Wo liegt der innerste Punkt Mi eines Dreiecks? Inkreise in Dreiecken

Wo liegt der innerste Punkt Mi eines Dreiecks?
Antwort: Nun, dieser Punkt Mi im Dreieck liegt genau dort, von dem man aus den weitesten Weg hat, um
schnellstmöglich aus dem Dreieck hinauszukommen. Oder es ist die Position im Dreieck, von dem ein
Außenstehender vom nächsten Punkt jeder Seite den gleichen Mindestabstand hat.
Beispiel: Ein dreieckiges Schwimmbad hat die Seitenlängen 50 m, 40 m und 30 m. Aus Gründen der Sicherheit
soll eine Schwimminsel genau im 'innersten Punkt' des Schwimmbads platziert werden, so dass
Schwimmer sich zur Not dorthin retten können. Die Schwimminsel soll dort gebaut werden, wo es am
gefährlichsten ist, wo also der weiteste Schwimmweg zum nächsten Punkt des Beckenrands zu erwarten ist.
Maßstab: 1 cm entspricht 5 m. Untersuche verschiedene Wege eines Schwimmers, zum Beckenrand zu gelangen.
Kann er wirklich in allen Fällen innerhalb von 10 m zum Bechenrand oder zur Schwimminsel gelangen?
https://www.geogebra.org/m/RRSmXXR7, Tags: Inkreis, Schwimmbad, Schwimminsel
Wie gelangt man an diesen Punkt Mi, dem innersten Punkt eines Dreiecks?
Antwort: Wir 'bauen' Hilfsgerade, die jeweils genau zwischen zwei Seiten des Dreiecks verlaufen. Das sind die
Winkelhalbierenden. Entlang dieser (gestrichelten) Linien ist es egal, auf welchen Weg man zum Rand
gelangt, der kürzeste Weg ist stets gleich groß. Der Schnittpunkt von zwei oder drei Winkelhalbierenden im
Dreieck ist der gesuchte Punkt Mi.
Bezogen auf den Beckenrand ist die Schwimminsel bei kürzestem Weg jeweils 10 m (MO, MN, MP) entfernt.
Mit Mi als Mittelpunkt und den Punkten N, O oder P können wir den Inkreis des Dreiecks zeichnen.
Inkreise in Dreiecken
W I N K E L H A L B I E R E N D E
K
R
M e i n
E
N a m e :
I D i e s e s
S d i e
Inkreis dieses Dreiecks?
B l a t t
i n
R e g e l m a p p e !
Welche Bedeutung hat diese Innerste Punkt eines Dreiecks?
Der Mittelpunkt liegt immer in maximaler Entfernung zu jeder
Seitenbegrenzung. Das ist wichtig, wenn zum Beispiel etwas geschützt
werden muss. Umgekehrt muss man muss von diesem Punkt am weitesten gehen,
um aus dem Dreieck herauszukommen.
Was sind Winkelhalbierende und wozu braucht man sie?
Diese Grafik wurde mit Geogebra erstellt, damit sind die zwei geraden Straßen in
Richtung eines Gebirgszuges eine Illusion. Jetzt hat man aber doch bei der linken
Straße die Fahrbahnmarkierung in der Mitte vergessen!
Dies ist eine Anwendung der _______________________________. Der Winkel in Bezug zum
Strahl f müsste _____ Grad groß sein und genau zwischen f und g verlaufen.
Strategie 1: Mit dem Geodreieck: Wir messen und zeichnen die fehlende
Fahrbahnmarkierung unter einem Winkel von: _____ Grad.
Strategie 2: (nur mit Zirkel und Lineal): Wir konstruieren die Winkelhalbierende mit
Hilfe dreier Hilfskreise (bzw. Ausschnitte).
Strategie 3: Mit Geogebra, dort lautet das Werkzeug Winkelhalbierende:
Wir sagen: Zwei Strahle mit einem gemeinsamen Anfangspunkt (Doppelstrahl) bilden
einen Winkel. Die Winkelhalbierende verläuft genau mittig zwischen den Strahlen und
so entstehen zwei neue, halbierte Winkel.
https://www.geogebra.org/m/AWcwfpqk Tags: Winkelhalbierende, Straßen, Fahrbahnmarkierung
Aufgaben: Konstruiere die Winkelhalbierende folgender Winkel mit Hilfe dreier Kreise mit gleichem Radius!
Wie muss der Außenspiegel des Busses stehen, damit der
Fahrer gegen die Fahrtrichtung zurückschauen kann?
rechter
Rückspiegel
(Hinweis: Der Spiegel muss senkrecht auf der
Winkelhalbierenden stehen.)
Busfahrer
x
linker
Rückspiegel