Aufgabenkatalog zur ¨Ubung Elektrotechnik 2

TNF
Aufgabenkatalog zur
Übung Elektrotechnik 2
SS 2012
Übungsleiter:
Gerda Buchberger
Martin Heinisch
Wolfgang Hilber
Stefan Schaur
Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik
Altenbergerstr. 69, 4040 Linz, Internet: www.ime.jku.at
Aufgabenkatalog ET2 - v12.1
SS2012
SI-System - Größen und Einheiten
Basiseinheiten:
Größe
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Symbol
s
m
t
I
T
Iv
n
Einheit
[s] =
[m] =
[t]
=
[I] =
[T ] =
[Iv ] =
[n] =
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
Symbol
F
E
P
Q
U
R
G
C
L
Φ
B
Einheit
[F ] = N = kgs2m
2
[E] = J = N m = kgsm
2
2
[P ] = W = Js = kgsm
3
[Q] = C = A s
2
[U ] = V = kgA m
s3
m2
= kg
[R] = Ω = V
A
A2 s3
A
A2 s3
[G] = S = V
= kg
m2
As
C
[C] = F = V = V
[L] = H = Wb
= VAs
A
[Φ] = Wb = V s
[B] = T = Wb
= Akgs2
m2
m
kg
s
A
K
Cd
mol
Abgeleitete Einheiten:
Größe
Kraft
Energie
Leistung
El. Ladung
El. Spannung
El. Widerstand
El. Leitwert
El. Kapazität
Induktivität
Magn. Fluss
Magn. Flussdichte
Dielektrizitätskonst.
Permeabilitätskonst.
ε0
µ0
[ε0 ]
[µ0 ]
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
=
=
F
m
H
m
=
=
Name
Newton
Joule
Watt
Coulomb
Volt
Ohm
Siemens
Farad
Henry
Weber
Tesla
ε0 = 8.854 · 10−12 VAms
µ0 = 4π · 10−7 AVms
As
Vm
Vs
Am
Präfixe:
k
M
G
T
P
E
Z
Y
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
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Milli
Mikro
Nano
Pico
Femto
Atto
Zepto
Yokto
m
µ
n
p
f
a
z
y
2
Aufgabenkatalog ET2 - v12.1
SS2012
0 Einführung
Mathematische Grundlagen
0.1 Skalarfeld, Vektorfeld I
Die Temperatur T in einem (quaderförmigen) Haus lässt sich beschreiben durch
T (r) = z + 23 +
x2
5
.
+5
Außerhalb des Hauses weht der Wind mit
2x3 y 3 z 2


W(r) =  3xy 2 z 2  .
x4 yz + 2


Handelt es sich bei den beschriebenen Funktionen um Skalarfelder? Vektorfelder? Argumentieren Sie.
0.2 Skalarfeld, Vektorfeld II
Berechnen Sie, sofern zulässig, rot (∇ × f ), grad (∇f ) und div (∇ · f ) der Felder aus Bsp. 0.1.
0.3 Gradient
Berechnen Sie die Gradientenfelder der Skalarfelder:
a)
b)
x2 y 2
+
10 20
1
f2 (r) = 2x4 z − xy 4 z 3 − 10
3
f1 (x, y) = 1 −
Was gibt der Gradient eines Skalarfeldes an?
0.4 Divergenz
Berechnen Sie die Divergenzen der Vektorfelder:

a)

x
 
V1 (x, y) =  y 
0

b)
V2 (r) =
(x2
+
C
+ z 2 )(3/2)
y2

x
 
 y 
z
Was gibt die Divergenz eines Vektorfeldes an? Versuchen Sie beide Vektorfelder zu skizzieren.
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3
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SS2012
0.5 Rotation
Berechnen Sie die Rotationen der Vektorfelder:

a)

b)

