Die Entfernung des Mondes und die Gestalt der Erde – Zwei

Didaktik der Physik
Frühjahrstagung Bochum 2009
Die Entfernung des Mondes und die Gestalt der Erde
– Zwei internationale Beobachtungsprojekte im Rahmen des
Internationalen Jahres der Astronomie –
Udo Backhaus
Fakultät für Physik, Universität Duisburg-Essen, Universitätsstrasse 2, 45117 Essen
Mit den Projekten The Distance to the Moon“ und The Position of the Sun and the
”
”
Shape of the Earth“ wollen wir versuchen, Menschen auf der ganzen Welt anzuregen, auf die
Bewegungen von Sonne und Mond über den lokalen Horizont zu achten und ihre Veränderung
im Laufe einiger Wochen bewusst wahrzunehmen. Die expliziten Projektaufgaben bestehen
darin, zu fest vereinbarten Zeitpunkten (24. April bzw. 30./31. Mai) die Position der Sonne
über dem Horizont mit einem Schattenstab so genau wie möglich zu messen bzw. den Mond
vor dem Hintergrund des Sternenhimmels mit einfachen Digitalkameras zu fotografieren. Der
Vergleich der international gewonnenen Ergebnisse wird die Gestalt der Erde und die Entfernung des Mondes sichtbar und messbar machen.
1 Allgemeine Ziele
Die Hauptziele des Internationalen Jahres der
Astronomie 2009 [3] sind
6. to improve the gender-balanced representation of scientists at all levels and
7. to facilitate the preservation and protection
of the world’s cultural and natural heritage of
dark skies.
1. to increase scientific awareness among the general public through the communication of
Die hier zu beschreibenden Projekte fühlen sich
of scientific results in astronomy and related
insbesondere den Zielen 1, 2 und 4 verpflichtet. Sie
fields, as well as the process of research and
sollen insbesondere
critical thinking that leads to these results,
• zu einer Verringerung der Diskrepanz beitra2. to promote widespread access to the universal
gen, die zwischen dem, was Menschen wissen
knowledge of fundamental science through the
(bzw. zu wissen glauben), und dem, was sie
excitement of astronomy and sky-observing
selbst erfahren, durchdacht und verstanden
experiences,
haben, besteht,
3. to empower astronomical communities in developing countries,
4. to support and improve formal and informal
science education in schools as well as through
science centres, planetariums and museums,
to develop educational material and to distribute it all over the world,
5. to facilitate new networks and strengthen
existing ones,
• die Aufmerksamkeit auf Vorgänge am Himmel richten, die mit bloßen Augen leicht zu
beobachten sind,
• die Erfahrung vermitteln, dass sich astronomische Vorgänge oft erst bei langfristiger Beobachtung erweisen, und
• etwas von der Faszination vermitteln, Teil eines internationalen Netzwerkes zu sein, das an
einem gemeinsamen Ziel arbeitet.
2
Grundlagenmaterial, Messergebnisse und Anlei- Veränderung im Laufe von Tagen, Wochen und Motungen und Hilsmittel zu ihrer Auswertung sol- naten bemerken.
len via Internet allen Beteiligten und einer breiten
internationalen Öffentlichkeit zugänglich gemacht
2.2 Die Gestalt der Erde
werden.
Durch die Beobachtung und Messung von Schatten
wird es zusätzlich möglich, die eigenen Beobachtungen
mit denen von Beobachtern zu vergleichen, die
2.1 Der Lauf der Sonne
weit entfernt leben. Auf diese Weise kann man beDer tägliche Lauf der Sonne beeinflusst entschei- merken, dass an entfernten Orten zu derselben Zeit
dend unser Leben. Trotzdem sind die meisten Men- die Sonne anders am Himmel steht, als man selbst
schen nur wenig oder gar nicht mit ihm vertraut. beobachtet.
Es ist das Ziel dieses Projektes, die Teilnehmer zu
veranlassen, den Lauf der Sonne am Himmel bewusst wahrzunehmen und mit den damit verbundenen Phänomenen (z. B. der Bewegung von Schatten, der Tageslänge, den Jahreszeiten, den Auf- und
Untergangspunkten der Sonne am Horizont und der
Beziehung zwischen der (lokalen) Sonnenzeit und
der Zonenzeit (MEZ)) vertraut zu werden. Dabei
werden sie Phänomene wahrnehmen, die durch die
Drehung der Erde, durch die Neigung ihrer Achse
und durch ihren jährliche Lauf um die Sonne verurAbbildung 2: Der Stand der Sonne über drei Städten
sacht werden.
