3 Magnetostatik

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3 Magnetostatik
3.1 Lorentzkraft
In einer Reihe von Experimenten mit elektrisch geladenen und (oder) magnetischen Körpern
beobachtete man die Wirkung von Kräften zwischen bzw. auf diese Körper. Um diese Kräfte
(mathematisch) beschreiben zu können wurden zunächst die Begriffe der elektrischen und magnetischen Felder eingeführt. Siehe auch: (klassische) Feldtheorie.
Unter Verwendung der folgenden Größen in SI-Einheiten(!)
~
Magn. Flussdichte B
elektrische Ladung Q [Q] = C = A s
Geschwindigkeit
~v
[~v ] =
m
s
~
E
El. Feldstärke
~ =T=
[B]
~ =
[E]
V
m
=
Vs
m2
kg m
A s3
kann die Kraft, die ein elektromagnetisches Feld auf eine elektrische Ladung ausübt wie folgt
beschrieben werden:
~
• Befindet sich eine Ladung Q (ruhend oder bewegt) im Einfluss eines elektrischen Feldes E,
wirkt auf sie eine Kraft F~ , die in Richtung dieses E-Feldes zeigt und gleich dem Produkt der
Ladung und dem E-Feld ist.
~ mit der Geschwindigkeit ~v bewegt(!), so
• Wird eine Ladung Q in einem magnetischem Feld B
wirkt auf sie eine Kraft, die sowohl normal auf das B-Feld als auch auf die Geschwindigkeit
~ sin α. α ist der Winkel zwischen |~v | und |B|.
~
steht, wobei |F~ | = |Q| |~v | |B|
a) Geben Sie die allgemeine Definitionsgleichung der Lorentzkraft an.
b) Zeichnen Sie die Richtung der Kräfte auf die Ladung für folgende Fälle ein:
1. Ladung im elektrostatischem Feld
v
E
+
ruhend
E
+
bewegt
2. Ladung im magnetostatischem Feld
B+ v
B+
ruhend
bewegt
3. Ladung im elektro- und magnetostatischem Feld
E
B+
ruhend
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E
v
B+
bewegt
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3.2 Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall
Die Skizzen der Feldlinienbilder eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters und einer Punkt– (bzw. Kugelladung) sollen Ihnen helfen die Maxwellgleichungen für den elektrostatischen und magnetostatischen Fall anzugeben. (Anm.: Elektrostatik: ruhende Ladungen.
Magnetostatik: mit konsanter Geschwindigkeit bewegte Ladungen d.h. konstanter Strom.)
a) Zeichen Sie die zwei erwähnten Feldlinienbilder (Beginnen Sie mit dem Feldlinienbild
des stromdurchflossenen Leiters)
b) Was sagt Ihnen die Form der Feldlinien? ⇒ 1. und 2. Maxwellgleichung in differentieller
Form.
c) Was können Sie aus den Feldlinienbildern über das „Quellverhalten” beider Fälle aussagen? ⇒ 3. und 4. Maxwellgleichung in differentieller Form.
d) Geben Sie die Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall in differenzieller und in Integralform an.
3.3 Unendlich ausgedehnter stromführender Draht
Gegeben sei ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r0 , der von dem Gleichstrom I durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und außerhalb
des Leiters unter der Annahme, dass sich der Strom gleichmäßig über den Leiterquerschnitt
verteilt.
Da es sich um einen stabförmigen Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten
verwendet. Der Leiter sei entlang der z-Achse des Koordinatensystems positioniert, sodass der
Stromdichtevektor nur eine z-Komponente aufweist (siehe Bild).
z
P(r,φ,z)
z
φ
r
y
x
a) Überlegen Sie sich wie das Feld aus Symmetriegründen aussehen muss.
b) Berechnen Sie nun die magnetische Feldstärke mithilfe der Maxwellgleichungen in Integralform,
• Hi im Leiter
• Ha außerhalb des Leiters
und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar.
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c) Transformieren Sie nun Ihr Ergebnis für die magnetische Feldstärke von Zylinder- in
kartesische Koordinaten,