−y

V3 (r) =  x 

0

6xy + 3yz

V4 (r) =  3x2 + 3xz 

3xy
Was gibt die Rotation eines Vektorfeldes an? Versuchen Sie das Vektorfeld V3 zu skizzieren.
0.6 Operatoren
Es sei E der Vektor des stationären elektrischen Feldes und ϕ das zugehörige elektrische Potential. Welche der folgenden Ausdrücke sind gültig?
a) div grad ϕ b) grad div E c) div ϕ d) div div E e) rot rot E f) div rot E
0.7 Koordinatensysteme, Linien- und Oberflächenintregrale
Informationen zu krummlinigen Koordinatensystemen und zur Berechnung von Linien- und
Oberflächenintegralen finden Sie im Dokument Koordinatensysteme.pdf auf der Institutshomepage.
SI Einheiten
0.8 SI: Volt
Geben Sie die Einheit für die elektrische Spannung, Volt (V), in SI-Basiseinheiten an.
0.9 SI: Ohm
Geben Sie die Einheit für den elektrischen Widerstand, Ohm (Ω), in SI-Basiseinheiten an.
0.10 SI: Farad
Geben Sie die Einheit für die elektrische Kapazität, Farad (F), in SI-Basiseinheiten an.
0.11 SI: Henry
Geben Sie die Einheit für die Induktivität, Henry (H), in SI-Basiseinheiten an.
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1 Elektrostatik
1.1 Coulombsches Gesetz
Für das elektrische Feld (im Vakuum) am Punkt ~r, das von einer Punktladung q am Ort ~r1
herrührt (siehe Abbildung) ergibt sich:
~ r) =
E(~
~r − ~r1
~r − ~r1
q1
= q1
2 ·
4πε0 |~r − ~r1 | |~r − ~r1 |
4πε0 |~r − ~r1 |3
P
E
q1
r
r1
0
a) Welche Variable bezeichnet den “Aufpunkt”, welche den “Laufpunkt (Quellpunkt)”?
b) Skizzieren Sie das elektrische Feld (Richtung, Feldstärke und Feldlinien) in der Umgebung
~ = −∇ϕ).
einer Punktladung und geben Sie das zugehörige Potential ϕ an (E
c) Welche Kraft wirkt auf eine zweite Punktladung q2 in diesem Feld?
1.2 Superposition von elektrischen Feldern 1
In einem Raum befinden sich drei nicht auf einer Geraden liegende Punktladungen q1 < 0,
q2 < 0 und q3 > 0, mit Ortsvektoren x1 , x2 , x3 .
a) Skizzieren Sie das Feld an der Stelle der Ladung q3 , das von den Ladungen q1 und q2
verursacht wird.
b) Wie groß ist die Kraft auf Ladung q3 ? In welche Richtung zeigt sie? Zeichnen Sie die Kraft
in die Skizze aus Pkt. a) ein.
1.3 Superposition von elektrischen Feldern 2
Gegeben sind drei Punktladungen im Raum (siehe Grafik). q1 und q2 sind mit einem (isolierenden) Stab an ihrer Position fixiert, q3 kann sich frei bewegen. Berechnen Sie die Kraft F welche
auf die Ladung q3 wirkt und zeichnen Sie ihre Richtung ein.
+
q1 = 3 μC
40 cm
30 cm
+
0
q3 = 5 μC
30 cm
+
q2 = 3 μC
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1.4 Superposition von elektrischen Feldern 3 [P]
Ein Ring mit dem Radius r und vernachlässigbar kleinem Querschnitt trägt die gleichmäßig am
Umfang verteilte Ladung q1 . Im Abstand a von diesem Ring befindet sich eine Punktladung q2
(siehe Skizze). Die gesamte Anordnung soll sich im Vakuum befinden (ε = ε0 ). Welche Kraft F
üben beide Ladungen aufeinander aus?
Hinweis: Betrachten Sie zunächst ein kleines Leiterstück des Ringes und überlegen Sie sich
welche Komponente aufgrund der Symmetrie zur resultierenden Kraft beiträgt.
dq
q1
a
q2
r
1.5 Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld
Die positive Ladung Q1 = Q0 befindet sich am Ort x = 0 und die positive Ladung Q2 = 4Q0
am Ort x = d. Eine dritte Ladung Q3 ist in der Verbindungslinie der beiden Ladungen Q1 und
Q2 so platziert, dass sich das Gesamtsystem im Kräftegleichgewicht befindet. Bestimmen Sie
den Ort x der Ladung Q3 , ihren Betrag und ihr Vorzeichen.
1.6 Kraft auf eine Ladung
Ein freies Elektron (Masse me = 9.11 · 10−31 kg) besitzt zum Zeitpunkt t0 die Geschwindigkeit
~ = 100 V/m beschleunigt. In welche Richtung
v = 0 und wird in einem elektrischen Feld E
