Projekt 7 Lippmann–Schwinger–Gleichung: Die

Projekt 7
Lippmann–Schwinger–Gleichung:
Die Schrödingergleichung als
Integralgleichung (Reinhard Alkofer)
7.1
Problemstellung
Im Projekt 5 haben wir uns mit dem zentralen Problem der Quantenmechanik, der
Lösung der stationären Schrödingergleichung, befasst. Wir erreichten dies durch Darstellung des Hamiltonoperators in einem vollständigen Funktionensystem und Diagonalisation der daraus resultierenden Hamiltonmatrix. Diese Methode hat den Vorteil, dass
man das ganze Spektrum niederenergetischer Zustände erhält. Insbesondere konnten
wir Bindungszustände, und zwar sowohl ihre Energien wie auch ihre Wellenfunktionen,
präzise berechnen. Allerdings hat man wenig Kontrolle über den genauen Wert der
berechneten Eigenenergien im Kontinuum der Streuzustände. Weiterhin verlangt die
Berechnung von Streuzuständen mit grossen Energien einen hohen Rechenaufwand, da
dann der Hamiltonoperator durch sehr grosse Matrizen genähert werden muss: Der
Ultraviolett–Cutoff im Impulsraum muss sehr viel grösser als der Impuls des zu beschreibenden Zustands gewählt werden, um numerische Fehler klein zu halten.
Die Schrödingergleichung kann auch direkt als Differentialgleichung gelöst werden.
Es ist jedoch offensichtlich, dass dies bei den stark oszillierenden Streuwellenfunktionen, die zu hohen Energien gehören, eine kleine Schrittweite verlangt und numerisch
unvorteilhaft ist.
Für die Berechnung der Streuzustände erweist es sich deswegen als vorteilhaft, die
Schrödingergleichung in eine Integralgleichung, die sogenannte Lippmann–Schwinger–
Gleichung, umzuschreiben. Diese Umformulierung sowie die Lösung dieser Integralgleichung wird im folgenden beschrieben.
7.2
Ableitung der Lippmann–Schwinger–Gleichung
In diesem Abschnitt fassen wir die Ableitung der Lippmann–Schwinger–Gleichung aus
der Schrödingergleichung kurz zusammen. Wie in Projekt 5 nehmen wir ein sphärisch
symmetrisches Potential V (r) an, dass für r → ∞ schneller als 1/r gegen Null geht.
1
2
PROJEKT 7. LIPPMANN–SCHWINGER–GLEICHUNG:
Der Hamiltonoperator besitzt also die Form
H = H0 + V (r),
(7.1)
wobei H0 in unserem Fall die kinetische Energie des streuenden Teilchens beschreiben
soll.1 Im Projekt 5 hatten wir als Eigenfunktionen zu H0 Produkte aus sphärischer
Besselfunktion und Kugelflächenfunktion gewählt. Allerdings verletzt die einfallende
(gerichtete) Streuwelle mit definiertem Impuls die sphärische Symmetrie. Deswegen
wählen wir als Streuwellenfunktion bei verschwindendem Potential eine ebene Welle
eikx . Die Lösung zu V 6= 0 hat für r → ∞ dann die allgemeine Form
ψk+ (x) ∝ eikx + ausl. Welle = eikx + fk∗ (Ω)
eikr
,
r
(7.2)
die die einlaufende ebene Welle und eine auslaufende Kugelwelle beschreibt. Die mögliche andere Lösung der Schrödingergleichung
ψk− (x) ∝ eikx + einl. Welle
ist durch die von uns vorgegebenen Randbedingungen der Streuung ausgeschlossen. Aus
der Quantenmechanik, siehe auch Abschnitt 5.5, wissen wir, dass der Streuquerschnitt
direkt aus der Streuamplitude berechnet werden kann,
dσ
= |fk∗ (Ω)|2 .
