3 Magnetostatik

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3 Magnetostatik
3.1 Lorentzkraft
In einer Reihe von Experimenten mit elektrisch geladenen und (oder) magnetischen Körpern
beobachtete man die Wirkung von Kräften zwischen bzw. auf diese Körper. Um diese Kräfte
(mathematisch) beschreiben zu können wurden zunächst die Begriffe der elektrischen und magnetischen Felder eingeführt. Siehe auch: (klassische) Feldtheorie.
Unter Verwendung der folgenden Größen in SI-Einheiten(!)
~
Magn. Flussdichte B
elektrische Ladung Q [Q] = C = A s
Geschwindigkeit
~v
[~v ] =
m
s
~
E
El. Feldstärke
~ =T=
[B]
~ =
[E]
V
m
=
Vs
m2
kg m
A s3
kann die Kraft, die ein elektromagnetisches Feld auf eine elektrische Ladung ausübt wie folgt
beschrieben werden:
~
• Befindet sich eine Ladung Q (ruhend oder bewegt) im Einfluss eines elektrischen Feldes E,
wirkt auf sie eine Kraft F~ , die in Richtung dieses E-Feldes zeigt und gleich dem Produkt der
Ladung und dem E-Feld ist.
~ mit der Geschwindigkeit ~v bewegt(!), so
• Wird eine Ladung Q in einem magnetischem Feld B
wirkt auf sie eine Kraft, die sowohl normal auf das B-Feld als auch auf die Geschwindigkeit
~ sin α. α ist der Winkel zwischen |~v | und |B|.
~
steht, wobei |F~ | = |Q| |~v | |B|
a) Geben Sie die allgemeine Definitionsgleichung der Lorentzkraft an.
b) Zeichnen Sie die Richtung der Kräfte auf die Ladung für folgende Fälle ein:
1. Ladung im elektrostatischem Feld
v
E
+
ruhend
E
+
bewegt
2. Ladung im magnetostatischem Feld
B+ v
B+
ruhend
bewegt
3. Ladung im elektro- und magnetostatischem Feld
E
B+
ruhend
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E
v
B+
bewegt
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3.2 Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall
Die Skizzen der Feldlinienbilder eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters und einer Punkt– (bzw. Kugelladung) sollen Ihnen helfen die Maxwellgleichungen für den elektrostatischen und magnetostatischen Fall anzugeben. (Anm.: Elektrostatik: ruhende Ladungen.
Magnetostatik: mit konsanter Geschwindigkeit bewegte Ladungen d.h. konstanter Strom.)
a) Zeichen Sie die zwei erwähnten Feldlinienbilder (Beginnen Sie mit dem Feldlinienbild
des stromdurchflossenen Leiters)
b) Was sagt Ihnen die Form der Feldlinien? ⇒ 1. und 2. Maxwellgleichung in differentieller
Form.
c) Was können Sie aus den Feldlinienbildern über das „Quellverhalten” beider Fälle aussagen? ⇒ 3. und 4. Maxwellgleichung in differentieller Form.
d) Geben Sie die Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall in differenzieller und in Integralform an.
3.3 Unendlich ausgedehnter stromführender Draht
Gegeben sei ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r0 , der von dem Gleichstrom I durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und außerhalb
des Leiters unter der Annahme, dass sich der Strom gleichmäßig über den Leiterquerschnitt
verteilt.
Da es sich um einen stabförmigen Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten
verwendet. Der Leiter sei entlang der z-Achse des Koordinatensystems positioniert, sodass der
Stromdichtevektor nur eine z-Komponente aufweist (siehe Bild).
z
P(r,φ,z)
z
φ
r
y
x
a) Überlegen Sie sich wie das Feld aus Symmetriegründen aussehen muss.
b) Berechnen Sie nun die magnetische Feldstärke mithilfe der Maxwellgleichungen in Integralform,
• Hi im Leiter
• Ha außerhalb des Leiters
und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar.
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c) Transformieren Sie nun Ihr Ergebnis für die magnetische Feldstärke von Zylinder- in
kartesische Koordinaten,



Hr

H(r, φ, z) = Hφ 

Hz
−→

Hx

H(x, y, z) = Hy 

Hz
und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Berechnung von div H und rot H.
3.4 Rechte–Hand–Regeln
In der Elektrotechnik verwenden wir zwei „Rechte–Hand–Regeln“. Anm.: lt. Wikipedia auch:
Drei–Finger–Regel und Korkenzieherregel (Rechte–Faust–Regel).
• Wo finden diese Regeln Anwendung und was beschreiben Sie?
3.5 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
a) Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei unendlich dünnen parallelen Leitern im Abstand d = 25 cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom I = 25 kA durchflossen werden?
b) Wie groß muss der Strom I sein, der durch zwei parallele Leiter mit Abstand d = 1m
fließt, sodass sich diese mit einer Kraft von 2 · 10−7 N/m abstoßen? Müssen die Leiter
gleich- oder gegensinnig durchflossen werden?
3.6 Gesetz von Biot-Savart
Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: Beweisen Sie anhand
der Abbildungen folgende Aussagen:
a) H =
i
2R
b) H =
R2 i
2(R2 +z 2 )3/2
im Mittelpunkt des Kreisstromes;
auf der Achse des Kreisstromes.
ds
H
r
dφ
R
i
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0
z
dH1
γ
dH2
γ
dH
z
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3.7 Biot-Savart, Ampèresches Gesetz [P]
a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral).
b) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die den Strom I trägt (mit Biot-Savartschem Gesetz).
a
b
I
c) Betrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als unendlich lange Leiter und
berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit Ampèreschem Gesetz).
d) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten b) und c) wenn a = b gilt?
e) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen
Leiter die gleiche Lösung liefern.
H(r)
r
I
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (r; ϕ; z)
3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P]
(a)
(b)
(c)
L
L
L
B
B
R
y
P
R
x
L
y
I
R
L
x
R
I
L
I
Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem
Strom I durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit
Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R.
Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde
aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche Berechnungen in
diesem Beispiel vernachlässigt werden.
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a) Berechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte B im Punkt P = (0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur
Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von Biot-Savart verwendet werden.
b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = −1.6 × 10−19 C) das sich im Punkt P in
Ruhe befindet?
c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld B = (0, 0, −B)
(siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung
an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische
Koordinaten zu verwenden.
d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde durch
ein rechtwinkeliges ersetzt. Berechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche auf den
Leiter wirkt. Was fällt Ihnen auf?
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