2 Strömungsfeld

Aufgabenkatalog ET2 - v12.2
SS2012
2 Strömungsfeld
2.1 Geschichtetes Medium I
Gegeben ist ein geschichteter Widerstand (Länge 2a) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, der vom Strom I durchflossen wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die
Leitfähigkeiten σ1 und σ2 > σ1 . Streufelder sind vernachlässigbar.
I
σ1
0
I
σ2
a
x
2a
Berechnen und skizzieren Sie in Abhängigkeit des Stromes die Verläufe entlang der x-Achse
von E, J und ϕ mit ϕ(x = 2a) = 0, und berechnen Sie den Widerstand R.
2.2 Geschichtetes Medium II
Gegeben ist ein geschichteter Widerstand (Abstand d) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, an den eine Spannung U angelegt wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet die
Leitfähigkeiten σ1 und σ2 > σ1 . Streufelder sind vernachlässigbar.
y
a
σ1
I
I
σ2
0
d
x
Berechnen und skizzieren Sie in Abhängigkeit der angelegten Spannung U die Verläufe entlang
der x-Achse von E, J und ϕ mit ϕ(x = d) = 0, und berechnen Sie den Widerstand R.
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2.3 Leitersegment I
σ
I
∞
Elektrode 2
σ2
r
σ1
Elektrode 1
z
σ
∞
h
a2
a1
I
a0
U12
α
Im Bild ist ein Leitersegment mit dem Winkel α und der Höhe h dargestellt, welches konzentrisch um die z-Achse eines Zylinderkoordinatensystems (r, φ, z) angeordnet ist. Es besitzt im
Bereich von a0 bis a1 die Leitfähigkeit σ1 und von a1 bis a2 die Leitfähigkeit σ2 . An die vordere und hintere Mantelfläche sind ideal leitende Elektroden angebracht, über die ein Strom I
geführt wird.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien für das Strömungsfeld.
b) Berechnen Sie die Vektoren der Stromdichte J und der elektrischen Feldstärke E für a0 <
r < a1 und a1 < r < a2 .
c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit des Stromes I die Spannung U12 zwischen den Elektroden
und geben Sie anschließend den Widerstand der Anordnung an.
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2.4 Leitersegment II [P]
Gegeben ist die dargestellte Geometrie. Zwischen den als ideal leitfähig angenommenen Elektroden (dunkel schattiert) sei eine Spannung U > 0 angelegt. Weiters sind gegeben
• die geometrischen Abmessungen ra , rb , h und α
• die spezifischen Leitfähigkeiten σ1 und σ2 der beiden Medien
a) Obige Anordnung kann als Serienschaltung zweier Widerstände R1 und R2 gesehen werden,
wobei ein in Längsrichtung von Strom durchflossener Widerstand der Länge l mit konstanter
Querschnittsfläche A definiert ist als Ri = σiliAi .
Berechnen Sie die Teilspannungen an den einzelnen Widerständen in Abhängigkeit der
Gesamtspannung U .
b) Berechnen Sie die Stromdichten J1 , J2 sowie die elektrischen Felder E1 , E2 für die jeweiligen
Medien. Welche Abhängigkeit vom Radius r können Sie feststellen?
Hinweis: Ergebnisse aus a) dürfen verwendet werden, sind aber zur Lösung von b) nicht
zwingend notwendig.
c) Berechnen Sie das Potential ϕ, mit der Wahl ϕ(z = 3h) = 0 .
d) Berechnen Sie den Gesamtstrom I der durch obige Anordnung fließt.
e) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R der obigen Anordnung.
f) Zeichnen Sie qualitativ die Stromdichte J(z), das elektrische Feld E(z) und das Potential
ϕ(z), jeweils in Abhängigkeit der z-Koordinate, unter der Annahme σ1 > σ2 .
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2.5 Ableitbelag
Berechnen Sie den Ableitbelag (den Leitwert pro Leiterlänge) bei gegebener Stromstärke I
a) eines Koaxialleiters mit den Radien Ri und Ra .
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a, a rD ).
