Technische Universität München Zentrum Mathematik Optimierung

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Optimierung 2, WS 2008/09
Prof. Dr. P. Gritzmann, Dipl.-Inf. Dipl.-Math. S. Borgwardt, Dipl.-Math. M. Ritter
Übungsblatt 9
Aufgabe 9.1
Sei G = (V, E) ein Graph. Eine stabile Menge in G ist eine Teilmenge S ⊂ V der Knoten,
so dass der von S induzierte Subgraph von G keine Kanten enthält. Eine Clique in G ist eine
Teilmenge C ⊂ V der Knoten, so dass der von C induzierte Subgraph isomorph zu K|C| ist.
Betrachten Sie folgende Probleme:
Problem (Maximale stabile Menge)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E).
Auftrag: Bestimme eine kardinalitätsmaximale stabile Menge in G.
Problem (Maximale Clique)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E).
Auftrag: Bestimme eine kardinalitätsmaximale Clique in G.
a) Formulieren Sie die zu Maximale stabile Menge und Maximale Clique gehörigen
Entscheidungsprobleme und zeigen Sie, dass diese in N P sind.
b) Zeigen Sie, dass Maximale stabile Menge und Maximale Clique polynomiell
äquivalent sind.
Lösung zu Aufgabe 9.1
a) Die zugehörigen Entscheidungsprobleme lauten:
Problem (stabile k-Menge)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E), eine natürliche Zahl k ∈ N.
Auftrag: Entscheide, ob es eine stabile Menge der Kardinalität größer oder gleich k in
G gibt.
Problem (k-Clique)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E), eine natürliche Zahl k ∈ N.
Auftrag: Entscheide, ob es eine Clique der Kardinalität größer oder gleich k in G gibt.
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Beide Probleme sind in N P: Als Zertifikat nehmen wir jeweils eine Knotenteilmenge
V 0 ⊂ V mit |V 0 | = k. Dann testen wir für alle v1 6= v2 ∈ V 0 , ob sie benachbart sind,
und entscheiden dadurch in maximal k · (k − 1) ≤ n2 (also polynomiell vielen) Tests, ob
die Knoten in V 0 eine stabile Menge bzw. eine Clique bilden. Für eine Ja-Instanz gibt
es natürlich eine Auswahl von k Knoten, die eine stabile Menge bzw. eine Clique bilden.
Für eine Nein-Instanz stellen wir für jede Knotenauswahl der Größe k entsprechend fest,
dass sie keine stabile Menge bzw. keine Clique ist.
b) Sei G = (V, E) ein Graph, dann definieren wir G0 = (V, E 0 ) durch
V
0
E := {v, u} ∈
: {v, u} ∈
/E
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Informell bedeutet die Konstruktion, dass in G0 eine Kante zwischen zwei Knoten genau
dann existiert, wenn sie nicht in G ist, und umgekehrt. Man sieht sofort, dass die stabilen
Menge in G genau den Cliquen in G0 entsprechen und umgekehrt.
Unsere Reduktion besteht also darin, G0 zu konstruieren, und das entsprechend andere
Problem in G0 zu lösen. Dies ist in polynomieller Zeit möglich, da wir jede Kante von G
nur einmal betrachten müssen.
Aufgabe 9.2
Sei G = (V, E) ein Graph oder ein Digraph. Ein Weg in G, der alle Knoten aus V genau
einmal enthält, heißt Hamilton-Weg.
Betrachten Sie folgende Probleme:
Problem (Gerichteter minimaler Hamilton-Weg)
Gegeben: Ein Digraph G = (V, E) und eine Kantengewichtung φ : E → N0 .
Auftrag: Bestimme einen φ-kürzesten Hamilton-Weg in G oder entscheide, dass G keinen
Hamilton-Weg besitzt.
Problem (Gerichteter global kürzester Weg)
Gegeben: Ein Digraph G = (V, E) und eine Kantengewichtung φ : E → Z.
Auftrag: Bestimme einen φ-kürzesten Weg in G.
a) Formulieren Sie einen Algorithmus, der gerichteter global kürzester Weg benutzt, um zu entscheiden, ob ein Digraph G = (V, E) einen Hamilton-Weg besitzt.
b) Zeigen Sie, dass sich gerichteter minimaler Hamilton-Weg polynomiell auf gerichteter global kürzester Weg reduzieren lässt.
