Übersicht - Rainer Hauser

Trigonometrie im Dreieck
Allgemeines Dreieck
c
a b
g
Rechtwinkliges Dreieck
a, b, c Seiten
a, b, g beliebige Winkel
a
a b
g
b
c
a, b Katheten; c Hypotenuse
a, b spitze Winkel; g = 90°
a
b
Winkelsumme: a + b + g = 180°
2
2
Cosinus-Satz: a + b - 2a×b×cos(g) = c
Winkelsumme: a + b = 90°
2
2
2
Satz von Pythagoras: a + b = c
2
Gegenkathete
Hypotenuse
a
Þ sin(a) =
c
sin(a)
sin(g)
=
a
c
a
Þ sin(a) = × sin(g)
c
Sinus-Satz:
Definition: sin(a) =
1
Fläche: A = a×b×sin(g)
2
1
Fläche: A = a×b
2
Bestimmung der Seitenlängen und Winkel in einem Dreieck
1. Gegeben sind zwei Winkel und eine Seite:
Gegeben sind wegen der Winkelsumme somit eigentlich alle drei Winkel, sodass man
die zwei anderen Seiten mit dem Sinus-Satz
bestimmen kann.
2. Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel:
Bestimme die dritte Seite mit dem CosinusSatz und die zwei anderen Winkel mit dem
Sinus-Satz.
3. Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel,
der einer gegebenen Seite gegenüber liegt:
Bestimme die beiden anderen Winkel und
die dritte Seite mit dem Sinus-Satz.
4. Gegeben sind alle drei Seiten:
Bestimme einen Winkel mit dem umgeformten Cosinus-Satz und die anderen Winkel
mit dem Sinus- oder dem Cosinus-Satz.
2
2
Cosinus-Satz umformen zu: cos(g) = a + b - c
2ab
2
Þ g = cos
b -c)
( a +2ab
-1
2
2
2
Rainer Hauser 2013,
ab 2015