Abitur Leistungskurs Mathematik 2001
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Laakmann 15.05.16 Abitur Leistungskurs Mathematik 2001 Vorschlag 2 Aufgabe 1 Die Umgehungsstraße von Münster wird in diesen Jahren vierspurig ausgebaut. Einige Punkte sind durch Brücken fest vorgegeben, während andere Teile verändert werden können. Wir wollen folgende Punkte der Umgehungsstraße als Fixpunkte betrachten: 1. die Unterführung an der Hammerstraße 2. den Kreuzungspunkt Albersloher Weg 3. die Unterführung Wolbecker Straße 4. die Überführung Warendorfer Straße 5. die Einmündung in die Warendorfer Straße Die Punkte sind in die Karte eingezeichnet worden, ebenso ein Koordinatensystem. Zur leichteren Orientierung: die Quadrate in der Karte haben eine Fläche von 10cmx10cm. Zur Modellierung wählen wir die mittlere Linie der vierspurigen Straße als Straßenverlauf. a) Errechne ein Polynom, dessen Graph durch die vorgegebenen Fixpunkte verläuft und skizziere den Verlauf des zugehörigen Graphen in die Karte. b) Mit einer Splinefunktion kann eine bessere Straßenführung berechnet werden. Erläutere die Idee der Splinefunktion. c) Auf dem Extrablatt findest du die Matrix der zugehörigen Splinefunktion. Sie wurde dir auch auf deinen TI 92 unter Abitur überspielt. Erkläre die 1., 5., 10., 12. und 15. Zeile und berechne die Splinefunktion. d) Skizziere und vergleiche den Verlauf der Splinefunktion mit dem bisherigen Straßenverlauf und erkläre die Unterschiede. Aufgabe 2 Die neue Kanalbrücke am Albersloher Weg ist ein paralleler Stahlbogen, dessen untere Kante einer Parabelform entspricht. Gemessen an dieser unteren Kante hat die Brücke eine Spannweite von 62,40m und eine Höhe von 9,20m. Der Stahlbogen selbst hat eine Breite von 0,90m. a) Berechne die Kurven der oberen und unteren Stahlkanten. b) Vergleiche an den Nullstellen der unteren Kante die Kurvenpunkte der oberen Kante mit denen der um 0,90m nach oben verschobenen unteren Kante. c) In einer Stadt soll ein Wahrzeichen errichtet werden. Es soll die Form eines Parabelbogens haben mit einer Höhe von 60m und einer Breite von 20m gemessen an der oberen Begrenzungslinie. Wie dick darf der Bogen werden, damit es zu keinem Rücklauf an der unteren Begrenzungslinie kommt? d) Berechne die Evolute des Parabelbogens. D:\68626121.doc Seite 1 von 7 Laakmann 15.05.16 Aufgabe 3 Die Beiträge für eine Autoversicherung steigen nach einem Unfall und werden nach einer bestimmten Dauer unfallfreien Fahrens gesenkt. Dazu werden die Versicherten in sogenannte „Schadensfreiheitsklassen“ eingestuft. Verschiedene Schadensfreiheitsklassen werden zu Basisgruppen zusammengefasst, von B1 mit dem günstigsten Tarif bis zu B4 mit dem teuersten Tarif. Aufgrund von Auswertungen der Versicherungsstatistik geht man von folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten pro Halbjahr zwischen den einzelnen Gruppen aus. Zur Zeit kann dabei nur ein Wechsel von einer Gruppe zur nächsthöheren oder nächsttieferen Gruppe stattfinden: Die Fahrer/innen von B1 bleiben zu 70% in ihrer Gruppe. Die Fahrer/innen von B2 bleiben zu 60% in ihrer