Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
zusammengestellt von
Tatjana Lange
Fachhochschule Merseburg
Fachbereich Elektrotechnik
Inhalt:
1. Zuverlässigkeit von Betrachtungseinheiten ..............................................1
2. Zuverlässigkeit elementarer, nichtreparierbarer Systeme.........................2
3. Zuverlässigkeit komplexer Systeme: Boolesche Berechnungsmethode...3
4. Zuverlässigkeit komplexer Systeme: Markoff'sche Berechnungsmethode 5
5. Einige ausgewählte Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie ............6
6. Sonstige nützliche Formeln .......................................................................10
1. Zuverlässigkeit von Betrachtungseinheiten
M
Verteilungsfunktion der Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit) und
Verteilungsdichte:
F ( t ) = P( X ≤ t )
f (t ) =
dF ( t )
dt
F(t ) =
t
ò f ( t )dt
0
M
Überlebenswahrscheinlichkeit:
allgemein.
R( t ) = P ( X > t ) = 1 − F ( t )
M
Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit:
allgemein.
Rx ( t ) =
M
R( x + t )
R( x )
Mittlere Lebensdauer (MTTF, MTBF):
allgemein.
∞
für F ( t ) = 1 − exp( − λt )
R( t ) = exp( − λt )
für F ( t ) = 1 − exp( − λt )
R x ( t ) = exp( − λt )
für F ( t ) = 1 − exp( − λt )
∞
E X =
E [ X ] = t ⋅ f ( t ) ⋅ dt = R( t ) ⋅ dt
ò
ò
0
M
M
0
Ausfallrate:
allgemein.
λ(t ) = −
für F ( t ) = 1 − exp( − λt )
d (ln R( t ) )
R' ( t )
=−
R( t )
dt
λ ( t ) = λ = const .
Zusammenhang zwischen Ausfallrate und Überlebenswahrscheinlichkeit:
allgemein.
für F ( t ) = 1 − exp( − λt )
æ t
ö
R( t ) = expçç − λ ( t ) ⋅ dt ÷÷
è 0
ø
ò
M
1
λ
R( t ) = exp( − λt )
Verfügbarkeit (reparierbarer Betrachtungseinheiten):
MTBF
MTBF= Mean Time between Failure
VD =
MTTR = Mean Time to Repair
MTBF + MTTR
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Zuverlässigkeit
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2. Zuverlässigkeit elementarer, nichtreparierbarer Systeme
M Seriensystem (im Sinne der Zuverlässigkeit):
λ 1(t)
λ 2(t)
λ n(t)
...
für Fi ( t ) = 1 − exp( − λ i t ) :
allgemein:
n
æ æ n
ö ö
RS ( t ) = expçç −ç λ i ÷ ⋅ t ÷÷
è è i =1 ø ø
RS ( t ) = ∏ Ri ( t )
å
i =1
λ S (t ) =
λ 3(t)
n
å λ i (t )
λS =
i =1
n
å λi
i =1
Mittlere Lebensdauer (MTTF, MTBF) für F ( t ) = 1 − exp( − λt ) :
E XS =
1
n
å λi
=
i =1
Für λ1 = λ 2 =... = λ n = const . gilt:
1
n
åE
i =1
1
Xi
E XS =
E X1
1
=
n
nλ1
M Parallelsystem (im Sinne der
λ 1(t)
Zuverlässigkeit):
λ 2(t)
.
..
