Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik I
20. April 2006
Teil I
Einleitung und Motivation
1
2
3
4
Zusammenhang
Definitionen
Aussagen
Flüsse
Einleitung
Ford-Fulkerson
Dinic
Planare Graphen
Definitionen
Theoreme zu planaren Graphen
Definitionen zu außenplanaren Graphen
Theoreme zu außenplanaren Graphen
Theoreme zu SP-Graphen
Homeomorphe Graphen
Matchings
Anwendungen
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Definitionen
Fragen
116/351
Knoten Seperator
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt zusammenhängend, falls es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt.
Definition
Sei G = (V , E ), V ′ ⊂ V heißt Knoten-Separator (vertex cut), falls
G − V ′ nicht zusammenhängend ist.
Schreibweise: G − V ′ := (V \ V ′ , {(a, b) ∈ E | a, b ∈ V \ V ′ })
Definition
Falls {v } ein Knoten-Seperator ist, dann heißt v Artikulationspunkt.
Theorem
Nur Cliquen Kn haben keinen Knoten-Separator.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Definitionen
Kanten Seperator
Definition
Sei G = (V , E ), E ′ ⊂ E heißt Kanten-Separator (edge cut), falls G − E ′
nicht zusammenhängend ist.
Schreibweise: G − E ′ := (V , E \ E ′ )
Definition
Falls {v , w } ein Kanten-Seperator ist, dann heißt {v , w } Brücke.
Theorem
Ein minimaler Kanten-Separator E ′ von G = (V , E ) induziert einen
2-patiten Graphen. D.h. G = (V , E ′ ) ist 2-patiter Graph.
Fragen
117/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Definitionen
Zusammenhang
Definition
Sei G = (V , E ) und k minimal mit: ∃V ′ ⊂ V : |V ′ | = k und G − V ′ ist
nicht zusammenhängend oder trivial. Dann heißt G k-fach
zusammenhängend.
Schreibweise: κ(G ) = k
Definition
Sei G = (V , E ) und k minimal mit: ∃E ′ ⊂ E : |E ′ | = k und G − E ′ ist
nicht zusammenhängend oder trivial. Dann heißt G k-fach Kanten
zusammenhängend.
Schreibweise: λ(G ) = k
Fragen
118/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
119/351
Aussagen zum Zusammenhang
Theorem
Für jeden Graphen G = (V , E ) gilt:
κ(G ) 6 λ(G ) 6 δ(G )
Schreibweise: δ(G ) := min{deg(v ) | v ∈ V }
Theorem
Für alle nat. Zahlen 0 < a 6 b 6 c gibt es einen Graphen G mit:
κ(G ) = a, λ(G ) = b, δ(G ) = c
Theorem
Sei G = (V , E ) mit: |V | = n und δ(G ) > n/2. Dann gilt:
λ(G ) = δ(G )
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
120/351
Aussagen zum Knoten Zusammenhang
Theorem
Sei G = (V , E ) mit: |V | = n und |E | = e. Dann ist der maximale
Zusammenhang (maxiamle k mit G ist k-fach zusammenhängend) von G :
0
2 · e/n
falls
falls
e <n−1
e >n−1
Theorem
Sei G = (V , E ) zusammenhängend. Die folgenden Ausagen sind
äquivalent:
1
v ∈ V ist ein Knoten-Separator.
2
∃a, b ∈ V : a, b 6= v : jeder Weg von a nach b geht über v
3
˙ = V \ {v } und jeder Weg von a ∈ A nach b ∈ B geht
∃A, B: A∪B
über v
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
121/351
Aussagen zum Kanten Zusammenhang
Theorem
Sei G = (V , E ) zusammenhängend. Die folgenden Aussagen sind
äquivalent:
1
e ∈ E ist ein Kanten-Separator.
2
e ist in keinem einfachen Kreis von G
3
∃a, b ∈ E : jeder Weg von a nach b geht über e
4
˙ = V und jeder Weg von a ∈ A nach b ∈ B geht über e
∃A, B: A∪B
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
122/351
Definitionen
Definition
Sei G = (V , E ) und (a, b) = e ∈ E . Die Aufteilung (subdivision) der
˙ }, E ∪ {(a, v ), (v , b)} \ {e})
Kante e ergibt den Graphen G = (V ∪{v
Definition
Eine Menge von Wegen von G = (V , E ) heißt intern-knotendisjunkt, falls
keine zwei Wege einen inneren Knoten gemeinsam haben. Die inneren
Knoten sind alle außer Start- und Endknoten.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
123/351
Theorem
Sei G = (V , E ) mit |V | > 3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1
G ist 2-fach zusammenhängend
2
Jedes Knotenpaar ist mit zwei intern-knotendisjunkten Wegen
verbunden.
3
Jedes Knotenpaar liegt auf einem gemeinsamen einfachen Kreis.
4
Es gibt eine Kante und jeder Knoten und Kante liegen auf einem
gemeinsamen einfachen Kreis.
5
Es gibt zwei Kanten und jedes Kantenpaar liegt auf einem
gemeinsamen einfachen Kreis.
