Mechanische Schwingungen II

Übungsaufgaben zu mechanischen Schwingungen II
2004
Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit je D = 40 N/m und einer
schwingenden Masse m = 800 g.
a) M sei um sm = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit to = 0,0 s losgelassen. Nach
welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?
b) Berechne die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der
Bewegungsgleichungen.
c) Berechne die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal
s1 = +5,0 cm beträgt.
Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.
a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?
b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?
Aufgabe 3)
Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.
Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der
rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.
a) Berechne die rücktreibende Kraft.
b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?
c) Berechne die Periodendauer der nun folgenden gedämpften
Schwingung.
s
0
∆h
Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit je D = 40 N/m und einer
schwingenden Masse m = 800 g.
a) M sei um sm = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit to = 0,0 s losgelassen. Nach
welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?
b) Berechne die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der
Bewegungsgleichungen.
c) Berechne die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal
s1 = +5,0 cm beträgt.
Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.
a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?
b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?
Aufgabe 3)
Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.
Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der
rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.
a) Berechne die rücktreibende Kraft.
b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?
c) Berechne die Periodendauer der nun folgenden gedämpften
Schwingung.
s
∆h
0
Übungsaufgaben zu mechanischen Schwingungen II
2004
Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit D1 = D2 = 40 N/m und einer
schwingenden Masse m = 800 g.
a) m sei um sm = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit to = 0,0 s losgelassen. Nach
welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?
b) Berechnen Sie die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der
Bewegungsgleichungen.
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal
s2 = +5,0 cm beträgt.
a)
Gegeben: D1 = 40 N/m;
Gesucht: t1 = ¼ T
Lösung:
=>
m = 0,80 kg
ω = 2·π / T =
D/m
T = 2 · π · m/D
Für hor. Federpendel ist D = D1 + D2 = 80 N/m
=> T = 0,63 S
=>
b)
t1 = 0,16 s
Gesucht: vmax = v(t1)
Lösung mit Bewegungsgleichungen:
s(t1) = - sm · cos(ωt1)
mit ω =
v(t1) = + sm · ω · sin(ωt1) = 2,0 m/s
D/m = 10 1/s
Lösung über EES:
EB, max =
Esp,max
2
½ m vm = ½ D sm2
vm2 = D/m · sm2
=> vm = 2,0 m/s
c) Gesucht:
EES:
v(t2) wenn s2 = + 5,0 cm
EB,2 = Eges - Eelong, 2
½ m v22 = ½ D sm2 - ½ D s22 = ½ D · (sm2 - s22)
v22 = D/m · (sm2 - s22)
v2
= 1,9 m/s
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Übungsaufgaben zu mechanischen Schwingungen II
2004
Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.
a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?
b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?
a)
α/2π = s / 2πr
=> α = s/r = 1,33 entspricht 7,6°
α
Der Winkel ist so klein, dass man in guter Näherung
x = s setzen kann.
Dann gilt:
F/Fg = x/l = s/l
=>
F = Fg/l · s
=> lineares Kraftgesetz mit D = Fg/l
=> Schwingung darf als harmonisch betrachtet werden.
x
s
F
Fg
b)
W = ½ D sm2
W = 0,10 J
vm =
mit
D/m · sm
D = m·g / l
α
(s. Afg. 1)
vm = 0,511 m/s
Aufgabe 3)
Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.
Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der
rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.
a) Berechnen Sie die rücktreibende Kraft.
b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?
c) Berechnen Sie die Periodendauer der nun folgenden gedämpften
Schwingung.
a) F = Fg = m · g = ρ ·V· g
F = 0,18 +
mit
V = π·r2·h
s
∆h
(ρ = 1000 kg/m3)
b) Da F ~ h und h = 2·s liegt ein lineares Kraftgesetz vor.
ω = 2·π·f =
c)
=>
f=
D/m
D/m / 2π
Mit D = F/s = 0,18.. N / 30 mm = 6,16.. N/m
und m = ρ · V = 1,0 kg/l · 0,06 l = 0,06 kg
ergibt sich:
f = 1,6 Hz => T = 0,625s
0
Übungsaufgaben zu mechanischen Schwingungen II
2004
Aufgabe 4)
Bei älteren Autos kann man bemerken, dass bei gewissen Drehzahlen plötzlich laute Geräusche
auftreten, die bei anderen Drehzahlen wieder verschwinden. Erklären Sie dieses Phänomen.
Ein PKW enthält viele schwingungsfähige Systeme (Blechstücke,
Kunststoffverkleidungen . . . ) mit jeweils spezifischen Eigenfrequenzen. Sobald die
Motordrehzahl in die Nähe dieser Eigenfrequenzen kommt tritt Resonanz auf, die
entsprechenden Teile schwingen mit großer Amplitude und erzeugen dabei Geräusche.
Aufgabe 5)
Für einen guten Fahrkomfort enthalten alle modernen Fahrzeuge nicht nur eine Federung, sondern
auch Schwingungsdämpfer. Welchen Sinn haben diese und warum könnten Fahrten ohne
Schwingungsdämpfer ungemütlich bis gefährlich werden?
Aufgabe 6)
Ein Wagen (m = 500 g) hängt als horizontales Federpendel
zwischen zwei gleichen Federn. Die rechte Feder wird mit
variabler Frequenz um einige mm hin- und her bewegt. Die
Messung der Amplitude in Abhängigkeit von der Frequenz
ergibt nebenstehendes Diagramm.
a) Zeichnen Sie das dazugehörende Phasendiagramm.
b) Berechnen Sie die Federkonstanten der beiden Federn.
a) Phasendiagramm:
π
sm
1,0
2,0
ferr in Hz
1,0
2,0
ferr in Hz
φ
π/2
b) Berechnung von D1 = D2
ω =
=>
D/m
D = ω2 · m = (2πf)2 · m
Die Eigenfrequenz f erhält man aus dem Diagramm: f = 1,4 Hz.
=>
da
D = 38,6… N/m
D1 = ½ · D folgt:
D1 = 19 +/m