Allgemeine Elektrotechnik

Allgemeine Elektrotechnik
Heinz-Ulrich Seidel, Edwin Wagner
Wechselstromtechnik - Ausgleichsvorgänge - Leitungen
ISBN 3-446-40018-4
Leseprobe
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser.de/3-446-40018-4 sowie im Buchhandel
1
Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
1.1
Netzwerkberechnung mittels komplexer Rechnung
1.1.1
Ausgleichsvorgang und stationäre Lösung
Sinusquellen bestimmter Frequenz erzeugen in einem Netz linearer, zeitkonstanter
passiver Zweipole nach Abklingen von Ausgleichsvorgängen (im Schaltverhalten
der Bauelemente begründet) überall Sinusströme und Sinusspannungen dieser Frequenz. Diese Netzsituation heißt eingeschwungener Netzzustand oder stationärer
Netzzustand. Bild 1.1 zeigt den Stromverlauf beim Anschalten einer Wechselspannung an die Reihenschaltung der Bauelemente R, L und C.
Bild 1.1 Anschalten einer Wechselspannung an die Reihenschaltung von R, L und C (Animation im
Lernprogramm „Laplace-Transformation“, vgl. Abschnitt 4.2)
In obigem Beispiel ist der stationäre Netzzustand ab t > 100 ms gegeben. Das Wechselstromnetz verhält sich ohmsch-kapazitiv. Die Stromamplitude liegt zeitlich vor
der Spannungsamplitude.
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
14
In den Kapiteln 1-3 werden Wechselstromnetze betrachtet, die sich im stationären
Zustand befinden. Die Analyse bezieht sich dann auf die Bestimmung der Amplituden, Effektivwerte, gegenseitige Phasenlage der Sinusgrößen sowie die Bestimmung
von Scheinwiderständen und Scheinleitwerten von Bauelementen und passiven Zusammenschaltungen.
Die Analyse von Ausgleichsvorgängen in linearen Netzen wird im Kapitel 4 vorgenommen.
1.1.2
Komplexe Darstellung von Sinusgrößen
Die Analyse des stationären Netzzustandes wird vorteilhaft mit der symbolischen
Methode vorgenommen. Sie beruht auf der Darstellung von Sinusgrößen durch
Drehzeiger und ruhende Zeiger in der komplexen Ebene.
Bekanntlich kann man eine Sinusfunktion
u (t ) = Uˆ sin(ω t + ϕu )
(1.1)
dadurch konstruieren, dass man einen gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit
ω um seinen Anfangspunkt kreisenden Zeiger vom Betrag Û in Richtung der Zeitlinie parallel projiziert. Alle Angaben zur Sinuszeitfunktion sind in dem einfachen,
eindeutig zugeordneten Bild des umlaufenden Zeigers im Polardiagramm abzulesen.
Der Nullphasenwinkel ϕu ist der Winkel des Zeigers zum Zeitpunkt t = 0 gegen die
Bezugsachse.
Bild 1.3 zeigt die Zeigerdarstellung der Sinusspannungen u1 und u2 nach Bild 1.2 im
Polardiagramm mit Bezugsachse und Zeitlinie.
u2
Zeitlinie
u in V
u1
Û1
u1
Û2
Bezugsachse
t in ms
Bild 1.2 Liniendiagramm
Bild 1.3 Polardiagramm
1.1.2.1 Komplexe Augenblickswerte, Drehzeiger
Eine Sinusgröße u(t) lässt sich durch einen komplexen Augenblickswert u(t) darstellen. Dieser kann in der komplexen Ebene durch einen Drehzeiger (rotierenden
1.1 Netzwerkberechnung mittels komplexer Rechnung
15
Zeiger) abgebildet werden, dessen Projektion auf die imaginäre Koordinatenachse
Im{u(t)} zu jedem Zeitpunkt t die Größe u(t) ergibt. Es gilt
u (t ) = Uˆ e j(ω t +ϕu ) = Uˆ e jω t Uˆ e jϕu = Uˆ cos (ω t + ϕu ) + jUˆ sin (ω t + ϕu )
(1.2)
u ( t ) = Im {u ( t )} = Uˆ sin (ω t + ϕu )
(1.3)
und:
Analog ist der komplexe Augenblickswert des Stromes:
i ( t ) = Iˆ e j (ω t +ϕi )
(1.4)
i ( t ) = Im { i ( t )} = Iˆ sin (ω t + ϕi )
(1.5)
und
Da sich die physikalischen Größen Spannung und Strom aus Maßzahl und Einheit
zusammensetzen, werden Komponenten bzw. Beträge der Zeiger, die die physikalischen Größen symbolisch darstellen, zweckmäßig ebenfalls aus Maßzahl und Einheit gebildet.