2 Sonnenposition und Erdgestalt
auf der Erde – von innen“ und außen“ betrachtet
”
”
Abbildung 1: Morgendlicher Sonnenlauf und zugehörige
Schattenspur
Die Sonne geht am östlichen Horizont auf, erreicht ihre größte Höhe im Süden (im Norden, wenn
man auf der Südhalbkugel lebt) und geht in westlicher Richtung unter. Die Veränderung aller Schatten auf der Erde hängt eng mit diesem Sonnenlauf
zusammen: Morgens haben alle Bäume, Häuser, . . .
lange Schatten, die nach Westen zeigen, mittags zeigen die kürzesten Schatten nach Norden (Süden)
usw. Dieser Umstand eröffnet die Möglichkeit, den
Sonnenlauf zu beobachten, ohne direkt in die Sonne
zu blicken: Wenn man den Sonnenlauf verfolgt, indem man den Schatten immer desselben Objektes
beobachtet und aufzeichnet, dann kann man seine
Da alle Beobachter dieselbe Sonne beobachten,
deren Licht überall auf der Erde parallel auftrifft,
beweist diese Feststellung, dass die Horizonte der
verschiedenen Beobachter unterschiedliche Orientierung haben müsssen: Wir leben nicht auf einer
flachen Scheibe! Natürlich weiß“ heutzutage jedes
”
Kind, dass die Erde eine Kugel ist. Aber ist jedes
Kind (und auch jeder Erwachsene!) wirklich überzeugt davon? Wissen sie Argumente für diese Aussage?
Tatsächlich ist es schwierig, Erfahrungen zu machen, die die Kugelgestalt der Erde beweisen oder
zumindest zeigen, dass sie abgerundet“ ist. Auch
”
wenn Satelliten uns Fotografien übermitteln, die die
Erde als runde Scheibe zeigen: Zeigen diese Bilder
wirklich eine Kugel? Und, noch wichtiger: Zeigen
sie wirklich unsere Heimat?
Dieses Projekt bietet die Möglichkeit, durch eigene Beobachtungen die Erde als Kugel zu erfahren.
Die Teilnehmer können darüber hinaus mit ihren
eigenen Messdaten dazu beitragen, den Erdradius
recht genau zu bestimmen und zu beweisen, dass
dieser Radius überall auf der Erde denselben Wert
hat. Das heißt, sie werden durch internationale Zusammenarbeit beweisen: Die Erde ist tatsächlich eine (fast perfekte) Kugel!
3
2.3 Das Projekt
2.3.1 Grundidee
Wenn Menschen von verschiedenen Orten der Erde aus gleichzeitig zur Sonne sehen, werden sie die
Sonne an verschiedenen Stellen ihres Himmels beobachten. Wenn man weiß, dass die Erde eine Kugel
ist, kann man das leicht verstehen. Umgekehrt ist es
möglich, die Erdgestalt zu bestimmen, indem man
von verschiedenen Orten aus gleichzeitig den Winkel zwischen dem auftreffenden Sonnenlicht und der
Erdoberfläche misst.
Abbildung 4: Die Grundidee des Projektes
Abbildung 3: Messung der Sonnenposition mit einem
Schattenstab
Die Grundidee des Projektes geht auf Eratosthenes zurück ([5]): Misst man an zwei Orten auf demselben Längenkreis am selben Tag die Mittagshöhe
der Sonne, kann man den zu den beiden Orten
gehörenden Zentralwinkel berechnen und daraus
den Erdumfang ableiten, wenn die Entfernung zwischen den Orten bekannt ist (Abb. 4). Die zugehörige Mathematik ist sehr einfach. Allerdings sind die
Voraussetzungen sehr speziell: Beide Orten müssen
auf demselben Längenkreis liegen, und die Messung
muss mittags erfolgen.