λ n(t)
für Fi ( t ) = 1 − exp( − λ i t ) :
allgemein:
RS ( t ) = 1 −
n
∏ (1 − Ri ( t ))
i =1
Für λ1 = λ 2 =... = λ n = const . und
λ1t << 1 gilt:
R S ( t ) ≈ 1 − ( λ 1t )
n
Mittlere Lebensdauer (MTTF, MTBF) für F ( t ) = 1 − exp( − λt ) :
Für λ1 = λ 2 =... = λ n = const . gilt:
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E XS =
Zuverlässigkeit
1 n 1
å
λ1 k =1 k
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3. Zuverlässigkeit komplexer Systeme: Boolesche Berechnungsmethode
Allgemeiner Ansatz:
Jede Systemkomponente kann nur zwei Zustande annehmen:
ì0 Komponente ausgefallen
xi = í
î1 Komponenten intakt
Entsprechend der zuverlässigkeitstheoretischen Systemstruktur wird eine Boolesche
Systemgleichung, bestehend aus Konjunktionen ("Und"-Verknüpfung) und
Disjunktionen ("Oder"-Verknüpfungen) aufgestellt:
S ( x1 , x2 ,..., xn )
Die Wahrscheinlichkeit, daß das System intakt ist (seine spezifizierten Aufgaben
erfüllt) ist somit gleich der Wahrscheinlichkeit, daß die Systemgleichung
S ( x1 , x2 ,..., xn ) den Wert 1 annimmt:
P( System int akt ) = PS = P( S ( x1 , x2 ,..., xn ) = 1) = S ( P1 , P2 ,..., Pn )
wobei Pi die Intaktwahrscheinlichkeit der i-ten Komponente ist.
M Für nichtreparierbare Systeme gilt:
Überlebenswahrscheinlichkeit (Intaktwahrscheinlichkeit):
RS ( t ) = S ( R1 ( t ), R2 ( t ),..., Rn ( t ))
m − aus − n -System
(System ist solange intakt, solange m von n Komponenten intakt sind)
r
i
i − l æ nö æ i ö
RS ( t ) = å å ( −1) ç ÷ ç ÷ Rkn − l ( t )
è i ø è lø
i =1 l = 0
mit r = n − m
Redundanz
Für R1 ( t ) = R2 ( t ) =... = Rn ( t ) = e− λ1t gilt:
E XS
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1 n 1
=
å
λ1 k = m k
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M Für reparierbare Systeme gilt:
Verfügbarkeit:
VS (t ) = S (V1 (t ),V2 ( t ),...,Vn ( t ))
m − aus − n -System
(System ist solange verfügbar, solange m von n Komponenten verfügbar sind)
Für V1 ( t ) = V2 ( t ) =... = Vn ( t ) = Vk =
MTBFk
= const . gilt:
MTBFk + MTTRk
Nichtverfügbarkeit:
m −1 n
æ ö
N S ( t ) = 1 − VS (t ) = å ç ÷ N kn−iVki mit N k = 1 − Vk
i =0 è i ø
r =n−m
Redundanz
Mittlerer Abstand zwischen zwei Systemausfällen (MTBF):
Falls MTBFk >> MTTRk :
MTBFS ≈
MTBFkr +1
æ n − 1ö
r
nç
÷ MTTRk
è r ø
Mittlere Dauer der Systemausfällen (MTBD - Mean Time of Break Down):
Falls MTBFk >> MTTRk :
Für Nk <<
MTBDS ≈
MTTRk
r +1
1
gilt näherungsweise:
n
æ n ö r +1 æ n ö MTTRkr +1
N S ( t ) = 1 − VS ( t ) ≈ ç
÷ Nk = ç
÷
è r + 1ø
è r + 1ø MTBFkr +1
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4. Zuverlässigkeit komplexer Systeme: Markoff'sche Berechnungsmethode
Im Ergebnis einer quantitativen Analyse des Systemverhaltens wird ein
Zustandsdiagramm aufgestellt, dessen Knoten die möglichen Systemzustände
darstellen. Die Übergänge (Kanten) q jk zwischen die Knoten sind durch
Übergangsraten bestimmt, die entweder Ausfallraten λ jk oder Reparaturraten
µ jk darstellen:
q12
Knoten j:
Systemzustand j mit der
1
2
Zustandswahrscheinlichkeit p j
q21
q13
q32
3
Übergangsrate:
ì λ jk Ausfallrate
q jk = í
î µ jk Reperaturrate
Die Markoff'sche Berechnungsmethode wird hier nur für den stationären
Zustand, also unter der Annahme p j ( t ) = p j = const . betrachtet.