Hr

H(r, φ, z) = Hφ 

Hz
−→

Hx

H(x, y, z) = Hy 

Hz
und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Berechnung von div H und rot H.
3.4 Rechte–Hand–Regeln
In der Elektrotechnik verwenden wir zwei „Rechte–Hand–Regeln“. Anm.: lt. Wikipedia auch:
Drei–Finger–Regel und Korkenzieherregel (Rechte–Faust–Regel).
• Wo finden diese Regeln Anwendung und was beschreiben Sie?
3.5 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
a) Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei unendlich dünnen parallelen Leitern im Abstand d = 25 cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom I = 25 kA durchflossen werden?
b) Wie groß muss der Strom I sein, der durch zwei parallele Leiter mit Abstand d = 1m
fließt, sodass sich diese mit einer Kraft von 2 · 10−7 N/m abstoßen? Müssen die Leiter
gleich- oder gegensinnig durchflossen werden?
3.6 Gesetz von Biot-Savart
Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: Beweisen Sie anhand
der Abbildungen folgende Aussagen:
a) H =
i
2R
b) H =
R2 i
2(R2 +z 2 )3/2
im Mittelpunkt des Kreisstromes;
auf der Achse des Kreisstromes.
ds
H
r
dφ
R
i
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0
z
dH1
γ
dH2
γ
dH
z
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3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]
µ0 I Z ds0 × (r − r0 )
B=
4π
|r − r0 |3
a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral).
b) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen
Leiter die gleiche Lösung liefern.
H(r)
r
I
Hinweise:
dx
Z
q
(a2 + x2 )3
=
a2
√
x
lim √ 2
= ±1
x→±∞
a + x2
x
a2 + x 2
c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die vom Strom I durchflossen wird (mit dem Biot-Savartschem Gesetz).
a
b
I
d) Betrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als (unendlich) lange Leiter und
berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit dem
Ampèreschen Gesetz).
e) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten c) und d) wenn a = b gilt? Welche
Lösung ist die „richtigere“, warum?
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3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P]
(a)
(b)
(c)
L
L
L
B
B
R
y
P
R
x
L
y
I
R
L
x
R
L
I
I
Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem
Strom I durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit
Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R.
Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde
aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche Berechnungen in
diesem Beispiel vernachlässigt werden.
a) Berechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte B im Punkt P = (0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur
Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von Biot-Savart verwendet werden.
b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = −1.6 × 10−19 C) das sich im Punkt P in
Ruhe befindet?
c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld B = (0, 0, −B)
(siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung
an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische
Koordinaten zu verwenden.
d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde durch
ein rechtwinkeliges ersetzt. Berechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche auf den
Leiter wirkt. Was fällt Ihnen auf?
3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen
a) Leiten Sie aus der ersten und der vierten Maxwellgleichung das Verhalten von H- und BFeld an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Permeabilitäten her. Zeigen Sie
dabei:
• Die Tangentialkomponenten des H-Feldes bleiben konstant, d.h.: Ht1 = Ht2 .
• Die Normalkomponenten des B-Feldes bleiben konstant, d.h.: Bn1 = Bn2 .
b) Betrachten Sie zwei Medien mit sehr hoher und sehr niedriger (relativer) Permeabilität (z.B.
Eisen und Luft). Wie verlaufen B- und H- Feld in (unmittelbarer) Nähe der Grenzfläche
• im Eisen?
• in der Luft?
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3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung
~ und der magnetische Fluss Φ zusammen?
a) Wie hängen die magnetische Flussdichte B
b) Geben Sie die Durchflutung einer Spule mit N Windungen an, durch die der Strom I fließt.
~ = 1 T.
c) Ein Elektromagnet (N = 1000, I = 0.1 A) erzeugt eine magnetische Flussdichte B
Bestimmen Sie den magnetischen Fluss Φ, der auf einer Querschnittsfläche von A = 100 cm2
~ die Fläche senkrecht durchdringt.
erzeugt wird, wenn B
d) Berechnung des magnetischen Fluss in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie den
von einem langen, geraden mit dem Strom I durchflossenen Leiter in einer rechteckigen
Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife
in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt.
Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem!
3.11 Eisenkreis
a) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ für einen allgemeinen Eisenkreis mit Luftspalt