dΩ
(7.3)
Die Streuamplitude kann wiederum mittels der Schrödingergleichung aus der Streuwellenfunktion ψk+ und dem Potential bestimmt werden. Es gilt:
fk∗ (Ω) = −
m
2πh̄2
Z
0 0
d3 x0 eik x V (|x0 |)ψk+ (x0 ) ,
(7.4)
x
der Impulsvektor mit dem Betrag des Impulses h̄k und der Rich|x|
tung des Ortsvektors x ist. Somit ist der Winkel zwischen k0 und k identisch zum
Winkel zwischen x und k, und beide Vektorpaare sind gleich gut geeignet den Raumwinkel Ω zu definieren.
Wir bezeichnen mit |k0 i den Eigenzustand zum Impulsoperator mit Eigenwert h̄k0 .
0
|k i ist auch Eigenzustand zu H0 . Es gilt somit
wobei h̄k0 = h̄|k|
H0 |k0 i = E|k0 i ,
und
E = h̄2 k 02 /2m = h̄2 k 2 /2m
0
(7.5)
hk0 |xi = eik x .
(7.6)
(H0 + V )|ψk i = E|ψk i
(7.7)
Die Idee ist nun, aus der Schrödingergleichung
1
Die hier beschriebene Methode eignet sich für jeden analytisch bzw. algebraisch lösbaren Hamiltonoperator H0 . Insbesondere sollte man bei Vorliegen eines Coulomb-Anteils des Potentials,
VCoul (r) = const./r, diesen Anteil zu H0 hinzunehmen und den “freien” Anteil der Streuwelle als
Coulomb-Streuwellenfunktion (siehe z.B. Anhang B1 in A. Messiah, Quantenmechanik) beschreiben.
7.3. DER ÜBERGANGSOPERATOR T
3
eine Gleichung für den Streuzustand |ψk i unter Berücksichtigung der Randbedingungen
der Streuung abzuleiten. Dazu schreiben wir die Schrödingergleichung in der Form
(E − H0 )|ψk i = V |ψk i mit der Absicht, den Operator E − H0 zu invertieren. Hierzu
muss man jedoch die homogene Lösung
(E − H0 )|ki = 0
berücksichtigen:
|ψk i = |ki +
(7.8)
1
V |ψk i
E − H0
(7.9)
für alle Eigenwerte von H0 ungleich E. Da H0 aber ein kontinuierliches Spektrum besitzt, und somit immer ein Eigenwert den Wert E annehmen kann, ist es notwendig, die
1
Singularität
im mathematischen Sinn eindeutig zu definieren. In der QuantenE − H0
mechanik wird gezeigt, dass diese Singularität durch die gewählten Randbedingungen
eindeutig festgelegt wird. Da die Schrödingergleichung zwei Lösungen zulässt, gibt es
rein mathematisch betrachtet zwei wohldefinierte Möglichkeiten:
|ψk± i = |ki + lim+
→0
1
V |ψk± i.
E − H0 ± i
(7.10)
Im weiteren wollen wir wegen der gegebenen Randbedingungen nur den Zustand |ψk+ i
betrachten. Die Gleichung (7.10) ist die Lippmann–Schwinger–Gleichung in Operatorform.
7.3
Der Übergangsoperator T
Um die abstrakte Lippmann–Schwinger–Gleichung (7.10) in eine Integralgleichung umzuformulieren, definieren wir den Übergangsoperator T vom freien Zustand |ki in den
Streuzustand |ψk+ i mittels der Relation
T |ki = V |ψk+ i .
(7.11)
Durch Bilden des Erwartungswerts zwischen Impulseigenfunktionen erhält man hieraus
die Übergangsmatrix T (k0 , k):
0
0
0
T (k , k) := hk |T |ki = hk |V
|ψk+ i
=
Z
3
0
d xhk |xihx|V
|ψk+ i
=
Z
0
d3 xeik x V (|x|)ψk+ (x) .