6
Zu einem Knotenpaar a, b und einer Kante e gibt es einen einfachen
Weg von a nach b über e.
7
Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b über c.
8
Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b ohne über c
zu gehen.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
124/351
Aussagen
Theorem
Sei G = (V , E ) k-fach zusammenhängend, dann liegen je k Knoten auf
einem gemeinsamen einfachen Kreis.
Theorem
Ein Graph G ist 3-fach zusammenhängend genau dann, wenn G aus
einem Rad Wi = K1 + Ci (i > 4) durch die folgenden Operationen
aufbaubar ist:
1
Hinzufügen einer neuen Kante.
2
Aufspalten eines Knotens vom Grad > 4 in zwei verbundenen
Knoten vom Grad > 3
Schreibweise: Seien (G = V , E ) und (H = W , F ) Graphen
˙ , E ∪ F ∪ {(a, b) | a ∈ V , b ∈ W })
G + W = (V ∪W
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
125/351
Aussagen k-fach Zusammenhang
Theorem (Menger’s Theorem)
G ist k-fach zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei
Knoten k intern-knotendisjunkte Wege gibt.
Theorem (Menger’s Theorem)
G ist k-fach-Kanten zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je
zwei Knoten k kanten-disjunkte Wege gibt.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
126/351
Bestimmung des Zusammenhangs
Theorem
Der 1-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Theorem
Der 1-fache Kanten-Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt
werden.
Theorem
Der 2-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Theorem
Der k-fache Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt werden.
Theorem
Der k-fache Kanten-Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt
werden.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Aussagen
Fragen
127/351
Starker Zusammenhang
Definition
Ein gerichteter Graph G = (V , E ) heißt stark zusammenhängend, falls es
zwischen je zwei verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt.
Theorem
Der starke Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Einleitung
Fragen
128/351
Das Fluss Problem
Definition (Fluss)
Sei G = (V , E ) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion
c : E 7→ IN. Seien s, t ∈ V Quelle und Senke.
Eine Funktion f : E 7→ IN ist eine Flussfunktion gdw.:
∀e ∈ E : 0 6 f (e) 6 c(e)
P
P
∀v ∈ V \ {s, t} : e=(v ,w )∈E f (e) = e=(w ,v )∈E f (e)
P
P
Der Wert des Flusses ist: e=(s,w )∈E f (e) − e=(w ,s)∈E f (e)
Definition (Maximaler Fluss Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E ), s, t ∈ V and c : E 7→ IN
Bestimme: Maximale Flussfunktion f .
Theorem (Maximaler Fluss Problem)
Das Problem den maximalen Fluss zu bestimmen ist in P.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Ford-Fulkerson
Fragen
129/351
Maximaler Fluss: Algorithmus von Ford-Fulkerson
Eine Kante (a, b) kann als Vorwärtskante genutzt werden, falls
(a, b) if c((a, b)) − f ((a, b)) > 0
Eine Kante (a, b) kann als Rückwärtskante genutzt werden, falls
(b, a) if f ((a, b)) > 0
Eine Vorwärtskante (a, b) kann zusätzlichen Fluss
x(a, b) = c((a, b)) − f ((a, b)) bekommen.
Eine Rückwärtskante (b, a) kann Fluss x(b, a) = f ((a, b))
bekommen.
Solange es einen Pfad von nutzbaren Kanten von s nach t gibt
mache:
erhöhe den Fluss mit dem minimalen Wert x(a, b) auf dem
Pfad.
ändere auf Vorwärtskanten: f (a, b) := f (a, b) + x(a, b)
ändere auf Rückwärtskanten: f (a, b) := f (a, b) − x(a, b)
Laufzeit falls DFS genutzt wird: O(|F | · |E | + |V |)
Laufzeit falls BFS genutzt wird: O(|V | · |E |2 + |V |)
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Ford-Fulkerson
Fragen
130/351
Beispiel: Algorithmus von Ford-Fulkerson
s
1000
0123
1
0123
1000
1
1
01 1-1
a
0123
1000
b
1000
1
t
0123
1
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Ford-Fulkerson
131/351
Der Minimale Schnitt
Definition (Schnitt)
Sei G = (V , E ) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion
c : E 7→ IN
Seien s, t ∈ V Quelle und Senke.
A, B ⊂ V wird Schnitt genannt, falls
s ∈ A und t ∈ B
A ∩ B = ∅ und A ∪ B = V
Die Kapazität vom Schnitt A, B ist:
P
e=(v ,w )∈E ,v ∈A,w ∈B
Theorem (Min-Cut-Max-Flow)
Der Minimale Schnitt ist gleich dem maximalen Fluss.
c(e)
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Dinic
Fragen
132/351
Maximaler Fluss
Algorithmus von Dinic:
Solange es einen Pfad von nutzbaren Kanten von s nach t gibt
mache:
Bestimme ein Schichtennetzwerk von nutzbaren Kanten:
Mache BFS auf den nutzbaren Kanten.
Selektiere die Kanten zwischen verschiedenen Schichten (l
nachl + 1)
Bestimme den maximalen Fluss auf dem Schichtennetzwerk:
Solange es einen Pfad von nutzbaren Kanten von s nach t
gibt mache:
erhöhe den Fluss in dem Schichtennetzwerk.