Gruppe und steigen zu 10% nach B 1 auf. Die Fahrer/innen von B3 verbleiben zur Hälfte in B3 und steigen zu 20% nach B4 ab. Die Fahrer/innen von B4 verbleiben zu 45% in ihrer Gruppe. a) Untersuche die Entwicklung für die nächsten 1, 5 und 20 Jahre, wenn von folgender Startverteilung ausgegangen wird: B1 : 17000 B2: 39000 B3: 35000 B4: 19000 Bewerte die Relevanz deiner Berechnung. b) Berechne die stationäre Verteilung. c) In der Versicherung wird ein neues Verfahren diskutiert. Die Einstufung soll nicht mehr halbjährlich, sondern jährlich durchgeführt werden. Dabei soll es jedoch auch möglich sein, eine Klasse zu überspringen. Man schätzt, dass jeweils 10% eine Klasse nach oben bzw. nach unten überspringen werden. Der Anteil, der in der Gruppe verbleibt wird dabei nicht verändert. Berechne auch hier die Entwicklung für die nächsten 1, 5 und 20 Jahre und vergleiche mit den Ergebnissen aus a) d) Die Statistiken sollen überprüft werden. Erläutere die Vorgehensweise zur Bestätigung / Verwerfung der Übergangswahrscheinlichkeit von p=0.3 von B 1 nach B2 bei 17000 Versicherten in B1. D:\68626121.doc Seite 2 von 7 Laakmann 15.05.16 Hinweise und Lösungen zu Vorschlag 2 Aufgabe 1 Diese Aufgabe umfasst Teilgebiete der Analysis. wichtige Teilbereiche sind: Funktionsbestimmungen – Berechnung einer Splinefunktion Die Aufgabe erfordert vor allem im Aufgabenteil d) ein größeres Überblickswissen. Lösungen zu a) Ein Polynom, dessen Graph durch die 5 Fixpunkte gehen soll muss den Grad mindestens 4 haben. Als Fixpunkte sind A(7.7/3.8) B(15.3/7.2) C(21/12.4) D(24.3/22) und E(28.4/23.2) auszumessen. Das dazugehörige Polynom vom Grade 4 heißt: f ( x) 0.002666 x 4 0.193348x3 4.912721x 2 51.92683x 183.659131 mit dem Graph: (die Quadrate sind die Fixpunkte) Lösung zu b) Die Splinefunktion ist eine zusammengesetzte Funktion dritten Grades, die zwischen den Fixpunkten stückweise definiert ist und folgende Eigenschaften hat: 1. an den Übergangsstellen sind die Funktionswerte gleich. 2. an den Übergangsstellen sind keine Knicke vorhanden (gleiche Steigung) 3. an den Übergangsstellen sind die Übergänge ruckfrei (gleiche Krümmung) 4. am Anfang und am Ende soll die Krümmung 0 sein. Die Splinefunktion kann man mit einem Biegelineal vergleichen. Lösung zu c) Die Zeilen haben folgende Bedeutung: Zeile 1: f1(7.7)=3.8 Der Graph der Splinefunktion verläuft durch (7.7/3.8). Zeile 5: f3(21)=12.4 Der Graph der Splinefunktion verläuft durch (21/12.4). Zeile 10: f2´(21)=f3´(21) An der Stelle 21 gibt es keinen Knick. Zeile 12: f1´´(15.3)=f2´´(15.3) An der Stelle 15.3 ist der Übergang ruckfrei. Zeile 15: f1´´(7.7)=0 Am Anfang ist die Krümmung 0. Die Splinefunktion hat folgende Funktionsvorschrift f1(x) = -0.001985x3+0.045859x2+0.208921x+0.378651 für 7.7<x<=15.3 f2(x)=0.029309x3-1.390548x2+22.185987x-111.704213 für 15.3<x<=21 f3(x)=-0.108772x3+7.308573x2-160.495593x+1167.066607 für 21<x<=24.3 f4(x)=0.050482x3-4.301038x2+121.6179359x-1118.053165 für 24.3<x<=28.4 D:\68626121.doc Seite 3 von 7 Laakmann 15.05.16 Lösung zu d) Der Graph der Splinefunktion: Der Graph der Splinefunktion weicht zwischen der Unterführung Hammerstraße und dem Albersloher Weg ( 1. bis 2. Fixpunkt) noch Norden hin ab und im Bereich zwischen dem Albersloher Weg und der Wolbecker Straße.