An diesem Projekt sollen sich möglichst viele
Menschen an der Messung beteiligen können. Außerdem soll sich die Kugelgestalt der Erde dadurch
erweisen, dass sich auf beliebige Bögen auf der ganzen Erdoberfläche immer derselbe Erdradius ergibt.
Durch diese Verallgemeinerung des Verfahrens wird
das Problem dreidimensional und die zugehörige
Mathematik schwieriger. Der Algorithmus wird im
Anhang beschrieben.
Die Teilnehmer werden die Position der Sonne messen, das heißt, die Himmelsrichtung, in der
sie gegen Süden (bzw. gegen Norden)steht, indem
sie die Spitze des Schattens eines senkrechten Stabes (eines Gnomons“) markieren. Im Prinzip kann
”
man zwar auch einen spitzen Bleistift als Gnomon
verwenden. Wegen der Unschärfe dieses Schattens
ist es aber besser, statt einer Spitze ein Loch zu
2.3.2 Messverfahren
verwenden.
Natürlich ist die Sonne nur von den Orten auf Bei der Messung werden folgende Punkte zu beachder Erde aus gleichzeitig zu sehen, die auf der Tag- ten sein:
seite der Erde liegen. Der Zeitpunkt ist deshalb so
gewählt, dass sich Menschen aus möglichst vielen
• Die Ebene, auf der der Schatten aufgefangen
Ländern an dem Projekt beteiligen können. Der
und markiert werden soll, muss exakt horizonHauptzeitpunkt des Projektes ist 24. April 2009 um
tal, der Stab exakt vertikal sein.
6.47 Uhr UT. Abbildung 2 zeigt rechts, wie die Erde zu diesem Zeitpunkt von der Sonne aus, aus• Auf diese Ebene wird ein Koordinatensystem
sieht. Um die Form der ganzen Erde vermessen zu
aufgezeichnet. Eine seiner Achsen muss so gekönnen und auch den Menschen, die sich zu diesem
nau wie möglich nach Norden (Süden) ausgeZeitpunkt auf der Nachtseite der Erde befinden, die
richtet sein. Die genaue Nord-Süd-Richtung
Teilnahme am Projekt zu ermöglichen, werden die
sollte möglichst bereits an den Tagen zuvor
Messungen an zwei weiteren Zeitpunkten wiederbestimmt worden sein. Notfalls kann sie aber
holt.
auch am Projekttag selbst gefunden werden.
4
• Die Schattenspitze muss genau zum Projektzeitpunkt markiert werden.
3 Die Mondentfernung
• Für eine vereinfachte Auswertung soll zusätzlich die Schattenlänge und die genaue Uhrzeit
des lokalen Mittags gemessen werden. Zu diesem Zeitpunkt kreuzt die Schattenspitze die
Nord-Südlinie.
• Das Messergebnis wird zusammen mit den
geografischen Koordinaten des Beobachtungsortes an eine zentrale Datenseite übermittelt.
Abbildung 6: Im Laufe eines Tages/einer Nacht laufen
Sonne und Mond gemeinsam über den Himmel.
2.3.3 Evaluation
Mit diesem Projekt sollen die Teilnehmer angeregt werden, auf den täglichen/nächtlichen Lauf
Die wesentlichen Punkte des Auswertungsverfah- (Abb. 4) des Mondes über den Horizont, seine
rens sind:
Veränderung im Laufe eines Monats und die damit einhergehende Änderung der Phasengestalt des
• Durch Vergleich jedes einzelnen Ergebnisses Mondes (Abb. 7) zu achten. Dabei soll ihnen auch
mit dem momentanen subsolaren Punkt, zum der Lauf des Mondes üner den Sternenhimmel aufProjektzeitpunkt Bangalore in Indien, wird fallen.
automatisch ein Wert für den Erdradius berechnet.
• Um einen eigenen Wert für den Erdradius zu
erhalten, muss das eigene Messergebnis mit
denen anderer Beobachter verglichen werden.
Der zugehörige Algorithmus ist etwas kompliziert (s. Anhang). Deshalb wird ein kleines
Programm zur Verfügung gestellt, das die Arbeit übernehmen kann.
• Mit den selbst gemessenen Mittagsergebnissen ist eine vereinfachte Auswertung möglich.