Übertrage den Fluss vom Schichtennetzwerk auf den Graphen.
Laufzeit im Schichtennetzwerk: O(|E |2 ) .... O(|V | · |E |)
Laufzeit: O((|V |2 · |E |))
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Dinic
Fragen
133/351
Maximaler Fluss
Algorithmus von Dinic:
Wenn einer Kante im Schichtennetzwerk als Sackgasse erkannt
wird, dann wird diese markiert und nie wieder betrachtet.
Daher O(E ) viele Schritte hier.
Wenn eine Kante gefüllt wird, dann liegt diese auf einem Weg der
Länge von höchsten O(V ).
Daher O((|V | · |E |) als Laufzeit für diese Schritte.
Dann erhöht sich die Tiefe der Schichtennetzwerke immer um
mindestens eins.
Die Tiefe ist höchstens O(|V |).
Daher Laufzeit: O((|V |2 · |E |))
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
134/351
Beispiel: Dinic
s
1
1 1
01 01
1
00
2
a
1
01 4
d
b
s
01
4
1
1
00
3
1
01 2
1
00
01
2
1
c
1
01 1
e
2
00
1 1
01
3
t
1
1
f
01
1 1
a
1
4
1
c
b
1
4
1
2
e
d
2
1
1 1
t
1
f
3
1
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
135/351
Beispiel: Dinic
s
1
a
11 11 1
101
2
1
12 4
d
b
s
13
4
202
3
1
12 2
1
00
12
2
1
e
11 1
t
1
2
2
011
3
1
12
10
2
c
a
11 1
1
1 4
1
1 2
d
e
f
1
b
2
4
2
20
3
c
2
01
f
3
1
1
t
1
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
136/351
Beispiel: Dinic
s
1
a
11 11 1
112
2
1
23 4
d
b
s
34
4
123
3
22 2
1
011
22
2
e
11 1
t
3
1
2
121
3
1
c
a
11 1
1
2 4
f
d
11
2
1
01
4
1
b
12
3
c
e
2
11
f
3
23
1
t
2
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Dinic
Fragen
137/351
Maximaler Fluss
Algorithmus mit Forward/Backward Propagation:
Potential einer Kante (a, b): pot((a, b)) := c((a, b)) − f ((a, b))
Potential
P eines Knotens v : P
min( (v ,w )∈E pot((v , w )), (w ,v )∈E pot((v , w )))
Bestimme den maximalen Fluss auf dem Schichtennetzwerk:
Bestimme Knoten mit minimalen positiven Potential.
Propagiere dies Potential nach t
Propagiere dies Potential nach s
Laufzeit im Schichtennetzwerk: O(|V |2 )
Laufzeit: O((|V |3 )
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
138/351
Beispiel: Dinic
s
1
1 1
01 01
1
00
2
a
1
01 4
d
b
s
01
4
1
1
00
3
1
01 2
1
00
01
2
1
c
1
01 1
e
2
00
1 1
01
3
t
1
1
f
01
1 1
a
1
4
1
c
b
1
4
1
2
e
d
2
1
1 1
t
1
f
3
1
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
139/351
Beispiel: Dinic
s
1
a
11 11 1
101
2
1
12 4
d
b
s
13
4
202
3
1
12 2
1
00
12
2
1
e
11 1
t
1
2
2
011
3
1
12
10
2
c
a
11 1
1
1 4
1
1 2
d
e
f
1
b
2
4
2
20
3
c
2
01
f
3
1
1
t
1
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
Dinic
140/351
Beispiel: Dinic
s
1
a
11 11 1
112
2
1
23 4
d
b
s
34
4
123
3
22 2
1
011
22
2
e
11 1
t
3
1
2
121
3
1
c
a
11 1
1
2 4
f
d
11
2
1
01
4
1
b
12
3
c
e
2
11
f
3
23
1
t
2
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Dinic
Fragen
141/351
Das Fluss Problem mit Mindestfluss
Definition (Fluss)
Sei G = (V , E ) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktionen
c : E 7→ IN und c ′ : E 7→ IN. Seien s, t ∈ V Quelle und Senke.
Eine Funktion f : E 7→ IN ist eine Flussfunktion gdw.:
∀e ∈ E : c ′ (e) 6 f (e) 6 c(e)
P
P
∀v ∈ V \ {s, t} : e=(v ,w )∈E f (e) = e=(w ,v )∈E f (e)
P
P
Der Wert des Flusses ist: e=(s,w )∈E f (e) − e=(w ,s)∈E f (e)
Definition (Maximaler Fluss Problem mit Mindestfluss)
Gegeben: Graph G = (V , E ), s, t ∈ V and c : E 7→ IN
Bestimme: Maximale Flussfunktion f .
Theorem (Maximaler Fluss Problem mit Mindestfluss)
Das Problem den maximalen Fluss zu bestimmen ist in P.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Dinic
Fragen
142/351
Bemerkungen
Wenn man auf einigen Kanten einen Mindestfluss fordert, bleibt das
Problem in P.