2.6 Widerstandsberechnung I
Gegeben ist ein leitender Bügel, der die Form eines halbierten Hohlzylinders besitzt (Leitfähigkeit σ, Breite b, Innenradius ri , Außenradius ra ). An seinen quadratischen Kontaktflächen wird
ein Strom I eingespeist. Die Kontaktflächen sind ideal leitfähig und somit Äquipotentialflächen.
Überlegen Sie sich den Verlauf der Feldlinien und der Äquipotentialflächen. Berechnen Sie
außerdem den Verlauf der Stromdichte J und den Widerstand R.
σ
ra
ri
b
I
U
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2.7 Widerstandsberechnung II [P]
3D - Modell
Draufsicht
β
U
Querschnittsfläche
α
r1
r2
Für die folgende Aufgabe ist der oben dargestellte Ausschnitt eines Rotationskörpers gegeben.
Der Körper besteht aus einem homogenen Material mit spezifischer Leitfähigkeit σ. Zwischen
den als ideal leitfähig angenommenen Elektroden (grau schattiert) wird eine Spannung U > 0
angelegt. Weiters sind die geometrischen Parameter α, β, r1 und r2 gegeben.
a) Optional (wird nicht bewertet): Überlegen Sie sich welche Symmetrieeigenschaften Sie ausnützen können. Welches Koordinatensystem wählen Sie? Überlegen Sie sich welche Form
Sie sich von elektrischem Feld E und Strömungsfeld J erwarten. Welche r-Abhängigkeit
erwarten Sie? Welche ϕ-Abhängigkeit?
b) Berechnen Sie das elektrische Feld E in Abhängigkeit der angelegten Spannung U .
c) Geben Sie einen Ausdruck für das zwischen den Elektroden herrschende elektrische Potential φ in Abhängigkeit des Winkels ϕ an (genaue Herleitung!). Wählen Sie als Randbedingungen φ(0) = U , φ(β) = 0.
d) Berechnen Sie die Stromdichte J in Abhängigkeit der angelegten Spannung U .
e) Welche mathematischen Auswirkungen hat es auf E und J wenn die Elektrodenflächen
nicht wie angegeben bei r = r1 beginnen sondern bei r = 0? Wie erklären Sie sich dieses
Verhalten anschaulich?
f) Benutzen Sie den für J erhaltenen Ausdruck um den Gesamtstrom I zu berechnen welcher
durch den Rotationskörper fließt. Welchen Ausdruck für I erhalten Sie für den Fall r1 = r2 ?
g) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des Rotationskörpers.
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2.8 Aufgabe: Kugelerder
i
φ
φA
φA
φB
φB
σ
S
rA
rB
r
Im Bild ist das Prinzip und der Potentialverlauf eines metallischen Halbkugelerders mit dem
Radius rE = 2 m für einen Hochspannungsmast dargestellt. Bei einem Kurzschluss fließt ein
Strom von 100 A ins Erdreich, dessen Leitfähigkeit σ = 0.05 S/m sei.
a) Berechnen Sie die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte und des Potentials im Erdreich
und bestimmen Sie den Erdungswiderstand.
b) Wie groß ist die auf einen Menschen bei einer Schrittweite von ∆s = 1 m wirkende Spannung, die sogenannte Schrittspannung zwischen den Füßen? Welchen Maximalwert kann
die Spannung annehmen?
c) Auf welchen Wert darf sich die Leitfähigkeit des Erdreichs ändern, damit die maximale
Schrittspannung 65 V nicht übersteigt?
2.9 Aufgabe: Halbkugelförmige Erder
-d
R
σ=0
0
σ>0
d
z
R
Gegeben sind zwei metallische Halbkugeln, die in einem Material mit Leitfähigkeit σ eingebettet sind. Über den Halbkugeln sei σ = 0. Ein Strom I fließe in die linke Halbkugel hinein
und aus der rechten wieder heraus.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien des Strömungsfeldes.
b) Geben Sie den Potentialverlauf entlang der z-Achse an und berechnen Sie daraus den Widerstand der Anordnung.
2.10 Aufgabe: Verlustleistung
Berechnen Sie die Verlustleistungsdichte in einem Kupferdraht (spezifischer Widerstand ρ =
0.0175 Ωmm2 /m) bei einer Stromdichte von 10 A/mm2 .
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