Neue Anwendungen von SPQR-Bäumen im Graphenzeichnen

Neue Anwendungen von SPQR-Bäumen im
Graphenzeichnen
René Weiskircher
Abstract: Wir untersuchen zwei Probleme auf dem Gebiet des Zeichnens von Graphen. Bei beiden Problemen geht es darum, eine Funktion über der Menge aller Einbettungen eines planaren Graphen zu optimieren und wir verwenden jeweils SPQRBäume um die Probleme zu lösen. Das erste von uns betrachtete Problem ist das
Einfügen einer zusätzlichen Kante in einen planaren Graphen mit möglichst wenigen
Kreuzungen. Dies is der erste Algorithmus, der das Problem löst und er hat lineare
Laufzeit. Das zweite Problem ist das Berechnen einer orthogonalen Zeichnung mit
der minimalen Anzahl von Knicken. Es ist bekannt, dass dieses Problem NP-schwer
ist. Hier benutzen wir den SPQR-Baum, um ein ganzzahliges lineares Programm zu
entwickeln, dessen Lösungen den Einbettungen des Graphen entsprechen. Dies ist die
Grundlage für unseren Algorithmus für die Berechnung einer knick-minimalen Zeichnung, der sich in unseren Experimenten im Vergleich mit der bisher verwendeten Methode überlegen gezeigt hat.
1 Einführung
Es gibt viele wissenschaftliche Gebiete, in denen Graphen benutzt werden, um Beziehungen zwischen Objekten zu modellieren. Der Grund ist, dass viele Wissenschaften sich mit
komplexen Systemen interagierender Objekte befassen. Die Objekte des Systems entsprechen den Knoten des Graphen und die Beziehungen den Kanten.
Eine Zeichnung eines Graphen kann das Verstehen eines Systems für einen menschlichen
Betrachter sehr vereinfachen. Ein Beispiel für eine gelungene Visualisierung aus dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften zeigt Abbildung 1 [HJ00]. Dargestellt sind die AnteilsBeziehungen einiger großer spanischer Unternehmen. Diese Zeichnung ist eine orthogonale Zeichnung d.h. die Kanten sind als Folgen vertikaler und horizontaler Geradensegmente
gezeichnet.
Eines der wichtigsten Kriterien für die Qualität einer orthogonalen Zeichnung ist die Anzahl der Kreuzungen. Enthält die Zeichnung eines Graphen viele Kreuzungen, so ist es für
den Betrachter meist schwierig zu erkennen, welche Knoten durch eine Kante miteinander verbunden sind. Auch ist es in orthogonalen Zeichnungen wünschenswert, möglichst
wenige Segmente pro Kante zu verwenden. Einer Kante, die aus vielen Segmenten besteht
und somit viele Knicke hat, kann das Auge nicht so gut folgen wie einer Kante mit wenigen Knicken. Abbildung 2 zeigt zwei Zeichnungen des selben Graphen, die linke hat 11
Kreuzungen und 15 Knicke während die rechte nur eine Kreuzung und neun Knicke hat
und deshalb viel übersichtlicher ist.
Abbildung 1: Ein Graph, der die Firmenbeteiligungen zwischen verschiedenen spanischen Firmen
zeigt.
6
4
6
3
7
7
2
4
2
1
1
5
0
0
5
3
Abbildung 2: Zwei verschiedene Zeichnungen des selben Graphen mit unterschiedlicher Anzahl von
Kreuzungen und Knicken
Hier beschäftigen wir uns sowohl mit der Minimierung der Anzahl der Kreuzungen in
einer Zeichnung als auch mit der Minimierung der Anzahl der Knicke. Bei beiden Problemen geht es darum, eine Eigenschaft einer Zeichnung über alle möglichen Einbettungen
zu optimieren und beides mal benutzen wir SPQR-Bäume, um das Problem zu lösen. Abschnitt 2 gibt eine kurze Einführung in SPQR-Bäume. In Abschnitt 3 untersuchen wir das
Problem, wie man eine neue Kanten in einen planaren Graphen einfügen kann, so dass
möglichst wenige Kreuzungen entstehen. Der resultierende Algorithmus kann in einer
Heuristik verwendet werden, die nicht-planare Graphen mit wenigen Kreuzungen zeichnet. In Abschnitt 4 entwickeln wir einen Algorithmus, der für einen Graphen eine orthogonale Zeichnung mit der kleinsten möglichen Anzahl von Knicken berechnet. Das dort
vorgestellte ganzzahlige lineare Programm ermöglicht es erstmals, Algorithmen aus der
linearen Programmierung auf Probleme anzuwenden, bei denen über die Menge der Einbettungen eines Graphen optimiert werden muss.