(2. bis 3. Fixpunkt) nach Südosten. Im nördlichen Verlauf von der Wolbecker Straße bis zur Überführung Warendorfer Straße (3. bis 4. Fixpunkt) führt er dagegen nordwestlich der Umgehungstrasse. Im letzten Teil schneidet der Graph die tatsächliche Trassenführung. Die Splinefunktion kann nicht mit der tatsächlichen Straßenführung übereinstimmen, da bei dem vorgegebenen Koordinatensystem der bisherige Straßenverlauf im nördlichen Bereich kein Graph einer Funktion sondern einer Relation darstellt. Hinweise und Lösungen zu Vorschlag 2 Aufgabe 2 Die Aufgabe verbindet die Inhalte der Analysis mit denen der Linearen Algebra. Spezielle Teilgebiete sind: Rechnen mit parametrisierten Kurven – Erzeugung einer parallelen Kurve – Tangentenbestimmung – Normalenbestimmung –Bestimmung von Extrempunkten – Berechnung von Ortskurven Lösung zu a) t Funktion der unteren Kante ist f(x)= -0.009451x2+9.2 in parametrisierter Form f (t ) mit t [-31.2/31.2] Berechnung der oberen Kante: Es wird zu jedem t [-31.2/31.2] der „parallele Kurvenpunkt“ konstruiert, indem man zu jedem t die Normale berechnet und darauf den Abstand k abträgt. f ´(t ) n (t ) Der Normalenvektor an der Stelle t: weist nach oben; ebenso der 1 1 normierte Normalenvektor an der Stelle t : n0 (t ) n (t ) n (t ) Daraus folgt: die parallele obere Kante im Abstand k hat die Kurvengleichung: t p(k , t ) k * n 0 (t ) f (t ) D:\68626121.doc Seite 4 von 7 Laakmann 15.05.16 Für die obere Kante im Abstand 0.9 ergibt sich damit die Kurve : 207t 0.9t t t 2 2 13225t 37015056 t 2 2798.87 p(0.9, t ) 27378 115t 2 46 47.6139 0.009451t 2 9.2 2 2 5 13225t 37015056 12168 5 t 2798.87 Lösung zu b) Um die Kurvenpunkte der oberen Kante an den Nullstellen der unteren Kante berechnen zu wollen, benötigt man die entsprechenden ersten Koordinaten der parallelen Kurve. Die erste Koordinate wird gleich 31.2 gesetzt und nach t aufgelöst: 207t t 31.2 2 13225t 2 37015056 Dies liefert: t=30.74774785 und den y-Wert 1.042898059 Vergleicht man diese Werte mit dem Punkt der nach oben verschobenen Parabel, (31.2/0.9) so ergibt sich eine Höhendifferenz von rund 0.143m. Lösung zu c) Die obere Begrenzungslinie entspricht der Funktionsgleichung f(t)= – 0.6t2+60. Da hier die untere Begrenzungslinie gesucht wird, lautet nun die parallele t Kurvengleichung: p(k , t ) k * n0 (t ) f (t ) und damit für das Beispiel k k *t t 1.2t t 1.44t 2 1 t 2 0.694444 p(k , t ) k 0.83333 k 2 0.6t 2 60 0.6t 60 2 t 0.694444 1.44t 2 1 Es kommt zu keinen Rückläufen der unteren Begrenzungslinie, wenn die erste Koordinate nur steigt oder nur fällt. Berechnet werden muss die Extremstelle der ersten Koordinate mit der Variablen t. Das notwendige Kriterium liefert: 2 3 t 0.885549 k 0.885549 Dementsprechend ergibt sich für k=0.83333... die größte Dicke, bei der es zu keinen Rückläufen an der unteren Begrenzungslinie kommt. D:\68626121.doc Seite 5 von 7 Laakmann 15.05.16 Lösung zu d) Die Ortskurve