Plasmatechnik 1 - Ruhr
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Member of Center for Plasma Science and Technology Plasmatechnik I (WS) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 1 Member of Center for Plasma Science and Technology Plasmatechnik I (WS) 1. Einleitung 1.1 Plasmabegriff 1.2 Anwendungen von Normal- und Hochdruckplasmen 1.3 Anwendungen von Niederdruckplasmen 1.4 Physikalische Konstanten und Umrechnungen 1.5 Abfolge technologischer Prozesse i.d. Mikroelektronik 2. Physikalische Grundlagen der Niederdruckplasmen 2.1 Stöße 2.2 Verteilungen im Gleichgewicht 2.3 Abweichungen von den Gleichgewichtsverteilungen 2.4 Einordnung der Niederdruckplasmen 2.5 Plasmadynamik 2.6 Diffusion 2.7 Die Randschicht 3. Plasmaätzen 3.1 Abfolge technologischer Prozesse 3.2 Ätztechnologien 3.3 Ätzmechanismen 3.4 Selektivität, Anisotropie und Uniformität 3.5 Technologische Probleme des Ätzens Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 2 Member of Center for Plasma Science and Technology Literatur Plasmatechnik 1 M. A. Lieberman, A. J. Lichtenberg, “Principles of plasma discharges and materials processing“ John Wiley & Sons, Inc. (1994) B. Chapmann, “Glow discharge processes“ John Wiley & Sons, Inc. (1980) G. Franz, „Oberflächentechnologie mit Niederdruckplasmen“ Springer-Verlag (1994) K. Wiesemann, „Einführung in die Gaselektronik“ Teubner Studienbücher (1975) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 3 Member of Center for Plasma Science and Technology 1. Einleitung 1.1 Plasmabegriff - in Worten „Die uns umgebende Materie, die sich aus Atomen und Molekülen zusammensetzt, geht in den Plasmazustand über, wenn wir ihr in genügendem Umfang Energie zuführen. Ausgehend vom festen Aggregatzustand lockert sich mit der wachsenden kinetischen Energie der Atome und Moleküle die Bindung, wir erreichen den flüssigen Zustand und schließlich den gasförmigen Bereich. In diesen Aggregatzuständen bleiben die Atome und Moleküle praktisch unversehrt. Erst bei weiterer Energiezufuhr brechen die Hüllen dieser Bestandteile durch Stoßprozesse auf, und es entstehen positiv geladene Ionen und negativ geladene Elektronen. Systeme, die in nennenswertem Umfang solche ionisierten Komponenten enthalten, bezeichnen wir als Plasmen“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 4 Member of Center for Plasma Science and Technology Plasmabegriff - als 4. Aggregatzustand Feststoff Schmelzenergie Temperatur Aufbrechen des Kristallgitters Flüssigkeit Vereinzelung der Atome Verdampfungsenergie Gas Ionisationsenergie (teilweise) Ionisierung Plasma Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 5 Member of Center for Plasma Science and Technology Einige Energiewerte (1 eV = 11604.5 K) •Ionisation: e- + X → 2e- + X+ (E > 15 eV) •Anregung: e- + X → e- + X* (E > 12 eV) •Dissoziation: e- + X2 → e- + X + X (E > 2 eV) •Anlagerung: e- + X → X(E < 1 eV) •Elastischer Stoß: e- + X → e- + X (E beliebig) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 6 Member of Center for Plasma Science and Technology Spezielle Stoßprozesse (1 eV = 11604.5 K) •Pooling (Chemoionisation): Xm + Xm → X++X+e- (z. B. Arm: 11.6 eV, Ar+: 15.76 eV) •Quenching: Xm + X → 2X oder Xm + 2X → 3X (Abregung!) •Penning-Ionisation: Xm + Z → X+Z++e- •Ladungsaustausch: •Superelastisch X+X+ → X++X („charge exchange“ oft als „cx“ bezeichnet) Xm1+e-slow → X+e-fast Xm2+e-slow → Xm1+e-fast (Em1<Em2) m: metastabiler Zustand; X, Z: Atome, Moleküle im Grundzustand, e -: Elektron Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 7 Member of Center for Plasma Science and Technology „Plasma-Chemie“ •Neutralgaschemie: A + B → AB •Ionenchemie: A+ + B → AB+ •Rekombination: X+ + e- +M → X + M *) •Abstrahlung: X* → X + hν *) der Stoßpartner M wird benötigt, um Impuls- und Energieerhaltung sicherzustellen. M wird selbst beim Stoß nicht verändert. Oftmals ist M die Wand. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 8 Member of Center for Plasma Science and Technology Inelastischer Elektronenstoß (zentraler, lebenserhaltender Prozess für Plasmen) vor dem Stoß nach dem Stoß Abb. 1.1 • Einfallendes e- verliert mehrere eV kinetische Energie • Nach dem Stoß 2 freie e- + ionisiertes Schwerteilchen Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 9 Member of Center for Plasma Science and Technology Elastischer Elektronenstoß vor dem Stoß nach dem Stoß Abb. 1.2 • Signifikante Richtungsänderung • Elektronenmasse me = 1/1860 u ⇒ minimaler Energieübertrag • Heizung von Schwerteilchen durch e- sehr uneffektiv Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 10 Member of Center for Plasma Science and Technology Klassifizierung von Plasmen „Hochdruck“ N „Niederdruck“ N N N N N N N N N N N N N N N N N N • kleine freie Weglänge • große freie Weglänge • Stoßprozesse häufig • Stoßprozesse selten • eff. Energieaustausch • untersch. Temperaturen Electrical Engineering & Plasma Technolgy Abb. 1.3 Peter Awakowicz 11 Member of Center for Plasma Science and Technology Plasmabegriff (als Bild) „Input“ El. Feld beschleunigt Elektronen, die mit Neutralgas stoßen: Ionisation, Dissoziation, Anregung, Licht, ... diff e- A B e- B2 ee- e- C Externe Parameter: A+ 2e- B Elektronen diffundieren zur Wand, diese wird negativ aufgeladen (Floating) diff h C* El. Leistung, Druck, Gasgemisch, Flüsse, Geometrie, ... diff Ambipol. el. Feld beschleunigt positive Ionen zur Wand: Strom = 0 Te > Ti > Tg > ne = ni n0 Abb. 1.4 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 12 Member of Center for Plasma Science and Technology Druckabhängigkeit Die Eigenschaften eines Plasmas werden wesentlich von der Anzahl der Teilchen pro Volumen bestimmt pN -1 10 Pa Niederdruck 1 10 Pa 3 Mitteldruck 10 Pa Normaldruck 10 Pa Hochdruck 10 Pa 5 7 Abb. 1.5 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 13 Member of Center for Plasma Science and Technology Was ist Temperatur in einem Plasma? •Wandtemperatur •Neutralgastemperatur •Elektronentemperatur •Ionentemperatur In Mischungen haben nicht notwendigerweise alle Komponenten gleiche Temperatur! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 14 Member of Center for Plasma Science and Technology Nichtgleichgewichtsplasma „erste Parameter“ • Ionisationsgrad (ne / nN ≈ 10-6 - 10-2) ⇒ überwiegend Neutralteilchen • Neutralgasdruck (p < 1 mbar) ⇒ Vakuum, Hochvakuum • Neutralgastemperatur (TN = 300 - 2000 K) ⇒ Niederdruckplasmaprozesse sind „kalt“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 15 Member of Center for Plasma Science and Technology Transportprozesse Energiezufuhr Schnelle Elektronen Elektrisches Feld N N N Abb. 1.6 N N Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 16 Member of Center for Plasma Science and Technology Teilchenkreislauf in Niederdruckplasmen (ambipolare Diffusion) •Stoßionisation im Volumen •Abtransport der positiven Ionen beschleunigt durch ambipolares Feld •Wandrekombination •Rückdiffusion der Neutralteilchen ins Volumen Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 17 Member of Center for Plasma Science and Technology Ambipolares elektrisches Feld Ambipolares Feld + Randschicht erzwingt gerichteten Ionenbeschuss Ionen treffen auf die Wand mit einigen eV kinetischer Energie Physikalische Prozesse: •Implantation •Adsorbtion / Absorption •Sputtern •Oberflächenaktivierung • ... Chemische Prozesse: •Ätzen •Schichtwachstum •Oxidation • ... Electrical Engineering & Plasma Technolgy Abb. 1.7 Peter Awakowicz 18 Member of Center for Plasma Science and Technology Energiebilanz einer Niederdruckentladung Externe Energiequelle (DC, HF, MW) Heizung der Elektronen Ionisation, Anregung, Dissoziation Ambipolares Feld, Neutralgasheizung Ionentransport zur Wand Freiwerden der Ionisationsenergie, Ionenbeschuss, Absorption von Strahlung Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 19 Member of Center for Plasma Science and Technology 1.2 Anwendungen von Normal- und Hochdruckplasmen • Schweißlichtbogen (WIG-Schweissen bis 150 m Wassertiefe) (sehr hohe Gastemperatur: 10.000K, Inertgasatmosphäre) • Hochdrucklampen (Xenonlampen: BMW, Audi, ...) (hohe Lichtausbeute, einstellbarer Wellenlängenbereich) • Hochleistungsschalter (z.B. mit „Löschgas“ SF6) (einzige Möglichkeit Megawatt zu schalten) • Plasmasprayen (z.B. Auftrag von Keramik auf Metall: Lambdasonde f. Kat) • Aktuell: Abgasreinigung mit dielektrisch behinderten Entladungen • Mikroplasmen: völlig neue Dimension (Biomed-Anwendungen!!!) RUB: „Plasma + Bio“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 20 Member of Center for Plasma Science and Technology 1.3 Anwendungen von Niederdruck- bzw. Nichtgleichgewichtsplasmen • Beschichten von verschiedensten (nahezu alles) Substraten mit: - Metallen (Cu, Ni, Cr, ...) - Halbleitern (Ge, Si, ...) - Isolatoren (Quartz, Diamant, ...) • Plasmaätzen bzw. Mikrostrukturieren (z.B. Reaktives Ionenätzen: extrem anisotrop) • Plasmareinigen (Entfettung, Entfernung von Oxiden, etc.) • Brandaktuell: Plasmasterilisieren von thermolabilen Werkstoffen (PET-Flaschen, High-Tech-Materialien i.d. Medizin: Polylactide) • u.v.m. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 21 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiele: Trench-Kondensator Trench Kondensator Elektrode Isolator Elektrode Weite: 0.2 μm Tiefe: 3 μm ⇒ Aspektverhältnis: >10 Abb. 1.8 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 22 Member of Center for Plasma Science and Technology Vertikaler on-chip Laser „A new dimension in information technology“ Licht Emission Technologisch entscheidend: „Steile Flanken“ Abb. 1.9 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 23 Member of Center for Plasma Science and Technology Mikromechanik Messung von kleinsten Flussmengen Rotor Stator Fluid Abb. 1.10 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 24 Member of Center for Plasma Science and Technology AFM-Spitzen Cantilever (AFM) Wenige Atome an der Spitze, geätzt mit Ionen aus einer Plasmaquelle Abb. 1.11 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 25 Member of Center for Plasma Science and Technology Mikrofilter Z.B. Trennung von weißen und roten Blutkörperchen Hergestellt mit Plasmaätzen Abb. 1.12 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 26 Member of Center for Plasma Science and Technology Plasmasprayen von Keramik Aluminiumoxid Funktionelle Oberflächenbeschichtungen in allen Bereichen der Technik (z.B. Lambdasonde) Aluminiumoxid+ Titanoxid Nickel-Kohlenstoff Abb. 1.13 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 27 Member of Center for Plasma Science and Technology Knochenzellen auf TiN-Schicht Medizintechnik: Verbindung von Implantaten mit körpereigenem Material Abb. 1.14 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 28 Member of Center for Plasma Science and Technology Lichtwellenleiter mit Diamantaußenschicht Diamant als Material mit extremen Eigenschaften: • höchste thermische Leitfähigkeit • größte Härte • hohe optische Transmission von 200 nm bis in den mittleren IR Bereich • großer Brechungsindex • Bioinert • Einsatz als sog- „wideband-gap“ Halbleiter • uvm. Abb. 1.15 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 29 Member of Center for Plasma Science and Technology Mikroplasma zwischen zwei Metallschneiden 1mm Abb. 1.16 Reinigen, Beschichten, Sterilisieren, Wundheilung, Zahnreinigung, … Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 30 Member of Center for Plasma Science and Technology Sputtering: ein Technik (fast) ohne technische Grenzen (Fa. Ardenne Anlagentechnik GmbH/Dresden) Abb. 1.17 Beschichten von: Fenstern, Werkzeugen, Biomaterialien, Kunststoffen, … Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 31 Member of Center for Plasma Science and Technology Ein Plasma das jeder kennt: die Sonne Viele Plasmen: Spiralnebel Sonnenzentrum: 15 000 000 K Sonnenoberfläche: 5800 K Abb. 1.18 Häufigster Aggregatzustand im Universum Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 32 Member of Center for Plasma Science and Technology Biomedizin – Anwendungen (Sterilisation, Wundbehandlung, Biokompatible Schichten) Getriebene Elektrode Geerdete Elektrode Aktuell: Innenbeschichtung von dünnen Polymerschläuchen Wurzelkanalbehandlung Wundheilung Plasmadesinfektion Luftentkeimung „Plasmazündkerze“ … DBD-Plasma: 300 K Electrical Engineering & Plasma Technolgy Abb. 1.19 Peter Awakowicz 33 Member of Center for Plasma Science and Technology Film: Zünden einer Xenonlampe auf nsec-Zeitskala Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 34 Member of Center for Plasma Science and Technology Film: Erster echter Plasmasterilisator weltweit in einer Spritzen-Produktionslinie Fazit: mit Plasmen kann man (fast) alles machen (Inplas-Film)! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 35 Member of Center for Plasma Science and Technology 1.4 Physikalische Konstanten + Umrechnungen in der Plasmatechnik Boltzmannkonstante Elementarladung Elektronenmasse Protonenmasse Prot.-Elektr.-Massenverhältnis Planck Konstante Lichtgeschwindigkeit Permittivität Permeabilität Bohrradius Atomarer Wirkungsquerschnitt Temperaturäquivalent zu 1eV Energieäquivalent zu 1eV Avogadrozahl (Teilchen/Mol) Gaskonstante Atomare Masseneinheit Standardtemperatur (25°C) Standarddruck (760 Torr = 1bar) Druck von 1 Torr entspricht Energie pro Mol bei T0 Kalorie Electrical Engineering & Plasma Technolgy k e me mP mp/me h c 0 0 a0 a02 NA R T0 p0 RT0 1.3807·10-23 J/K 1.6022 ·10-19 C 9.1095 ·10-31 kg 1.6726 ·10-27 kg 1836.2 6.6262 ·10-34 Js 2.9979 ·108 m/s 8.8542 ·10-12 F/m 4 ·10-7 H/m 5.2918 ·10-11 m 8.7974 ·10-21 m2 11604.5 K 1.6022 ·10-19 J 6.0220 ·1023 8.3144 J/K mol 1.6606 ·10-27 kg = 1 amu 298.15 K 1.0133 ·105 Pa 133.32 Pa 2.4789 kJ/mol 4.1868 J Peter Awakowicz 36 Member of Center for Plasma Science and Technology 1.5 Abfolge technologischer Prozesse i. d. Mikroelektronik Deposition Lithographie Electrical Engineering & Plasma Technolgy Dotieren Veraschen Ätzen Peter Awakowicz 37 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: MOS-Transistor Beschichten SiO2 Siliziumscheibe Poly-Si Licht Maske N-Kanal-MOS-Transistor in Integrierter Schaltung: Lithographie Source Photoresist As, P Gate n+ -Si p-Si Drain Al n+ Ätzen Dotieren Electrical Engineering & Plasma Technolgy p Abb. 1.20 Peter Awakowicz 38 Member of Center for Plasma Science and Technology 2. Physikalische Grundlagen 2.1 Stöße Wie bereits phänomenologisch diskutiert, können Stöße zwischen zwei Teilchen zu verschiedenen Resultaten führen. Z. B. können eines oder beide Teilchen Moment und Energie ändern, Neutrale können ionisiert werden oder Ionen neutralisiert. In diesem Abschnitt sollen an Hand einfacher Beispiele die Stöße zwischen Elektronen, positiven Ionen und Edelgasatomen diskutiert werden. Der überwiegende Anteil an Stößen zwischen Elektronen und Atomen sind sog. elastische Stöße, d.h. Stöße bei denen die innere Energie des Atoms nicht geändert wird. Aufgrund der stark unterschiedlichen Massenverhältnisse (mp/me = 1836) erfährt bei diesen Stößen in erster Linie der Impuls der Elektronen eine starke Änderung. Zu einem sehr viel geringeren Anteil führen Stöße zwischen Elektronen und Atomen zur Ionisation und Anregung der Atome. Dies sind sog. inelastische Prozesse. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 39 Member of Center for Plasma Science and Technology Weiterhin gibt es natürlich auch Stöße zwischen Atomen und Ionen. Auch hier überwiegen die elastischen Prozesse, wobei allerdings aufgrund der ähnlichen Massen Impuls und Energie beider Stoßpartner geändert werden. Ein sehr wichtiger und häufiger Prozess ist der sog. resonante Ladungsaustausch, bei dem z.B. ein Argonion und ein Argonatom stoßen und die Ladung vom Ion an das Atom übergeben wird (d.h. das gebundene Elektron zum Ion übergeht): Ar + Ar+ Ar+ + Ar Ladungsaustausch- oder Charge Exchange (cx) Stoß Bemerkung: die Ladungsaustauschstöße ermöglichen eine Energieerhöhung der Neutralteilchen (die vorher Ionen waren) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 40 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.1.1 Elastische und inelastische Stöße Grundsätzlich: Stöße sind impuls- und energieerhaltend, d.h. der gesamte Impuls und die gesamte Energie der stoßenden Teilchen sind vor und nach dem Stoß identisch. Elektronen und vollständig ionisierte Ionen können nur kinetische Energie besitzen, Atome und teilionisierte Ionen weisen interne Energiestrukturen auf und können daher angeregt, abgeregt, ionisiert und rekombiniert werden. Dadurch wird deren potentielle Energie verändert. Neben den bereits erwähnten elastischen und inelastischen Stößen gibt es auch sog. superelastische Stöße, wobei die Energie eines angeregten Atoms oder Ions dazu verwendet wird, um die Summe der kinetischen Energien zu erhöhen: Al + Bl* As + Bs l: „langsam“, s: „schnell“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 41 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: Metastabile Niveaus in Helium Superelastische Stöße: He* + eslow He + efast He** + eslow He* + efast He** He* metastabile Niveaus bei ≈ 20 eV Chemoionisation (Pooling): He* + He* He + He+ + efast He Abb. 2.1 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 42 Member of Center for Plasma Science and Technology Wichtige Stoßparameter Die entscheidende Größe zur Beschreibung von