Abbildung 7: Die Änderung der abendlichen Mondpositionen im Laufe von zwei Wochen
3.1 Grundidee des Projektes
Abbildung 5: Ausrüstung zur Messung der Sonnenposition; die zu verwendende Funkuhr ist nicht zu sehen
Die diesem Projekt zugrunde liegende Idee wurde
von Martin Wagenschein [6] eindrucksvoll beschrieben. Ein ähnliches Projekt wurde bereits 2000/01
durchgeführt [4].
Wenn man nachts mit dem Auto fährt und der
Mond am Himmel zu sehen ist, dann fährt“ der
”
Mond, wie alle Sterne, perfekt mit: Er scheint unendlich weit entfernt zu sein. Ziel dieses Projektes
ist es, sichtbar und erfahrbar zu machen, dass der
Mond nicht unendlich weit von der Erde entfernt ist.
Durch Vergleich von Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Orten der Erde aus aufgenommen werden, soll seine Entfernung bestimmt werden. Dazu
soll der Mond am 30./31. Mai 2009 um 12.00, 17.00,
20.00, 22.00 und 02.00 Uhr UT von möglichst vielen
5
Orten der Erde aus im Sternbild Löwe so fotografiert werden, dass auf den Bildern neben dem Mond
mindestens noch Regulus und Saturn zu erkennen
sind. Der Zeitpunkt ist ein Kompromiss aufgrund
sich gegenseitig widersprechender Kriterien:
• Der Mond soll von möglichst vielen Menschen
auf der Erde gleichzeitig beobachtbar sein.
Das heißt, er soll möglichst voll“ sein. Dann
”
ist er aber auch besonders hell.
• Der Mond soll möglichst lichtschwach sein,
damit auf Fotos neben dem Mond auch Sterne
oder Planeten zu erkennen sind.
• Der Mond soll deshalb nahe bei hellen Sternen
und/oder Planeten stehen.
Durch Vergleich der dabei entstehenden Bilder
soll sichtbar werden, dass der Mond für Beobachter an verschiedenen Orten der Erde an verschiedenen Stellen vor dem Sternenhintergrund am Himmel steht. Abbildung 8 zeigt eine entsprechende Simulation.
2. Zum Projektzeitpunkt und 15 min vorher und
nachher sollen jeweils drei Bilder mit unterschiedlichen Belichtungszeiten aufgenommen
werden. Vielleicht ist es geschickt, zwei Bilder
direkt nacheinander aufzunehmen: eins mit
kurzer Belichtungszeit für den Mond, das andere mit längerer Belichtungszeit für die Bezugsobjekte, und diese Bilder anschließend zu
überlagern
3. Jeder Teilnehmer misst die Pixelkoordinaten
des Mondes und der Bezugsobjekte auf seinem Bild selbst aus. Dafür wird ein Programm zur Verfügung gestellt. Das Bild, die
geografischen Koordinaten des Beobachtungsortes und die Pixelkoordinaten werden dann
an eine zentrale Datenseite übermittelt.
4. Die Ergebnisse werden dann automatisch in
Form von Tabellen veröffentlicht. Mit ihnen
wird es für die Teilnehmer möglich sein, die
eigenen Ergebnisse mit denen anderer Beobachter an weit entfernten Orten zu kombinieren, um auf diese Weise einen eigenen Wert
für die Mondentfernung abzuleiten.
5. Alle gemessenen Positionen werden in Form
einer, hoffentlich dichten, Punktwolke als
Punkte in ein Referenzfoto eingetragen.
Abbildung 8: Der Mond, am 30. Mai 2009 um 21.00 Uhr
UT gleichzeitig fotografiert“ von Essen (Deutschland)
”
and Windhoek (Namibia)
3.2 Messverfahren
1. Der Mond soll mit einfachen Digitalkameras fotografiert werden. Um seine Position
möglichst genau messen zu können, sollte die
Brennweite des Zoomobjektivs möglichst groß
eingestellt werden. Die Äquivalentbrennweite
muss allerdings kleiner als 135mm sein, damit
die Bezugsobjekte, Saturn und Regulus, noch
auf das Bild passen.
Abbildung 9 Ergebnis eines vorangegangenen
Mondprojektes ([4])
6. Es wird ein Programm zur Verfügung gestellt
werden, mit dem Kombinationen beliebiger
Messwerte genau ausgewertet werden können.
