R.Mohr ME1 Blatt12 KomplexeZahlenIII WS2015/16

R. Mohr ME 1 Blatt 12 Komplexe Zahlen III WS 2015/16
Aufgabe 1: Gegeben ist der komplexe Widerstand
1
3
mit Z1 = R ; Z2 = jωC
; Z3 = jωL
Z(ω) = Z1 + ZZ2+ZZ
2
3
a) Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von Z(ω)
1
jωL
jωC · jωL
L
Z(ω) = R +
=R+
=R+
1
1
1 − ω 2 CL
jωL + jωC
jωCL + jωC
ωL
Re{Z(ω)} = R; Im{Z(ω)} =
1 − ω 2 CL
r
ω 2 L2
|Z(ω)| = R2 +
(1 − ω 2 CL)2
b) Wo liegen alle Z(ω) in der komplexen Zahlenebene ?
jωL
ωL
w = u + vj = R +
; u = R; v =
;
1 − ω 2 CL
1 − ω 2 CL
Alle Z(ω) liegen auf der Parallelen zur imaginären Achse durch R; Dabei werden alle
Punkte durchlaufen:
ωL
v=
; v − ω 2 CLv = ωL
1 − ω 2 CL
√
−L
±
L2 + 4v 2 CL besitzt für alle v Lösungen!
2
vCLω + Lω − v = 0 ; ω1,2 =
2vCL
c) Für welches ω wächst |Z(ω)| über alle Grenzen ?
jωL
Wenn Nenner in Z(ω) = R +
zu Null wird!
1 − ω 2 CL
1 − ω 2 CL = 0 ; ω = √ 1
CL
Aufgabe 2: Gegeben ist die folgende Schaltung
i1
R1
C
i2
iG
mit den Konstanten
und der Spannung
R2
L
U (t)
R1
R2
C
L
50 Ω 20 Ω 200 µF 200mH
100
·
t
U (t) = 200 cos
V .
s
Ermitteln Sie die Ströme i1 , i2 durch die beiden Zweige sowie den Gesamtstrom iG .
1
V
Ri1 = 50 [ V
A ] + j100 [s−1 ] 200 · 10−6 [AsV −1 ] = 50 − 50j [ A ]
V
−1
−3
−1
Ri2 = 20 [ V
A ] + j100 [s ] 200 · 10 [V sA ] = 20 + 20j [ A ]
1
1+j 1−j
7 − 3j
1
1
1
1
1
RG = Ri1 + Ri2 = 50 − 50j + 20 + 20j = 100 + 40 = 200
200(7 + 3j)
RG = 7 200
58
− 3j =
;
R = Ui
ejωt
1. Zweig: 50 − 50j = U0j(ωt−α
;
1)
i1,0 e
√
200
= 2 2;
i1,0 =
tan α1 = −1
; α1 = − π
1
4
|50 − 50j|
2. Zweig:
i2,0 =
20 + 20j =
U0 ejωt
i2,0 ej(ωt−α2 )
√
200
= 5 2;
|20 + 20j|
Gesamtstrom:
;
;
tan α2 =
;
1
1
U0 ejωt
200 (7 + 3j) =
58
iG,0 ej(ωt−αG )
√
= 58;
tan αG = 37 ;
α2 = π
4
;
58
αG = 0.4048...
|7 + 3j|
Gesamtstrom über Addition der Teilströme:
√ π
√
π
iG = i1 + i2 = 2 2e−j 4 + 5 2ej 4
√
√
√ √
√ √
= 2 2( 22 − j 22 ) + 5 2( 22 + j 22 ) = 7 + 3j
√ jα
=
58e g
ig,0 =
;
iG,0 =
√
58
tan αG =
3
7
;
αG = 0.4048...
Aufgabe 3: Gegeben ist die folgende Schaltung
R
U (t)
L
C
mit den Konstanten
und der Spannung
R
C
L
ω
50 Ω 400 µF 500 mH 50 s−1
U (t) = 200 cos(ωt) V .
a) Berechnen Sie den Gesamtstrom i.
1
1
1
1
R = RΩ + RC + RI =
1
1
+ jω [s−1 ] 400 · 10−6 [AsV −1 ]
−1 +
−1
50 [V A ] jω [s ] 500 · 10−3 [V sA−1 ]
2
1
R=
R=
1
50
2 + j · 4ω =
+ jω
104
1
50
+j
n
4ω − 2
104 ω
o
n1
o
1 + j 4ω − 2
50
104 ω
ω = 50 R = 1 1 1 = 25(1 − j)
50 + j 50
U0 ejωt
Gesamtstrom: 25(1 − j) =
iG,0 ej(ωt−αG )
√
iG,0 = 200 = 4 2;
tan αG = − 11
25|1 − j|
;
;
αG = − π
4
b) Für welche Frequenz ω wird die Stromstärke minimal ?
iG,0 wird minimal, wenn |R| maximal wird. Dies wird der Fall sein, wenn der von ω
abhängige Imaginärteil des Nenners zu Null wird.
R=
n
n1
o
1 + j 4ω − 2
50
104 ω
4ω − 2
104 ω
o
=0
;
√
ω = 50 2
3