Dabei wird angenommen, daß sowohl die zufällige Lebensdauern Xi aller
Systemkomponenten als auch die zufälligen Reparaturzeiten Yi
exponentialverteilt
sind,
also
Xi ~ F ( t ) = 1 − exp( − λ it )
und
Yi ~ FY ( t ) = 1 − exp( − µit ) .
Für den j-ten Knoten gilt dann folgende Knotengleichung:
n
å pk qkj
n
p j å q jk
−
k =1
k≠ j
=0
k =1
k≠ j
" "
!
" "
!
Summe aller in den j − ten Knoten
hineinführenden Kanten
Summe aller aus dem j − ten Knoten
herausführenden Kanten
Die Zustandswahrscheinlichkeiten p j lassen sich berechnen, indem man für
n − 1 Konten die Zustandsgleichungen aufstellt, diese durch die
allgemeingültige Beziehung
n
å pj = 1
j =1
ergänzt und das so gebildete lineare Gleichungssystem aus n Gleichungen
(n = Anzahl der Knoten im Zustandsdiagramm) löst.
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5. Einige ausgewählte Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
M Zufall / zufälliges Ereignis:
Bei Zusammentreffen von Ereignissen spricht man vom Zufall, wenn zwischen ihrem
Eintreten kein oder nur ein unwesentlicher innerer Zusammenhang besteht.
Ein Ereignis hängt vom Zufall ab, wenn sein Eintreten weder sicher noch unmöglich ist,
sondern mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfolgt. Diese Zufallsgesetzmäßigkeiten,
die durch entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfaßt werden, nennt man
stochastische Gesetzmäßigkeiten.
M Zufallsvariable:
Eine Zufallsvariable ist eine solche Variable (Veränderliche), die ihre Werte in
Abhängigkeit vom Zufall, d.h. nach einer Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt.
Man unterscheidet diskrete und stetige Zufallsvariable.
Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich viele (oder abzählbar unendlich viele)
Werte annehmen (z.B. Menge der natürlichen Zahlen).
Eine stetige Zufallsvariable kann (überabzählbar) unendlich viele Werte annehmen
(z.B. alle Werte aus einem Intervall).
M Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Der Begriff Wahrscheinlichkeit ist aus der Beobachtung und Erfahrung entstanden.:
Tritt bei N-maliger Durchführung eines Versuches ein bestimmtes zufälliges Ereignis Ai
(oder Zufallsvariable) ni mal auf, so bezeichnet man mit (ni N ) die relative Häufigkeit
des Ereignisses Ai .
Bei gleichbleibenden Versuchsbedingungen schwankt die relative Häufigkeit bei
wachsendem N immer weniger um einen bestimmten, praktisch konstanten Wert. Diese
Zahl nennt man die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Ereignisses Ai und bezeichnet sie
mit P( Ai ) .
M
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten:
1)
Für jedes zufälligen Ereignisses Ai gilt: 0 ≤ P( Ai ) ≤ 1
2)
Ist das Ereignis Ai unmöglich, so gilt: P( Ai ) = 0
3)
Ist das Ereignis Ai sicher, so gilt: P( Ai ) = 1
4)
Sind A und B zufällige Ereignisse, die einander ausschließen, so gilt
P( A oder B) = P( A ∨ B ) = P( A) + P( B)
Sind insgesamt N Ereignisse A1 , A2 ,....., AN , möglich, so gilt verallgemeinert:
N
P( A1 ∨ A2 ∨ ..... ∨ AN , ) = å P( Ai )
i =1
5)
Schließen die Ereignisse A und B einander nicht aus, so gilt:
P( A oder B ) = P( A ∨ B ) = P( A) + P(B ) − P( A, B )
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Hierbei ist P( A, B ) die gemeinsame Wahrscheinlichkeit (Verbundwahrscheinlichkeit)
der Ereignisse A und B, d.h. die Wahrscheinlichkeit dessen, daß beide Ereignisse
gleichzeitig (zusammen) auftreten.