Stößen ist der Wirkungsquerschnitt (vrel) (siehe Übung). Hierbei ist vrel die relative Geschwindigkeit der stoßenden Teilchen vor dem Stoß. In Bild 2.2 ist gezeigt, wie eine Teilchenflussdichte j = ntvt von „Testteilchen“ der Masse m, der Dichte n und der Geschwindigkeit vt auf ein Volumen mit ruhenden „Feldteilchen“ der Dichte nf treffen, die eine sehr große Masse besitzen, d.h. vrel = vt. „Feldteilchen“ . . . . . . „Testteilchen“ dx Abb. 2.2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 43 Member of Center for Plasma Science and Technology Um die Zahl der einfallenden Testteilchen dnt, die mit den Feldteilchen innerhalb dx stoßen, wird der einfallende Testteilchen-Strahl vermindert: d𝑛𝑡 = −𝜎𝑛f𝑛td𝑥 (2.1) Hier ist eine Proportionalitätskonstante mit der Dimension einer Fläche. Diese Größe wird Wirkungsquerschnitt (cross section) genannt. Um genauer zu definieren, muss die Art des Stoßes (Wechselwirkungspotential) bekannt sein, d.h. es muss bekannt sein, ob es sich um einen elastischer Stoß, ein Ionisationsstoß etc. handelt. Wird (2.1) mit vt multipliziert, erhält man: d𝑗𝑡 = −𝑗t𝜎𝑛f d𝑥 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.2) Peter Awakowicz 44 Member of Center for Plasma Science and Technology Damit wird: d𝑗𝑡 d𝑛𝑡 = = −𝜎𝑛fd𝑥 𝑗𝑡 𝑛𝑡 (2.3) Nach Integration von (2.3) erhält man (Anfangsbedingung 𝑗0 = 𝑛0 𝑣0 ): 𝑥 𝑗t 𝑥 = 𝑗0exp(−𝜎𝑛f𝑥) ≡ 𝑗0exp − 𝜆 (2.4) 1 𝜆= 𝑛f 𝜎 (2.5) Die Größe nennt man mittlere freie Weglänge (für den Zerfall des einfallenden Strahls). D.h. gibt die Länge an, auf der der ursprüngliche Fluss j0 um 1/e abgenommen hat. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 45 Member of Center for Plasma Science and Technology Da die Geschwindigkeit der Testteilchen vt bekannt ist, kann die (mittlere) Zeit zwischen zwei Stößen berechnet werden: 𝜆 𝜏= 𝑣t (2.6) Der Kehrwert wird Stoßfrequenz genannt: 1 𝜏 ν= = 𝑛f 𝑣t 𝜎 (2.7) Für einen „Billardkugelstoß“ kann direkt angegeben werden. Wenn der einfallende Strahl aus Kugeln mit Radius r1 bestehen und die Feldteilchen aus Kugeln mit Radius r2, dann gilt: 𝜎 = 𝜋(𝑟1 + 𝑟2)² Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 46 Member of Center for Plasma Science and Technology und weiterhin: 𝑗 𝑥 = 𝑗0 exp −𝑛f 𝑥 𝜋𝑟122 mit 𝑟12 = 𝑟1 + 𝑟2 Die Ableitungen von differentiellem und totalem Wirkungsquerschnitt für elastische Stoßprozesse erfolgen in der Ergänzung (Übung). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 47 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: Wirkungsquerschnitt für elastischen Stoß von Elektronen mit Argon Abb. 2.3 2.1.2 Energietransfer beim elastischen Stoß (s. Übung) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 48 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.1.3 Inelastische Stöße: Stoß-Strahlungsprozesse Diese Modelle basieren auf der Kontinuitätsgleichung, wobei die rechte Seite „beliebig aufwendig“ werden kann. Betrachtet man ein angeregtes Niveau m (innerhalb eines Atoms oder Moleküls), dann gilt: Sm Xim nl l m Xnm n Ei Alm 𝑃m − 𝑛m𝐷m = 𝑛e Produktion - nm Destruktion = 𝑛m𝑋nm − 𝑛e𝑛m n≠m E-Stoßproduktion 𝑛𝑒2 𝑛i𝑋im Dreistoßrekomb. Xmn Amn nn - n≠m E-Stoßentvölkerung + − 𝑛e𝑛m𝑆m + - Stoßionisation + 𝑛l(𝐴lm 𝑙>𝑚 Ei: Ionisierungsgrenze Electrical Engineering & Plasma Technolgy 𝑋mn + (2.8) Peter Awakowicz 49 Member of Center for Plasma Science and Technology • ne, nm sind Teilchenzahldichten (meist [cm-3]) • X, S sind Ratenkoeffizienten f. Stoßprozesse (z.B. [cm3/sec]) • A, B sind Übergangswahrscheinlichkeiten f. Strahlungsprozesse [sec-1] In Niederdruckplasmen: Koronagleichgewicht Niveau m Amn (2.9) 𝑛e𝑛l𝑋lm = 𝑛m𝐴mn X1m Am1 𝑛<𝑚 Niveau n Niveau 1 d.h. Elektronenstoßanregung = Strahlungsabregung Abb. 2.4 Amn: Übergangswahrscheinlichkeit f. spontane Emission X1m: Ratenkoeffizient f. Elektronenstoßanregung Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 50 Member of Center for Plasma Science and Technology Ratenkoeffizient f. Elektronenstoßanregung: ∞ 𝑋ki = 𝜎 𝐸 v = v𝜎 𝐸 𝑓 𝐸 𝑑𝐸 (2.10) ΔE ΔE = Schwellenenergie des Querschnittes σ (exp. + theoretisch) f(E) = Verteilungsfunktion (üblicherweise Maxwell) HL@ D S(Te)S Te [cm3/s] cm ^3 s 1e-9 1. ´ 10 - 9 Beispiel: Ionisationsstoß in Argon (Ei = 15.8 eV) 1e-11 1. ´ 10 - 11 1e-13 1. ´ 10 - 13 Abb. 2.5 Te 0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 5 10 15 20 Peter Awakowicz @ D TeeV [eV] 51 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.2 Verteilungen im Gleichgewicht (nicht in Niederdruckplasmen) Im thermischen Gleichgewicht (TE) befindet sich jeder Einzelprozess mit seinem gegenläufigen im Gleichgewicht (=detailliertes Gleichgewicht). z.B. Stoßan- und abregung: (2.11) 𝑛m𝑛e𝑋ml = 𝑛l𝑛e𝑋lm l Xlm Xml m „Detailliertes Gleichgewicht“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Abb. 2.6 Peter Awakowicz 52 Member of Center for Plasma Science and Technology Der thermodynamische Zustand von beliebigen Plasmen läßt sich mit vier Verteilungen charakterisieren: •Verteilung •Verteilung •Verteilung •Verteilung der der der der freien Elektronen nach MAXWELL im atomaren System gebundenen Elektronen nach BOLTZMANN Besetzung zweier benachbarter Ionisationsstufen nach SAHA Photonen nach PLANCK Befinden sich die Plasmen im TE, sind alle Verteilungen erfüllt und werden durch eine Temperatur T beschrieben. 2.2.1 Freie Elektronen nach MAXWELL (siehe Übung) 1 d𝑛 2 𝐸 𝐸 𝑓 𝐸 = = exp − 3/2 𝑁 d𝐸 𝑘𝑇e 𝜋 (𝑘𝑇e) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.12) 53 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: links Te = 3 eV, rechts Te = 20 eV (Maximum von f(E) bei kTe/2) f(Eel) kTe/2 kTe/2 Ar 0.4 0.15 0.125 0.3 Ionisationsenergie von Argon 0.1 0.075 0.05 0.1 Ar 0.025 5 10 15 0.2 20 5 10 15 20 25 30 Eel Abb. 2.7 Niederdruckplasma: Te = 1 ... 10 eV, Schwellenenergie z.B. : He = 24.58 eV, Ar = 15.8 eV Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 54 Member of Center for Plasma Science and Technology z.B. Wirkungsquerschnitt für H-Atom σik: Elektronenstoßanregung i = 1, k = 2 const σ [m2] const . s @ D m2 0.0045 0.004 0.0035 0.003 𝑒 𝜋 4𝜋𝜀0 𝜎ik = 𝐸 0.0025 4 𝑓ik 𝐸 ln ΔEik Δ𝐸ik E Abb. 2.8 20 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 40 60 Peter Awakowicz 80 @ D E eV[eV] 55 Member of Center for Plasma Science and Technology Oft logarithmische Darstellung des Exponentialterms der Verteilungsfunktion: 3 𝑘𝑇e 2 𝐸 𝑓(𝐸) Nur der Exponentialterm wird dargestellt H 1 Ar He 0.5 0.2 0.1 0.05 E [eV] 0 10 20 30 40 50 60 70 Abb. 2.9 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 56 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.2.2 Gebundene Zustände nach BOLTZMANN ∞ Zustandssumme: (im Atom) 𝑍a 𝑇 = Beispiel: Wasserstoffatom m=l 𝐸m 𝑔mexp − 𝑘𝑇 (2.13) gm = 2n2 (statistisches Gewicht) n: Hauptquantenzahl Em: Energie des Zustandes m Betrachtet: n = 6 n= n= n= n= ... 1, g1 = 2, E1 = 0 eV 2, g2 = 8, E2 = 10.20 3, g3 = 18, E3 = 12.09 4, g4 = 32, E4 = 12.75 T = 1 eV, T = 2 eV T = 3 eV T = 4 eV ... Za = 2.00 Za = 2.32 Za = 4.56 Za = 9.37 n=9 2.00 2.80 9.04 23.03 ... Tab. 2.1 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 57 Member of Center for Plasma Science and Technology Besetzungsdichte eine Zustandes m: 𝑛m 𝑔m 𝐸m = exp − 𝑛a 𝑍a(𝑇) 𝑘𝑇 (2.14) na: Gesamtteilchendichte einer Ionisierungsstufe (z.B. Neutrale). In Niederdruckplasmen entspricht na meist der Konzentration des eingefüllten Gases (Argon: na = nAr) Daraus Verhältnis der Besetzungsdichten zweier Zustände k,i: 𝑛k 𝑔k 𝐸k − 𝐸i = exp − 𝑛i 𝑔i 𝑘𝑇 (2.15) Die Zusammenhänge (2.14) und (2.15) gelten zunächst nur im thermischen Gleichgewicht. In Nichtgleichgewichtsplasmen gilt (2.15) nur für Niveaus mit geringen Energieabständen, d.h. etwa 1 eV und kleiner. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 58 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.2.3 Aufeinanderfolgende Ionisierungsstufen nach SAHA (Massenwirkungsgesetz) 𝑛e𝑛i 2𝑍i(𝑇) 2𝜋𝑚e𝑘𝑇 = 𝑛a 𝑍a(𝑇) ℎ² 3/2 𝐸ion − Δ𝐸ion 𝑒𝑥𝑝 − 𝑘𝑇 (2.16) 2: Zustandssumme der Elektronen Zi: Zustandssumme der Ionen Za: Zustandssumme der Atome Eion: Ionisierungsenergie ΔEion: Erniedrigung der Ionisierungsenergie h: 6.626·10-34 Jsec Gilt in Niederdruckplasmen i.d.R. nicht, da LTE (local thermal equilibrium) vorausgesetzt. Ist aber z.B. für Hochdruckentladungslampen (HID-Lampen) meist gültig. