¨Ubungsblatt IV Aufgabe 1: Betrachten Sie die Gleichung −ϵy + b

ts
Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen · SS 2003
Prof. Dr. Ansgar Jüngel, Maria Gualdani
Übungsblatt IV
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Gleichung
√
−y 00 + b y 0 + y = 0,
x ∈ (0, 1),
mit den folgenden Randbedingungen
√
− y 0 (0) + by(0) = 1,
> 0,
b∈
y(1) = 1.
Ist das Problem regulär oder singulär gestört?
Bestimmen Sie die Näherungslösung yasym (siehe Skript, Kapitel 1, Beispiel 1.7). Ist die
Näherung von yasym konsistent in der Supremumsnorm?
Aufgabe 2:
Das folgende Modell
rxv
− bxv,
v+D
ryv
y 0 = bxv − s2 x −
,
v+D
ryv
gv
v0 = N
− dxv +
, t>0
v+D
v+C
x(0) = x0 , y(0) = 0, v(0) = v0 .
x0 = a − s 1 x +
beschreibt die zeitliche Änderung unserer körpereigenen Abwehrreaktionen nach einer Infektion mit dem HIV-Virus, wobei x(t) die Anzahl der gesunden T-Zellen, y(t) die Anzahl der
kranken T-Zellen und v(t) die Anzahl der HIV-Viren sind.
Für die Konstanten gilt: a = 10, s1 = 0.01, r = 0.01, D = 100, b = 2.4 · 10−5 , s2 = 0.265,
N = 1000, d = 7.64 · 10−4 , g = 20, C = 1, x0 = 1000 und v0 = 10.
Lösen Sie das Modell numerisch und untersuchen Sie den Einfluss der Länge des Medikamentationszeitraums auf den Beginn des Aids-Stadiums.
Sind mehrere kurze Behandlungen einer einzigen längeren vorzuziehen oder abzulehnen?
Aufgabe 3:
Sei z(t) eine stetige Funktion für t ∈ [0, T ], T ≤ +∞ und für A > 0, B ∈
0 ≤ z(t) ≤ A + B
Z
0
t
z(τ )dτ
∀t ∈ [0, T ].
Beweisen Sie, dass
z(t) ≤ AeBt
(Lemma von Gronwall)
∀t ∈ [0, T ].
, ∀t ∈ [0, T ] gelte