zwei gewölbten Flächen begrenzten rotationssymmetrischen
Körper, der die Eigenschaft aufweist, die Divergenz oder die Konvergenz eines einfallenden
Lichtbündels zu verändern. Man nennt die Symmetrieachse eines solchen Körpers optische Achse.
Fokussiert die Linse ein parallel zur optischen Achse einfallendes Lichtbündel in einem Punkt - dem
Brennpunkt -, spricht man von einer Sammellinse; erhält das Bündel eine Divergenz, bezeichnet man
sie als Zerstreuungslinse.
Man unterscheidet je nach Vorzeichen und Betrag der Krümmungsradien der begrenzenden Flächen
verschiedene Linsentypen:
Sammellinsen
bikonvex
plankonvex
konkavkonvex
Zerstreuungslinsen
bikonkav
plankonkav
konvexkonkav
Sammellinsen können reelle Bilder erzeugen, d.h. ein von einem Gegenstandspunkt ausgehendes, die
Linsenfläche durchsetzendes Lichtbündel wird wieder in einem Punkt der Bildebene fokussiert. Das
Bild kann zum Beispiel mit Hilfe eines Auffangschirmes sichtbar gemacht werden.
Sammellinsen können auch virtuelle Bilder erzeugen. Diese können nicht auf einem Schirm dargestellt
werden. Erst die Augenlinse läßt auf der Netzhaut eine reelle Abbildung des virtuellen Bildes
entstehen.
Zerstreuungslinsen können nur virtuelle Bilder erzeugen.
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DÜNNE LINSEN UND LINSEN-SYSTEM (29-05-2008)
Blatt 2
Bei einer reellen Abbildung einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen der
Entfernung Gegenstand - Linse (Gegenstandsweite g), der Entfernung Linse - Bild (Bildweite b) und
der Brennweite (f) der Linse:
1 1 1
= +
f
g b
(1)
Man nennt 1/f die Brechkraft der Linse. Ihre Einheit ist Dioptrien [=1/m]. Dies ist die im Handel
gängige Spezifikation für dünne Linsen.
Die Vergrößerung V einer reellen Abbildung ist definiert als das Verhältnis von Bildgröße B und
Gegenstandsgröße G. Man erhält V ebenso aus der Gegenstandsweite und der Bildweite über den
Zusammenhang:
V =
B b
=
G g
(2)
Man erhält Gl.(2) unmittelbar aus der Bild-Konstruktion einer reellen Abbildung (siehe Aufgabenteil).
Das einfallende Lichtbündel wird im Allgemeinen an beiden Linsenbegrenzungsflächen gebrochen.
Dieser Umstand erschwert die Bestimmung geometrischer Größen wie Gegenstands-, Bild- und
Brennweite. Man führt daher den Begriff der "Hauptebene" ein und ordnet jeder brechenden Fläche
eine Hauptebene zu.
Beschränkt man sich auf Linsen, deren Dicke sehr klein gegen den Krümmungsradius der
begrenzenden Flächen ist, fallen beide Hauptebenen zusammen und liegen bei einer symmetrischen
Linse in der Mittelebene. Man spricht in diesem Fall von einer dünnen Linse. Die
Brennweitenbestimmung eines Systems dünner Linsen, die nicht unmittelbar hintereinander
angeordnet sind, erfordert erneut die Einführung von Hauptebenen.
Die Brennweite f der Linse ist nicht für alle Wellenlängen des einfallenden Lichtes gleich groß; diese
Eigenschaft wird als chromatische Aberration bezeichnet. Die Korrektur dieses Farbfehlers ist eine der
wichtigsten Aufgaben bei der Konstruktion optischer Instrumente. Für die durchzuführenden
Messungen ergeben sich jedoch keine wesentlichen Beeinträchtigungen.
II Versuche: Dünne Linsen
1. Bestimmung der Brennweite und Brechkraft einer dünnen Sammellinse
Bei der vorliegenden optischen Bank läßt sich der Ort des Gegenstandes, der Bildebene sowie der
dünnen Linse hinreichend genau mit der Ablesenadel des Zeissreiters und mit der Millimeterskala der
Bank bestimmen.
Man entwerfe mit Hilfe der Sammellinse ein scharfes reelles Bild eines Gegenstandes, messe die
Gegenstandsweite g sowie die Bildweite b und berechne daraus nach Gl. (1) die Brennweite f.
Bestimmen Sie nach Gl.2 die Vergrößerung V aus B und G und vergleichen Sie mit V=
b
.
g
Für g = f rutscht nach Gl.(1) das Bild ins Unendliche. Ebenso rückt das Bild bei immer größeren
Gegenstandsweiten in die Brennebene. Man überprüfe dieses Verhalten.
