Aufgabenblatt 6 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Übungsblatt 6
13.11.2014
WS 14/15
Übungen zu Theoretische Physik II
Prof. Dr. Albrecht Klemm, Jonas Reuter
Abgabe: 20.11.2014, Besprechung: 27.11.-28.11.2014
http://www.th.physik.uni-bonn.de/klemm/theo2ws1415/
–Anwesenheitsaufgaben–
A 6.1 Magnetostatik
Die Maxwellgleichunge aus der Vorlesung sind
~ = 4πρ
div E
~
~ = − 1 ∂B
rot E
c ∂t
~ =0
div B
~
~ = 4π ~j + 1 ∂ E .
rot B
c
c ∂t
Sei ~j ein stationärer Strom (die Felder können als zeitlich konstant angesehen werden).
(a) Wie lauten in diesem Fall die relevanten Maxwellgleichungen?
~ ab. Kommt Dir diese Gleichung bekannt
(b) Leite aus den Maxwellgleichungen eine Gleichung für B
vor? Erhalte so das Biot/Savartsche Gesetz.
Z
~r − ~r0
~ r) = I
d~s0 ∧
.
B(~
c
|~r − ~r0 |3
~ so umzueichen, dass div A
~ = 0 wird? Leite aus den Maxwellglei(c) Warum ist es immer möglich, A
~
chungen eine Gleichung für A in dieser Eichung her:
~ r) = 1
A(~
c
Z
~j(~r0 ) 3 0
d r .
|~r − ~r0 |
(d) Zeige für das Fernfeld einer Stromverteilung (m
~ = magnetisches Dipolmoment):
Z
m
~ ∧ ~r
1
~
A(~r) =
+ · · · mit m
~ =
~r ∧ ~j(~r)d3 r .
r3
2c
(1)
(e) Leite aus (1) das zugehörige Magnetfeld ab.
–Hausaufgaben–
H 6.1 Elektrischer Dipol und Quadrupol
Betrachte zwei Punktladungen ±Q an den Orten (0, 0, ± a2 ).
(0,5+0,5+1+0,5+1+1+0,5=)5 Punkte
(a) Gib die Ladungsverteilung an und berechne das Potential.
(b) Die Ladungen sollen so zusammenrücken, dass die Grösse p = Qa konstant bleibt. Entwickle das
Potential und zeige, dass sich für a → 0 das Potential Φ = pz
r 3 ergibt.
1
(c) Zeige, dass man genau dasselbe Potential erhält, wenn man als Ladungsdichte % = −pδ(x)δ(y)δ 0 (z)
ansetzt. Begründe diesen Ansatz.
(d) Berechne das elektrische Feld des Dipols. Skizziere Feld- und Äquipotentiallinien.
(e) Betrachte nun eine in einem Gebiet G (mit 0 ∈ G) lokalisierte Ladungsverteilung %(~r). Zeige für das
1
Fernfeld (r vol(G) 3 ) einer solchen Verteilung
Φ(~r) =
3
Q p~ · ~r 1 X 3xi xj − r2 δij
qij + · · ·
+ 3 +
r
r
6 i,j=1
r5
mit dem Dipolmoment bzw. dem Quadrupoltensor
Z
p~ = %(~r)~rd3 r
Z
qij = %(~r)(3xi xj − δij r2 )d3 r .
Berechne die Spur
P3
i=1 qii .
Wieviele unabhängige Einträge hat der Tensor qij ?
(f) Zeige, dass für verschwindende Gesamtladung Q = 0 das Dipolmoment von der Wahl des Koordinatenursprungs unabhängig ist, dass dagegen bei Q 6= 0 dieser immer so gewählt werden kann, dass
das Dipolmoment verschwindet.
(g) Mit welcher Potentz von r fallen Feld und Potential bei Dipol und Quadrupol ab?
H 6.2 Verschiedene magnetostatische Konfigurationen
(1+1+1+1+1=)5 Punkte
In dieser Aufgabe sollen einfache magnetostatische Konfigurationen diskutiert werden. Betrachte im
Folgenden einen vom Strom I durchflossenen Kreisleiter vom Radius R in der x-y-Ebene.
(a) Wie lautet ~j in diesem Fall? Berechne das magnetische Moment des Kreisleiters. Verallgemeinere das
Ergebnis auf beliebige ebene Leiterschleifen. Wie sieht das Ergebnis aus, wenn der Strom nur aus
einem Teilchen besteht?
(b) Berechne mit dem Biot/Savartschen Gesetz das Magnetfeld auf der Symmetrieachse des Kreisleiters
und vergleiche das Ergebnis mit dem Dipolfeld.
(c) Vergleiche die Felder eines elektrischen und magnetischen Dipols. Skizziere die Feldlinien des Kreisleiters und einer Punktladungskonfiguration ±Q an (0, 0, ±a).
Betrachte nun eine starre Kugel vom Radius R, auf deren Oberfläche eine Ladung Q gleichförmig verteilt
ist und welche mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse rotiert.
(d) Berechne das magnetische Dipolmoment der Kugel. Zerlege dazu die Kugel in dünne Scheiben
senkrecht zur Rotationsachse und benutze das Ergebnis aus (a).
2
e
(e) Die Kugel sei das Modell eines klassischen Elektrons, d.h. der Radius beträgt R = mc
2 und der
~
2
2
Drehimpuls (Spin) S = Θω = 2 , wobei Θ = 5 mR das Trägheitsmoment bezeichnet. Vergleiche das
e~
in (d) berechnete Dipolmoment mit dem quantentheoretischen Wert m = gµB S = 2mc
. Berechne
auch die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator. Diskutiere das Ergebnis.
2