6)
Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, so gilt für die gemeinsame
Wahrscheinlichkeit:
P( A, B ) = P(B, A) = P( A) ⋅ P(B ) = P(B ) ⋅ P( A)
7)
Sind die Ereignisse A und B voneinander abhängig, so gilt für die gemeinsame
Wahrscheinlichkeit:
P( A, B ) = P(B, A) = P( A) ⋅ P(B
Hierbei ist P(B
A) = P(B ) ⋅ P ( A
B)
A) die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis B unter der Bedingung
(Annahme) eintritt, daß das Ereignis A bereits eingetreten ist (bzw. sicher eintreten wird).
Die
P(B
Wahrscheinlichkeiten
A)
P(A
und
B ) nennt
man
bedingte
Wahrscheinlichkeiten.
8)
Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, so gilt:
P(A
9)
B ) = P ( A)
,
P(B
A ) = P (B )
Wenn die Ereignisse H1 , H2 ,....., H N , ein vollständiges Ereignisfeld bilden und einander
ausschließen, also
N
å P(H ) = 1
i =1
i
und
P (H i , H j ) = 0
für beliebige i ≠ j ist,
so gilt für die Wahrscheinlichkeit des von den Ereignissen Hi abhängigen Ereignisses A
folgender Satz über die totale Wahrscheinlichkeit:
P ( A) = å P (H i ) ⋅ P ( A
Hi )
N
i =1
10) Bayes'sche Formel:
P(H i
A) =
P(H i ) ⋅ P ( A
P ( A)
Hi )
=
P (H i ) ⋅ P ( A
å P(H ) ⋅ P(A
j =1
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Hi )
N
j
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Hj
)
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M Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsfunktion FX ( x ) :
Der Wert der Verteilungsfunktion FX ( x ) im Punkt x gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der
der Wert der Zufallsvariablen X kleiner/gleich x ist:
FX ( x ) = F ( x ) = P ( X ≤ x )
diskrete Zufallsvariable:
stetige Zufallsvariable:
M Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die M Ist X eine stetige Zufallsvariable, so läßt
Werte
sich nur die Wahrscheinlichkeit angeben,
mit der diese Zufallsvariable X Werte aus
dem Intervall x1 , x2 annimmt:
x1 , x2 ,..., x N
mit den Wahrscheinlichkeiten
P( X = x1 ), P( X = x 2 ),..., P( X = x N )
P( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
annehmen kann, so wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine
treppenförmige Verteilungsfunktion
bestimmt.
x2
ò f (u )du
x1
Die Funktion f ( x ) nennt man die Dichte
der Zufallsvariablen X.