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Blatt 3
2. Bestimmung der Brennweite und Brechkraft einer dünnen Zerstreuungslinse
Eine Zerstreuungslinse liefert kein reelles Bild, ihre Brechkraft ist negativ. Um ihre (negative)
Brennweite zu bestimmen, wird folgender Kunstgriff angewendet:
Legt man zwei dünne Linsen aufeinander, so ergibt sich ein optisches System, das sich wieder wie
eine dünne Linse verhält. Die Brechkraft dieses Systems ist die Summe der Brechkräften der
Einzellinsen, minus ein Korrekturterm proportional zur Abstand D der Linsen, siehe Gl.(3):
1
f ges
=
1
1
D
+
−
f1 f 2 f1 ⋅ f 2
(3)
Hierbei ist f ges die Gesamtbrennweite; f1 und f 2 sind die Einzelbrennweiten. Eine der beiden Linsen
kann eine Zerstreuungslinse sein, die Gesamtbrechkraft soll aber positiv sein. Als Sammellinse mit
bekannter Brennweite f1 findet die in Aufgabe 1 untersuchte Sammellinse Verwendung. Man lege
beide Linsen so nah wie möglich zusammen, so dass der Linsenabstand D vernachlässigt werden kann
(D = 0). Man bestimme nun die unbekannte Brennweite f 2 der beiliegenden Zerstreuungslinse aus f1
und f ges .
3. Überprüfung der Vergrößerung einer Sammellinse
Es soll nun der Zusammenhang zwischen der Vergrößerung einer reellen Abbildung und der
jeweiligen Gegenstands- und Bildweite nach Gl.(1) und Gl.(2) überprüft werden. Man berechne für die
Vergrößerungen V = 3 und V = 1/2 die Bild- und Gegenstandsweiten für die Brechkraft der
Sammellinse. Anschließend überprüfe man die Werte experimentell. Die Vergrößerung kann hierfür
mit der Millimeter-Skala als Gegenstand ermittelt werden.
III. Theorie: Linsensysteme
Läßt man, anders als in Versuchsteil 3, einen endlichen Abstand zwischen den optischen
Komponenten eines zusammengesetzten Systems zu, so bekommt dieses System Eigenschaften, die
sich deutlich von denen einer dünnen Linse unterscheiden.
Bild 2: einfaches Linsensystem
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Blatt 4
Betrachtet man zum Beispiel das in Bild 2 dargestellte Linsensystem, das in der Fototechnik als
Telesystem bezeichnet wird, so stellt man fest, dass dieses System immer noch ein achsenparalleles
Strahlenbündel in einem Brennpunkt F1 bzw. F2 vereinigt. Die das System verlassenden Strahlen
haben jedoch ihre Brechung scheinbar an einem Ort H1 bzw. H2 (Hauptpunkte), der außerhalb des
Systems liegt, erfahren. Je nachdem, ob sich das parallele Lichtbündel auf der Seite der konvexen (H2)
oder der konkaven Linse (H1) befindet.
Die oben im Zusammenhang mit der dünnen Linse eingeführten Gesetzmäßigkeiten, (Gl.1 und Gl.2),
behalten ihre Gültigkeit auch für zusammengesetzte Linsensysteme, wenn folgendes beachtet wird:
a) Jedes Linsensystem wird durch zwei Hauptpunkte H1, H2 charakterisiert. Die senkrecht zur
optischen Achse durch die Hauptpunkte gehenden Ebenen nennt man Hauptebenen HE1, HE2. Die
Hauptebenen können auch außerhalb des Systems liegen.
b) Gegenstandsweite g und Bildweite b werden in Bezug auf den gegenstands- bzw.
bildseitigen Hauptpunkt angegeben.
c) Auch die Brennweite f wird als Abstand des Brennpunktes F1 bzw. F2 vom zugehörigen
Hauptpunkt definiert.
Bei der Strahlenkonstruktion verwendet man außerhalb der Hauptebenen dieselben
Konstruktionsregeln wie bei dünnen Linsen, innerhalb der Hauptebenen werden die Strahlen lediglich
parallel zur optischen Achse versetzt. Einzelheiten entnehmen Sie dem Beispiel in Bild 3.
Bild 3
Spiegelt man das Linsensystem in Bild 3 bezüglich der Mittelebene M der beiden Hauptebenen auf die
andere Seite, so bleiben f, b, g und damit V=
b
gleich: Die Bildkonstruktion ist in beiden Fällen
g
identisch. Mit Hilfe dieses Erkenntnisses lassen sich Lage und Abstand der Hauptebenen aus den in
Bild 4 gezeigten, direkt messbaren Hilfsgrößen e1, e2, e3 und e4, bestimmen.