(7.12)
Hierbei haben wir durch Benutzen von Ortseigenzuständen |xi die Matrix T (k , k) als
Integral ausdrückt. Aus den Gleichungen (7.3), (7.4) und (7.12) folgt unmittelbar, dass
wir den Streuquerschnitt auch durch die Übergangsmatrix ausdrücken können:
0
m2
dσ
= 2 4 |T (k0 , k)|2 .
dΩ
4π h̄
(7.13)
Hieraus ersehen wir, dass die Berechnung der Übergangsmatrix T (k0 , k) ausreicht, um
physikalische Observable zu berechnen.
4
PROJEKT 7. LIPPMANN–SCHWINGER–GLEICHUNG:
Multiplizieren wir die Lippmann–Schwinger–Gleichung (7.10) mit V und benutzen
die Definition des Übergangsoperators T , V |ψk+ i = T |ki, so erhalten wir
T |ki = V |ki + V lim+
→0
1
T |ki
E − H0 + i
(7.14)
bzw. die Operatorgleichung
T =V +V
1
T
E − H0 + i
mit → 0+ .
(7.15)
Durch Erwartungswertbildung mit den Impulseigenzuständen |ki erhält man
hk0 |T |ki = hk0 |V |ki +
Z
d3 k 00 0
1
hk |V |k00 ihk00 |
T |ki ,
2 002
3
(2π)
E − h̄ k /2m + i
→ 0+ .
(7.16)
Hierbei ist das Matrixelement hk |V |ki identisch zur Fourier–Transformierten des Potentials
0
V (k0 − k) = hk0 |V |ki =
Z
d3 xhk0 |xihx|V |ki =
Z
0
d3 xV (|x|)e−i(k −k)x .
(7.17)
Mit dieser Form für das Matrixelement hk0 |V |ki sieht man, dass die Gleichung (7.16)
eine Integralgleichung für die Übergangsmatrix T (k0 , k) = hk0 |T |ki ist:
T (k0 , k) = V (k0 − k) +
Z
1
d3 k 00
T (k00 , k) ,
V (k0 − k00 )
2 002
3
(2π)
E − h̄ k /2m + i
→ 0+ .
(7.18)
Dies ist unsere gesuchte Integralgleichung, d.h. eine konkrete Form der Lippmann–
Schwinger–Gleichung (7.10). Sie hat jedoch noch zwei gravierende Nachteile.
7.4
Die Integralgleichung für K
Erstens, die Gleichung (7.18) berücksichtigt nicht die sphärische Symmetrie des Potentials. In einem Zentralpotential ist folgende Entwicklung der T –Matrix,
T (k0 , k) = 16π 2
X
Tl (k 0 , k)Ylm∗ (Ωk0 )Ylm (Ωk ) = 4π
lm
X
(2l + 1)Tl (k 0 , k)Pl (cos θ), (7.19)
l
mit cos θ = k0 · k/k 0 k hilfreich. Der Zusammenhang mit den Streuphasen, die durch
eine analoge Entwickling der fk (Ω) definiert sind2 , ist dann offensichtlich:
Tl (k, k) = −
h̄2 iδl (k)
e
sin δl (k).
2mk
(7.20)
Somit können die Streuphasen z.B. mittels der Beziehung
ImTl (k, k)
δl (k) = atan
ReTl (k, k)
2
!
vergleiche Abschnitt 5.5, insbesondere Gleichung (5.30): f (θ) =
(7.21)
1
k
P∞
l=0 (2l
+ 1)eiδl sin δl Pl (cos θ)
7.4. DIE INTEGRALGLEICHUNG FÜR K
berechnet werden.
