¨Ubungsblatt 7

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Dr. Klaus Kammerer
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2009/10
Übungsblatt 7
Aufgabe 1
Eine Unternehmung sei gekennzeichnet durch die Kostenkurve K(x) = 600 + 30x und die Preis-AbsatzFunktion p = 120 − 3x.
a) Bestimmen Sie die gewinnoptimale Menge, den gewinnoptimalen Preis und den maximalen Gewinn.
b) Bestimmen Sie den unteren und den oberen Break-even-point!
c) Bestimmen Sie die Menge, wenn der Unternehmer den Umsatz maximieren will unter der Bedingung,
keine Verluste machen zu wollen!
d) Bestimmen Sie die Menge, wenn der Unternehmer das Ziel Preis=Grenzkosten verfolgt.
e) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage.
(Übungsblatt 1) - Aufgabe 1))
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass f (x, y) = xy 2 + x3 homogen vom Grad 3 ist. Verifizieren Sie, dass die Eigenschaften
f (x, y) ist homogen vom Grad k ⇔ xf1′ (x, y) + yf2′ (x, y) = kf (x, y) gültig sind.
(Übungsblatt 3) - Aufgabe 2))
Aufgabe 3
Der Nutzen, den jemand beim Konsum dreier Güter empfindet, sei gegeben durch die Nutzenfunktion:
u(x, y, z) = xa · y b · z c .
Die Preise der drei Güter seien 20,30 und 40 und 360 Euro die feste Ausgabensumme. Ferner seien die
konsumierten Mengen im Nutzenoptimum:
x = 18 ·
a
a+b+c
y = 12 ·
b
a+b+c
z =9·
c
a+b+c
εu,x , εu,y , εu,z sind die partiellen Nutzenelastizitäten der Güter. In welchem Verhältnis müssen die partiellen Nutzenelastizitäten zueinander stehen, wenn im Nutzenoptimum von allen Gütern gleich viel
konsumiert wird?
(Übungsblatt 3) - Aufgabe 3b))
Aufgabe 4
Die Nutzenfunktion zweier Güter sei: U (x1 , x2 ) = x1 2 · x2 3
Wieviel (x̄1 , x̄2 ) der beiden Güter konsumieren Sie, wenn p̄ = 4 der Preis des Gutes x1 und q̄ = 2 der
Preis des Gutes x2 ist und Ihre Ausgabensumme d = 20 ist. Wieviel x1 ∗ , x2 ∗ konsumieren Sie, wenn
p∗ = 2 ist und q ∗ = 2 ist? Ihre Ausgabensumme ist unverändert d = 20.
(Übungsblatt 4) - Aufgabe 2a))
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Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Dr. Klaus Kammerer
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler WS 2009/10
Aufgabe 5:
i) Wie hoch ist das Guthaben nach 5 Jahren, wenn 8000 Euro zu einem jährlichen Zinssatz von 5%
angelegt werden ?
ii) Wie lange dauert es, bis sich 8000 Euro bei monatlicher Zinsgutschrift verdoppelt haben ?
iii) Welche jährliche prozentuale
√ Wachstumsrate ist nötig, damit das BIP eines Landes nach 100 Jahren
100-mal so groß ist? ( 100 100 ≈ 1.047.)
(Übungsblatt 5) - Aufgabe 1))
Aufgabe 6:
a) Benutzen Sie die partielle Integration
Integrale zu bestimmen:
R
f (x)g ′ (x)dx = f (x)g(x) −
R
R
f ′ (x)g(x)dx um das folgende
x ln xdx
b) Bestimmen Sie das folgende Integral mittels einer geeigneten Substitution:
R
ln(x+2)
2x+4 dx
(Übungsblatt 6) - Aufgabe 2)(ii) und Aufgabe 4b))
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die folgenden Integrale, sofern sie konvergieren. Geben Sie diejenigen an, die divergieren.
(i)
R∞
1
1
x3 dx
(ii)
R∞
1
√1 dx
x
(iii)
(Übungsblatt 6) - Aufgabe 5))
2
R1
0
√1 dx
x
(iv)
Ra
0
√ xdx
a2 −x2
(a > 0)