2 SPQR-Bäume
SPQR-Bäume wurden von Di Battista und Tamassia eingeführt [BT89] und man kann sie
benutzen, um alle Einbettungen eines Graphen aufzuzählen. Einbettungen beschreiben die
Topologie einer planaren Zeichnung eines Graphen. Man kann eine Einbettung definieren,
indem man für jeden Knoten die Reihenfolge der inzidenten Kanten im Uhrzeigersinn
angibt.
Die Eigenschaft von SPQR-Bäume, alle Einbettungen eines Graphen aufzählen zu können
nutzen Bertolazzi, Didimo und Di Battista aus, um mit Hilfe eines Branch & Bound Algorithmus die Knicke einer Zeichnung zu minimieren [BBD00] und um Zeichnungen zu
erzeugen, in denen möglichst viele Kanten nach oben gerichtet sind [BBD02]. Das hat
uns motiviert, sie bei der Lösung der beiden Probleme, die hier betrachtet werden, zu verwenden. Die Größe der Datenstruktur SPQR-Baum eines Graphen G wächst nur linear
mit der Anzahl der Kanten in G und das gilt auch für die benötigte Zeit um den Baum zu
berechnen [GM01].
Jeder Knoten des Baums ist mit einem speziellen Graphen assoziiert, dem Skelett des
Knotens, den man als vereinfachte Sicht von G interpretieren kann. Die Knoten eines
Skelettes sind Knoten von G während die Kanten entweder Kanten oder Teilgraphen von
G entsprechen. Es gibt vier Typen von Knoten im Baum (S-,P -, Q- und R-Knoten), die
sich durch die Struktur ihrer Skelette unterscheiden. Die Q-Knoten sind die Blätter des
Baums.
Abbildung 3 zeigt einen Graphen 3(a) und die Skelette seiner inneren Knoten. Diese sind
ein S-Knoten 3(b), ein P -Knoten 3(c) und ein R-Knoten 3(d). Die grauen Kanten in den
Skeletten stehen für Teilgraphen während die schwarzen Kanten auch im Originalgraphen
enthalten sind.
1
1
1
1
5
5
4
4
2
3
(a)
2
(b)
2
(c)
2
3
(d)
Abbildung 3: Ein Graph 3(a) und die Skelette der inneren Knoten seines SPQR-Baums
Die Eigenschaft, die wir uns bei unseren Algorithmen hauptsächlich zu nutzen machen
ist, dass eine Einbettung für den Graphen eine Einbettung für alle Skelette definiert und
umgekehrt.
3 Das Einfügen einer Kante in einen planaren Graphen
Enthält die Zeichnung eines Graphen viele Kreuzungen ist sie meist nicht gut lesbar. Unglücklicherweise ist es NP-schwer, für einen Graphen eine Zeichnung mit der minimalen Anzahl von Kreuzungen zu finden [GJ83]. Selbst für relativ kleine Graphen (z.B. für
Graphen mit 20 Knoten), ist kein Algorithmus mit vertretbarer Laufzeit bekannt, der das
Problem löst.
Aus diesem Grund benutzt man Heuristiken um Zeichnungen von nicht-planaren Graphen
mit wenigen Kreuzungen zu berechnen. Eine der besten Methoden, die man hierfür verwendet, ist die Planarisierungsmethode. Dabei werden erst Kanten aus dem Eingabegraphen gelöscht, um einen planaren, d.h. kreuzungsfrei zeichenbaren Graphen zu erzeugen.
In diesen werden dann die gelöschten Kanten nacheinander wieder eingefügt, wobei man
die entstehenden Kreuzungen durch neue Knoten mit vier inzidenten Kanten ersetzt (Abbildung 4 zeigt diesen Vorgang). Dadurch liegt zu jedem Zeitpunkt ein planarer Graph
vor. Eine Zeichnung des entstandenen Graphen kann man leicht in eine Zeichnung des
ursprünglichen Graphen umwandeln, indem man die neuen Knoten wieder durch Kreuzungen ersetzt.