Eine Kurzform des zugehörigen Algorithmus
[2] befindet sich im Anhang.
6
3.3 Auswertung
4.1.2 The spherical triangle S − N P − Oi
4 Anhang
The north pole N P , the sub-solar point S and one
of the sites Oi form a spherical triangle on the
earth’s surface (see the left picture in fig. 11). In
this triangle, the sides a and b and the angle α are
known:
4.1 Algorithmus zur Berechnung des Erdradius [1]
4.1.1 Introduction
The program sunalgorithm uses two positions of
the sun above the local horizon simultaneously measured by two distant observers. It needs the following inputs:
NP
β
90-phi
90 -deltaS
α
• Two positions of the sun above the horizon
(azimuths Ai and altitudes hi ) which have
been simultaneously measured by two distant
observers.
O1
O
A
c
C
∆
O2
90-h1
90-h
γ
γ
S
90-h2
S
• The distance ∆ between the observation sites. Usually, it will have been determined via Abbildung 11: left: Finding the observer’s position O
relative to the sub-solar point S. The point of obserinternet.
vation and the corresponding azimuth A of the sun fix
• The momentary declination δ of the sun. It the direct way to the subsolar point – a great circle (an
can be determined by oneself by measuring orthodrome). right: The great circles leading the observers to the sub-solar point intersect there with an angle
the sun’s altitude at noon (see fig. 10):
δ
= ϕ + (hculm − 90◦ ) (north)
δ
= ϕ − (hculm − 90◦ ) (south)
γ. It allows to calculate the opposite side c of the spherical triangle which corresponds, as a central angle at
the geocentre C, to the linear distance ∆ between the
observers.
side
a = π − δS
b = π2 − hi
c = π2 − ϕi
angle
α = π − Ai
β = λi
γ
The longitude λi of the site is measured relatively
to the sub-solar point S.
The observer’s geographical position can be calculated in the following way:
Step 1 Calculation of the angle β with the law of
sines:
Abbildung 10: The relation between the geographical latitude ϕ of the observation site, the sun’s
declination δS and its altitude hculm at noon for
the northern (left) and the southern hermisphere
(right)
Otherwise, it must be calculated with an
astronomical computer program.
sin β =
sin α
sin b
sin a
Step 2 Calculation of the side c with one of the
analogies of Neper:
tan
c
α−β
a+b
α+β
cos
= tan
cos
2
2
2
2
The program must not be informed about the geographical positions of the observers!
As the result of these steps applied to both sites,
The procedure performed by the program is des- the relative positions of the sites and the subsolar
point are known.
cribed in the following sections.
7
4.1.3 The spherical triangle O1 − S − O2
4.1.4 The earth’s radius
In order to derive a measure of the earth’ radius
from the (linear) distance between the sites we have to calculate the corresponding central angle, that
means the side c of the spherical triangle O1 −S−O2
(see fig. 4.1.2, right). But up to now, we only know
the other two sides of this triangle and no angle.
Therefore, we must first determine the angle γ at
S.
In order to find this angle, we represent the two
azimuthal directions eAi first in the local rectangular coordinate systems
With the side c and the linear distance ∆ we have
got the values of a central angle and the corresponding arc length on the earth’s surface. Therefore,
the earth’s radius RE is
eAi
= − cos Aieϕi − sin Aieλi
RE
=
RE
=
∆
or
c
∆ 180◦
(if c is expressed in degrees)
c π
The program sunalgorithm exactly executes the
algorithm described here.
4.2 Berechnung der Mondentfernung
Das hier beschriebene Verfahren wird in [2] ausführand, finally, in the same rectangular system (x, y, z) lich dargestellt. Dort werden auch Vereinfachungen
in which the unit vectors can be written as follows: diskutiert.
eλi
eϕi
=
=
(− sin λi , cos λi , 0)
(− sin ϕi cos λi , − sin ϕi sin λi , cos ϕi )
eri
=
(cos ϕi cos λi , cos ϕi sin λi , sin ϕi )
The normal vector n of one of the great circles
leading from the observers to S is
r
Moon
e1
Observer1
r1
r2
n = er × eA
=
(eλ × eϕ ) × eA
= −eA × (eλ × eϕ )
= −(eA · eϕ )eλ + (eA · eλ )eϕ
The normal vectors can, therefore, be written as
ni
= cos Aieλi − sin Aieϕi .