Benutzt man noch
V (k0 − k) = 4π
X
5
(2l + 1)Vl (k 0 , k)Pl (cos θ)
(7.22)
l
und die Orthonormalität der Kugelfunktionen für die Winkelintegration, so erhält man
für jedes l die eindimensionale Integralgleichung
Z
1
2
0
0
Tl (k 00 , k) , → 0+ .
dk 00 k 002 Vl (k 0 , k 00 )
Tl (k , k) = Vl (k , k) +
2 002
π
E − h̄ k /2m + i
(7.23)
Zweitens, die Übergangsmatrix ist komplex, und zwar ist sowohl Gleichung (7.18)
als auch Gleichung (7.23) eine komplexe Gleichung. Eine Zerlegung in Real– und Imaginärteil kann mittels der Formel (P bedeutet Hauptwert)
1
1
lim+
=P
− iπδ(E − h̄2 k 002 /2m)
(7.24)
2 002
2 002
→0 E − h̄ k /2m + i
E − h̄ k /2m
vorgenommen werden. Mit E = h̄2 k 2 /2m und daraus folgend δ(E − h̄2 k 002 /2m) =
(m/(h̄2 k))δ(k − k 00 ) erhält man:
Z
2
1
Tl (k 00 , k)
Tl (k 0 , k) = Vl (k 0 , k) +
dk 00 k 002 Vl (k 0 , k 00 )P
2 002
π
E − h̄ k /2m
mk
− 2i 2 Vl (k 0 , k)Tl (k, k)
(7.25)
h̄
Wir definieren die reelle K–Matrix als die Größe, die die reelle Gleichung
Z
1
2
0
0
Kl (k 00 , k)
(7.26)
dk 00 k 002 Vl (k 0 , k 00 )P
Kl (k , k) = Vl (k , k) +
2 002
π
E − h̄ k /2m
erfüllt. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Diagonalelemente der T –Matrix aus der
K–Matrix bestimmt werden können:
Kl (k, k)
Tl (k, k) =
.
(7.27)
1 + 2imkKl (k, k)/h̄2
Die Streuphase kann damit unter Benutzung des Ausdrucks (7.21) auch direkt aus
den Diagonalelementen der K–Matrix berechnet werden:
!
2mk
Kl (k, k) .
δl (k) = −atan
h̄2
(7.28)
Mit den Gleichungen (7.26) und (7.28) können wir die Streuphasen bestimmen.
Bei der Lösung der Gleichung (7.26) gibt es jedoch noch ein Problem. Da E =
2 2
h̄ k /2m, ist der Integrand bei k 00 = k singulär. Benutzt man jedoch
Z ∞
1
dk 00 P 2 2
=0
0
h̄ k /2m − h̄2 k 002 /2m
kann man durch Subtraktion einer Null in der Gleichung (7.26) die Singularität explizit
entfernen:
Kl (k 0 , k) = Vl (k 0 , k) +
2Z
2m/h̄2 002
0
00
00
2
0
dk 00 2
k
V
(k
,
k
)K
(k
,
k)
−
k
V
(k
,
k)K
(k,
k)
.
l
l
l
l
π
k − k 002
(7.29)
6
PROJEKT 7. LIPPMANN–SCHWINGER–GLEICHUNG:
7.5
Numerische Methode
7.5.1
Numerische Integration
In einem ersten Schritt bilden wir das Integral
die Substitution
π
(1 + z) ,
k = tan
4
00
Z
∞
0
R∞
0
dk 00 auf ein endliches Intervall durch
π
dk →
4
00
Z
1
−1 cos2
dz
( π4 (1
+ z)
(7.30)
ab.3 Es ist hierbei nicht nötig, im Programm den Integranden I(k, k 0 , k 00 ) in einen
˜ k 0 , z) umzuschreiben! Nach der Stützstellenwahl in z benützt man
Integranden I(k,
einfach die Zuordnung für k 00 = tan π4 (1 + z) und beläßt den Integranden in der
Form I(k, k 0 , k 00 ).