und leiten Sie daraus die Beziehungen für eine netzwerktheoretische Beschreibung her.
(Annahme: Das B-Feld ist im Eisen konzentriert.)
b) Vergleichen Sie die magnetischen Widerstände für Eisen und Luft. (Annahme: Gleiche
Flächen und Homogenität des Magnetfeldes.)
c) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
vertikal von einem Magnetfeld durchflutet wird.
d) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
radial von einem Magnetfeld durchflutet wird.
3.12 Eisenkreis – Drehstromtransformator
1. Für den magnetischen Kreis im nachfolgenden Bild (Drehstromtransformator) gilt:
Rm,1 = Rm,2 = 800 . 103 H−1
Rm,3 = 500 . 103 H−1
w1 = 700
i1 = i2 = 0.1 A
w2 = w3 = 500 i3 = 0.2 A
Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode.
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3.13 Spannungsinduktion I – Bewegte Leiter im (homogenen)
Magnetfeld
a) Spannungsinduktion in einem bewegten Leiter
Gegeben ist ein elektrisch leitfähiger Stab der Länge l, der sich mit der Geschwindigkeit
~ bewegt. Berechnen Sie die im Stab induzierte Spannung.
~v im homogenen Magnetfeld B
~
(Annahme: Rechter Winkel zwischen ~v und B)
b) Spannungsinduktion in einem rotierender Stab und in einer rotierenden Scheibe im Magnetfeld
Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden, metallischen Stab (a)
sowie mit einer rotierenden, metallischen, ’Barlowschen’ Scheibe (b) im ruhenden Magnetfeld. Der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden
Teile wird garantiert.
Berechnen Sie die induzierten Spannungen in beiden Anordnungen in Abhägngigkeit von
der Winkelgeschwindigkeit ω.
3.14 Spannungsinduktion II – Spannungsinduktion in einer starren
Leiterschleife
a) Eine starre Leiterschleife befindet sich in einem (zeitlich) veränderlichen Magnetfeld. Wie
groß ist die induzierte Spannung in der in der Leiterschleife?
b) Wie groß ist die Spannung an einer Spule mit N Windungen, die sich in einem zeitlich
veränderlichen Magnetfeld befindet?
c) Gegeben ist ein unbelasteter Trafo bestehend aus zwei Spulen mit den Windungszahlen
N1 und N2 , die durch ein Eisen (µFe , lFe , AFe ) ideal gekoppelt sind. (Vernachlässigung der
Streuflüsse.) Berechnen Sie die Spannung in Abhängigkeit des Spulenstromes I1 , die in
Spule 2 (unbelastet) induziert wird.
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3.15 Induktion in einer bewegten Leiterschleife
Die in der Abbildung gezeigte Drahtschleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts
bewegt. Ein konstanter Strom I fließt wie eingezeichnet durch den (als unendlich lang) angenommenen Draht.
I
a
R
v
b
1
2
1. Berechnen Sie den Betrag der induzierten Spannung in der Drahtschleife auf zwei verschiedene Arten:
a) Verwenden Sie das Faraday’sche Induktionsgesetz (Maxwell II).
b) Summieren Sie für alle Bereiche des Drahtes die jeweiligen Beiträge der Lorentzkraft,
welche aufgrund der Bewegung der Drahtschleife resultiert, zur induzierten Spannung
auf.
2. Bestimmen Sie die Richtung des induzierten Stromes in der Drahtschleife
a) durch Verwendung der Lenzschen Regel.
b) durch Betrachtung der magnetischen Kräfte auf die Ladungen in der Schleife.
3. Kontrollieren Sie anhand von Spezialfällen, ob Ihr Ergebnis aus 1 Sinn ergibt. Betrachten
Sie die Fälle:
• Die Drahtschleife bewegt sich nicht.
• Die Schleife ist sehr dünn, also a → 0.
• Die Schleife ist sehr weit vom stromführenden Draht entfernt.
3.16 Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen
Zu berechnen sind die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene
Anordnung.
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3.17 Spulen, Induktion, Koppelfaktoren
1. Magnetisch verkoppelte Spulen.
Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L1 = 10 mH und L2 = 20 mH sowie ein Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen ui1 , ui2 für
i1 = I1 + î sin ωt mit I1 = 10 A, î = 5A, ω = 2π · 50 Hz und i2 = 0 (leerlaufende Spule).
2. Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen.
Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r1 und r2 (r2 < r1 ), den
Längen l1 = l2 = l und den Windungszahlen w1 und w2 für den Fall, daß sich Spule 2
koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L1 und L2 , die Koppelfaktoren k1 und k2
sowie die Gegeninduktivität M12 = M12 = M .
3. Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung:
Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i, u-Verhalten
und diskutieren Sie das Ergebnis.
3.18 Magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels
Berechnen Sie die magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels. Die inneren Induktivitäten der Leiter müssen nicht explizit berechnet werden.
Hinweis: Die magnetische Energie W setzt sich aus der des Innenleiters, des isolierenden Zwischenraumes und des Außenleiters zusammen.