bewegt sich das Elektron, welche Geschwindigkeit erreicht es nach einer Strecke von 1 cm und
wie lange braucht es dazu?
1.7 Elektronenstrahlröhre
Mit Hilfe der Spannung UB werden die Elektronen von der Glühkathode auf eine Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Diese treten dann in das durch die Spannung UD erzeugte elektrische Feld
ein und werden abgelenkt.
Auf dem Leuchtschirm entsteht im Auftreffpunkt P des Elektronenstrahles ein heller Lichtpunkt, dessen Koordinaten in Abhängigkeit von UD berechnet werden sollen. Zur Vereinfachung
soll ein homogenes elektrisches Feld im Bereich der Platten angenommen werden. Streufelder
sind vernachlässigbar.
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-
ng
igu
eun
chl
s
Be
ng
nku
le
Ab
hir
dsc
l
i
B
m
a) Stellen Sie im Bereich der Ablenkplatten die Bahnkoordinaten x(t) und y(t) in Abhängigkeit
der Zeit t auf und stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung auf.
b) Berechnen Sie den Austrittswinkel des Elektronenstrahls.
c) Stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung nach dem Passieren der Ablenkplatten auf und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P .
1.8 Potential einer Punktladung
Berechnen Sie das Potential im Abstand r von der Punktladung Q1 sowie die potentielle Energie
einer Ladung Q im Abstand r von der Punktladung. Geben Sie mit diesen Ergebnissen die
Beziehungen für die Spannung und die Differenz der potentiellen Energie der Ladung Q zwischen
den Punkten A und B an.
1.9 Wegunabhängigkeit für Integral der Feldstärke
Beweisen Sie dass
I
~ d~s = 0
E
~ =
für das Feld einer Punktladung Q1 im Ursprung (E
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Q1 ~
x
).
4πε0 |~
x|3
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1.10 Elektrisches Feld einer Punktladung (Maxwell)
Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung im Abstand r unter Verwendung der
Maxwell-Gleichung für das statische E-Feld.
1.11 Elektrisches Feld einer Leiterplatte
Berechnen Sie das elektrische Feld einer unendlich dünnen, unendlich ausgedehnten Leiterplatte
mit Oberflächenladungsdichte σ. Verwenden Sie dieses Ergebnis um das elektrische Feld eines
Plattenkondensators zu bestimmen (2 Platten im Abstand d mit Ladungen +σ und −σ).
1.12 Potential eines Hohlzylinders (Maxwell)
Berechnen Sie E und ϕ für einen sehr langen Hohlzylinder mit dem Radius r0 und der Länge
l, der eine gleichmäßig auf den Zylindermantel verteilte Ladung Q trägt.
Hinweis: Der Einfluss der Zylinderstirnseiten sei vernachlässigbar.
1.13 Kugelsymmetrie (Maxwell)
Berechnen Sie E und ϕ bei kugelsymmetrischer Raumladungsverteilung
1. für ρ = ρ0 = konst. innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb
2. für ρ = cr innerhalb der Kugel mit dem Radius rk und ρ = 0 außerhalb
3. für eine Hohlkugel mit dem Radius rk , die die Ladung Q trägt.
1.14 Elektrostatisches Feld an Grenzflächen
Wie verhalten sich D und E an der Grenzfläche zweier Dielektrika? Beschreiben und skizzieren
Sie das daraus resultierende Brechungsgesetz.
1.15 Spiegelungsprinzip
Eine negative Punktladung befindet sich im Vakuum in der Nähe eines ebenen massiven Leiters,
dessen Gesamtladung Null sei (siehe Bild). Das Feldbild soll interpretiert und berechnet werden.
Wie ist die Ladungsdichte an der Obfläche des massiven Leiters verteilt?
+
+ +++ +
-
+
+
+
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+
+
+ +++ +
+
+
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1.16 Kapazitäten
Berechnen Sie die Kapazitäten für die folgenden Fälle:
Anmerkung: Die folgenden Kondensatoren bestehen jeweils aus zwei Elektroden, die die Ladungen +Q und −Q tragen
