- Technische Universität München

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Lösung Blatt 10
Allgemeines zum Thema komplexe Wechselstromrechnung
Komplexe Zeiger
Im Folgenden sei auf Kapitel ”Allgemeine Zeigerdarstellung von Wechselspannung und -strom”
aus dem Skript zur Vorlesung ”Eletromagnetische Feldtheorie” (Seite 95) verwiesen.
Es sei die Wechselspannung der Form (1) oder (2) gegeben:
u(t) = Û sin(ωt + ϕu )
(1)
u(t) = Û cos(ωt + ϕu )
(2)
wobei Û > 0
Nun betrachten wir die unterstehende Skizze:
Û ist eine positive reelle Zahl, deshalb wird sie ohne Unterstich geschrieben und in der Re Achse eingezeichnet. Sie entspricht genau der Amplitude der Wechselspannung u(t). Der Term
ejϕu dreht die reele Amplitude Û um Winkel ϕu in positive Richtung. Es ergibt sich die komplexe
Zahl (Unterstrich beachten) Û = Û · ejϕu , die auch einen komplexen Zeiger genannt wird. Der
Term ejωt dreht den Zeiger Û wiederum um Winkel ωt in positive Richtung. Da mit t die Zeit
bezeichnet wird, verläuft die komplexe Größe Û · ej(ϕu +ωt) mit der Zeit auf dem gestrichelten
Kreis mit Radius Û . Warum ist die komplexe Größe Û · ej(ϕu +ωt) relevant, die nicht mehr
komplexen Zeiger genannt wird, da sie nicht fest in der komplexen Ebene ist? Es gilt:
Û · ejϕu +ωt = Û · cos(ϕu + ωt) + j · Û · sin(ϕu + ωt)
Im Û · ejϕu +ωt = Û · sin(ϕu + ωt)
Re Û · ejϕu +ωt = Û · cos(ϕu + ωt)
Daraus ergibt sich ein Kochrezept wie man mit komplexen Zeigern arbeiten kann.
1
(3)
(4)
(5)
a) Alle Wechselspannungen und Wechselströme werden entweder in cos- oder in sin-Darstellung
umgeformt. Dazu kann man auch die Formel verwenden:
π
sin(x) = cos
−x
2
π
−x
cos(x) = sin
2
b) Jeder Wechselspannung bzw. jedem Wechselstrom wird einen komplexen Zeiger der Form
ˆ der fest in der komplexen Ebene liegt, zugewiesen. Zu beachten ist, dass die
Û bzw. I,
ˆ immer > 0 sind.
Amplitude der Spannung Û = |Û | und des Storms Iˆ = |I|
c) Für die weiteren Rechnungen werden dann die komplexen Zeiger verwendet.
d) Sollten zeitabhängige Wechselspannungen u(t) bzw. Wechselströme i(t) gesucht werden,
so bildet man wie in Gleichung (3) die zeitabängigen komplexen Größen. Danach werden
die reelle Teile dieser komplexen Größen bestimmt (5), falls im Schritt 1. die cos- Darstellung gewählt wurde. Ansonsten nimmt man die komplexen Teile her (4).
Wichtige Anmerkung
Später werden die Begriffe ”Effektivspannung” U eff = √Û2 bzw. ”Effektivstrom” I eff =
geführt. Die dazugehörigen komplexen Zeiger haben die Form:
ˆ
√I
2
ein-
Û
U eff = √ · ejϕu
2
Iˆ
I eff = √ · ejϕi
2
Es ist immer zu beachten ob die gegebenen komplexen Zeiger die ”Effektivzeiger” sind oder
nicht. Im Rahmen dieser Vorlesung werden die ”Effektivzeiger” immer mit dem Index ”eff”
bezeichnet und die ”Amplitudenzeiger” mit ˆ.
Komplexer Widerstand (Impedanz) und komplexer Leitwert (Admittanz)
Die Impedanz eines Bauteils wird mit Z bezeichnet und Admittanz - mit Y . Es gilt:
Û = Iˆ · Z
Iˆ = Û · Y
komplexes Ohmsches Gesetz
Diese entsprechen einem Widerstand bzw. einem Leitwert. Es gilt also Z = V
und Y = A
.
A
V
Wird eine Schaltung betrachtet, in der alle Wechselgößen in Zeiger umgeformt sind, so gelten
auch die Kirchhoff’schen Regeln. Des Weiteren sind serielle komplexe Impedanzen genauso wie
serielle Widerstände durch Addition zusammenzufassen. Dasselbe ist auch für die parallelen
komplexen Admittanzen gültig. Explizite Herleitungen zu diesem Thema sind im Skript im
Rahmen des Abschnitts ”Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen” (Seite 96) zu
finden.