1.1.2.2 Komplexe Amplituden und Effektivwerte, ruhende Zeiger
Die komplexen Augenblickswerte enthalten den Zeitfaktor ejω t. Das ist in der
Gauß´schen Zahlenebene ein Zeiger der Länge eins, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω im mathematisch positiven Drehsinn rotiert. Wegen ωT = 2π entspricht
die Zeigerlage zum Zeitpunkt t = T wieder der Zeigerlage zum Zeitpunkt t = 0.
Dividiert man die komplexen Augenblickswerte von Spannung und Strom durch den
Zeitfaktor ejω t, erhält man die komplexen Amplituden:
Û = Û e jϕu
(1.6)
Iˆ = Iˆ e jϕi
(1.7)
und
Aus den Gleichungen (1.2) und (1.4) wird dann
u ( t ) = Uˆ e jω t
(1.8)
i (t ) = Iˆ e jω t .
(1.9)
und
16
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
Die komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom ergeben sich durch Division der komplexen Amplituden durch 2 :
U=
Uˆ
Uˆ jϕu
=
e
= U e jϕ u
2
2
(1.10)
I=
Iˆ
Iˆ jϕi
=
e = I e jϕi
2
2
(1.11)
Die komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerte sind in der Darstellungsebene ruhende Zeiger.
1.1.2.3 (Komplexe) Impedanz Z und Admittanz Y des passiven Zweipols
Ruhende Zeiger entstehen auch bei der Division zweier Drehzeiger gleicher Kreisfrequenz.
Der Quotient
Z=
u (t )
i (t )
=
Û e jω t
Î e jω t
=
Û Uˆ j (ϕu −ϕi )
= e
= Z e jϕ Z
ˆ
Î
I
(1.12)
ist die Impedanz Z des Zweipols.
Der Betrag Z der Impedanz Z ist gleich dem Scheinwiderstand der Anordnung, sein
Winkel ϕZ gleich dem Phasenverschiebungswinkel ϕ der Klemmengrößen u, i.
Z=
Û U
= , ϕ Z = ϕu − ϕi = ϕ .
Î
I
(1.13)
Der inverse Zeiger zu Z heißt Admittanz Y:
Y = Y e jϕY =
1 1 − jϕ Z
= e
Z Z
(1.14)
Der Vergleich liefert
Y=
1.1.3
1
, ϕY = −ϕ Z .
Z
Rechenregeln im Komplexen
1.1.3.1 Kirchhoff´sche Sätze
Grundlage jeder Netzwerkberechnung sind die Kirchhoff´schen Sätze.
Für die Augenblickswerte der Spannungen und Ströme gilt:
(1.15)
1.1 Netzwerkberechnung mittels komplexer Rechnung
17
Knotenpunktsatz
n
m
ν =1
µ =1
∑ iν ab = ∑ iµ zu ,
(1.16)
Maschensatz
n
∑ uν
ν =1 (vzb)
=0.