a) Kugelkondensator
b) Zylinderkondensator
c) Plattenkondensator
d) Zwei Kugeln (Radien rK , Abstand a)
e) Zweidrahtleitung (Radien rD , Abstand a)
1.17 Plattenkondensator mit geschichtetem Medium
Zeichnen Sie die elektrische Flussdichte D und die elektrische Feldstärke E in einem geladenen
(Ladung Q) Plattenkondensator mit a) parallel und b) senkrecht geschichtetem Dielektrikum
(ε1 > ε2 ) schematisch in Feldliniendarstellung.
Der Kondensator hat die Plattenhöhe h = 10 cm, Plattenbreite b = 15 cm und Plattenabstand
d = 1 cm. Die dielektrischen Schichten ε1 = 4 · ε0 und ε2 = 2.7 · ε0 sind bei x = 6.25 mm bzw.
y = 5.3 cm getrennt.
Berechnen Sie E, D, die Spannung U und die Kapazität C für beide Anordnungen für eine
Gesamtladung Q = 18 nC.
1.18 Aufgabe: Kapazitätsberechnung
Berechnen Sie den Kapazitätsbelag (die Kapazität pro Leiterlänge)
a) eines Zylinderkondensators mit den Radien ri und ra des Innen- bzw. Außenleiters. Berechnen Sie außerdem den Verlauf der elektrischen Feldstärke und des Potentials.
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien rD im Abstand a). Welche Näherung wird bei diesem Beispiel getroffen?
1.19 Drehkondensator
Gegeben ist der abgebildete Drehkondensator, welcher aus zwei parallelen halbrunden Leiterplatten (Radius R) des Abstandes d besteht. In Abhängigkeit des Drehwinkels kann die Kapazität verändert werden. Es soll eine homogene Feldverteilung zwischen den Platten angenommen
werden. Außerhalb dieser sei das Feld vernachlässigbar.
α
R
d
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a) Bei welchem Winkel tritt die maximal erreichbare Kapazität auf, und wie groß ist sie? Wie
groß ist in diesem Fall (bei bekannter Spannung U ) die die Flächenladungsdichte auf den
Platten?
b) Berechnen Sie die Kapazität in Abhängigkeit des Drehwinkels α.
c) Berechnen Sie die Spannung U (α) in Abhängigkeit des Drehwinkels. Nehmen Sie an, dass
U (0) = U0 ist und die Gesamtladung beim Drehen konstant bleibt.
1.20 Kugelkondensator mit geschichtetem Dielektrikum
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kugelkondensators mit geschichtetem Dielektrikum.
Berechnen Sie die Verläufe der elektrischen Feldstärke, des Potentials in Abhängigkeit von r
sowie die Kapazität des Kugelkondensators.
-Q
+Q
εr2
εr1
0 r
1
r2
r3
r
1.21 Plattenkondensator mit inhomogenem Dielektrikum [P]
Ein Plattenkondensator enthalte ein inhomogenes Dielektrikum, dessen Dielektrizitätszahl sich
mit εr = 1 + y30 y entlang der y-Achse verändert. Weiters seien die Kondensatorplattenfläche A
sowie der Plattenabstand y0 gegeben, wobei sich die Ladung +Q auf der unteren Platte bei
y = 0 und die Ladung −Q auf der oberen Platte bei y = y0 befindet.
y
y0
-Q
A
0
+Q
a) Stellen Sie sich das Dielektrikum in erster Näherung als viele dünne übereinander gestapelte
Schichten mit unterschiedlicher Dielektrizitätszahl vor. Welche allgemeinen Aussagen können Sie über das elektrische Feld E und die dielektrische Verschiebung D treffen? (Richtung,
Stetigkeitsbedingungen, . . . )
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b) Wie groß ist die Kapazität des Plattenkondensators?
c) Bestimmen Sie die Polarisation P(y) des Dielektrikums.
d) Welche Flächenladungsdichte σpol wird an den Oberflächen des Dielektrikums induziert?
e) Bestimmen Sie die Polarisationsladungsdichte ρpol (y) im Dielektrikum.
f) Integrieren Sie den Ausdruck für die Polarisationsladungsdichte aus e) über das gesamte
Dielektrikum und zeigen Sie, dass die gesamte induzierte Ladung unter Einschluss der
Oberflächenladungen aus d) gleich null ist
1.22 Nabla-Operator


