Übungsblatt 2 Analysis 1

Übungsblatt 2 Dr.Pöschl Mathematik II, Analysis FK03 im WS
Reihen, Winkelfunktionen , Komplexe Zeiger
Aufgabe 1: Man beweise oder widerlege die Formel (für n  N):
1
1
1
1
1
+
+
+
+ …….. +
2*3 3*4 4*5
n * (n  1)
1* 2
= 1 -
1
n 1
(Man zerlege dazu die Brüche in 2 Teilebrüche (Partialbruchzerlegung):
1
A
B
=
+
und bestimme dazu A und B.
n * (n  1)
n
n 1
Aufgabe 2 (Überlagerung von Schwingungen):
Man berechne für f(x) = 3cos(2x + /4) + 4 cos(2x + /2) eine Darstellung
f(x) = A*sin(Bx + C) und zeichne den Graphen durch graphische Addition der
beiden Einzelfunktionen.
Lösung: f(x) = 6.478469sin(2x + 2.806) (Zahlen gerundet)
Aufgabe 3 (Komplexe Zahlen, aus der Prüfung vom SS2011):
Bestimmen Sie zuerst z1 , z2 Є C und dann A,B Є R so, dass
folgende Gleichung für alle z Є C gilt:
3z  4 j
z  jz  6
2
=
A
z  z1
+
B
z  z2
.
Dabei bezeichnet j die komplexe Zahl mit j*j = -1.
Lösung: z1 = 2j
z2 = -3j, dann A = 2 und B = 1
Aufgabe 4 (Überlagerung von Schwingungen mit komplexen Zeigern):
Man berechne für s1(t) = 2 exp(i*(π/4 + t)) und s2(t) = 5exp(i(2/3+t))
Die Summenfunktion s3(t) = s1(t) + s2(t) .
Man gebe dann die Sinuswelle der Eingabefunktionen und der Summenfunktion
an.
Anleitung : Zunächst Zeichnung der 3 komplexen Zeiger für t = 0..
Dann Berechnen und Zeichnen der beiden Sinusfunktionen.
Umrechnung von s1 und s2 in Koordinatenform für t = 0.
Ergebnis : S1(0) = 1 + i , s2(0) = -2.5 + 4.3301i
Addition in Koordinatenform liefert den komplexen Zeiger der
Summenfunktion für t = 0. s3(0) = -1.5 + 5.3301i
Umrechnung in Exponentialdarstellung und Angabe von s3(t).
Ergebnis:
s3(t) = r*exp(φ + t)
mit r = sqrt(1.52 + 5.33012) = 5.5371..
und φ = π – arctan(5.3301/1.5) =1.84498..
Angabe der resultierenden Sinusschwingung
Ergebnis: Im(s3(t) = 5.5371sin(1.84498+t)
Aufgabe 5 (Überlagerung von Schwingungen mit komplexen Zeigern):
Man berechne für s1(t) = 3 exp(i*(π/3 + t)) und s2(t) = 4exp(i(0.6 + t))
Die Summenfunktion s3(t) = s1(t) + s2(t) .
Man gebe dann die Sinuswelle der Eingabefunktionen und der Summenfunktion
an.
Anleitung : Zunächst Zeichnung der 3 komplexen Zeiger für t = 0.
Dann Berechnen und Zeichnen der beiden Sinusfunktionen.
Umrechnung von s1 und s2 in Koordinatenform für t = 0.
Ergebnis : S1(0) = 0.8660 + 1.5i , s2(0) = -1.236 + 3.8042i
Addition in Koordinatenform liefert den komplexen Zeiger der
Summenfunktion für t = 0. s3(0) = -0.37 + 5.3042i
Umrechnung in Exponentialdarstellung und Angabe von s3(t).
Ergebnis
s3(t) = r*exp(φ + t)
mit r = 5.3170...
und φ = 93.990…in Grad
Angabe der resultierenden Sinusschwingung ,Umrechnung ins Bogenmaß.
Ergebnis Im(s3(t) = 5.3170sin(0.522166 + t)
Maple Lösung zur Aufgabe 2 Übungsblatt 2
> restart;
> a1:=3:phi1 := Pi/4:a2:=4:phi2:=Pi/2:
> y1 := a1*cos(2*x + phi1);#identisch zu y1 := a1*sin(2*x +
3/4*Pi)
> y2 := a2*cos(2*x + phi2);
Maple wandelt dies gleich in eine Sinusfunktion um ….
> z := y1 + y2;#Die Addition wird nicht explizit ausgeführt
> plot({y1,y2,z},x= 0..Pi,color = [green,red,blue]);
Mit diesem Kommando können Sie die 3 Kurven plotten lassen.