Numerisch berechnet man ein Integral mittels der Approximation
Z
1
−1
dzf (z) ≈
N
X
wi f (zi )
(7.31)
i=1
mit einer Optimierung von Gewichten wi und Stützstellen zi , um mit möglichst kleinen
N eine möglichst hohe Genauigkeit zu erzielen. Mit dem Gauß–Legendre–Verfahren
werden alle Polynome vom Grad ≤ 2N − 1 exakt auf dem Intervall [-1,1] integriert.
Hierzu wird die Orthogonalität der Legendre–Polynome benutzt. Die Stützstellen zi
ergeben sich aus den Nullstellen des N –ten Legendre–Polynoms,
PN (zi ) = 0,
(7.32)
wi Pl (zi ) = 2δl0 ,
(7.33)
die Gewichte wi aus der Bedingung
X
i
die durch
wi =
2
(1 −
(7.34)
zi2 )(PN0 (zi ))2
gelöst wird.
In einem ersten Schritt berechnet man die Legendre–Polynome PN (z) mittels der
Rekursionsrelation
(l + 1)Pl+1 (z) = (2l + 1)zPl (z) − lPl−1 (z)
(7.35)
unter Benutzung von P0 (z) = 1 und P1 (z) = z. Eine Nullstellensuche ergibt dann die
Stützstellen zi . Die Gleichung
(z 2 − 1)PN0 (z) = N (zPN (z) − PN −1 (z))
ermöglicht die Berechnung der Gewichte wi .
3
Eine andere Möglichkeite wäre z.B. k 00 =
1+z
1−z ,
R∞
0
dk 00 → 2
R1
dz
−1 (1−z)2 .
(7.36)
7.5. NUMERISCHE METHODE
7.5.2
7
Lösung durch Iteration
Die diskrete Stützstellenwahl führt zu einer Diskretisierung der Integralgleichung, sie
wird ein algebraisches Gleichungssystem:
Kl,ij = Vl,ij +
1
mX
1
wn
(kn2 Vl,in Kl,nj − kj2 Vl,ij Kl,jj ).
2
2
2
π
2
k
−
k
h̄ n
cos ( 4 (1 + zn ) j
n
Bei j = n ersetze man
1
2
2 (kn Vl,in Kl,nj
kj2 −kn
(7.37)
− kj2 Vl,ij Kl,jj ) durch −Vl,ij Kl,jj .
Die Iteration der Integralgleichung entspricht der Aufsummation der Bornschen
Reihe: Startet man mit K (0) = 0 erhält man K (1) = V und hieraus (in symbolischer
1
1
(1)
= V + V E−E
Schreibweise) K (2) = V + V E−E
0K
0 V . Damit folgt
1
1
1
(3)
K = V + V E−E 0 V + V E−E 0 V E−E 0 V usw.
Dies führt zum richtigen Ergebnis, so lange das betrachtete Potential keinen Bindungszustand besitzt.
Noch eine Bemerkung: Wenn Sie δl (k) bzw. Kl (k, k) an Punkten berechnen wollen,
die nicht einer Stützstelle entsprechen, dann benützen Sie die Integralgleichung und
nicht eine Interpolation.
7.5.3
Lösung durch Matrixinversion
Für den allgemeinen Fall, d.h. bei Vorliegen eines Bindungszustands, lässt sich die
Gleichung (7.37) mittels Matrixinversion lösen (Nystrom–Methode).
Hierzu definieren wir die Matrizen
(jl)
Din :=
m
1
1
k 2 V (1 − δjn ).
2 wn
2
2 n l,in
π
2
k
−
k
h̄
cos ( 4 (1 + zn ) j
n
(7.38)
Die Matrixindizes sind i und n, der Drehimpulsindex l sowie der Index j zum Impuls k
definieren verschiedene Matrizen D.