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 59 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.2.4 Photonen nach PLANCK Energiedichte des Strahlungsfeldes im Frequenzintervall: 8𝜋ℎ𝜈³ 1 𝑢ν = ℎ𝜈 𝑐³ exp −1 𝑘𝑇 uν -19 2 ´ 10 2·10-19 [J/m3 s-1] (2.17) T = 300 K -19-19 1.5·10 1.5 ´ 10 1 ´ 10 1·10-19 Max. bei ca. 17 μm (IR) ≈ 20 THz -19 Wiensches Verschiebungsgesetz: ℎ𝑐 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑇 = = 2,8971 ∙ 103 μmK 4,966𝑘 -20 10 0.5·105 ´-19 ν/Hz 2 ´ 10 13 2·1013 4 ´ 10 13 4·1013 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 6 ´ 10 13 6·1013 8 ´ 10 13 8·1013 1 ´ 10 14 10·1013 Peter Awakowicz Abb. 2.10 60 Member of Center for Plasma Science and Technology T = 10.000 K 8·10 uν -15 8-15 ´ 10 Max. bei etwa 500 nm (VIS) -15 ´ 10 6·106-15 𝑐 = 𝜆𝑣 -15 ´ 10 4·104-15 (2.18) -15 ´ 10 2·102-15 5 ´ 10 14 5·1014 1 ´ 10 15 1·1015 1.5 ´ 10 15 1.5·1015 2 ´ 10 15 2·1015 ν/Hz c: 2.9979·108 m/sec Lichtgeschwindigkeit, λ: Wellenlänge, ν: Frequenz Abb. 2.11 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 61 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.3 Abweichungen von den Gleichgewichtsverteilungen 2.3.1 Abweichungen von der Planckverteilung der Photonen Beispiel: DC-He-Entladung (Kaskadenbogen) Abb. 2.12 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 62 Member of Center for Plasma Science and Technology einige Daten zu den Linien im obigen Helium-Spektrum (vgl. Abb. 2.1): HeI 388.8: 1s 2s 3S → 1s 3p 3P; Ei = 19.82 eV, Ek = 23.01 eV, gi = 3, gk = 9, Aki = 0.095 ·108 s-1 HeI 318.8: 1s 2s 3S → 1s 4p 3P; Ei = 19.82 eV, Ek = 23.71 eV, gi = 3, gk = 9, Aki = 0.051 ·108 s-1 HeI 447.1: 1s 2p 3P → 1s 4d 3D; Ei = 20.96 eV, Ek = 23.74 eV, gi = 9, gk = 15, Aki = 0.251 ·108 s-1 HeI 501.5: 1s 2s 1S → 1s 3p 1P; Ei = 20.61 eV, Ek = 23.09 eV, gi = 1, gk = 3, Aki = 0.134 ·108 s-1 Tab. 2.2 Bemerkungen zum Spektrum: • • • • • Spektrum einer Normaldruck-Bogenentladung in Helium (PLTE) Linienspektrum mit überlagertem Kontinuum Linien ergeben sich durch gebunden-gebunden Übergänge Kontinuum entsteht durch frei-gebunden oder frei-frei Übergänge Halbwertsbreite ist Maß für die Elektronendichte und/oder die Gastemperatur (Apparateprofil überlagert!) • Bezeichnungen in der Spektroskopievorlesung im SS Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 63 Member of Center for Plasma Science and Technology Bemerkungen: • Im allgemeinen ist die von einem Laborplasma erzeugte Strahlung eine Linienstrahlung, der ein Kontinuum unterlegt sein kann (bei hohem Druck). • Im Niederdruckplasma findet man nur noch Linienstrahlung, da das Kontinuum quadratisch mit der Elektronendichte zu- bzw. abnimmt. • Die im Spektrum auffindbaren Linien hängen von der Übergangswahrscheinlichkeit (Einstein) und der Besetzungsdichte ab, gemäß: ℎ𝜈 𝜀= 𝐴mn𝑛m 4𝜋 [W/cm3 sr] (2.19) ε : Emissionskoeffizient, Amn: Übergangswahrscheinlichkeit f. spontane Emission, h: 6.626·10-34 Jsec Die Intensität (Strahldichte) einer Linie berechnet sich aus der Integration über den Sehstrahl: 𝑙1 𝐼= 𝜀 𝑟 𝑑𝑟 [W/cm2 sr] (2.20) 𝑙0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 64 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.3.2 Abweichungen von der Maxwellverteilung der freien Elektronen • Durch ständige Wechselwirkung der freien Elektronen miteinander stellt sich eine Gleichgewichtsverteilung ein, die Maxwellverteilung (MW). • In den Hochenergiebereich der MW werden nur sehr wenige Elektronen gestreut, d.h. die Produktion für hochenergetische Elektronen ist gering. • Existieren im Plasma eine oder mehrere starke Senken für diese hochenergetischen Elektronen, dann kann es sein, dass die tatsächliche Verteilung (EEDF) gegenüber der MW unterbesetzt ist. • Das Auftreten der Unterbesetzung tritt im Energiebereich in der Nähe der Schwelle für diesen Prozess (z.B. Stoßanregung) auf. • Es besteht auch die Möglichkeit, dass in einem bestimmten Modus viele Elektronen an der Wand generiert werden (Sekundärelektronen durch hohen Ionenfluss, PT2). Diese Elektronen durchlaufen dann die Randschicht, nehmen eine hohe Energie auf und treten im Plasma mit einer gesonderten, deutlich höheren Temperatur auf, als die im Volumen erzeugten Elektronen. • Elektronen können mit der Hochfrequenz i. d. R. mitschwingen. Daher dient der Stoß der Elektronen mit den Neutralen dazu, dass die Elektronen noch besser im HF-Feld geheizt werden. • Superelastische Stöße (s.o.) können ebenfalls der Heizung der Elektronen dienen. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 65 Member of Center for Plasma Science and Technology nochmals Abb. 2.8: Maxwellverteilung im He-Niederdruckplasma 3 𝑘𝑇e 2 𝐸 𝑓(𝐸) „Zweitemperatur-Verteilung“ 1 He-Ionisationsschwelle 0.5 0.2 0.1 0.05 E [eV] 0 10 20 30 40 50 60 70 Abb. 2.13 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 66 Member of Center for Plasma Science and Technology Berechnete EEDF nach dem Ausschalten eines ICP-Plasmas Abb. 2.14 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 67 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.4 Einordnung und Grundlagen der Niederdruckplasmen 25 log(n) [cm-3] Laserplasma Si (300 K) 20 4 𝜋𝑛𝜆3D < 1 3 Licht bogen 15 Thetapinch „Anzahl der Elektronen in Debye-Kugel“ 10 •Te = 1 - 10 eV •Ti << Te •ne = 108 - 1013 cm-3 •p = 0.1 – 100.000 Pa 5 0 Nieder druck entla dungen Flam men Ionos phäre Fusions reaktor Stoßwellen rohr Abb. 2.15 λD > 1 cm = Thema der Vorlesung 10-2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 10-1 0 1 2 3 4 Peter Awakowicz 5 log(Te) [eV] 68 Member of Center for Plasma Science and Technology Typische Niederdruckentladung: kapazitiv-gekoppeltes HF-Plasma (CCP) Reaktor Gaseinlass Potentialverläufe Geerdete Elektrode Randschichten Wafer Plasma Upl 0 E-Feld Plasma Uhf Usch - UB Cb HF-Elektrode Wafer Pumpen Elektrodenabstand HF-Elektrode Abb. 2.16 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz Geerdete Elektrode 69 Member of Center for Plasma Science and Technology Ätzplasma im CCP mit Füllgas z.B. CF4: Reaktion im Plasma: Da die Elektronen hohe Energien besitzen, erzeugen diese durch Stoß die Radikale (F, CF3, ...). e + CF4 → 2e + CF3+ + F → e + F + CF3 → ... (dissoziative Ionisation) (Dissoziation) Reaktion am Substrat: Bestimmte Radikale reagieren mit dem Substrat zu flüchtigen Produkten (SiF4), die abgepumpt werden Si + 4F → SiF4 ↑ Bemerkungen: Si reagiert nicht mit CF4-Gas (inert!). Der auf F basierende Ätzprozess ist isotrop, da rein chemisch. Um einen anisotropen Prozess zu erhalten, ist ein Ionenätzprozess nötig. → siehe „Plasmaätzen“ Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 70 Member of Center for Plasma Science and Technology Wie hoch ist etwa der Anteil der Ionen in derartigen Plasmen? Ionisationsgrad : 𝑛i 𝜀= 𝑛g + 𝑛i (2.21) ni: Ionendichte ng: Neutralgasdichte ni = ne (Quasineutralität) CF4 im CCP: (Abb. 2.16) Electrical Engineering & Plasma Technolgy 𝜀 ≈ 10−5 Peter Awakowicz 71 Member of Center for Plasma Science and Technology Wie hoch sind die Konzentrationen der versch. Spezies und deren Energien im CCP mit CF4 als Füllgas? [cm-3] 1016 Ätzgas Ätzprod. Abb. 2.17 1012 Radikale 108 BulkIonen 10-2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Elektronen 1 Schicht Ionen 102 <E> [eV] Peter Awakowicz 72 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.4.1 Die Boltzmann Relation Befinden sich die Elektronen zueinander im thermischen Gleichgewicht, kann für die Elektronendichte ne eine sehr wichtige (und nützliche) Beziehung in Abhängigkeit vom ortsabhängigen elektrischen Potential gefunden werden. Haben die Elektronen eine vernachlässigbare Driftgeschwindigkeit (gegen thermische Geschwindigkeit), dann sind die Trägheits-, Magnet- und Reibungskräfte Null. Aus der Bilanz, der dann auf die Elektronen (negative Ladung!) wirkenden Volumen-Kräfte [N/m3] ergibt sich: 𝛻𝑝e + 𝑒𝑛e𝐸 𝑟 = 0 , (𝛻 = 𝛻𝑟) (2.22) Unter Verwendung des Druckgesetzes nach Dalton: 𝑝tot = 𝑝i = i 𝑛i𝑘𝑇i (2.23) i z.B. für ein Plasma aus Elektronen, Ionen und einer Neutralteilchensorte: 𝑝tot = 𝑛e𝑘𝑇e + 𝑛i𝑘𝑇i + 𝑛0𝑘𝑇0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 73 Member of Center for Plasma Science and Technology in (2.22) eingesetzt gilt: −𝑒𝑛e𝛻𝛷 + 𝑘𝑇e𝛻𝑛e = 0 wobei für 𝐸 = −𝛻𝛷 (2.24) verwendet wurde. Nach Umformung von (2.24) erhält man: 𝛻𝑛e 𝛻𝑒𝛷 − 𝑘𝑇e =0 𝑛e 𝛻 𝑒𝛷 − 𝑘𝑇e ln 𝑛e = 0 und damit: (2.25) Nach Integration erhält man: 𝑒𝛷 − 𝑘𝑇e ln 𝑛e = const bzw. 𝑒𝛷 𝑛e 𝑟 = 𝑛0 exp 𝑘𝑇e Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.26) 74 Member of Center for Plasma Science and Technology Dies (2.26) ist die Boltzmann Relation für die Elektronen. Oftmals findet man eine (etwas schlampige) vereinfachte Schreibweise vor: 𝛷 𝑛e = 𝑛0 exp 𝑇e (2.27) Hier wird Te und in Volt eingesetzt. Aus (2.26) bzw. (2.27) erkennt man, dass die Elektronen durch ein positives Potential angezogen werden, d.h. die Dichte steigt exponentiell an. Für positive Ionen würde man im thermischen Gleichgewicht einen adäquaten Ausdruck finden: Gilt nicht: 𝛷 𝑛i = 𝑛0 exp − 𝑇i , (2.28) der im Prinzip besagt, dass positive Ionen von einem positiven Potential abgestoßen werden. Da aber die Driftgeschwindigkeit der Ionen relativ groß ist (gegen deren thermische Geschwindigkeit), kann in der Kräftebilanz der Ionen weder die Trägheit (große Masse!) noch die Reibung (großer Querschnitt) vernachlässigt werden. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 75 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.4.2 Die Debye-Länge In ein unendlich ausgedehntes Plasma werde am Ort x = 0 eine Fläche mit negativer Ladung ρ < 0 gebracht. Das Potential Φ verläuft dann wie folgt: Φ/f Φ0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 D @ x cm x[cm] -0.2 -0.4 -0.6 Abb. 2.18 -0.8 -1 wobei ein Plasma mit Te = 4 eV und ne = 1010 cm-3 angenommen wurde. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 76 Member of Center for Plasma Science and Technology Das Plasma habe die Gleichgewichtsdichte ne = ni = n0 = 1010 cm-3. Die Ionen seien der Einfachheit halber unbeweglich. Die negative Flächenladung stößt die Elektronen ab: AE -3 n [cm 1 ] n ee €€€€ €€€€ € cm 3 1 ´ 10 n0 10 9.5 ´ 10 9 ´ 10 9 9 F<0 8.5 ´ 10 Abb. 2.19 9 @ D xx[cm] cm 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Resultat: Die Störung in diesem Plasma ist nach etwa 1 mm abgeklungen! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 77 Member of Center for Plasma Science and Technology Um die Potential- und Dichtevariation in einem Plasma beschreiben zu können, wird die Poissongleichung in 1-D verwendet: d²𝛷 𝑒 = − (𝑛i − 𝑛e) 𝜀0 d𝑥² (2.29) unter Verwendung der in 2.4.1 hergeleiteten Boltzmann Relation (2.27) für die Elektronen: 𝑒𝛷 𝑛e = 𝑛0exp 𝑇e wird aus (2.29): d²𝛷 𝑒𝑛0 𝑒𝛷 = exp −1 𝜀 𝑇 d𝑥² 0 e (2.30) weil die Ionen als ruhend angenommen wurden (s.o.). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 78 Member of Center for Plasma Science and Technology Entwickelt man exp(/Te) in eine Taylorreihe für << Te, dann erhält man: d²𝛷 𝑒𝑛0 𝑒𝛷 𝑒²𝑛0 ≈ = 𝛷 𝜀0 𝑇 𝜀0𝑇 d𝑥² (2.31) Die symmetrische Lösung von (2.31), die bei x = verschwindet, lautet: |𝑥| 𝛷 = 𝛷0 exp − 𝜆𝐷 (2.32) wobei 𝜆D = 𝜀0𝑇e 𝑒²𝑛e (2.33) Debye-Länge genannt wird. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 79 Member of Center for Plasma Science and Technology In praktischen Einheiten lautet diese: 𝜆D 𝑇e cm = 743 𝑛 , e 𝑛e = cm−3 𝑇e = V, (2.34) Z.B. Te=4 V, ne=1010 cm-3: D=140 m Bemerkungen: • • • Nochmal zurück zu den Abbildungen 2.16 und 2.17: Man sieht, dass in diesem realistischen Fall die Störung des Plasmas nach ca. 1 mm d.h. also nach etwa 7 Debye-Längen abgeklungen ist. Mit steigender Dichte und abnehmender Temperatur wird die Debye-Länge immer kleiner und umgekehrt, je dünner und heißer das Plasma ist, um so größer wird die Abschirmlänge. Über Distanzen, die sehr viel größer sind als λD ist das Plasma elektrisch neutral. Dies wird als „Quasineutralität“ bezeichnet, die im sog. Plasma-Bulk immer erfüllt ist. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 80 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.4.3 Quasineutralität Ein Plasma der Länge L weist etwa eine Potenzialvariation (Steigung) von /L auf, wenn L >> D gilt. Mit der Poisson-Gl. gilt: −𝜌 𝑒 1 𝛷 𝛻²𝛷 = = |(𝑍𝑛i − 𝑛e)| ≈ 𝜀0 𝜀0 𝐿 𝐿 (2.35) (Z·ni ist Summe aller Ionenladungen) Allgemein gilt im Plasmabulk (nicht in der Randschicht) mit der Debye-Länge: 𝑒𝛷 𝑒² < 1 ⇒ 𝑒𝛷 < 𝑇e = 𝑛e𝜆D² 𝑇 𝜀0 (2.36) Wird (2.36) in (2.35) eingesetzt, erhält man 𝑒² 1 𝑒² 𝑛e𝜆D² 𝑍𝑛i − 𝑛e < 𝑛e𝜆D² ⇒ > 𝑍𝑛i − 𝑛e 𝜀0 𝐿² 𝜀0 𝐿² Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.37) 81 Member of Center for Plasma Science and Technology Gl. (2.37) umgeformt ergibt: 𝜆D² 𝑍𝑛i − 𝑛e > 𝑛e 𝐿² (2.38) Da aber die typische Ausdehnung der meisten Plasmen sehr viel größer ist als die zugehörige Debye-Länge (vgl. Beispiel in (2.34): D=140 m, L 20 cm), gilt: 𝜆D ² ≪1 𝐿² folgt mit (2.38): (2.39) 𝑍𝑛i − 𝑛e ≪ 𝑛e und damit letztlich: 𝑍𝑛i ≈ 𝑛e Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.40) Peter Awakowicz 82 Member of Center for Plasma Science and Technology Gl. (2.40) ist im sog. Plasma-Bulk stets sehr gut erfüllt, so dass üblicherweise das Gleichheitszeichen in (2.40) verwendet wird. Lediglich in der sog. Randschicht, also in unmittelbarer Nähe einer materiellen Wand, gilt die Quasineutralität nicht. Dann nämlich ist anstelle von L in Gl. (2.38) die Schichtdicke einzusetzen, und diese ist eben etwa von gleicher Dimension wie die Debye-Länge. D.h. die linke Seite von (2.38) ist dann nicht mehr klein gegen eins. Bezieht man sich auf Gl. (2.36) kann man auch argumentieren, dass in der Schicht nicht mehr e < Te gilt. Damit ist letztlich (2.38) ebenfalls nicht mehr gültig. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 83 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.5 Plasmadynamik 2.5.1 Grundgleichungen Für ein geladenes Teilchen sind folgende Bewegungsgleichungen gültig, wenn elektrische und magnetische Felder vorhanden sind: d𝑣 𝑚 = 𝑞 𝐸 𝑟, 𝑡 + 𝑣 × 𝐵(𝑟, 𝑡) d𝑡 (2.35 a) d𝑟 =𝑣 𝑡 , d𝑡 (2.35 b) wobei der rechte Term der rechten Seite in (2.35a) die Lorentzkraft darstellt, der linke Term die Kraft aufgrund eines elektrischen Feldes. In voller Allgemeinheit können diese Gleichungen nicht gelöst werden, für Spezialfälle ist dies möglich und soll im folgenden gezeigt werden. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 84 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.5.2 Teilchenbewegung bei konstanten Feldern Für die gegebene Feldkonfiguration 𝐸 = 𝐸 0, 𝐵=0 bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Beschleunigung entlang des vorgegebenen elektrischen Feldes: 1 2 𝑟 𝑡 = 𝑟0 + 𝑣0𝑡 + 𝑎0𝑡² , (2.36) mit der (Anfangs)Position r0 , der (Anfangs)Geschwindigkeit v0 und der Beschleunigung a0=qE0/m. (Vektoren mit Pfeil oder dickgedruckt) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 85 Member of Center for Plasma Science and Technology Für ein konstantes magnetisches Feld B = ez B0 entlang der z-Achse mit E = 0 gilt: dvx dvy 𝑚 d²vx 𝑚 = 𝑞vy𝐵0 ⇒ = d𝑡 d𝑡 𝑞𝐵 d𝑡² E=0 e zB 0 dvy dvy 𝑞𝐵 𝑚 = −𝑞vx𝐵0 ⇒ = v d𝑡 d𝑡 𝑚 x dvz 𝑚 =0 d𝑡 (2.37a) (2.37b) (2.37c) Die Bewegung in z-Richtung ist entkoppelt von den Bewegungen in x- und y-Richtung! Differenziert man (2.37a) und eliminiert vy in (2.37b) so erhält man: d²𝑣x 𝑞𝐵0 =− 𝑚 d𝑡² 2 𝑣x 𝑞 mit 𝜔c = 𝐵0 , 𝑚 (2.38) Vergleiche mit Lösung von Gl. (2.31)! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 86 Member of Center for Plasma Science and Technology wobei C die Gyrationsfrequenz darstellt. Die Lösung von (2.38) unter Verwendung von (2.37a) lautet: 𝑣x = 𝑣senkrecht, 0 cos(𝜔c𝑡 + 𝜑0) (2.39a) 𝑣y = −𝑣senkrecht, 0 sin(𝜔c𝑡 + 𝜑0) (2.39b) 𝑣z = 𝑣z0 (2.39c) und vsenkrecht die Geschwindigkeit senkrecht zu B0 beschreibt. Integriert man nun (2.39) , so erhält man die Teilchenpositionen: 𝑥 = 𝑟c sin 𝜔c𝑡 + 𝜑0 + (𝑥0 − 𝑟c sin 𝜑0) (2.40a) 𝑦 = 𝑟c cos 𝜔c𝑡 + 𝜑0 + (𝑦0 − 𝑟c cos 𝜑0) 𝑧 = 𝑧0 + 𝑣z0𝑡 (2.40b) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.40c) 87 Member of Center for Plasma Science and Technology Dabei gilt für rC in (2.40): 𝑣senkrecht, 0 𝑟c = |𝜔c| (2.41) dem Radius der Gyrationsbewegung der Teilchen um die B-Feldlinien. Die Gleichungen (2.39) und (2.40) zeigen, dass das Teilchen in einer Kreisbewegung um das magnetische Feld (also senkrecht zu B) herum gyriert. Die zugehörige Gyrationsfrequenz ist ωc, der Gyrationsradius rc. Der Mittelpunkt des Gyrationskreises bewegt sich auf einer Bahn entlang z = z0 + vz0t. Positive Ladungen gyrieren um die Magnetfeldlinien gemäß der „Linke-Hand-Regel “ , negative gemäß der „Rechte-HandRegel“. Das Kräftegleichgewicht des Teilchens auf der Kreisbewegung ist gegeben durch: 2 𝑚𝑣senkrecht,0 𝑣 𝑞𝐵 𝑞𝑣senkrecht, 0 𝐵0 = ⇒ 𝑚 = 𝑞𝐵 ⇒ 𝜔 = 𝑟c 𝑟 𝑚 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.42) 88 Member of Center for Plasma Science and Technology Dieses Kräftegleichgewicht und die zugehörige Kreisbewegung sind in Bild 2.20 gezeigt: FZ FL B vsenkrecht rc Abb. 2.20 Geladenes Teilchen gyriert im homogenen B-Feld Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 89 Member of Center for Plasma Science and Technology In praktischen Einheiten lauten die Gyrationsfrequenz und der Gyroradius (Teilchenenergie aus (2.42)) für Elektronen und Ionen: 𝜔c , e 𝑓 c, e = ≈ 2.80 ∙ 106 𝐵0 Hz 2𝜋 3.37 𝐸e 𝑟c, e = cm 𝐵0 𝑓 c, i (Elektronenenergie Ee in Volt) 𝜔c, i 1.52 ∙ 103 𝐵0 = ≈ Hz 2𝜋 𝑚i 1.44 ∙ 10² 𝐸i 𝑟c, i = cm 𝐵0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (𝐵0 in Gauss) (𝐵0 in Gauss, 𝑚i in amu) (Ionenenergie Ei in Volt) Peter Awakowicz (2.43a) (2.43b) (2.43c) (2.43d) 90 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: Argonplasma mit 100 G Magnetfeld, 15 eV - Elektronen, 25 meV - Ion (Zimmertemperatur) und mAr = 40 amu fc,e = 280 MHz, fc,i = 3.8 kHz, rc,e = 1.3 mm rc,i = 14 mm Bemerkungen: • Geladene Teilchen werden im Plasma von Magnetfeldlinien „festgehalten“. • Der magnetische Einschluß ist für Elektronen viel besser als für Ionen. • Haben die Ionen deutlich höhere Energien als Zimmertemperatur (25 meV), wird der Einschluss so schlecht, dass diese als „nicht eingeschlossen“ betrachtet werden müssen, z.B. Ei = 5 eV rc,i = 20 cm , d.h. das entspricht der Größe typischer Entladungsgefäße! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 91 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.5.3 Magnetfeldfreie Plasmen a) Plasmaoszillationen Ein 1-dimensionales Plasma soll aus schweren positiven (Ionen) und leichten negativen Ladungen (Elektronen) bestehen. Um eine charakteristische Oszillation im Plasma beschreiben zu können, sollen die leichten Elektronen um eine kleine Strecke l gegen die Ionen verschoben werden. Da die Ionen schwer sind gegen die Elektronen, können diese als in Ruhe befindlich angenommen werden: l(t) Ionen Ex(t) Elektronen L Abb. 2.21 Verschiebung einer Elektronenwolke in ortsfester Ionenwolke Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 92 Member of Center for Plasma Science and Technology Zur Berechnung: Gegeben sei also eine Scheibe der Dicke L bestehend aus Elektronen und Ionen mit ne = ni = n0. Die Elektronen seien kalt (Te = 0), die Ionen besitzen eine unendlich hohe Masse (ortsfest). Zunächst ist die Scheibe quasineutral. Nach einer kleinen Auslenkung l(t) << L zur Zeit t, die sehr viel kleiner als die Scheibenausdehnung L sei (Abb. 2.17) ergibt sich eine Oberflächenladungsdichte ρsurf = e n0 l am linken Rand und ρsurf = -e n0 l am rechten Rand. Mit der Maxwellgleichung bzw. dem Satz von Gauß erhält man: div𝐷 = 𝜌 𝜀0div𝐸𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝑉 (2.44) 𝜀0 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝑞 damit gilt für das elektrische Feld innerhalb der Scheibe (Satz von Gauß): 𝑒𝑛0𝑙(𝑡) 𝐸x 𝑡 = 𝜀0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.45) Peter Awakowicz 93 Member of Center for Plasma Science and Technology Die Bewegungsgleichung (Kraftgleichung) für die Elektronen lautet (ohne Reibung): 𝑚 d²𝑙e d𝑡² = −𝑒𝐸x . (2.46) Setzt man (2.45) in obige Gl. ein, erhält man: d²𝑙 𝑒 2 𝑛0 2 𝑙 =− 𝑙 = −𝜔p,e 𝜀0𝑚 d𝑡² (2.47) die Schwingungsgleichung der Elektronen mit der charakteristischen Frequenz ωp,e , der Elektronenplasmafrequenz (vgl. mit Lösung von Gl. (2.38)). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 94 Member of Center for Plasma Science and Technology Für die Elektronen-Plasmafrequenz gilt gemäß (2.47): 𝜔p, e = 𝑒²𝑛0 𝑚e𝜀0 (2.47a) Die Lösung von (2.47) ergibt sich zu: 𝑙𝑒 𝑡 = 𝑙𝑒,0 cos 𝜔𝑝,𝑒 + 𝜑0 (2.48) mit einer sin-förmigen Oszillation der Elektronenwolke gegenüber der Ionenwolke. In praktischen Einheiten: 𝑓 p, e = 𝜔p e , 2𝜋 ≈ 8980 𝑛0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Hz (n0 in cm−3 ) Peter Awakowicz (2.49) 95 Member of Center for Plasma Science and Technology Wenn die Ionen ebenfalls eine gewisse Beweglichkeit besitzen, d.h. deren Masse endlich ist, gilt: 1 2 2 2 (2.50) 𝜔p = (𝜔p,e + 𝜔p,i ) mit 𝑒²𝑛0 𝜔 p, i = 𝜀0𝑚i 1 2 (2.51) der Ionenplasmafrequenz. Typische Zahlenwerte: Argonplasma mit „Plasmadichte“ 1010 cm-3: 𝑓pl, e = 898 MHz 𝑓pl, i = 3.31 MHz Electrical Engineering & Plasma Technolgy (Mikrowellenbereich) (Kurzwellenbereich) Peter Awakowicz 96 Member of Center for Plasma Science and Technology Bemerkungen: • Die Plasmaschwingungen hängen nicht von der Geometrie (Plasmascheibe) ab. • Die Debye-Länge hängt mit der Plasmafrequenz über die thermische Geschwindigkeit zusammen: vth 𝜆D = 𝜔p, e mit 𝑘𝑇 vth = 𝑚 1 2 (2.52) • Man kann zeigen, dass jede Störung der Ladungsdichte mit der Plasmafrequenz oszilliert. • Die Dämpfung dieser Schwingungen erfolgt über die Stöße (Reibung) im Plasma. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 97 Member of Center for Plasma Science and Technology b) Elektrische Leitfähigkeit und Dielektrizitätskonstante Homogen verteilte positive und negative elektrische Ladungsträger (Plasma der Dichte ne=n0) befinden sich in einem homogen verteilten neutralen Hintergrundgas. Die geladenen Teilchen werden durch ein sinusförmiges zeitlich veränderliches elektrisches Feld mit kleiner Amplitude angetrieben. In komplexer Schreibweise gilt: 𝐸 x 𝑡 = Êx𝑒 𝑗𝜔𝑡 , 𝐸x 𝑡 = Re Êx𝑒 𝑗𝜔𝑡 , (2.53) wobei die Ionen aufgrund ihrer großen Masse unbeweglich seien. Die Kraftgleichung f. d. Elektronen lautet (mit Trägheit und Reibung): dvx 𝑚 = −𝑒𝐸x − 𝑚𝜈mvx , d𝑡 (2.54) mit eEx der Kraft durch das el. Feld und mνmvx der Reibungskraft durch Impulsaustauschstöße (νm: Frequenz für elastische Elektron-Neutralteilchen Stöße). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 98 Member of Center for Plasma Science and Technology Für die kollektive Teilchengeschwindigkeit gelte ebenfalls: vx = vx𝑒 𝑗𝜔𝑡 , vx 𝑡 = Re vx𝑒 𝑗𝜔𝑡 (2.55) Die Definitionen der komplexen Größen (2.53) und (2.55) in Gl. (2.54) eingesetzt ergibt (u. beide Seiten durch m dividiert): 𝑒 𝑗𝜔vx = − 𝐸 x − 𝜈m vx 𝑚 (2.56) und umgeformt nach der Geschwindigkeit der Elektronen im el. Feld: 𝑒 1 vx = − 𝐸 x 𝑚 𝑗𝜔 + 𝜈m Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.57) Peter Awakowicz 99 Member of Center for Plasma Science and Technology Mit Hilfe der Maxwellgleichungen läßt sich aus Leitungs- und Verschiebungsstrom eine Gesamtstrom(dichte) Jtot definieren: 𝜕𝐸 rot𝐻 = 𝑗 + 𝜀0 = 𝑗 tot , 𝜕𝑡 (2.58) Mit dem Leitungsstrom(dichte), getragen durch die Elektronen (Ionen kalt): 𝑗 = −𝑒𝑛0vx (2.59) ergibt sich für den Gesamtstrom in x-Richtung (1-dim): 𝑗tot, x = 𝑗𝜔𝜀0𝐸 x − 𝑒𝑛0vx Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.60) 100 Member of Center for Plasma Science and Technology unter Verwendung von (2.57) erhält man: 𝑗tot, x = 𝑗𝜔𝜀0 𝑒²𝑛0 1 1− 𝐸 𝜀0𝑚 𝜔(𝜔 − 𝑗𝜈m) x (2.61) Die Elektronenplasmafrequenz (2.47a) eingesetzt, ergibt dann einen Ausdruck, 2 𝜔p,e 𝑗tot, x = 𝑗𝜔𝜀0 1 − 𝐸x 𝜔(𝜔 − 𝑗𝜈m) = 𝑗𝜔𝜀 p𝐸 x , (2.62) der das Plasma als Dielektrikum beschreibt, wobei p als dielektrische Konstante des Plasmas bezeichnet wird. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 101 Member of Center for Plasma Science and Technology Damit kann die Maxwellgleichung (2.58) auch geschrieben werden: rot𝐻 = 𝑗𝜔𝜀p𝐸 = 𝑗𝜔𝐷 (2.62a) Drückt man den Zusammenhang mit Gl. (2.62a) aus, erkennt man die Beschreibung des Plasmas als Dielektrikum. Völlig äquivalent dazu kann das Plasma auch als Medium mit einer komplexen Leitfähigkeit aufgefaßt werden. Aus (2.61) bzw. (2.62) erhält man dann: 𝑗tot, x = (𝜎p + 𝑗𝜔𝜀0)𝐸 x (2.63) und damit 2 𝜀0𝜔p,e 𝜈m − 𝑗𝜔 2 𝜎p = = ε0𝜔p,e 2 νm + jω 𝜈m + ω² Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.64) 102 Member of Center for Plasma Science and Technology die komplexe elektrische Leitfähigkeit des Plasmas. Durch Vergleich von (2.63) mit Gl. (2.62) erhält man: 𝑗𝜔𝜀 p = 𝜎p + 𝑗𝜔𝜀0 Abhängig davon, bei welchen Frequenzen das Plasma betrieben wird, nimmt das Plasma die Eigenschaften eines el. Leiters oder eines Dielektrikums an. 1. Für niedrige Frequenzen ω << νm, ωp,e wird die Plasmaleitfähigkeit zu einer Gleichstromleitfähigkeit p dc (z.B. Niederdruckbogen): 2 𝜀0𝜔p,e 𝑛0𝑒² 𝜎p = 𝜎dc = = 𝜈m 𝜈m𝑚 (2.65) in der Näherung f. kalte Plasmen. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 103 Member of Center for Plasma Science and Technology 2. Für hohe Frequenzen ω >> νm, aber ω < ωp,e ist die Betrachtung des Plasmas als Dielektrikum (p) sinnvoller als die Vorstellung eines leitfähigen Mediums (p). Mit (2.62) gilt: 𝜀 p = 𝜀0 2 𝜔p,e 1− <0. ω² (2.66) Dieser Ausdruck (2.66) ist i. A. für HF-Plasmen (13.56 MHz, 27.12 MHz) gültig. Setzt man in Gl. (2.66) ω < ω p,e , dann ist p < 0 ist: Betrachtet man eine Plasmascheibe der Dicke l und der Fläche A, dann gilt f. deren Kapazität: 𝜀 p𝐴 𝐶scheibe = <0 , 𝑙 (2.67) da aber p < 0 heißt das, dass es sich um eine Induktivität handelt mit: 1 𝑍 = −𝑗 = +𝑗𝜔𝐿 , 𝜔𝐶 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.68) 104 Member of Center for Plasma Science and Technology wobei (2.68) positiv imaginär ist. Damit verhält sich der Plasmabulk in diesem Frequenzbereich wie eine Induktivität. Dieses Verhalten rührt von der Masse der Elektronen: zuerst kommt das el. Feld, dann „eilen“ die massebehafteten (und damit trägen) Elektronen hinterher („erst die Spannung, dann der Strom“). 