Wenn man auf einigen Kanten einen Mindestfluss fordert, aber auch
keinen Fluss auf einer Kante zulässt wird das Problem
N P-vollständig.
Wenn man verschiedene Flüsse hat, wird das Problem
N P-vollständig.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Definitionen
Definitionen
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt planar, falls er so in die Ebene gezeichnet
(eingebettet) werden kann, daß keine zwei Kanten sich kreuzen.
Eine zusammenhängende abgeschlossene Region in dieser Einbettung
heißt Fenster.
Das unbeschränkte Fenster heißt äußeres Fenster.
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt maximal planar, falls das Hinzufügen einer
beliebigen Kante G nicht planar macht.
Fragen
143/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu planaren Graphen
Fragen
144/351
Aussagen I
Theorem
Falls G = (V , E ) planar und 2-fach zusammenhängend, dann ist jedes
Fenster ein einfacher Kreis und jede Kante trennt zwei verschiedene
Fenster.
Theorem (Euler)
Sei G = (V , E ) ein planarer Graph mit |V | = n, |E | = e, f die Anzahl der
Fenster und k die Anzahl der Zusammenhangskomponenten. Dann gilt:
n − e + f = 1 + k.
Beweis mittels einfacher Induktion
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu planaren Graphen
Fragen
145/351
Aussagen II
Theorem
Sei G = (V , E ) ein planarer Graph mit |V | = n, |E | = e und jedes
Fenster sei ein einfacher Kreis der Länge k, dann gilt:
e=k·
n−2
k −2
Beachte: k · f = 2 · e und n − e + f = 2
Theorem
Sei G = (V , E ) ein planarer Graph mit |V | = n, |E | = e und jedes
Fenster sei ein Dreieck. Dann gilt:
e = 3 · n − 6.
Falls jedes Fenster ein einfacher Kreis der Länge 4 ist, gilt:
e = 2 · n − 4.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu planaren Graphen
Fragen
146/351
Aussagen III
Theorem
K5 und K3,3 sind nicht planar.
Theorem
Sei G = (V , E ) ein planarer Graph mit |V | > 4. Dann gibt es mindestens
vier Knoten mit einem Knotengrad 6 5.
Theorem
Sei G = (V , E ) ein planarer Graph. Dann kann jedes Fenster zu einem
äußeren Fenster gemacht werden.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu planaren Graphen
Aussagen IV
Theorem
Sei G = (V , E ) ein maximaler planarer Graph mit |V | > 4. Dann ist G
drei-fach zusammenhängend.
Theorem
Jeder drei-fach zusammenhängende planarer Graph kann eindeutig auf
eine Kugel eingebettet werden.
Theorem
Ein planarer Graph kann mit geraden Linien als Kanten in die Ebene
eingebettet werden.
Fragen
147/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu planaren Graphen
Aussagen V
Definition
Das Komplement eines Graphen G = (V , E ) ist der Graph
G = (V , {(a, b); (a, b) 6∈ E , a 6= b})
Theorem
Jeder planare Graph mit mindestens 9 Knoten hat ein nicht planares
Komplement.
9 ist minimal bezüglich obiger Eigenschaft.
Fragen
148/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Definitionen zu außenplanaren Graphen
Definition
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt außenplanar, falls er so in die Ebene
gezeichnet (eingebettet) werden kann, daß keine zwei Kanten sich
kreuzen und alle Knoten auf einem Fenster liegen.
Bemerkung: Das äußere Fenster sei immer das, auf welchem alle Knoten
von G liegen.
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt maximal außenplanar, falls das Hinzufügen
einer beliebigen Kante G nicht außenplanar macht.
Fragen
149/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu außenplanaren Graphen
Fragen
150/351
Aussagen I
Theorem
Sei G = (V , E ) ein maximal außenplanarer Graph mit |V | = n > 3. Dann
hat G n − 2 innere Fenster.
Theorem
Sei G = (V , E ) ein maximal außenplanarer Graph mit |V | = n und
|E | = e. Dann gilt:
1
2·n−3=e
2
Mindestens drei Knoten haben einen Grad 6 3.
3
Mindestens zwei Knoten haben einen Grad von zwei.
4
G ist genau zweifachzusammenhängend.
Theorem
K4 und K2,3 sind keine außenplanaren Graphen.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Theoreme zu außenplanaren Graphen
Aussagen II
Theorem
Jeder außenplanare Graph mit mindestens 7 Knoten hat ein nicht
außenplanares Komplement.
7 ist minimal bezüglich obiger Eigenschaft.
Fragen
151/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Theoreme zu SP-Graphen
SP-Graphen
Theorem
K4 ist kein SP-Graph, aber der K2,3 ist ein SP-Graph.
Matchings
Fragen
152/351
Zusammenhang
Homeomorphe Graphen
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
153/351
Definition
Definition
Zwei Graphen G und H heißen homeomorph genau dann, wenn sie durch
Aufteilung von Kanten aus einem Graphen X erzeugt werden können.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Homeomorphe Graphen
Fragen
154/351
Aussagen I
Theorem
G = (V , E ) ist außenplanar genau dann, wenn kein Teilgraph
homeomorph zum K4 oder K2,3 außer dem K4 − x ist.