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3.19 Railgun
Das Konzept der Railgun besteht darin, Projektile mittels eines stromführenden Schlittens entlang zweier parallel laufenden Schienen zu beschleunigen. Neben militärischen Applikationen
wurde auch überlegt, Nutzlasten damit ins Weltall zu befördern/schießen, und somit teure Raketenstarts zu vermeiden. Im Folgenden wird ein vereinfachtes Modell einer Railgun diskutiert.
I
B
I
B
F
F
l
Ein leitender Stab mit Masse m und Länge l gleitet entlang zweier Schienen welche mit einer
Stromquelle I verbunden sind. Der Bereich zwischen den Schienen wird von einem konstanten
Magnetfeld B ausgefüllt. Zur Vereinfachung der Rechnung werden störende Einflüsse wie Reibung oder elektrischer Widerstand vernachlässigt, genauso wie das durch die stromführenden
Schienen erzeugte (zusätzliche) Magnetfeld.
a) Berechnen Sie die Kraft F welche auf den Stab wirkt.
b) Falls sich der Stab anfänglich in Ruhe befindet, welche Strecke s muss er nach Einschalten
des Stroms zurücklegen bis er eine Geschwindigkeit v erreicht?
c) Anwendung: Wie lange müssen die Schienen sein, um eine Last von m = 25 kg ins Weltall
zu schießen? Die Last muss die Fluchtgeschwindigkeit der Erde erreichen, v = 11.2 km/s.
Verwenden Sie die Werte B = 0.5 T, I = 1 · 106 A, und l = 50 cm.
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3.20 Geschwindigkeits- bzw. Energiefilter mit gekreuztem elektrischen
und magnetischen Feld
a) Überlegen Sie sich, wie man aus einem Strahl von positiven (negativen) Ladungsträgern
unterschiedlicher Geschwindigkeit und gleicher Masse die Ladungsträger einer vorgegebenen Geschwindigkeit mit Hilfe eines jeweils darauf senkrecht stehenden magnetischen und
elektrischen Feldes (jeweils homogen und zeitkonstant) herausfiltern kann.
B
v
-q
v = vsoll
E
b) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ladung der Ladungsträger in obiger Anordnung?
c) Wie ist die Spannung U am Ablenkkondensator (Plattenabstand d = 10 mm) für B = 0.1 T
zu wählen, falls Protonen mit v = 0.1c herausgefiltert werden sollten?
3.21 Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft
Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im Bild gezeigt ist die
Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei homogenem
Feld in der Fläche A abzuleiten.
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3.22 Magnetkreis, Spannungsinduktion, Virtuelle Verschiebung [P]
Gegeben ist die in Abb. I und II dargestellte Anordnung, die zur Dickenmessung (nicht magnetisch leitfähiger Materialien) verwendet wird. Über die in der Spule 2 induzierten Spannung
kann auf die Dicke des zu vermessenden Objekts geschlossen werden.
Annahmen:
• I1 = Î1 cos(ωt) wird konstant gehalten (gilt für Pkt. a bis c).
• Querschnitt des Eisens: A = konst.
• Die Länge des Eisens lF e kann (trotz der Verschiebung) als konstant angenommen werden.
• Der Strom in Spule 2 ist vernachlässigbar.
Beachten Sie: µF e ist endlich! (Kann nicht als unendlich angenommen werden.)
a) Zeichnen Sie das magnetische Ersatzschaltbild der Anordnung in Abb. I und berechnen Sie
die magnetische Flussdichte im “Luftspalt”.
b) Berechnen Sie zunächst die induzierten Spannungen U (lO ) (siehe Abb. I) sowie U (0) (siehe
Abb. II) und geben Sie anschließend U (lO ) = f (U (0), lF e , lO , µr,F e ) an.
c) Geben Sie die magnetischen Energien an, die im “Luftspalt” sowie im Eisen gespeichert
sind (Abb. I). Wo ist der Hauptanteil der magnetischen Energie gespeichert?
d) Berechnen Sie die Kraft mit der das Messobjekt eingeklemmt wird (Abb. I). Annahme: Φ
ist konstant.
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3.23 Gleichstrommaschine [P]
N IS
μFe
μFe
Polschuh
rs
IR
Anker
rr
z
β
α
rL
φ
r
Stator
In der obigen Abbildung ist der prinzipielle Aufbau einer Gleichstrommaschine dargestellt.
• Der äußere Teil heißt Stator. Er trägt die Erregerwicklung (repräsentiert durch N IS ), die zur
Erzeugung des Magnetfeldes dient. (N IS berücksichtigt die obere und die untere Wicklung).
• Der innere Teil heißt Anker. Er trägt die Ankerwicklung (repräsentiert durch IR ), die dazu
benötigt wird um ein Drehmoment in den Anker einzuprägen. Der Anker ist drehbar gelagert.
• Länge der Maschine in axialer (z) Richtung: L
• µF e → ∞
a) Zeichnen Sie in die Abbildung unten den Verlauf der Feldlinien der magn. Flussdichte.
b) Berechnen Sie die Magnetische Flussdichte B(rL ) im Luftspalt.
c) Leiten Sie aus der Definition der Lorentzkraft die Kraft auf einen geraden, stromdurchflossenen Leiter her, der sich in einem homogenen Magnetfeld befindet.
d) Berechnen Sie das Moment auf den Anker, wenn sich die Ankerwicklung unter den Polschuhen befindet (d.h. β ≤ ϕ ≤ α + β)
e) Zeichnen Sie den Drehmomentenverlauf für eine ganze Umdrehung des Ankers.
μFe
μFe
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