3. Für sehr hohe Frequenzen ω > ω p,e (Mikrowelle z.B. 2.45 GHz) ist die dielektrische Plasmakonstante P zwar positiv aber kleiner als 0, da der Klammerausdruck in (2.66) kleiner 1 ist. Da Fall 2. ω >> νm, aber ω < ω p,e von großer technischer Bedeutung ist, soll dieser nochmals betrachtet werden. Gl. (2.62) war: 𝑗tot, x = 𝑗𝜔𝜀 p𝐸 x mit der Permittivität des Plasmas (s.o.): 𝜀 p = ε0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.62*) 𝜔p2 1− 𝜔(𝜔 − 𝑗𝜈m) Peter Awakowicz 105 Member of Center for Plasma Science and Technology Da in der Randschicht die Elektronendichte gegen Null geht, wird aus der Permittivität des Plasmas in der Schicht: 𝜀 p = 𝜀0 1 − 0 = 𝜀0 (2.69) Im Bulk hingegen gilt p<0 und reellwertig. Da in einer kapazitiven HF-Entladung Randschicht und Bulk seriell „verschaltet“ sind, gilt mit Maxwell: 𝜕𝐸 rot𝐻 = 𝑗 + 𝜀0 = 𝑗 tot 𝜕𝑡 (2.70) Und durch Divergenzbildung auf beiden Seiten: div rot𝐻 = 0 = div𝑗tot (2.71) Im 1-d Fall in x-Richtung: d𝑗tot, x = 0 ⇒ 𝑗tot, x = const. d𝑥 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.72) 106 Member of Center for Plasma Science and Technology Mit Gl. (2.62) gilt für die el. Feldstärke in den drei Bereichen: 𝑗tot, x 𝐸x, schicht = 𝑗𝜔𝜀0 𝑗tot, x 𝐸x, bulk = 𝑗𝜔𝜀p (2.73) Schicht Uhf jtot,x Bulk Schicht Abb. 2.22 Da also im Bulk p<0 gilt, sind die Feldstärkezeiger in der Randschicht und im Bulk um 180° phasenverschoben. Da in der Regel die Plasmafrequenz sehr viel größer ist als die Anregungsfrequenz, gilt: 𝜀p ≫ 𝜀0 . Damit wird klar, dass die Feldstärke und damit der Spannungsabfall in der Rand-schicht sehr viel größer ist als im Bulk. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 107 Member of Center for Plasma Science and Technology c) Ohmsche Heizung Das elektrische Feld ist gemäß (2.73) im Bulk sehr klein. Dennoch erzeugt die Reibung durch Stöße einen erheblichen Leistungsumsatz. Für die zeitlich gemittelte, im Plasma absorbierte Leistungsdichte erhält man mit (2.53) und (2.58): 1 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑇 𝑇 𝑗 tot 0 1 1 ∗ 𝑡 ∙ 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 = Re 𝑗 tot ∙ 𝐸 = Re 𝑗 ∗tot ∙ 𝐸 2 2 Ersetzt man gemäß (2.63, 2.64 und 2.65) 𝑗tot = 𝜎p + 𝑗𝜔𝜀0 𝐸 , 𝜎p = 𝜎dc = erhält man 2 1 𝜈m 𝑝abs = 𝐸 ²𝜎dc 2 2 𝜔² + 𝜈m Electrical Engineering & Plasma Technolgy 2 𝜀0𝜔𝑝,𝑒 𝜈m = 𝑛0𝑒² 𝜈m𝑚 , 2 𝜀0𝜔𝑝,𝑒 𝜈m − 𝑗𝜔 2 𝜎p = = 𝜀0𝜔𝑝,𝑒 2 𝜈m + 𝑗𝜔 𝜈m + 𝜔² (2.75) Peter Awakowicz 108 Member of Center for Plasma Science and Technology oder wenn die Stromdichte bekannt ist: 1 1 𝑝abs = 𝑗tot ²Re 2 𝜎p + 𝑗𝜔𝜀0 . (2.76) Konjugiert-komplex im Nenner erweitert liefert: 1 1 Re = 𝜎p + 𝑗𝜔𝜀0 𝜎dc 𝜔p4 𝜔p2 − 𝜔2 + 2 𝜔²𝜈m . (2.77) Ist die Anregungsfrequenz sehr viel kleiner als die Plasmafrequenz, dann gilt: 1 |𝑗tot|² 𝑝abs = 2 𝜎dc (2.78) Dies ist die im Plasmabulk absorbierte Leistungsdichte in Abhängigkeit vom Gesamtstrom, der durch die kapazitive Entladung fließt, und von der DC-Leitfähigkeit des Plasmas. Bei sehr geringem Druck, wird ein weiterer Heizterm dominant, der hier nicht weiter behandelt wird (s. Stochastische Heizung). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 109 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.6 Diffusion 2.6.1 Beweglichkeit Im vorhergehenden Kapitel wurde gezeigt, dass der zur Kraftgleichung der Elektronen addierte Reibungsterm eine Leitfähigkeit und/oder Dielektrizität des Plasmas je nach Frequenzbereich hervorruft. Dieser Reibungsterm, der ebenfalls auf elastischen Stoßprozessen der Ladungsträger mit dem neutralen Hintergrundgas beruht, führt zu einem weiteren Transportphänomen und zwar dann, wenn das Plasma Dichtegradienten aufweist bzw. nicht uniform ist. Mittels der makroskopischen Kraftgleichung (Kraftdichte) kann dies gezeigt werden (vgl. 2.22: entspricht 2.79 ohne Reibung; vgl. mit 2.54: Trägheit fehlt hier, Druckgradient ist aber drin): 𝑞𝑛𝐸 − grad𝑝 − 𝑚𝑛𝜈m𝑣 = 0 . (2.79) Wenn das neutrale Hintergrundgas in Ruhe ist, die Impulsaustauschfrequenz m konstant ist (unabhängig von v) und das Plasma überall gleiche Temperatur besitzt, gilt: 𝑞𝐸 𝑘𝑇 𝛻𝑛 𝑣= − 𝑚𝜈m 𝑚𝜈m 𝑛 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.80) Peter Awakowicz 110 Member of Center for Plasma Science and Technology Gl. (2.80) umgeschrieben zu einer Teilchenflussdichte j=nv ergibt („+“ f. positive und „-“ f. negative Ladungen): (2.81) 𝑗 = ±𝜇𝑛𝐸 − 𝐷𝛻𝑛 Ein Vergleich mit (2.80) zeigt: |𝑞| 𝜇= 𝑚𝜈m m² 𝜇 = Vs (2.82) Dies ist die makroskopische Beweglichkeit, die typischerweise als Driftge-schwindigkeit (v) pro Feldstärke angegeben wird. Weiterhin ergibt sich mit: 𝑘𝑇 𝐷= 𝑚𝜈m m² 𝐷 = s (2.83) die Diffusionskonstante. Beide Größen beziehen sich auf eine Spezies im Plasma und werden daher getrennt für jede Spezies berechnet bzw. gemessen. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 111 Member of Center for Plasma Science and Technology Mit der mittleren thermischen Teilchengeschwindigkeit: 𝑣= 8𝑘𝑇 𝜋𝑚 (2.84) und der mittleren freien Weglänge (harte Kugel Potential) : 𝑣 8𝑘𝑇 1 𝜆= ⇒ 𝜆² = 2 𝜈m 𝜋𝑚 𝜈m (2.85) kann die Diffusionskonstante auch geschrieben werden zu: 𝜋 𝐷 = 𝜆²𝜈m 8 (2.86) mit der typischen Struktur einer statistischen Bewegung („random walk“). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 112 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.6.2 Freie Diffusion Die Diffusion von Teilchen in einem Gas (gleiche oder andere Teilchen), wird durch das Fick´sche Diffusionsgesetz beschreiben: 𝑛𝑣 = 𝑗 = −𝐷grad𝑛 . (2.87) Dabei bezeichnet die linke Seite die Teilchenflußdichte (Teilchen pro Zeit und Fläche) und die rechte Seite den Diffusionskoeffizienten x Gradienten einer Teilchendichte. Dies kann auch aus Gl. (2.81) hergeleitet werden, wenn das elektrische Feld Null ist. Mit der Kontinuitätsgleichung 𝜕𝑛 + div𝑗 = 0 , 𝜕𝑡 (2.88) wenn der Generationsterm (rechte Seite) zu Null gesetzt wird, erhält man unter Verwendung von (2.87) und einem ortsunabhängigen Diffusionskoeffizienten: Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 113 Member of Center for Plasma Science and Technology 𝜕𝑛 − 𝐷div grad𝑛 = 0 𝜕𝑡 (2.89) Allgemein sind Beweglichkeit und Diffusion verknüpft über die sog. Einstein-Relation (bilde /D mit (2.82) und (2.83)): |𝑞| 𝜇= , 𝑚𝜈m 𝑘𝑇 |𝑞| 𝐷= ⇒ 𝜇= 𝐷 𝑚𝜈m 𝑘𝑇 (2.90) 2.6.3 Ambipolare Diffusion Im stationären Fall muss die Flussdichte der Ionen der der Elektronen entsprechen: 𝑗i=𝑗e=𝑗 , (2.91) was aber ohne eine zusätzliche treibende Kraft (d.h. zusätzlich zur Diffusion) nicht möglich ist, da die Elektronen sehr viel beweglicher sind (weil leichter!). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 114 Member of Center for Plasma Science and Technology Daher muss sich während des Einschwingvorganges ein elektrisches Feld derart aufbauen, dass die Elektronen zur Wand gebremst und die Ionen beschleunigt werden. Dieses Feld muss nicht groß sein und kann durch eine geringe Ungleichheit von ne und ni hervorgerufen werden. D.h. aber, dass ne ≈ ni = n weiterhin gültig bleibt (Quasineutralität). Für die Flussdichten der Ladungsträger, getrieben durch ein sich im Plasma bildendes elektrisches Feld und durch Konzentrationsgradienten (Diffusion) gilt mit (2.81) ji = je der Ausdruck: 𝜇i𝑛𝐸 − 𝐷igrad𝑛 = −𝜇e𝑛𝐸 − 𝐷egrad𝑛 , (2.92) der nach dem el. Feld umgeformt ergibt: 𝛻𝑛 𝐷i − 𝐷e 𝐸= . 𝑛 𝜇i + 𝜇e Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.93) Peter Awakowicz 115 Member of Center for Plasma Science and Technology Den Ausdruck f. das el. Feld (2.93) in Gl. (2.81) 𝑗 i = 𝜇i𝑛𝐸 − 𝐷i𝛻𝑛 (2.81*) 𝐷i − 𝐷e 𝑗 i = 𝜇i 𝛻𝑛 − 𝐷i𝛻𝑛 . 𝜇i + 𝜇e (2.95) eingesetzt ergibt: Nach Umformung erhält man dann: 𝜇i𝐷e + 𝜇eDi 𝑗i = − 𝛻𝑛 = −𝐷a𝛻𝑛 𝜇e + 𝜇i (2.96) die ambipolare Diffusionsgleichung mit dem ambipolaren Diffusionskoeffizient Da. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 116 Member of Center for Plasma Science and Technology Dieser für die Plasmaphysik sehr wichtige Zusammenhang kann noch vereinfacht werden mit μe >> μi: 𝜇i 𝐷 a ≈ 𝐷i + 𝐷e , 𝜇e (2.97) wobei sich das Verhältnis der Beweglichkeiten mit der Einsteinrelation (2.90) schreiben lässt zu: 𝜇 i 𝐷 i 𝑇e = . 𝜇e 𝑇i 𝐷e |𝑞| 𝜇= 𝐷 𝑘𝑇 (2.98) Daraus ergibt sich schließlich mit (2.97) 𝑇e 𝐷a ≈ 𝐷i 1 + 𝑇i Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.99) Peter Awakowicz 117 Member of Center for Plasma Science and Technology der für die Diffusion der Ionen entscheidende Ausdruck des ambipolaren Diffusionskoeffizienten. Da in den hier behandelten Plasmen Te >> Ti (z.B. 5 : 0.1 = 50), verläuft die Diffusion der Ionen sehr viel schneller als im Falle der freien Diffusion (wie z.B. die neutralen Atome oder Moleküle). 