Es gelten dann die Matrix-Gleichungen
(jl)
Kl,ij = Vl,ij + Din Kl,nj
bzw. für festes j und l
(jl)
K̃i
(jl)
= Ṽi
(jl)
+ Din K̃n(jl)
(7.39)
(7.40)
wobei die “Vektoren” K̃ und Ṽ in offensichtlicher Weise aus den Matrizen Kl,ij und
Vl,ij hervorgehen. In Matrix-Schreibweise hat man somit
(11 − D)K̃ = Ṽ ,
(7.41)
und mittels Inversion von (11 − D) kann man die K̃ für gegebenes j und l aus den Ṽ
berechnen. Wiederholt man dies bei festem l für alle j, so erhält man die vollständige
K-Matrix.
8
7.6
PROJEKT 7. LIPPMANN–SCHWINGER–GLEICHUNG:
Aufgaben
Aufgabe 7.1:
Berechnen Sie (analytisch) die Fourier–Transformierte des Potentials
V (r) =
X
i
e−µi r
V0i
.
µi r
Bestimmen Sie hieraus mittels der Orthogonalität der Legendre–Polynome die Multipolterme Vl (k 0 , k), siehe Gleichung (7.22).
Hinweis:
P
k 2 +k 02 +µ2i
1
Vl (k 0 , k) = i Vµ0ii 2kk
) mit den irregulären Legendre–Funktionen Ql (α).
0 Ql (
2kk 0
1
α+1
Für α > 1 gilt Q0 (α) = 2 ln( α−1 ) und Q1 (α) = αQ0 (α) − 1 sowie die Rekursion (7.35).
Aufgabe 7.2:
Wieviele Stützstellen brauchen Sie im Gauß–Legendre–Verfahren, um die Integrale
Z
1
0
dx ln2 (1 + x) = 2 ln2 (2) − 4 ln2 (2) + 2
Z
π2
1
dx ln(1 − x) = −ζ(2) = −
x
6
0
−6
mit einer relativen Genauigkeit von 10 zu berechnen?
Wieviele Stützstellen wären mit der einfachen Trapezregel notwendig?
1
Aufgabe 7.3:
Ein Nukleon (mc2 = 940MeV) streue am Potential
V (r) = V0
e−2µr − e−µr
µr
mit V0 = 200MeV und µ = 2.5fm−1 .
Lösen Sie die Lippmann–Schwinger–Gleichung für die K–Matrix (7.29) iterativ für
l = 0 und l = 1, und berechnen Sie die Streuphasen aus Gleichung (7.28).
(Hinweis: mV0 /h̄2 = mc2 V0 /(h̄c)2 = 4.844fm−2 mit h̄c = 197MeVfm. Berechnen Sie
Kl /V0 in Einheiten fm−3 .)
Aufgabe 7.4 (weiterführend):
Ein realistisches Potential für die Nukleon–Nukleon–Streuung ist
!
e−4µr
e−7µr
e−µr
− 1650.6
+ 6482.2
V (r) = −10.463
MeV
µr
µr
µr
mit µ = 0.7fm−1 . Lösen Sie die zugehörige Lippmann–Schwinger–Gleichung für die K–
Matrix mit der Nystrom–Methode, und berechnen und diskutieren Sie die Streuphasen
für l = 0, 1 und l = 2.
7.7. LITERATUR
7.7
9
Literatur
Eine Einführung in die Streutheorie ist in Kapitel 18 von
• F. Schwabl, Quantenmechanik (QM I), Springer-Lehrbuch,
gegeben. Etwas ausführlicher ist in Kapitel 19 von
• A. Messiah, Quantenmechanik, deGruyter
die Streutheorie dargestellt.
Die Lippmann–Schwinger–Gleichung für die T – und die K–Matrix werden in
• W. Glöckle, The quantum mechanical few-body problem, Texts and monographs
in physics, Springer 1983.
diskutiert.
Alle hier verwendeten numerischen Methoden und Algorithmen werden in
• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, Numerical Recipes in C++: The
art of scientific computing,
beschrieben. Von diesem Buch gibt es mehrere Versionen (Fortran, F90, C, C++, usw.).