∂/∂x

~
Berechnen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ = ∇ = ∂/∂y 
r
 die folgenden Ausdrücke. ~
∂/∂z
 
x
 
bezeichnet dabei den Vektor ~r = y , während f eine skalare Funktion f = f (x, y, z) darstellt.
z
a)
1
∇ |~r−~
r0 |
b)
∇ · ~r
c)
∇f
d)
)
∇ ϕ(f
f
1.23 Energieberechnung
Gegeben ist eine leitende Metallkugel mit dem Radius a, auf die die Gesamtladung Q aufgebracht ist.
a) Wie ist die Ladung verteilt? Geben Sie die Ladungsdichte an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) Überlegen Sie sich, warum die Anordnung als Kondensator beschrieben werden kann. Wieviel Engergie ist in ihm gespeichert?
1.24 Energieberechnung
Gegeben ist eine Gesamtladung Q, welche im Vakuum innerhalb einer dielektrischen Kugel mit
ε1 und dem Radius a gleichmäßig verteilt ist.
a) Geben Sie die Raumladungsdichte innerhalb des kugelförmigen Bereiches an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) Wieviel Engergie ist in der Anordnung gespeichert?
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1.25 Zylinderkondensator [P]
Gegeben sei ein Zylinderkondensator der Länge l, in dem sich ein längsgeschichtetes Dielektrikum mit den beiden relativen Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 befindet (ε1 > ε2 ). Der innere
und der äußere Mantel seien mit einer Spannungsquelle mit der Spannung U verbunden.
Hinweis: In den Rechnungen dürfen die Mäntel als unendlich leitfähig angenommen werden
und Randeffekte in der Nähe der Stirnseiten des Kondensators vernachlässigt werden.
U
α
ε1
ε2
ra
l
ri
a) Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf des D-Feldes in eine Skizze des Querschnitts ein.
b) Berechnen Sie die Gesamtladung des Kondensators in Abhängigkeit der angelegten Spannung.
c) Berechnen Sie den Anteil der Gesamtladung Q1 /Q, der sich auf dem äußeren Mantel über
dem Dielektrikum 1 (ε1 ) ansammelt.
d) Berechnen Sie die im Kondensator gespeicherte Energie.
e) Welchen Radius ra müsste ein Zylinderkondensator ohne Dielektrikum (mit gleichem l, ri )
besitzen, um bei gleicher Spannung U die gleiche elektrische Energie zu speichern?
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1.26 Zylinderkondensator 2 [P]
Gegeben sei ein Kondensator der Länge l, in dem sich ein längsgeschichtetes Dielektrikum mit
den beiden relativen Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 befindet. Die leitenden Flächen des
Kondensators seien mit der Gesamtladung +Q bzw −Q geladen.
III
I
-Q
+Q
IV
α1 ε 1
α2
ra
ε2
II
l
ri
a) Zeichnen Sie den Verlauf des elektrischen Feldes in obige Skizze ein (Vereinachung: ε1 ≈ ε2 ).