Theorem
G = (V , E ) ist SP-Graph genau dann, wenn kein Teilgraph homeomorph
zum K4 außer dem K4 − x ist.
Theorem
(Kuratowski) G = (V , E ) ist planar genau, dann wenn kein Teilgraph
homeomorph zum K5 oder K3,3 ist.
Theorem
Jeder außenplanarer Graph ist ein SP-Graph.
Jeder SP-Graph ist ein planarer Graph.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Homeomorphe Graphen
Aussagen I
Theorem
Jeder planare Graph ist 5-färbbar.
Theorem
Jeder planare Graph ist 4-färbbar.
Theorem
Jeder planare Graph mit höchstens drei Dreiecken ist 3-färbbar.
Fragen
155/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Homeomorphe Graphen
Aussagen II
Theorem
Ein planarer Graph ist 4-färbbar genau dann, wenn jeder hamiltonische
planarer Graph 4-färbbar ist.
Theorem
Ein planarer Graph ist 4-färbbar genau, dann wenn jeder cubische
planarer Graph ohne Brücken 3-färbbar ist.
Theorem
Das 3-Färbungsproblem ist für planare Graphen vom Knotengrad 6 4
NP-vollständig.
Fragen
156/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Homeomorphe Graphen
Fragen
157/351
Beweis (planar)
b
d
Matchings
l
h
k
i
e
g
m
f
j
a
c
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Homeomorphe Graphen
Fragen
158/351
Beweis (planar 2.Fall)
b
d
Matchings
l
h
k
i
e
g
m
f
j
a
c
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Homeomorphe Graphen
h
a
g
f
b
Fragen
159/351
Beweis (Grad 4)
e
Matchings
c
d
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Homeomorphe Graphen
Fragen
160/351
Zusammenfassung (Beweis)
Ersetze Kreuzungen von zwei Kanten durch 1. Konstruktion:
Für jede Kreuzung eine Komponente.
D.h. eine Kante mit x Kreuzungen wird durch x Komponenten
und eine Kante dargestellt.
Ersetze eine Knoten vom Grad g > 4 durch ⌈(g − 6)/2⌉ + 1
Komponenten der 2. Konstruktion.
Beachte x baumartig zusammengesetzte Komponenten haben
x + 2 gleichgefärbte Knoten vom Grad 2.
2 · (⌈(g − 6)/2⌉ + 1 + 2) > 2 · ((g − 6)/2 + 3) = g
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
161/351
The Maximal Matching Problem
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. Die Kanten e, e ′ ∈ E sind unabhängig, wenn
sie keine gemeinsame Knoten haben.
Definition (Matching)
Sei G = (V , E ) ein Graph.
M ⊆ E heißt Matching falls ∀e, f ∈ M : e ∩ f 6= ∅.
D.h. M ist Menge von unabhängigen Kanten.
Definition
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph, und es existiert eine Menge M
von |V1 | unabhängigen Kanten. Dann heißt M vollständiges Matching
von V1 nach V2 .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
162/351
Theorem von Hall
Definition
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph, und A ⊆ V1 . Wir bezeichnen:
Γ(A) = {v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}.
Theorem (Hall)
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges
Matching von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| > |A|.
Corollary
Jeder reguläre bipartite Graph G = (V1 , V2 , E ) mit |V1 | = |V2 | enthält
ein vollständiges Matching.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
163/351
Beweis (Hall)
=⇒ einfach:
Sei M Matching mit |M| = |V1 |.
Sei A ⊂ V1 beliebig.
|Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |A|.
⇐= durch Widerspruch:
Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}.
Sei a ∈ V1 \ A1
N(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching.
(N(a) = {v | {v , a} ∈ E }.
Damit Γ(A1 ∪ {a}) ⊂ A2 .
|A1 ∪ {a}| > |A2 |.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Anwendungen
Fragen
164/351
Anwendungen I
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und |Γ(A)| > |A| − d für jedes
A ⊆ V1 . Dann hat G mindestens |V1 | − d unabhängige Kanten.
=⇒ durch Widerspruch:
Sei M größtes Matching mit m = |M| < |V1 | − d
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}.
Sei a0 , a1 , · · · , ad ∈ V1 \ A1
N(ai ) ⊂ A2 , da M größtes Matching.
Damit Γ(A1 ∪ {ai }) ⊂ A2 .
m + d + 1 = |A1 ∪ {ai | 0 6 i 6 d}| > |A2 | = m.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Anwendungen
Fragen
165/351
Anwendungen II
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph mit V1 = (x1 , ..., xm ) und
V2 = (y1 , ..., yn ). Dann enthält G einen Spanngraph H mit degH (xi ) = di
und 0 6 degH (yi ) 6 1 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
X
|Γ(A)| >
di .
xi ∈A
=⇒ einfach:
Sei S Spanngraph mit |S| = |V1 |.
Sei A ⊂ V1 beliebig.
|Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|.