der Spitzen wird bestimmt durch die Extremstellen der ersten 2 3 Koordinatenfunktion .Nach Teil c) führt dies zu t 0.885549 k 0.885549 Löst man 3 diese Gleichung nach k auf, so erhält man k 1.44(t 2 0.694444) 2 Damit ist die Evolute: 1.44t (t 2 0.69444)1.5 t 2 3 2 t 0.69444 1.44t (t 6.9444 E 15) 1.44t e (t ) = 1.2(t 2 0.69444)1.5 1.8t 2 59.166667 1.8t 2 59.16667 2 0.6t 60 t 2 0.69444 Hinweise und Lösungen zu Vorschlag 2 Aufgabe 3 Die Aufgabe verbindet die Inhalte der Linearen Algebra mit denen der Stochastik. Wichtige Teilgebiete: Markowkette mit Übergangsmatrix, stationärer Verteilung und Endzustand. Binomialverteilung – zweiseitiger Hypothesentest – Konfidenzintervall Lösungen zu a) Die Übergangsmatrix mit Zeile von zu Spalte nach lautet: B1 B2 B3 B4 B1 0.7 0.3 0 0 B2 0.1 0.6 0.3 0 B3 0 0.3 0.5 0.2 B4 0 0 0.55 0.45 Verteilung nach einem Jahr = 2 Halbjahren 2 0 .7 .3 0 .1 .6 .3 0 = 14960, 40035, 40078,14928 17000,39000,35000,19000 * 0 .3 .5 .2 0 0 .55 .45 Verteilung nach 5 Jahren = 10 Halbjahren 10 0 .7 .3 0 .1 .6 .3 0 13676, 40815, 40721,14787 17000,39000,35000,19000 * 0 .3 .5 .2 0 0 .55 .45 Verteilung nach 20 Jahren = 40 Halbjahre 40 0 .7 .3 0 .1 .6 .3 0 13596, 40787, 40787,14832 17000,39000,35000,19000 * 0 .3 .5 .2 0 0 .55 .45 D:\68626121.doc Seite 6 von 7 Laakmann 15.05.16 Für 20 Jahre ist die Voraussetzung: immer gleiche Übergangswahrscheinlichkeit sicherlich nicht gegeben. Die Berechnungen liefern für einige Jahre eine gute Möglichkeit für Prognosen. zu b) Die stationäre Verteilung a muss folgende Bedingung erfüllen: a M a , wobei M die Übergangsmatrix ist. Dies führt zu einem Gleichungssystem, dessen Lösung: .123596,.370787,.370787,.134831 lautet. Dies sind die entsprechenden Anteile der stationären Ausgangsverteilung. Da die Übergangsmatrix einen Endzustand besitzt, kann man diesen auch durch hohe Exponenten direkt ermitteln. In den Spalten stehen dann die entsprechenden Anteile der stationären Verteilung. zu c) .7 .2 .1 0 .1 .6 .2 .1 Die neue Übergangsmatrix hat folgende Gestalt: .1 .2 .5 .2 0 .1 .45 .45 Hiermit ergibt sich nach 1 Jahr: .7 .2 .1 0 .1 .6 .2 .1 19300,35700,35550,19450 17000,39000,35000,19000 * .1 .2 .5 .2 0 .1 .45 .45 nach 5 Jahren 5 .7 .2 .1 0 .1 .6 .2 .1 22244,33519,35193,19044 17000,39000,35000,19000 * .1 .2 .5 .2 0 .1 .45 .45 und nach 20 Jahren: 20 .7 .2 .1 0 .1 .6 .2 .1 22804,33536,34879,18781 17000,39000,35000,19000 * .1 .2 .5 .2 0 .1 .45 .45 Der Vergleich zeigt, dass die Fahrer/innen mit mehreren Unfällen auch mehr bezahlen müssen, während diejenigen mit wenigen Unfällen von der neuen Regelung profitieren werden. zu d) zweiseitiger Hypothesentest: Hypothese p=0.3 und n=17000 5100 und 59, 7495 Irrtumswahrscheinlichkeit z.B. 1% entspricht einer 2.58 -Umgebung um . Dann liegt der Annahmebereich bei [4946;5254] d.h. für ein Stichprobenergebnis von kleiner als 4946 oder größer als 5254 wird man davon ausgehen, dass sich p verändert hat. Entsprechende Intervalle für 2% Irrtumswahrscheinlichkeit [4961;5239] und für 5%: [4983;5217] Anzahl für n ist groß genug (ohne Berechnung). D:\68626121.doc Seite 7 von 7