(1.17)
In der komplexen Ebene lauten die Beziehungen für die komplexen Augenblickswerte, komplexen Amplituden und Effektivwerte der Spannungen und Ströme:
n
m
n
m
n
m
ν =1
µ =1
ν =1
µ =1
ν =1
µ =1
∑ iν ab = ∑ i µ zu , ∑ Iˆν ab = ∑ Iˆµ zu , ∑ Iν ab = ∑ I µ zu ,
n
∑ uν
ν =1 (vzb)
= 0,
n
n
ν =1
ν =1
Uˆν = 0, ∑ Uν = 0 .
∑ (vzb)
(vzb)
(1.18)
(1.19)
1.1.3.2 Impedanzen und Admittanzen der Bauelemente
Widerstand
Die Spannungs-Strom-Beziehung am Widerstand lautet für die komplexen Augenblickswerte
u = Ri .
(1.20)
Damit wird:
Z=
u
1
= R, Y = = G , ϕ Z = −ϕY = 0
i
R
(1.21)
Spule
Aus der Spannungs-Strom-Beziehung an der Spule
u=L
(
)
d
( i ) = L d Î e jϕi e jω t = jω L i
dt
dt
(1.22)
j
π
erhält man für die Impedanz und Admittanz mit j = e 2
Z=
u
Uˆ
= jω L, Z = = ω L, ϕ Z = 90°,
i
Iˆ
(1.23)
18
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
Y=
i
Iˆ
1
1
1
=
= −j
, Y= =
, ϕY = −90°.
ˆ
u jω L
ωL
U ωL
Die Multiplikation des Stromzeigers mit der Impedanz führt zum Spannungszeiger,
der um 90° vor dem Stromzeiger liegt.
Kondensator
Aus der Strom-Spannungs-Beziehung am Kondensator
i=C
(
)
d
( u ) = C d Uˆ e jϕu e jω t = jω C u
dt
dt
(1.24)
erhält man für die Impedanz und Admittanz
u
1
1
1
Uˆ
=
= −j
, Z= =
, ϕ Z = −90°,
ˆ
i jω C
ωC
I ωC
i
Iˆ
Y = = jω C , Y = = ω C , ϕY = 90°.
u
Uˆ
Z=
(1.25)
Die Multiplikation des Spannungszeigers mit der Admittanz führt zum Stromzeiger,
der um 90° vor dem Spannungszeiger liegt.
Eine anschauliche Erläuterung obiger Zusammenhänge bietet das Lernmodul „Einfache Wechselstromkreise“ von W. Fendt.
21010
1.1.4
Rechenschema „Symbolische Methode“
1. Gegebene Sinuszeitfunktionen (z. B. Quellspannungen und Quellströme) und
gesuchte (z. B. Zweigströme) in der Wechselstromschaltung werden durch die
komplexen Amplituden bzw. komplexen Effektivwerte symbolisch dargestellt:
u = Û sin (ω t + ϕu ) ⇒ Û = Û e jϕu , U = U e jϕu
i = Î sin (ω t + ϕi ) ⇒ Î = Î e jϕi , I = I e jϕi
(1.26)
2. Ersetzen der Bauelemente durch ihre Impedanzen oder Admittanzen (Scheinwiderstände bzw. Scheinleitwerte ausrechnen):
L ⇒ jω L , C ⇒
1
1
= −j
, R⇒R
ωC
jω C
(1.27)
3. Die Kirchhoff´schen Sätze für z. B. die komplexen Amplituden der Spannungen
und Ströme und die komplexen Beziehungen an den Bauelementen liefern die
notwendige Zahl von Gleichungen zur Ermittlung der Bestimmungsstücke
(Betrag und Winkel) der gesuchten komplexen Amplituden:
1.1 Netzwerkberechnung mittels komplexer Rechnung
n
m
ν =1
µ =1
19
∑ Îν ab = ∑ Î µ zu
n
∑ Ûν
ν =1 (vzb)
(1.28)
=0
Û =ZÎ
4. Nach der Berechnung der Bestimmungsstücke mittels der Rechenregeln für komplexe Zahlen können die interessierenden Zeitfunktionen aufgeschrieben werden:
Û = Û e jϕu ⇒ u = Û sin (ω t + ϕu )
(1.29)
Î = Î e jϕi ⇒ i = Î sin (ω t + ϕi )
Beispiel 1.1
1
2
R1
1
3
j6 Ω
2
10 Ω
3
24 Ω
u
4
Û
-j7 Ω
4
j20 Ω
5
5
Bild 1.4 Wechselstromnetzwerk
Bild 1.5 Netzwerk mit komplexen Größen
Im Wechselstromnetzwerk sollen die Zweigströme i(t), i1(t), i2(t) berechnet werden.