(v , w ) ∈ S, w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |{v
∈
V
2
P
|Γ(A)| > xi ∈A di .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Anwendungen
Fragen
166/351
Anwendungen III
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph mit V1 = (x1 , ..., xm ) und
V2 = (y1 , ..., yn ). Dann enthält G einen Spanngraph H mit degH (xi ) = di
und 0 6 degH (yi ) 6 1 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
X
|Γ(A)| >
di .
xi ∈A
⇐= durch Widerspruch:
Sei S größter Spanngraph mit |S| < |V1 |
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ S}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ S}.
Sei a ∈ V1 \ A1
N(a) ∩ A2 6= ∅, da S grP
ößter Spanngraph.
Damit |Γ(A1 ∪ {a})| < xi ∈A1 ∪{a} di .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Anwendungen
Fragen
167/351
Anwendungen IV
Definition
Sei A = (aij ) eine Matrix, i = 1, ..., r , j = 1, ..., n, mit aij ∈ {1, ..., n}. Die
Matrix A heißt lateinisches Rechteck, wenn keine zwei Elemente einer
Zeile oder einer Spalte gleich sind.
Theorem
Sei A ein r × n lateinisches Rechteck. Dann kann A zu einem n × n
lateinischen Quadrat erweitert werden.
Beweis: Übung.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Probleme
Fragen
168/351
Matchingprobleme
Definition (Maxmum Matching Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E )
Bestimme: Matching M mit: ∀e ∈ E : M ∪ {e} ist kein Matching.
Definition (Maximal Matching Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E )
Bestimme: Matching M mit: ∀M ′ : M ′ ist ein Matching =⇒ |M ′ | 6 |M|.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Probleme
Fragen
169/351
Das Maximum Matching Problem
Theorem (Maximum Matching Problem)
The Maximum Matching Problem ist in P für bipatite Graphen.
Algorithmus:
Eingabe G = (V , E )
Setze M = ∅
Solange E 6= ∅ mache
Wähle e ∈ E
Setze E := E \ {f ∈ E | e ∩ f 6= ∅}
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Probleme
Fragen
170/351
Satz von Berge
Theorem (Berge)
Ein Matching M ′ in einem Graphen G genau dann maximal, wenn es
keinen erweiternden altenierenden Weg gibt.
Beweis:
=⇒ trivial.
⇐= durch Widerspruch.
Sei M Matching mit |M| > |M ′ | und es gebe keinen
erweiternden alternierende Weg für M ′ .
Betrachte Graph H mit Kanten die nur aus
M ∪ M ′ \ (M ∩ M ′ ).
Dieser besteht aus Wegen und Kreisen.
Damit gibt es einen erweiternden alternierende Weg
für M ′ .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Probleme
Fragen
171/351
The Maximal Matching Problem
Theorem (Maximal Matching Problem)
The Maximum Matching Problem ist in P.
Algorithmus:
Eingabe G = (V , E ) bipartiter Graph
Setze M = ∅
Solange es einen alternierenden Pfad (a0 , a1 , a2 , · · · al ) in G gibt,
mit l ungerade, {a2·i , a2·i+1 } 6∈ M und {a2·i+1 , a2·i } ∈ M do
Vertauche Kanten in P:
Füge Kanten aus {a2·i , a2·i+1 } zu M und
lösche Kanten der Form {a2·i+1 , a2·i } von M
Falls G = (V , E ) kein bipartiter Graph, dann löse ungerade Kreise
rekursiv auf.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Faktoren
Definition
Sei G ein Graph. Ein k-regulär Spanngraph H von G heißt k-Faktor.
Theorem
Der Graph K2t ist die Summe von 2t − 1 1-Faktoren.
Theorem
Der Graph K2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen.
Fragen
172/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
173/351
Beweis I
Theorem
Der Graph K2t ist die Summe von 2t − 1 1-Faktoren.
Zeiche 2t − 1 Knoten a1 , a2 , · · · , a2t−1 ,als reguläres (2t − 1)-Eck.
Zeiche a2t als Spitze einer Pyramide auf die Knoten
a1 , a2 , · · · , a2t−1 .
Wähle 1-Faktor:
Kante des (2t − 1)-Ecks.
Alle parallelen Diagonalen in dem (2t − 1)-Ecks.
Eine verbleibende Kante von einzigen verbleibenden freien
Knoten zur Spitze.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
174/351
Beweis II
Theorem
Der Graph K2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen.
Zeiche 2t Knoten a1 , a2 , · · · , a2t ,als reguläres (2t)-Eck.
Zeiche a2t+1 als Spitze einer Pyramide auf die Knoten
a1 , a2 , · · · , a2t .
Wähle 2-Faktor:
Verbinde genau gegenüberliegende Knoten wie folgt:
Gehe im Zick-Zack über alle Knoten des (2t)-Ecks.
D.h.zuerst zum direkten rechten Nachbarn,
dann zum direkten linken Nachbarn (d.h. zwei Knoten zurück).
usw.
Verbinde dann die genau gegenüberliegende Knoten nochmal
über a2t+1
Nun kann man zu jeder Kante genau einem Kreis identifizieren.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
175/351
Aussagen
Definition
Sei G ein Graph. Ein Spanngraph H von G heißt [k, k ′ ]-Faktor. Falls alle
Knoten v vom H gilt: k 6 deg(v ) 6 k ′ .Der k, k ′ -Faktor heißt perfekt, fall
jede Zusammenhangskomponemte regulär ist.