b) Berechnen Sie allgemein die am Kondensator anliegenden Spannung in Abhängigkeit von
Q und α1 .
c) Berechnen Sie die Oberflächenladungen QI , QII , QIII , QIV der Platten in Abhängigkeit von
α1 und Q.
d) Geben Sie die Gesamtkapazität des Kondensators an. Für welche Winkel α1 , α2 , wird sie
minimal?
e) Zeigen Sie, dass im Zylinderkondensator W = 1/2 QU gilt.
1.27 Kraftwirkung im elektrischen Feld
Wie groß ist die maximale Anziehungskraft je cm2 , welche zwischen den Platten eines Plattenkondensators auftritt, wenn die Durchschlagsfeldstärke mit 30 kV/cm und ein homogenes Feld
angenommen werden?
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1.28 Kraft auf Grenzflächen
Gegeben sei der dargestellte Bandgenerator. Erzeugte Ladungen (durch mechanische Reibung)
werden auf ein bewegtes, isolierendes Band aufgesprüht (Funkenstrecke), sitzen dort fest (Isolator), und werden dann mechanisch ins Innere der Kugel gebracht. Von dort werden sie mit einer
Metallelektrode (Metallkamm) abgesaugt und auf die Oberfläche der Hohlkugel transportiert,
wo sie sich verteilen.
Die erzeugte Spannung wird abgegriffen und an einen Plattenkondensator angelegt, dessen
Elektroden teilweise in Trafoöl eintauchen. Durch ständiges Drehen an der Kurbel des Bandgenerators bewegt sich das Öl im Bereich zwischen den Platten auf und ab.
a) Warum ist das so?
b) Berechnen Sie die Steighöhe h in Abhängigkeit der am Kondensator auftretenden Spannung
U.
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1.29 Zylinderkondensator als Waage [P]
Gegeben sei ein Zylinderkondensator der Länge l. Der innere Zylinder habe den Radius ri , der
Mantel den Radius ra . Der Mantel trage die Ladung +Q, der inner Zylinder die Ladung −Q.
Beide Mantelflächen seien unendlich leitfähig.
In dem Zylinderkondensator befinde sich außerdem ein frei bewegliches zylinderförmiges Dielektrikum mit der Masse m, das den Raum zwischen innerem Zylinder und Mantel voll ausfülle
und ebenfalls die Länge l besitze.
Der innere und äußere Mantel des Kondensators werden an ein Voltmeter mit unendlich
hohem Eingangswiderstand angeschlossen.
-Q
x
l
+Q
εr
εr
ri
ra
3D-Darstellung
Querschnitt mit Bemaßung
a) Berechnen Sie die in dem Zylinder gespeicherte Energie in Abhängigkeit der Einschubtiefe
x.
b) Finden Sie eine Funktion U (m).
c) Wie schwer darf das Dielektrikum maximal sein, damit es bei gegebener Ladung Q nicht
aus dem Zylinderkondensator rutscht?
d) Welche Spannung misst man, wenn das Dielektrikum die maximale Masse hat?
e) Wie könnte man die Sensitivität (Spannungsänderung/Massenänderung) erhöhen bzw. optimieren?
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