11
14
12
8
15
1
0
10
3
2
7
13
9
5
6
4
Abbildung 4: Künstliche Knoten (hier als graue Kreise gezeichnet) wurden in den Graphen eingefügt, um die Kreuzungen zu beseitigen, die beim Einfügen der neuen Kante entstanden sind.
Das Problem, dass sich beim Wiedereinfügen der Kanten stellt haben wir mit Hilfe von
SPQR-Bäume gelöst. Es geht darum, eine Kante in einen planaren Graphen G so einzufügen, dass dabei möglichst wenige Kreuzungen entstehen und dass sich keine Kanten
von G kreuzen.
Bevor wir uns mit dem Problem beschäftigt haben, wurde das Einfügen der Kanten wie
folgt durchgeführt: Man wählt eine beliebige Einbettung des planaren Graphen und berechnet einen kürzesten Pfad in dem dualen Graphen, der durch die Einbettung definiert
ist. Die erhaltene Lösung garantiert, dass die Anzahl der entstandenen Kreuzungen für
die gewählte Einbettung minimal ist. Allerdings kann es für andere Einbettungen bessere
Lösungen geben.
Unser neuer Algorithmus minimiert die Anzahl der Kreuzungen über alle Einbettungen.
Er zerlegt zuerst den Graphen in seine Zusammenhangskomponenten. Sind die beiden
Knoten u und v, die es zu verbinden gilt, in verschiedenen Zusammenhangskomnponenten
enthalten (es gibt also keinen Pfad im Graphen der sie verbindet), so können wir stets die
Kante (u, v) in den Graphen einfügen, ohne eine Kreuzung zu erzeugen.
Liegen u und v in der gleichen Zusammenhangskomponente, so wird für diese der BlockBaum B berechnet. Dieser enthält außer den Knoten des ursprünglichen Graphen auch
Knoten, die die zweizusammenhängenden Komponenten des Graphen darstellen (maximale Teilgraphen, die nicht durch Löschung eines Knotens zerfallen). Der Algorithmus
berechnet den Pfad P in B von u nach v und für jede Komponente auf dem Pfad ein paar
von Knoten, das darin u und v repräsentiert. Dann ruft der Algorithmus für jede der Komponenten die Funktion für zweizusammenhängende Graphen auf. Dieser berechnet dann
jeweils eine Folge von Kanten, den Einfügepfad, die durch die neue Kante gekreuzt werden. Der Einfügepfad für den gesamten Graphen ergibt sich durch Aneinanderhängen der
Einfügepfade für die Komponenten.
Der Algorithmus für zweizusammenhängende Graphen ist das Kernstück des Verfahrens.
Er nützt aus, dass nur die Skelette der R-Knoten im SPQR-Baum des Graphen für die
Anzahl der notwendigen Kreuzungen entscheidend sind. Der Algorithmus betrachtet alle
R-Knoten Skelette auf dem Pfad im SPQR-Baum zwischen den zu verbindenden Knoten
u und v. In jedem dieser Skelette erzeugen wir zwei neue Knoten u0 und v 0 , die u und v
repräsentieren.
Danach ersetzen wir alle Kanten des Skelettes, die nicht inzident zu u0 oder v 0 sind durch
die Teilgraphen von G, die sie repräsentieren. Für eine beliebige Einbettung des erhaltenen Graphen, den wir den Erweiterungsgraphen des Skelettes nennen, können wir nun
den kürzesten Pfad im dualen Graphen berechnen, der u0 mit v 0 verbindet. Dieser Pfad
entspricht einem Einfügepfad für u0 und v 0 . Hängen wir die Einfügepfade aller R-Knoten
Skelette auf dem Pfad aneinander, so erhalten wir einen Einfügepfad für den gesamten
Graphen.