Das optische System in unserem Versuch besteht aus einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse,
die in einem festen Abstand voneinander in einem Plexiglasrohr montiert sind. Es ähnelt in seinem
Aufbau dem in Bild 3 dargestellten Telesystem.
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Blatt 5
Bild 4
IV Versuch: Linsen-System
Zur Ermittlung der gesuchten Hilfsgrößen entwerfe man mit dem Linsensystem eine reelle Abbildung
bei einem vorgegebenen Abstand Gegenstand - Schirm von 130cm. Die Abstände Gegenstand Linsensystem bzw. Linsensystem - Schirm ergeben die ersten beiden Hilfsgrößen e1 bzw. e3.
Bestimmen Sie ebenfalls V=
B
aus Bild- bzw. Gegenstandsgröße.
G
Nun drehe man das Linsensystem um 180° und verschiebe es, bis wieder eine scharfe Abbildung
erreicht ist. Jetzt lassen sich die entsprechenden beiden Hilfsgrößen e2 und e4 sowie V´ =
B
G
bestimmen. Nach der Überlegung weiter oben sollte V V´ , nehmen Sie den Mittelwert.
Wir erhalten mit den Hilfsgrößen e1 bis e4 nun sofort den Abstand L vom Linsensystem zur
Mittelebene der beiden Hauptebenen M:
L=
1
( e2 − e1 )
2
bzw.
L=
1
( e3 − e4 )
2
(4)
Wir vergewissern uns, dass die beiden L-Werte innerhalb ihres Fehlers übereinstimmen, und
verwenden dann im Weiteren ihren Mittelwert.
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Blatt 6
Als nächstes wollen wir den Abstand der beiden Hauptebenen 2· l bestimmen. Er ergibt sich mit den
Bild- und Gegenstandsweiten b, b', g und g' zu:
b = e3 − L − l
und
b ′ = e4 + L − l
g = e1 + L − l ,
g ′ = e2 − L − l
Mit dem gemessenen Wert der Vergrößerung kann daraus
V =
l
ermittelt werden:
b e3 − L − l e4 + L − l b ′
=
=
=
= V ′.
g e1 + L − l e2 − L − l g ′
Gleichung (6) kann nun zweimal nach
l
(5)
(6)
aufgelöst werden. Mit der Kenntnis von (dem Mittelwert
von)
l
V′ =
b′
und vergleichen Sie mit Ihrem gemessenen (Mittel)wert für V.
g′
bestimme man nun noch die gesuchte Brennweite f. Berechnen Sie außerdem V =
b
sowie
g
Nach Beendigung des Versuchs die optischen Geräte bitte wieder zurückstellen oder auf der
optischen Bank montiert lassen.
V Aufgaben
1. Geometrische Konstruktion der Abbildung mit einer dünnen Linse
Zeichnen Sie eine Skizze des Strahlenganges bei der reellen Abbildung und bei der virtuellen
Abbildung mit einer dünnen Sammellinse. Betrachten Sie die Fälle g > f, g = f und g < f. Wie
bezeichnet man die Sammellinse im letzten der drei Fälle?
Zeichnen Sie analog eine Skizze des Strahlenganges bei der virtuellen Abbildung mit einer dünnen
Zerstreuungslinse und diskutieren Sie wieder die Fälle g > f, g = f und g < f.
Die Bildkonstruktion wird gewöhnlich mittels dreier ausgezeichneter Strahlen durchgeführt:
a) Parallelstrahl:
Ein Strahl, der parallel zur optischen Achse verläuft (Parallelstrahl), wird durch die Linse gebrochen
und schneidet die optische Achse im Brennpunkt der Linse (Brennstrahl).
b) Brennstrahl:
Der Brennstrahl schneidet die optische Achse im Brennpunkt der Linse und verläuft nach der
Brechung parallel zur optischen Achse (Parallelstrahl).
c) Mittelpunktsstrahl:
Der Mittelpunktsstrahl schneidet die optische Achse in den Hauptebenen, die bei einer dünnen
symmetrischen Linse mit der Linsenmittelebene zusammenfallen. Er erfährt dabei keine
Richtungsänderung.
2. Vergrößerung bei der Abbildung mit einer dünnen Linse
Leiten Sie anhand der geometrischen Konstruktion der reellen Abbildung die Gleichungen (1) und (2)
her. Wie berechnet sich die Vergrößerung bei einer virtuelle Abbildung?