3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]

Aufgabenkatalog ET2 - v12.3
SS2012
3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]
µ0 I � ds� × (r − r� )
B=
4π
|r − r� |3
a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral).
b) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen
Leiter die gleiche Lösung liefern.
Hinweise: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)T
�
�
dx
(a2 + x2 )3
=
a2
√
x
a2 + x 2
lim √
x→±∞
x
= ±1
a2 + x 2
c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die vom Strom I durchflossen wird (mit dem Biot-Savartschem Gesetz).
d) Betrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als (unendlich) lange Leiter und
berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit dem
Ampèreschen Gesetz).
e) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten c) und d) wenn a = b gilt? Welche
Lösung ist die „richtigere“, warum?
3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P]
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Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem
Strom I durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit
Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R.
Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde
aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche Berechnungen in
diesem Beispiel vernachlässigt werden.
a) Berechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte B im Punkt P = (0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur
Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von Biot-Savart verwendet werden.
b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = −1.6 × 10−19 C) das sich im Punkt P in
Ruhe befindet?
c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld B = (0, 0, −B)
(siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung
an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische
Koordinaten zu verwenden.
d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde durch
ein rechtwinkeliges ersetzt. Berechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche auf den
Leiter wirkt. Was fällt Ihnen auf?
3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen
a) Leiten Sie aus der ersten und der vierten Maxwellgleichung das Verhalten von H- und BFeld an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Permeabilitäten her. Zeigen Sie
dabei:
• Die Tangentialkomponenten des H-Feldes bleiben konstant, d.h.: Ht1 = Ht2 .
• Die Normalkomponenten des B-Feldes bleiben konstant, d.h.: Bn1 = Bn2 .
b) Betrachten Sie zwei Medien mit sehr hoher und sehr niedriger (relativer) Permeabilität (z.B.
Eisen und Luft). Wie verlaufen B- und H- Feld in (unmittelbarer) Nähe der Grenzfläche
• im Eisen?
• in der Luft?
3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung
� und der magnetische Fluss Φ zusammen?
a) Wie hängen die magnetische Flussdichte B
b) Geben Sie die Durchflutung einer Spule mit N Windungen an, durch die der Strom I fließt.
� = 1 T.
c) Ein Elektromagnet (N = 1000, I = 0.1 A) erzeugt eine magnetische Flussdichte B
Bestimmen Sie den magnetischen Fluss Φ, der auf einer Querschnittsfläche von A = 100 cm2
� die Fläche senkrecht durchdringt.
erzeugt wird, wenn B
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d) Berechnung des magnetischen Fluss in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie den
von einem langen, geraden mit dem Strom I durchflossenen Leiter in einer rechteckigen
Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife
in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt.
Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem!
3.11 Eisenkreis
a) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ für einen allgemeinen Eisenkreis mit Luftspalt
und leiten Sie daraus die Beziehungen für eine netzwerktheoretische Beschreibung her.
(Annahme: Das B-Feld ist im Eisen konzentriert.)
b) Vergleichen Sie die magnetischen Widerstände für Eisen und Luft. (Annahme: Gleiche
Flächen und Homogenität des Magnetfeldes.)
c) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
vertikal von einem Magnetfeld durchflutet wird.
d) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der
radial von einem Magnetfeld durchflutet wird.
3.12 Eisenkreis – Drehstromtransformator
1. Für den magnetischen Kreis im nachfolgenden Bild (Drehstromtransformator) gilt:
Rm,1 = Rm,2 = 800 . 103 H−1
Rm,3 = 500 . 103 H−1
w1 = 700
i1 = i2 = 0.1 A
w2 = w3 = 500 i3 = 0.2 A
Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode.
3.13 Spannungsinduktion I – Bewegte Leiter im (homogenen)
Magnetfeld
a) Spannungsinduktion in einem bewegten Leiter
Gegeben ist ein elektrisch leitfähiger Stab der Länge l, der sich mit der Geschwindigkeit
� bewegt. Berechnen Sie die im Stab induzierte Spannung.
�v im homogenen Magnetfeld B
�
(Annahme: Rechter Winkel zwischen �v und B)
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b) Spannungsinduktion in einem rotierender Stab und in einer rotierenden Scheibe im Magnetfeld
Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden, metallischen Stab (a)
sowie mit einer rotierenden, metallischen, ’Barlowschen’ Scheibe (b) im ruhenden Magnetfeld. Der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden
Teile wird garantiert.
Berechnen Sie die induzierten Spannungen in beiden Anordnungen in Abhägngigkeit von
der Winkelgeschwindigkeit ω.
3.14 Spannungsinduktion II – Spannungsinduktion in einer starren
Leiterschleife
a) Eine starre Leiterschleife befindet sich in einem (zeitlich) veränderlichen Magnetfeld. Wie
groß ist die induzierte Spannung in der in der Leiterschleife?
b) Wie groß ist die Spannung an einer Spule mit N Windungen, die sich in einem zeitlich
veränderlichen Magnetfeld befindet?
c) Gegeben ist ein unbelasteter Trafo bestehend aus zwei Spulen mit den Windungszahlen
N1 und N2 , die durch ein Eisen (µFe , lFe , AFe ) ideal gekoppelt sind. (Vernachlässigung der
Streuflüsse.) Berechnen Sie die Spannung in Abhängigkeit des Spulenstromes I1 , die in
Spule 2 (unbelastet) induziert wird.
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3.15 Induktion in einer bewegten Leiterschleife
Die in der Abbildung gezeigte Drahtschleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts
bewegt. Ein konstanter Strom I fließt wie eingezeichnet durch den (als unendlich lang) angenommenen Draht.
1. Berechnen Sie den Betrag der induzierten Spannung in der Drahtschleife auf zwei verschiedene Arten:
a) Verwenden Sie das Faraday’sche Induktionsgesetz (Maxwell II).
b) Summieren Sie für alle Bereiche des Drahtes die jeweiligen Beiträge der Lorentzkraft,
welche aufgrund der Bewegung der Drahtschleife resultiert, zur induzierten Spannung
auf.
2. Bestimmen Sie die Richtung des induzierten Stromes in der Drahtschleife
a) durch Verwendung der Lenzschen Regel.
b) durch Betrachtung der magnetischen Kräfte auf die Ladungen in der Schleife.
3. Kontrollieren Sie anhand von Spezialfällen, ob Ihr Ergebnis aus 1 Sinn ergibt. Betrachten
Sie die Fälle:
• Die Drahtschleife bewegt sich nicht.
• Die Schleife ist sehr dünn, also a → 0.
• Die Schleife ist sehr weit vom stromführenden Draht entfernt.
3.16 Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen
Zu berechnen sind die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene
Anordnung.
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3.17 Spulen, Induktion, Koppelfaktoren
1. Magnetisch verkoppelte Spulen.
Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L1 = 10 mH und L2 = 20 mH sowie ein Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen ui1 , ui2 für
i1 = I1 + î sin ωt mit I1 = 10 A, î = 5A, ω = 2π · 50 Hz und i2 = 0 (leerlaufende Spule).
2. Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen.
Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r1 und r2 (r2 < r1 ), den
Längen l1 = l2 = l und den Windungszahlen w1 und w2 für den Fall, daß sich Spule 2
koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L1 und L2 , die Koppelfaktoren k1 und k2
sowie die Gegeninduktivität M12 = M12 = M .
3. Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung:
Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i, u-Verhalten
und diskutieren Sie das Ergebnis.
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