Abbildung 5(a) zeigt einen Graphen dessen SPQR-Baum nur einen R-Knoten enthält mit
den beiden zu verbindenden Knoten. Abbildung 5(b) zeigt den Erweiterungsgraphen des
Skelettes des R-Knotens mit der neuen Kante. In Abbildung 5(c) ist die entsprechende
Kante im Originalgraphen so eingefügt, dass die gleiche Kante wie im Erweiterungsgraphen gekreuzt wird. Dazu wurde die Einbettung des Originalgraphen entsprechend
geändert.
Wir können zeigen, dass der von unserem Algorithmus berechnete Einfügepfad für die
neue Kante minimale Länge hat. Dies ist auch unter Berücksichtigung aller möglichen
Einbettungen des Graphen wahr und somit löst er das Problem des Einfügens einer Kante
optimal. Die Laufzeit unsere Algorithmus ist linear in der Größe des Eingabegraphen.
Auch die bisher verwendete nicht optimale Methode zum Einfügen einer Kante in einen
planaren Graphen hat lineare Laufzeit.
Wir wollten nun wissen, welche Vorteile es bringt, unseren neuen Algorithmus im Rahmen
der Planarisierungsmethode zu benutzen. Wir verwendeten dazu die 8249 nicht-planaren
Graphen aus der bekannte Benchmark-Suite aus [BGL+ 97] (Graphen aus industriellen
(a)
(b)
(c)
Abbildung 5: Ein Graph mit zu verbindenden Knoten (a), dem Erweiterungsgraphen des R-Knoten
Skelettes mit der eingfügten Kante (b) und das entsprechende Resultat im ursprünglichen Graphen
(c)
Anwendungen). Abbildung 6 zeigt die durchschnittliche prozentuale Verringerung der Anzahl der Kreuzungen bei Verwendung unseres neuen Verfahrens statt dem Standardverfahren. Es gab nur wenige kleine Graphen in der Benchmark-Suite, weshalb die Durchschnitte
erst ab etwa 40 Knoten aussagekräftig werden. Dann zeigt sich aber eine durchschnittliche
Verbesserung von etwa 15%.
35
Durchschnittliche Verringerung der Kreuzungen
30
25
Prozent
20
15
10
5
0
20
40
60
80
100
Knoten
Abbildung 6: Durchschnittliche Verringerung der Kreuzungszahl in Prozent bei Verwendung unserer
neuen Methode
4 Knickminimierung in Orthogonalen Zeichnungen
In einer orthogonalen Zeichnung eines Graphen werden die Kanten als Folgen von horizontalen und vertikalen Geradensegmenten gezeichnet. Ein Beispiel ist die Zeichnung in
Abbildung 1. Der Punkt, wo ein vertikales Segment einer Kante sich mit einem horizontalen Segment der gleichen Kante schneidet, wird Knick genannt.
Es ist schon länger bekannt, dass man für eine fixe Einbettung eines Graphen in polynomieller Zeit eine Zeichnung mit der minimalen Anzahl von Knicken berechnen kann.
Dies geschieht, indem man das Problem in ein Fluss-Netzwerk umwandelt, indem man
dann einen Fluss mit minimalen Kosten bestimmt. Der erste Algorithmus dieser Art wurde von Tamassia entwickelt [Ta87]. Ist die Einbettung eines Graphen nicht festgelegt, so
ist es ein NP-schwer, eine Zeichnung mit der kleinstmöglichen Anzahl von Knicken zu
berechnen [GT02].
Abbildung 7 zeigt zwei orthogonale Zeichnungen des gleichen Graphen, die zwei unterschiedliche Einbettungen darstellen. Beide Zeichnungen sind knickminimal für die dargestellte Einbettung. Während die linke Zeichnung 13 Knicke aufweist, hat die rechte
Zeichnung nur 7 Knicke. Dies zeigt, dass die Wahl der Einbettung großen Einfluß auf die
Anzahl der Knicke in der fertigen Zeichnung haben kann.
6
5
1
4
3
1
2
3
7
2
4
8
7
8
9
5
9
6
Abbildung 7: Zwei orthogonale Zeichnungen des gleichen Graphen, die jeweils knickminimal sind
für die dargestellte Einbettung
Es gibt bereits einen Branch & Bound Algorithmus, um einen planaren zweizusammenhängenden Graphen mit der minimalen Anzahl von Knicken zu zeichnen [BBD00]. Wir
sind dieses Problem mit Hilfe von Methoden der ganzzahligen linearen Programmierung
angegangen und haben dadurch einen beachtlichen Geschwindigkeitsvorteil für große Probleminstanzen erzielt.