Theorem (Tutte 1953)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann,
wenn für jedes S ⊂ V gilt: |S| 6 Γ(S).
Beweis (=⇒)
Sei S perfekter [1,2]-Faktor.
S1 = {x ∈ S | degS (x) = 1} und S2 = {x ∈ S | degS (x) = 2}.
Damit |S1 | = |ΓH (S1 )| und |S2 | 6 |ΓH (S2 )|
Da ΓH (S2 ) und ΓH (S1 ) disjunkt sind, gilt:
|S| = |S1 | + |S2 | 6 ΓH (S1 ) + ΓH (S2 ) = ΓH (S) 6 ΓG (S1 ).
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Beweis (Teil 2)
Theorem (Tutte 1953)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann,
wenn für jedes S ⊂ V gilt: |S| 6 Γ(S).
Beweis (⇐=):
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze: V1 = {x1′ , x2′ , · · · , xn′ } und
V2 = {x1′′ , x2′′ , · · · , xn′′ }.
Damit G ′ = (V1 , V2 , {{xi′ , xj′′ } | (xi , xj ) ∈ E ) bipatiter Graph.
Setze S ′ = {xi′ | xi ∈ S}.
Dann gilt: Γ(S ′ ) = {xi′′ | xi ∈ Γ(S)}
Damit gilt weiter: |S ′ | = |S| 6 Γ(S) = Γ(S ′ )
Damit enthällt G ′ einen 1-Faktor M (Matching).
Setze H = {{xi , xj } | {xi′ , xj′′ } ∈ M}.
Damit ist H ein [1,2]-Faktor.
Fragen
176/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
177/351
Beweis (Teil 3)
Beweis (⇐=):
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze: V1 = {x1′ , x2′ , · · · , xn′ } und
V2 = {x1′′ , x2′′ , · · · , xn′′ }.
Damit G ′ = (V1 , V2 , {{xi′ , xj′′ } | (xi , xj ) ∈ E ) bipatiter Graph.
Setze S ′ = {xi′ | xi ∈ S}.
Dann gilt: Γ(S ′ ) = {xi′′ | xi ∈ Γ(S)}
Damit gilt weiter: |S ′ | = |S| 6 Γ(S) = Γ(S ′ )
Damit enthällt G ′ einen 1-Faktor M (Matching).
Setze H = {{xi , xj } | {xi′ , xj′′ } ∈ M}.
Damit ist H ein [1,2]-Faktor.
Zeige: degH (xi ) = 1 und {xi , xj } ∈ H dann gilt degH (xj ) = 1:
Es gibt k, l: {xi′ , xk′′ }, {xl′ , xi′′ } ∈ M.
Damit gilt k = l und degH (xj ) = 1.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
178/351
Aussagen
Definition
Eine Zusammenhangskomponente von einen G heißt ungerade (bzw.
gerade), wenn sie ein ungerade (bzw. gerade) Anzahl von Knoten enthält.
Sei q(G ) die Anzahl der ungeraden Zusammenhangskomponenten von G .
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Theorem (Petersen 1891)
Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann
ist G die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor.
Theorem (Petersen 1891)
Ein Graph G = (V , E ) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann,
wenn G 2k-regulär ist.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
179/351
Beweis I (Teil 1)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (=⇒)
Sei S ⊂ V und G habe 1-Faktor.
Seien U1 , U2 , · · · Up die ungeraden Komponenten von G − S.
Von jedem Ui muss ein Kante des Faktors nach S gehen.
Sei {ui , si } diese Kante.
Damit: q(G − S) = p = |{s1 , s2 , · · · , sp }| 6 |S|.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
180/351
Beweis I (Teil 2)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (⇐=) durch Induktion über n = |V |:
Bemerkung: Für alle ungeraden n gilt die Behauptung.
Beachte dazu: S = ∅.
Induktionsanfang n = 2:
Wegen S = ∅ gibt es eine Kante.
Damit gilt der Induktionsanfang.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
181/351
Beweis I (Teil 3)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (⇐=) Induktionsschritt n > 4:
Wähle S maximal mit q(G − S) = |S|
Wir zeigen, dann G − S enthällt keine geraden Komponenten.
Seien nun U1 , U2 , · · · Up die ungeraden Komponenten von G − S.
Wir zeigen dann, dass für xi ∈ V (Ui ) der Graph Ui − {xi } einen
1-Faktor hat.
Danach finden wir einen 1-Faktor in G .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Beweis I (Teil 3a)
Zeige: G − S enthällt keine geraden Komponenten:
Annahme es gibt gerade Komponente V ′ und a ∈ V ′ , Dann gilt:
|S| + 1 = 1 + q(G − S) 6 q(G − (S ∪ {a})) 6 |S ∪ {a}| = |S| + 1
Widerspruch zur Maximalität von S.
Fragen
182/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
183/351
Beweis I (Teil 3b)
Zeige: Für xi ∈ V (Ui ) hat der Graph Ui − {xi } einen 1-Faktor.