Lösung zu Aufgabe 9.2
a) Sei (G = (V, E), φ) mit n = |V | eine Instanz von gerichteter minimaler HamiltonPfad. Wir definieren dann eine Instanz von gerichteter global kürzester Weg
durch (G = (V, E), −1). Diese Instanz besitzt genau dann eine Lösung mit Zielfunktionswert 1 − n, wenn ein Hamilton-Pfad in G existiert, sonst liefern wir als Lösung „Es
existiert kein Hamilton-Pfad in G“ zurück.
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b) Sei C = maxe∈E φ(e). Wir definieren einen Graphen G0 = (V 0 , E 0 ) durch
V 0 := {vin : v ∈ V } ∪ {vout : v ∈ V } ,
E 0 := E1 ∪ E2 := {(uout , vin ) : (u, v) ∈ E} ∪ {(vin , vout ) : v ∈ V } .
Die zugehörige Kantengewichtung ist
(
φ(e) − (C + 1), falls e ∈ E1 ,
φ0 (e) :=
−(C + 2),
falls e ∈ E2 .
Dann gilt: Ein Hamiltonweg in G0 existiert genau dann, wenn einer in G existiert. Außerdem enthält ein kürzester Hamiltonpfad in G0 alle Kanten aus E2 : Angenommen, ein
kürzester Hamiltonpfad enthält eine Kante (vin , vout ) nicht, so beginnt der Pfad in vout
und endet in vin . Das Gewicht der Kante (vin , vout ) ist aber geringer als das der ersten
(und letzten) Kante des Hamiltonpfads, und ein Tausch dieser Kante gegen (vin , vout )
würde einen kürzeren Hamiltonpfad erzeugen.
Jeder Hamiltonpfad in G0 ist kürzer als alle anderen Wege. Da wir die Existenz eines
Hamilton-Pfades in G schon sichergestellt haben, ist ein kürzester Weg in G0 also immer
ein Hamilton-Pfad. Dieser entspricht direkt dem kürzesten Hamilton-Pfad in G, da sich
die Gewichte von kürzesten Hamilton-Pfaden in G und deren Pendants in G0 genau um
n(C + 2) + (n − 1)(C + 1) unterscheiden (also um einen konstanten Wert).
Diese Reduktion zeigt, dass Gerichteter global kürzester Weg ein N P-schweres
Problem ist.
Aufgabe 9.3 Hausaufgabe
Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenüberdeckung von G ist eine Teilmenge K ⊂ V , so dass
für alle {v1 , v2 } ∈ E gilt: {v1 , v2 } ∩ K 6= ∅. Die Definition einer stabilen Menge finden Sie in
Aufgabe 9.1.
Betrachten Sie folgende Probleme:
Problem (Maximale stabile Menge)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E).
Auftrag: Bestimme eine kardinalitätsmaximale stabile Menge in G
Problem (Minimale Knotenüberdeckung)
Gegeben: Ein Graph G = (V, E).
Auftrag: Bestimme eine kardinalitätsminimale Knotenüberdeckung.
Zeigen Sie, dass Minimale Knotenüberdeckung und Maximale stabile Menge polynomiell äquivalent sind.
Lösung zu Aufgabe 9.3
Sei K eine beliebige Knotenüberdeckung, dann ist S := V \ K eine stabile Menge mit
|S| = |V | − |K|: Wären nämlich zwei Knoten in S benachbart, so wäre die entsprechende
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Verbindungskante in K nicht überdeckt. Also ist für eine kardinalitätsminimale Knotenüberdeckung die zugehörige stabile Menge kardinalitätsmaximal.
Analog gilt für jede stabile Menge S 0 ⊂ V , dass K 0 := V \ S 0 eine Knotenüberdeckung mit
|K 0 | = |V | − |S 0 | ist: Gäbe es eine Kante e = {u, v}, die nicht von K 0 überdeckt wird, so wären
u, v ∈
/ K 0 , also u, v ∈ S 0 , und damit wäre auch die Kante e in S 0 enthalten, ein Widerspruch zur
Definition einer stabilen Menge. Damit entspricht eine kardinalitätsmaximale stabile Menge
einer kardinalitätsminimalen Knotenüberdeckung.
Die Reduktionen sind trivial – durch Lösen eines Problems lösen wir das jeweils andere ebenfalls, und das Komplement einer Teilmenge von V lässt sich in polynomieller Zeit bestimmen.
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