Mit den Parameterwerten u(t) = 170 V sin(ω t), f = 50 Hz, R1 = 10 Ω, R2 = 24 Ω,
L1 = 19,1 mH, L2 = 63,7 mH, C = 0,455 mF erhält man für die Scheinwiderstände
ω L1 = 6 Ω, ω L2 = 20 Ω, 1/ω C = 7 Ω.
Im Bild 1.5 sind die Impedanzen der Bauelemente sowie die komplexen Amplituden
der Klemmenspannung und der gesuchten Zweigströme eingetragen. Die komplexe
Amplitude des Klemmenstromes folgt aus der Impedanz des Zweipols zu:
Iˆ =
170 V
= 14,5 A e j9,1° .

− j7 Ω )( 24 Ω+j20 Ω ) 
(
10 Ω+j6Ω+

( 24 Ω+j20Ω − j7Ω ) 

Mit der Stromteilerregel erhält man weiter:
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
20
Iˆ1 = Iˆ
Iˆ 2 = Iˆ
( 24 Ω+j20 Ω )
( 24 Ω+j20Ω − j7Ω )
− j7 Ω
( 24 Ω+j20 Ω − j7Ω )
= 16, 6 A e j20,5° ,
= 3, 72 A e− j109,3° .
Die Berechnung der komplexen Größen wird mittels Taschenrechner mit
komplexer Arithmetik durchgeführt.
21020
Die Stromzeitfunktionen lauten:
i (t ) = 14,5A sin(ω t + 9,1°), i1 (t ) = 16,6 A sin(ω t + 20,5°),
i2 (t ) = 3,72 A sin(ω t − 109,3°).
Eine Wiederholung des Rechnens mit komplexen Zahlen bietet z. B. der
„Mathematische Vorkurs“ der Universität Heidelberg.
21030
1.2
Zeigerdiagramme, Ortskurven, Frequenzgänge
1.2.1
Zeigerdiagramme
Zeigerdiagramme sind eine anschauliche geometrische Darstellungshilfe zur Visualisierung der Beziehungen in einer Wechselstromschaltung (Amplitudenverhältnisse,
Phasenverschiebungswinkel u. a.). Bei Zeigerdiagrammen geht man allgemein von
konstanten Parametern der Schaltelemente und einer Festfrequenz ω in der Schaltung aus. Beispielsweise können die Zeiger der komplexen Amplituden der Spannungen über den Bauelementen und die komplexen Amplituden der Zweigströme im
obigen Beispiel über eine Maßstabszuordnung dargestellt und damit die Lösungen
überprüft werden (Gleichungen (1.18), (1.19)).
1.2.1.1 Topologisches Zeigerdiagramm
Im topologischen Zeigerdiagramm werden (z. B.) die Spannungen in der Reihenfolge des Auftretens in der Schaltung nacheinander gezeichnet. Die Maschensatzaussage ist damit ständig für eine Überprüfung der Teilergebnisse präsent. Auch ist
es über das topologische Zeigerdiagramm möglich, die Analyse der Spannungs- und
Stromverteilung in einfachen passiven Netzen auf eine Auswertung elementarer
Bauelementebeziehungen zurückzuführen.
Beispiel 1.2
Im Netz nach Bild 1.5 wird der Zweigstrom Î2* vorgegeben und mit diesem Wert
wird die Spannungs- und Stromverteilung von innen nach außen ermittelt.