Annahme, H = Ui − {xi } hat keinen 1-Faktor.
Nach IV existiert nun S ′ ⊂ V (H) mit q(H − S ′ ) > |S ′ |.
Zwischenüberlegung:
|V (H)| ist gerade und q(H − S ′ ) − |S ′ | ist auch gerade.
Ist |S ′ | ungerade so auch |V (H) − S ′ | und damit q(H − S ′ ).
Ist |S ′ | gerade so auch |V (H) − S ′ | und damit q(H − S ′ ).
Damit gilt: q(H − S ′ ) > |S ′ | + 2.
|S| + |S ′ | + 1 = |S ∪ S ′ ∪ {xi }| > q(G − (S ∪ S ′ ∪ {xi }))
q(G − (S ∪ S ′ ∪ {xi })) = q(G − S) − 1 + q(H − S ′ )
q(G − S) − 1 + q(H − S ′ ) > |S| − 1 + |S ′ | + 2 = |S| + |S ′ | + 1
Widerspruch zur Maximalität von S.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Beweis I (Teil 3c)
Zeige: es gibt 1-Faktor in G .
Finde Matching M mit |M| = p zwischen S und den
U1 ∪ U2 ∪ · ∪ Up .
Setze: U = {U1 ∪ U2 ∪ · ∪ Up }
Setze: B = (U, S, {{Ui , s} | ∃ui ∈ V (Ui ) : {ui , s} ∈ E (G )}).
Zeige nun, B hat perfektes Matching.
Sei nun X ⊂ U und Y = ΓB (X ), dann gilt
|X | 6 q(G − Y ).
Zusammengefasst: |X | 6 q(G − Y ) 6 |Y | = |ΓB (X )|.
Damit hat B ein perfektes Matching.
Damit hat G einen 1-Faktor.
Fragen
184/351
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
185/351
Beweis II
Theorem (Petersen 1891)
Ein Graph G = (V , E ) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann,
wenn G 2k-regulär ist.
=⇒ trivial.
⇐= Über Eulergrapheigenschaft und Induktion
Falls k = 1, so besteht G aus disjunkten Kreisen.
G besitzt o.E.d.A. einen Eulerkreis.
Richte die Kanten nach dem Eulerkreis aus
(Knotenmenge F ).
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze:
V1 = {x1′ , x2′ , · · · , xn′ } und V2 = {x1′′ , x2′′ , · · · , xn′′ }.
Damit G ′ = (V1 , V2 , {{xi′ , xj′′ } | (xi′ , xj′′ ) ∈ F )
regulärer bipatiter Graph vom Grad k.
Dieser hat ein perfektes Matching.
Dies definiert einen 2-Faktor in G .
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Faktoren in Graphen
Fragen
186/351
Beweis III
Theorem (Petersen 1891)
Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann
ist G die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor.
Sei A ⊂ V .
Seien U1 , U2 , · · · , Up die ungeraden Komponenten in G − A.
Zu jeder Komponente in Ui gibt es mindesten 2 Kanten in G , die Ui
und A verbinden.
Wegen der 3-Regularität sind es sogar mindestens 3 Kanten.
Damit gibt es mindestens 3 · q(G − A) Kanten von G − A nach A.
P
3|A| = d(A, G ) := x∈A d(x, G ) > 3 · q(G − A).
q(G − A) 6 |A|.
Wende Satz von Tutte an.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Posets
Fragen
187/351
Posets
Definition
Sei P eine finite Menge und < eine transitive anti-reflexible Relation. Das
Paar (P, <) heißt teilweise geordnete Menge (Poset). Eine Teilmenge
A ⊂ P heißt Antikette, wenn x < y impliziert {x, y } 6∈ A. Weiterhin,
heißt C ⊂ P Kette, wenn für alle x, y ∈ C entweder x 6 y oder x > y
gilt.
Theorem (Dilworth)
Sei P eine Poset und m ist die maximale Kardinalität der Antikette in P.
Dann ist P eine Vereinigung von m Ketten.
Theorem (Sperner)
n
Die Kardinalität der maximalen Antikette in Q ist
n
⌊n/2⌋
.
Theorem (Leader 1995)
n
Sei A, B ⊆ Q mit |A| =
Pk
n
i=1 i
Pl
, |B| = i=1
n
i
und k 6 l < n/2.
Zusammenhang
Flüsse
Planare Graphen
Matchings
Fragen
188/351
Fragen
Wie bestimmt man ob ein Graph k-fach zusammenhängend ist?
Wie bestimmt man einen ausfüllenden Fluss.
Welchen Zusammenhang besteht zwischen ausfüllenden Fluss und
dem minimalen Cut.
Wie sind die Laufzeiten der verschiedenen Flussalgorithmen?
Welche Eigenschaften haben planare Graphen?
Welche Beziehung gibt es zwischen Knotenanzahl und Kantenanzahl
bei planaren Graphen?
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen planaren, außenplanagen
und SP Graphen?
Wie schwer ist die 3-Färbung eines planaren Graphen?
Wie bestimmt man ein Matching?
Welche Aussagen zu Faktoren gibt es?