The angle of intersection γ equals the angle between these normal vectors:
cos γ = n1 · n2
rM
e2
Observer2
Abbildung 12: Zur Berechnung des Schnittpunktes der
beiden Sichtlinien
Wenn r der (carthesische) Ortsvektor eines Beobachters ist und e die Richtung, in der er den Mond
sieht, dann muss sich der Mond irgendwo auf der
Geraden befinden, die durch
r + λe,
λ>0
beschrieben werden kann. Wenn zwei Beobachter
den Mond gleichzeitig anvisieren, dann muss sich
der Mond am Schnittpunkt der beiden Sichtlinien
befinden. Es muss also gelten:
Now, in the triangle two sides ( π2 −h1 and π2 −h2 )
λ, µ > 0
r1 + λe1 = r2 + µe2 ,
and the angle γ between them are known and the
side opposite to γ can be calculated:
Das sind drei Gleichungen mit nur zwei zu bestimmenden Unbekannten λ und µ! Anders als in einer
Ebene werden sich die beiden Geraden nur bei excos c = sin h1 sin h2 + cos h1 cos h2 cos γ
akten Messungen schneiden. Andernfalls verfehlen
8
sie einander ( windschiefe Geraden“). Wegen im- Literatur
”
mer auftretender Messfehler wird also obiges Gleichungssystem niemals lösbar sein.
[1] Backhaus,
U.:
Algorithm
for
the
Aus diesem Grunde sind wir gezwungen, statt des
calculation
of
the
earth’s
radius,
Schnittpunktes die Stelle der größten Annäherung
http://www.didaktik.physik.uni-due.de/
zwischen den beiden Geraden zu berechnen. Das
IYA2009/programs/sunalgorithm.zip
heißt, wir suchen nach zwei Punkten P1 = r1 + λ1e1
und P2 = r2 + µ2e2 auf den Geraden, deren Verbin[2] Backhaus, U.: Über den Zusammendungsvektor senkrecht auf beiden Geraden steht:
hang
zwischen
geometrischer
Parallaxe
und
Entfernung
des
Mondes,
(P1 − P2 ) · e1 = 0,
http://www.didaktik.physik.uni-due.de/
IYA2009/IYAParallaxe.pdf
(P1 − P2 ) · e2 = 0
Das ist ein System zweier linearer Gleichungen mit
zwei Unbekannten λ1 und µ2 . Eine einfache Umformung führt auf die folgenden Gleichungen
(r2 − r1 ) · (e2 − e1 )
,
1 − e1 · e2
(r2 − r1 ) · (e2 + e1 )
λ1 − µ2 =
,
1 + e1 · e2
aus denen die gesuchten Parameter leicht zu berechnen sind:
λ1 + µ2
=
1
((λ1 + µ2 ) + (λ1 − µ2 )) ,
2
1
((λ1 + µ2 ) − (λ1 − µ2 ))
µ2 =
2
Die Entfernung des Mondes ergibt sich dann
schließlich zu
λ1
=
rM ≈ |r1 + λ1e1 | ≈ |r2 + µ2e2 |
(1)
Als Maß für die Genauigkeit des Ergebnisses kann
man den Abstand |P1 − P2 | der beiden Sichtlinien
nehmen.
[3] IYA2009,
Goals
and
Objectives,
http://www.astronomy2009.org/general/
about/goals/
[4] Simultaneously
Photographing
of
the
Moon and Determining its Distance,
http://www.didaktik.physik.uni-duisburg
-essen.de/∼backhaus/moonproject.htm
[5] Wagenschein,
M.:
Mathematik
aus
der
Erde
(Geo-metrie),
http://www.martin-wagenschein.de/
Archiv/W-154.htm
[6] Wagenschein, M. Wie weit ist der Mond von
uns entfernt? (1962), in: Naturphänomene sehen und verstehen, 2. korrigierte Auflage, Klett: Stuttgart 1988,
(http://www.didaktik.physik.uni-duisburg
-essen.de/∼backhaus/AstroMaterialien/
Literatur/WagenscheinWieweitistderMond
vonunsentfernt.pdf)