Zur Beschreibung von Einbettungen als Vektoren mit binären Einträgen verwenden wir
die Tatsache, dass man eine Einbettung auch durch die Menge der gerichteten Kreise charakterisieren kann, die Regionen begrenzen. Ein Kreis begrenzt eine Region, wenn in einer
Zeichnung, die die Einbettung realisiert, die linke Seite des Kreises leer ist. Man nennt diese Kreise auch Regionen-Kreise. Abbildung 8 zeigt ein Beispiel für einen Regionen-Kreis.
Wieder nutzen wir die Tatsache aus, dass ein SPQR-Baum alle Einbettungen eines Graphen repräsentieren kann. Wie schon vorher erwähnt, ist jeder Knoten in dem Baum mit einem speziellen Graphen, seinem Skelett, assoziiert. Weil die Skelette eine einfache Struktur haben ist es nicht schwierig, ein ganzzahliges lineares Programm (GLP) zu konstruieren, welches die Einbettungen eines Skelettes beschreibt. Wir führen für jeden gerichteten
0
3
4
1
2
Abbildung 8: Der fett gezeichnete gerichtete Kreis ist ein Regionen-Kreis der dargestellten Einbettung.
Kreis, der in zumindest einer Einbettung des Skelettes ein Regionen-Kreis ist, eine binäre
Variable ein. Hat diese Variable Wert 1, so ist der Kreis in der dargestellten Einbettung ein
Regionen-Kreis.
Wir berechnen das GLP für komplexere Graphen rekursiv, indem wir den SPQR-Baum
an einem inneren Knoten in kleinere SPQR-Bäume (die Spalt-Bäume) aufspalten. Dieser
Vorgang ist in Abbildung 9 dargestellt. Dabei führen wir neue Q-Knoten ein, denn auch die
Spalt-Bäume müssen als SPQR-Bäume die Eigenschaft haben, dass alle Blätter Q-Knoten
sind.
Q
...
Q
Q
T1
Q
Q
T3
...
Q
Q
...
T2
Q
T1
v
Q
...
v
Q
Q
Q
T2
Q
Q
T3
...
...
Q
Q
Q
Q
Abbildung 9: Aufspalten eines SPQR-Baums am inneren Knoten v in kleinere Bäume
Um aus den GLPs der Spalt-Bäume ein GLP für den ursprünglichen Baum zu konstruieren,
bestimmen wir erst die Variablenmenge für das gesamte Problem. Dazu kombinieren wir
Kreise, die durch Variablen in den GLPs der Spalt-Bäume repräsentiert sind um Kreise
im Originalgraphen zu erhalten. Unser Verfahren garantiert, dass wir genau für die Kreise
Variablen einführen, die Regionen-Kreise in mindestens einer Einbettung des Graphen
sind. Also führen wir die kleinste mögliche Menge von Variablen ein die nötig ist, um alle
Einbettungen darstellen zu können.
Einen Teil der Ungleichungen für das GLP des ursprünglichen Graphen erhalten wir, indem wir die Ungleichungen in den GLPs der Spalt-Graphen auf die Variablenmenge des
ursprünglichen Graphen anpassen. Wir führen Außerdem noch zusätzliche Ungleichungen
ein, die den Zusammenhang zwischen den Spalt Graphen modellieren. Wir konnten zeigen, dass die Lösungen des so gewonnenen GLPs exakt der Menge aller Einbettungen des
Graphen entsprechen.
Um nun unser ursprüngliches Knickminimierungsproblem zu lösen, kombinieren wir das
GLP, das die Einbettungen des Graphen beschreibt mit einem linearen Programm (LP),
das die orthogonalen Repräsentationen des Graphen für eine feste Einbettung beschreibt.
Das LP ist abgeleitet von der Formulierung des Knickminimierungsproblems für feste
Einbettungen als Netzwerk-Fluss Problem [BBD00].
Die Kombination des GLP mit dem LP erzeugt ein gemischt ganzzahliges lineare Programm, welches die Menge der orthogonalen Repräsentationen eines Graphen beschreibt.