2
Phasendifferenz zwischen komplexer Spannung und komplexem Strom
Aus dem komplexen Ohmschen Gesetz folgt für die Impedanz eines Bauteils Z:
Z=
Û
Û
= · ej(ϕu −ϕi )
Iˆ
Iˆ
Die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom ϕu − ϕi wird häufig nur Phasendifferenz
genannt und mit ∆ϕ bezeichnet. Damit ist der Winkel gemeint, der bei dem komplexen Stromzeiger anfängt und bei dem komplexen Spannungzeiger endet. Es folgt also:
Z = |Z| · ej∆ϕ = Re(Z) + jIm(Z)
mit
∆ϕ = arctan
|Z| =
21. Aufgabe:
|Û |
ˆ
|I|
Im(Z)
Re(Z)
, wobei |Û | = Û
ˆ = Iˆ
|I|
Lösung
a) Die Gesamtschaltung besteht aus zwei parallelen komplexen Leitwerten. Zunächst betrachten wir aber die serielle Impedanzen von dem Widerstand und der Spule. Es gilt
(siehe Tabelle auf Seite 109 aus dem Skript):
ZR = R
Z L = jωL
Z R+L = R + jωL
1
Y R+L =
R + jωL
Durch Erweiterung mit dem komplex konjugierten Nenner erhalten wir:
Y
R+L
Y
R+L
1 · (R − jωL)
(R + jωL) · (R − jωL)
R
jωL
= 2
− 2
2
2
R +ω L
R + ω 2 L2
=
Für die Gesamtadmittanz (komplexen Leitwert) der Schaltung folgt:
Y
(R+L)||C
Y
(R+L)||C
Y =Y
(R+L)||C
jωL
R
− 2
+ jωC
2
2
+ω L
R + ω 2 L2
R
ωL
= 2
+ j ωC − 2
R − ω 2 L2
R + ω 2 L2
ωL
R
+ j ωC − 2
= 2
R − ω 2 L2
R + ω 2 L2
=
R2
b) Es gilt:
IˆU = Y · Û 0
IˆU = Û 0 ·
R
ωL
+ j ωC − 2
R 2 − ω 2 L2
R + ω 2 L2
3
Der komplexe Strom IˆU ist also genau dann phasengleich zu der komplexen Spannung
Û 0 , wenn die Admittanz der Schaltung rein reel ist. Daher ergibt sich:
ωL
=0
+ ω 2 L2
L
=C
2
R + ω 2 L2
1
R2
− 2 = ω2
CL L
r
1
R2
− 2
ωr =
CL L
ωC −
und somit:
R2
c) Da der Widerstand und die Spule seriell verschaltet sind, gilt:
Û 0
R + jωL
Û
Û 0
0
|IˆR | = |IˆL | = = √ 2
R + jωL R + ω 2 L2
IˆR = IˆL =
Analog gilt für den Strom durch den Kondensator:
IˆC = Û 0 · (jωC)
|IˆC | = Û 0 ωC
22. Aufgabe:
Lösung
a) Da die Impedanzen Z 1 und Z 2 aus einem seriell verschalteten Widerstand, einer Spule
und einem Kondensator bestehen, gilt:
1
1
Z 1 = R1 + jωL1 +
= R1 + j · ωL1 −
jωC1
ωC1
1
1
Z 2 = R2 + jωL2 +
= R2 + j · ωL2 −
jωC2
ωC2
b)
Û
Iˆ1 = E = =
Z1
Û
E
1
R1 + j ωL1 −
ωC1
Da der Schalter S offen ist, gilt:
Iˆ2 = 0
4
c)
Û 2
|Iˆ1 |2 = E = |Û E |2 ·
Z1 1
R1
2
1
+ ωL1 −
ωC1
d) |Iˆ1 |2 wird maximal, wenn der Nenner minimal ist. Es folgt also:
ωL1 =
C1 =
1
ωC1
1
ω 2 L1
e) Z ges wird rein reel, wenn Z 1 und Z 2 rein reel sind.
1
ωC1
1
ωL2 −
ωC2
2
⇒ ω L1 C1
⇒ ω 2 L2 C2
ωL1 −
=0
=0
=1
=1
Aus L2 = 2L1 folgt:
ω 2 2L1 C2 = 1
1
2 C2 = 1
C1
1
C2 = C1
2
5
2