1.2 Zeigerdiagramme, Ortskurven, Frequenzgänge
21
Î2*
Î*
Î1*
5
*
Û35
3
Î2*
*
Û45
*
Û34
4
* = Û*
Û15
*
Û23
1
2
*
Û12
Bild 1.6 Topologisches
Zeigerdiagramm zum
Beispiel 1.1
Zweckmäßig ist, die Rechenergebnisse gleichzeitig in ein topologisches Zeigerdiagramm einzutragen und damit zu überprüfen (Bild 1.6). Die zum Stromwert Î2*
notwendige Klemmenspannung Û* wird mit der vorgegebenen Klemmenspannung
Û verglichen. Mit dem daraus resultierenden Korrekturfaktor werden alle Spannungs- und Stromwerte korrigiert. Die Schrittfolge lautet:
Iˆ*2 = 1A,
Uˆ *34 = R2 Iˆ* = 24 V,
Uˆ *45 = jω L2 Iˆ* = j20 V,
Uˆ *35 = Uˆ *34 + Uˆ *45 = 31, 24 Ve j39,8° ,
Uˆ *35
= 4, 463A e j129,8° , Iˆ* = Iˆ1* + Iˆ*2 = 3,90 A e j118,4° ,
Iˆ*1 =
1
(− j
)
ωC
*
= jω L1 Iˆ* = 23, 4 V e− j151,6° ,
Uˆ *23 = R1 Iˆ* = 39, 0 V e j118,4° , Uˆ 12
*
*
= Uˆ 12
+ Uˆ *23 + Uˆ *35 = 45,73V e j109,3° ,
Uˆ * = Uˆ 15
Uˆ
= 3, 72 e− j109,3° ,
k=
*
ˆ
U
Iˆ = k Iˆ* = 3, 72 A e j109,3° .
2
2
Das Lernprogramm „Berechnung von Wechselstromschaltungen“ bietet
die Möglichkeit, topologische Zeigerdiagramme zu passiven Schaltungen
selbst zu entwickeln.
21040
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
22
1.2.1.2 Phasendrehbrücke
R
1
Û24 R
0
R0
Î
C
4
Û13
4
3
2
Bild 1.7 Phasendrehbrücke
Û14
1
Û12
Û43
Û24
2
Û23
3
Bild 1.8 Topologisches Zeigerdiagramm
Mit der Anordnung nach Bild 1.7 kann die Leerlaufspannung Û24 bei Änderung des
Widerstandswertes R in ihrer Phasenlage zur Spannung Û13 gedreht werden. Aus dem
topologischen Zeigerdiagramm wird diese Eigenschaft der Anordnung sofort deutlich.
Es ist:
1
Û12 = Û 23 = Û13 .
2
(1.30)
Der Zeiger des Stromes durch den Zweig 1-4-3 liegt für alle Werte von R in Phase
mit der Spannung Û14 und 90° vor der Spannung Û43. Im rechtwinkligen Dreieck
Û14, Û43, Û13 liegt der rechte Winkel auf dem Halbkreis über der Hypotenuse
(Thaleskreis).
Die Brückenspannung hat demnach den konstanten Wert
1
Uˆ 24 = Û13 ,
2
(1.31)
ihr Winkel ändert sich mit R in den Grenzen
1.2.2
R = 0 : ϕu 24 = ϕu13 + 180° ,
(1.32)
R → ∞ : ϕu 24 = ϕu13 .
(1.33)
Ortskurven
Bei Zeigerdiagrammen geht man allgemein von konstanten Parametern der Schaltelemente und einer Festfrequenz ω in der Schaltung aus. Viele Schaltungen offenbaren ihre Besonderheiten erst bei Parameteränderung. Schaltungen mit Blindelementen haben Filtereigenschaften wegen der Frequenzabhängigkeit der Scheinwiderstände dieser Elemente. Aber auch die Änderung der Parameter R, L, C kann zu gewünschten Phänomenen führen.