Eine Optimallösung des Programms entspricht einer orthogonalen Repräsentation mit der
minimalen Anzahl von Knicken. Wir lösen das Programm mit Hilfe von CPLEX, einem
kommerziellen Löser für gemischt ganzzahlige lineare Programme. Unser EinbettungsGLP kann man auf diese Weise immer dort benutzen, wo man eine Funktion über alle
Einbettungen optimieren will und das Problem sich für eine feste Einbettung als (ganzzahliges) lineares Programm beschreiben lässt. Durch Verbindung der linearen Prgramme
kann man dann die Funktion über alle Einbettungen optimieren.
Unsere Experimente zeigen, dass unser neuer Ansatz dem schon bekannten Branch &
Bound Ansatz von [BBD00] überlegen ist. Wir haben mit dem Graphen-Generator, den
auch Bertolazzi, Di Battista und Didimo verwendet haben 500 Graphen generiert, die sich
durch eine große Anzahl von Einbettungen auszeichnen. Auf diese Graphen haben wir die
Implementierung des Branch & Bound Algorithmus aus [BBD00] und die Implementierung unseres neuen Algorithmus angewendet. Beide Programme liefen auf dem gleichen
Rechner unter den gleichen Bedingungen. Die x-Achse in Abbildung 10 zeigt die Anzahl
der Knoten der Graphen und die y-Achse die durchschnittliche Laufzeit der Algorithmen
für die Graphen mit der entsprechenden Anzahl von Knoten. Das Diagramm zeigt, dass
unser Algorithmus (GLP) fast doppelt so schnell ist wie der Branch & Bound Algorithmus
(B & B).
B&B
GLP
200
Sekunden
150
100
50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Knoten
Abbildung 10: Laufzeitvergleich mit dem Branch & Bound Algorithmus
5 Ausbildung und Akademische Laufbahn
10/92-07/97
08/97-10/97
11/97-09/99
10/99-06/00
07/00-12/00
Seit 01/01
23.05.02
Informatik Studium an der Universität des Saarlandes in Saarbrücken
Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max–Planck–Institut für Informatik
in Saarbrücken
Mitglied des Graduiertenkollegs “Effizienz und Komplexität von Algorithmen und Rechenanlagen” an der Universität des Saarlandes
Universitätsassistent an der Technischen Universität Wien, Institut für
Computergraphik und Algorithmen
Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der University of Newcastle, Australien
Universitätsassistent an der Technischen Universität Wien, Institut für
Computergraphik und Algorithmen
Promotion an der Universität des Saarlandes
Literatur
[BBD00]
Bertolazzi, P., Battista, G. D., und Didimo, W.: Computing orthogonal drawings with the
minimum number of bends. IEEE Transactions on Computers. 49(8):826–840. 2000.
[BBD02]
Bertolazzi, P., Battista, G. D., und Didimo, W.: Quasi-upward planarity. Algorithmica.
32(3):474–506. 2002.
[BGL+ 97] Battista, G. D., Garg, A., Liotta, G., Tamassia, R., Tassinari, E., und Vargiu, F.: An
experimental comparison of four graph drawing algorithms. Comput. Geom. Theory
Appl. 7:303–326. 1997.
[BT89]
Battista, G. D. und Tamassia, R.: Incremental planarity testing. In: Proc. 30th Annual
IEEE Symp. on Foundations of Computer Science (FOCS). S. 436–441. 1989.
[GJ83]
Garey, M. R. und Johnson, D. S.: Crossing number is NP-complete. SIAM Journal Alg.
Disc. Methods. 4:312–316. 1983.
[GM01]
Gutwenger, C. und Mutzel, P.: A linear time implementation of SPQR-trees. In: Marks,
J. (Hrsg.), Graph Drawing (Proc. 2000). volume 1984 of LNCS. S. 77–90. SpringerVerlag. 2001.
[GT02]
Garg, A. und Tamassia, R.: On the computational complexity of upward and rectilinear
planarity testing. SIAM Journal on Computing. 31(2):601–625. April 2002.
[HJ00]
Hugh-Jones, S.: Survey: Spain. The Economist. 2000.
[Ta87]
Tamassia, R.: On embedding a graph in the grid with the minimum number of bends.
SIAM Journal on Computing. 16(3):421–444. 1987.