Der Zusammenhang zwischen der Dichte
Der Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion und den Wahrscheinlichkeiten f ( x ) und der Verteilungsfunktion F ( x ) ist
der diskreten Zufallsvariablen ist gegeben
gegeben mit:
mit:
x
F (x )
j
j
f
x
=
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
f
(
u
)
du
;
(
)
ò
F (x j ) = P(X ≤ x j ) = å P( X = xi ) = å P(xi )
dx
−∞
i =1
i =1
1
1
F(x)
0,8
0,8
F(x)
0,6
0,6
P(x)
0,4
0,4
0,2
f(x)
0,2
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9
-10
M Eigenschaften und Gesetze:
-5
0
5
10
0 ≤ F (x ) ≤ 1
F (− ∞ ) = 0 da P( X ≤ −∞ ) = 0
F (+ ∞ ) = 1 da P( X ≤ +∞ ) = 1
F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) falls x1 ≤ x 2
P( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P( X ≤ x 2 ) − P( X ≤ x1 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 )
N
å P(x ) = 1,
i =1
P(xa
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i
≤X
0 ≤ P ( xi ) ≤ 1
∞
ò f (x )dx = 1
−∞
i =b
≤ xb ) = å P ( xi )
i =a
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P ( x a ≤ X ≤ xb ) =
xb
ò f (x )dx
xa
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Seite 8
M
Erwartungswert und Varianz; Momente höherer Ordnung:
diskrete Zufallsvariable:
stetige Zufallsvariable:
M Erwartungswert:
N
E ( X ) = å xi P( X = xi )
∞
ò x ⋅ f ( x) ⋅ dx
E( X ) =
i =1
−∞
E ( aX + b) = a ⋅ E ( X ) + b
Wenn Z = X + Y , dann
E ( Z ) = E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
E ( α ⋅ X + β ⋅ Y ) = α ⋅ E ( X ) + β ⋅ E (Y )
M Varianz:
N
Var ( X ) = å xi − E ( X ) p( X = xi )
2
i =1
(
Var ( X ) =
∞
ò [x
− E ( X )] ⋅ f ( x) ⋅ dx
2
i
−∞
) ( )
Var ( X ) = E [ X − E ( X )] = E X 2 − [E ( X )]
2
2
Var ( aX + b ) = a 2Var ( X )
Wenn Z = X + Y , dann
Var ( Z ) = Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) + 2Cov ( X , Y )
Var ( α ⋅ X + β ⋅ Y ) = α 2 ⋅Var ( X ) + β 2 ⋅Var (Y ) + 2 ⋅ α ⋅ β ⋅ Cov ( X , Y )
Für statistisch unabhängige Zufallsvariable X und Y gilt:
Var ( Z ) = Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
Var ( α ⋅ X + β ⋅ Y ) = α 2 ⋅Var ( X ) + β 2 ⋅Var (Y )
M Momente k-ter Ordnung:
N
E ( X ) = å xik P ( X = xi )
k
i =1
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E( X k ) =
∞
òx
k
⋅ f ( x) ⋅ dx
−∞
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6. Sonstige nützliche Formeln
æ nö
n!
K nk = çç ÷÷ =
è k ø k!⋅(n − k )!
Kombination:
Ableitungen
(x )' = n ⋅ x
n
(a )' = a
x
(ln x )' = 1
n −1
n
ò x dx =
x
(e )' = a ⋅ e
⋅ ln a
x
Integrale
ax
ax
x n +1
n +1
ò
ax
ò a dx = ln a
òe
x
ax
ò x ⋅ e dx =
(u ⋅ v )' = u ⋅ v'+u '⋅v
'
æ u ö u '⋅v − u ⋅ v'
ç ÷ =
v2
èvø
dx
= ln x
x
ax
dx =
1 ax
e
a
e ax
(ax − 1)
a2
ò u( x) ⋅ v' ( x) ⋅ dx = u ( x) ⋅ v( x) − ò u' ( x) ⋅ v( x) ⋅ dx
Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten:
Gleichungssystem:
Lösung:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2
:
:
:
xi =
:
∆i
∆
an1x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
a11 a12
a
a
∆ = 21 22
:
:
an1 an 2
... a1n
... a2 n
... :
... ann
b1 a12
b a
∆1 = 2 22
:
:
bn an 2
... a1n
... a2 n
... :
... ann
a11 a12
a
a
∆ n = 21 22
:
:
an1 an 2
. .. b1
. .. b2
. .. :
. .. bn
Berechnungsregel für Determinanten:
a11 a12
a21 a22
:
:
an1 an 2
. . a1n
a22 .. a2 n
a12 .. a1n
a12 .. a1n
. . a2 n
n +1
= a11 : .. : − a21 : .. : + ... + ( −1)
:
..
:
.. :
an 2 .. ann
an 2 .. ann
an −1, 2 .. an −1, n
. . ann
usw.
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