2.6.4 Lösung der Diffusionsgleichung Die Lösung der Diffusionsgleichung (2.89) ist problemlos möglich, wenn man die zeitliche und räumliche Abhängigkeit der Teilchen(elektronen)dichte n(t,x) aufteilt in zwei Funktionen, die jeweils nur von t bzw. x abhängen (für mehr als eine Dimension wird die Lösung deutlich aufwändiger): 𝑛 𝑡, 𝑥 = 𝑇 𝑡 ∙ 𝑋 𝑥 . (2.100) d.h. man betrachtet wieder eine 1-dim Plasmascheibe. Setzt man dies in die DGL. (2.89) ein 𝜕𝑛 − 𝐷div grad𝑛 = 0 , 𝜕𝑡 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.89*) 118 Member of Center for Plasma Science and Technology dann erhält man: d𝑇 d²𝑋 𝑋 = 𝐷𝑇 . d𝑡 d𝑥² (2.101) Beide Seiten von (2.101) werden durch XT dividiert: 1 d𝑇 𝐷 d²𝑋 = 𝑇 d𝑡 𝑋 d𝑥² (2.102) Jetzt besteht Gl. (2.102) auf jeder Seite aus einer Funktion, die nur von je einer unabhängigen Variablen abhängt: die linke Seite nur von der Zeit t, die rechte Seite nur vom Ort x (Separationsansatz). Aus diesem Grund müssen beide Seiten gleich einer (geschickt gewählten) Konstanten sein: konst. = -1/ . Daher ist die Funktion T bestimmt durch: d𝑇 𝑇 =− d𝑡 𝜏 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.103) Peter Awakowicz 119 Member of Center for Plasma Science and Technology Durch Integration von (2.103) erhält man 𝑡 𝑇 = 𝑇0 exp − 𝜏 (2.104) Die separierte ortsabhängige Dgl. ergibt: d²𝑋 𝑋 =− 𝐷𝜏 d𝑥² (2.105) mit der Lösung (vgl. Dgl. 2.46) 𝑥 𝑥 𝑋 = 𝑋1cos + 𝑋2sin . Λ Λ (2.106) In (2.106) sind X1 und X2 Konstante und für die Größe erhält man: 𝐷𝜏 = Electrical Engineering & Plasma Technolgy 𝐷 1 =Λ= 𝜈 𝛽 (2.107) , Peter Awakowicz 120 Member of Center for Plasma Science and Technology wobei die Diffusionslänge ([]=m) darstellt. Setzt man als Randbedingung für x=l/2 die Funktion X=0, dann erhält man als einfachste symmetrische Lösung (d.h. X2=0): 𝑙 2 = 𝜋 ⇒ 𝑙 = 𝜋 ⇒ 𝛬 = 𝐷𝜏 = 𝑙 0 0 𝛬0 2 𝛬0 𝜋 und daraus folgt schließlich: 𝑙 𝜏0 = 𝜋 2 1 𝐷 (2.108) (2.109) Mit dieser Kombination erhält man nun die Lösung: 𝑡 𝜋𝑥 𝑛 = 𝑛0exp − cos 𝜏0 𝑙 (2.110) Für Lösungen höherer Ordnung (die hier nicht betrachtet werden) muss eine Fourier-Reihe angesetzt werden. (2.110) besagt, dass die Dichte cos-förmig über dem Ort verteilt ist und exponentiell mit der Zeit abklingt. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 121 Member of Center for Plasma Science and Technology Doch diese Lösung ist im Fall eines stationären Plasmas nicht interessant, da dann ja die Zeitabhängigkeit zu Null wird und da in (2.89) kein Generationsterm (d.h. keine Ionisation) enthalten ist. Wichtiger ist der stationäre Fall mit der Ionisationsfrequenz i, wobei sich die Dgl. aus der Kontinuitätsgleichung (2.89) ergibt: −𝐷𝛻 2 𝑛e = 𝑛e𝜈i = 𝑛e𝑛N𝑆(𝑇e) (2.111) mit der Neutralteilchendichte nN (n steht immer für ne hier). Gl. (2.111) erhält man ebenso, wenn man in (2.89) die Zeitabhängigkeit eliminiert und einen Generationsterm einführt. Die symmetrische Lösung von (2.111) lautet (mit 2.107): (2.112) 𝑛 = 𝑛0cos𝛽𝑥 𝜈i 𝛽= 𝐷 mit Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.113) Peter Awakowicz 122 Member of Center for Plasma Science and Technology Der zugehörige Teilchenfluss ist (Diffusionsgesetz): 𝑗 = −𝐷grad𝑛 = 𝐷𝑛0𝛽sin𝛽𝑥 , (2.114) und die Teilchengeschwindigkeit lautet 𝑗 v = = 𝐷𝛽tan𝛽𝑥 𝑛 (2.115) Da es sich um geladene Teilchen handelt gilt D = Da. Die Randbedingungen seien wieder symmetrisch n(l/2) = n(-l/2) = 0. Damit wird: mit 𝜋𝑥 𝑛 = 𝑛0cos 𝑙 (2.116) 𝜈i 𝜋 = 𝐷a 𝑙 (2.117) 𝛽= Gl. (2.117) zeigt, dass das Verhältnis von Teilchengeneration (i) und Teilchenabtransport (Da) an die Geometrie (/l) angepasst ist. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 123 Member of Center for Plasma Science and Technology n/n0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -l/2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 l/2 1.5 Abb. 2.23 Lösung der Diffusionsgleichung in einer Plasmascheibe konstanter Generation. Bemerkungen: • Da der Generationsterm (Elektronenstoß) eine starke Funktion der Elektronentemperatur ist, ist Gl. (2.113) bzw. (2.117) eine Bestimmungs- gleichung für Te. • Die gewählten Randbedingungen erfordern gem. (2.115) eine unendlich hohe Teilchengeschwindigkeit, d.h. die Randbedingungen sind nicht exakt! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 124 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.7 Die Randschicht 2.7.1 Vorüberlegungen Um grundsätzlich die Notwendigkeit der Entstehung einer das Plasma gegen die begrenzende Wand abschirmenden Schicht zu verstehen, kann man die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Ionen und Elektronen vergleichen: ve ∝ 𝑇e , 𝑚e vi ∝ 𝑇i , 𝑚i womit ve mindestens 100-fach größer ist als vi. Zum Zeitpunkt des Einschaltens existieren keinerlei Felder, daher werden die schnellen Elektronen auf die Wand treffen und diese negativ aufladen. Es bildet sich eine Raumladungszone zwischen Wand und Plasmakörper (Bulk). Aus Abschnitt 2.4.2 ist ersichtlich, dass Potentialstörungen im Plasma innerhalb einiger Debye-Längen abgeschirmt werden. Daher ist zu erwarten, dass auch die Dicke der Randschicht einige Debye-Längen stark ist. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 125 Member of Center for Plasma Science and Technology Aus dem bisher gesagten wird auch klar, dass das Plasma auf einem gegenüber der begrenzenden Wand höheren Potential liegt, um die Elektronen auf ihrem Weg zur Wand zu bremsen und die Ionen zu beschleunigen. Wenn das positive Plasmapotential Vp ist, dann kann erwartet werden, daß eVp das Mehrfache der Elektronentemperatur kTe sein muss, um die meisten Elektronen einschließen zu können (siehe Maxwellverteilung). 2.7.2 Stoßfreie Randschicht Zur Berechnung der stoßfreien Randschicht gelten folgende Voraussetzungen: 1. Die Elektronen genügen einer Maxwellverteilung. 2. Die Ionen seien kalt, d.h. Ti = 0. 3. An der Schnittstelle Plasma-Schicht x = 0 (Schichtkante) sei die Elektronendichte gleich der Ionendichte: ne(0) = ni(0). 4. Das Potential an der Schichtkante wird gleich Null gesetzt: Φ(x=0)=0 5. In der Randschicht finden keine Stöße statt. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 126 Member of Center for Plasma Science and Technology ne = ni = n0 ns ne = ni < n0 ni ne x x=0 PlasmaBulk Vorschicht Schicht Φp x Φ(0) = 0 Φ(0) 0 Schichtkante: x=0 Abb. 2.24 Das Plasma im Kontakt mit einer Wand: Dichten- und Potentialverläufe Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 127 Member of Center for Plasma Science and Technology Wird die Ionisation in der Schicht (x>0) vernachlässigt (keine Stöße!), erhält man mit der Kontinuität des Ionenflusses: 𝑛i 𝑥 vi 𝑥 = 𝑛i,s vi,s (2.118) mit ni,s und vi,s der Ionendichte und -geschwindigkeit an der Schichtkante. Die Energieerhaltung der Ionen in der Schicht (x>0) ergibt: 1 1 2 2 𝑚ivi x = 𝑚ivi,s − 𝑒Φ(x) 2 2 (2.119) wobei die kinetische Energie der Ionen in der Randschicht zunimmt und deren Potential abnimmt (beachte: Potential ist negativ definiert in der Schicht und Null an der Schichtkante). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 128 Member of Center for Plasma Science and Technology Löst man (2.119) nach der Ionengeschwindigkeit auf vi 𝑥 = 2𝑒 2 vi,s − Φ(x) 𝑚i (2.120) und setzt dies in (2.118) ein, dann erhält man für die Ionendichte in der Schicht 𝑛i, s 𝑛i 𝑥 = 1− eine mit 1 Φ 2𝑒Φ(x) 2 𝑚i𝑣i,s = 𝑛s 𝑒Φ 1− 𝐸i, s . (2.121) abfallende Ionendichte (Achtung: negativ definiert). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 129 Member of Center for Plasma Science and Technology Mit der Boltzmann-Relation (2.26) bezogen auf die Schichtkante (ne,s = ni,s = ns) 𝑒𝛷(𝑥) 𝑛e 𝑥 = 𝑛sexp , 𝑘𝑇e (2.122) ergibt sich eine exponentiell abfallende Elektronendichte, da das Potential innerhalb der Schicht negativ ist. Mit der 1-dim Poissongleichung d²𝛷 𝑒 = (𝑛e − 𝑛i) d𝑥² 𝜀0 (2.123) in die (2.121) und (2.122) eingesetzt werden, erhält man für das Potential Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 130 Member of Center for Plasma Science and Technology innerhalb der Randschicht: d²𝛷 𝑒𝑛s 𝑒𝛷(𝑥) = exp − 𝜀0 𝑘𝑇e d𝑥² 1 𝑒𝛷(𝑥) 1− 𝐸i , s , (2.124) mit der (kinetischen) Ionenenergie Ei,s an der Schichtkante. Multipliziert man (2.124) auf beiden Seiten mit d/dx und integriert anschließend, erhält man mit einigen Umrechnungen und (0) = 0 sowie (0) ≈ 0 an der Schichtkante : 1 d𝛷 2 d𝑥 2 𝑒𝑛s 𝑒𝛷 𝑒𝛷 = 𝑘𝑇e exp − 𝑘𝑇e + 2𝐸i, s 1 − − 𝐸i, s 𝜀0 𝑘𝑇e 𝐸i, s Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz . (2.125) 131 Member of Center for Plasma Science and Technology Das ist eine Bestimmungsgleichung aus der (x) durch numerische Integration gewonnen werden muss. Da die linke Seite von (2.125) positiv ist, muss auch die rechte Seite positiv sein. Da die Lösung insbesondere in der Nähe der Schichtkante interessant ist (d.h. für kleine ), wird eine Taylorreihenentwicklung angesetzt: 𝑒𝛷 𝑒𝛷 𝑒²𝛷² exp ≈1+ + 𝑘𝑇e 𝑘𝑇e 2𝑘²𝑇e2 (2.126) sowie 1−𝑥 0.5 1 𝑥 𝑥² ≈ − − 2 2 8 (2.127) mit 𝑒𝛷 𝑥= 𝐸i, s Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 132 Member of Center for Plasma Science and Technology Damit erhält man in (2.125) eingesetzt 1 𝑒²𝛷² 1 𝑒²𝛷² − ≥0 2 𝑘𝑇e 4 𝐸i, s (2.128) eine Bedingung für die Energie der Ionen an der Schichtkante: 𝐸i, s 𝑘𝑇e ≥ , 2 4 𝑘𝑇e d. h. 𝐸i, s ≥ 2 (2.129) und mit 1 2 𝐸i, s = 𝑚i𝑣i,s 2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.130) Peter Awakowicz 133 Member of Center for Plasma Science and Technology eine Bestimmungsgleichung für die Ionengeschwindigkeit an der Schichtkante: 𝑣i, s ≥ 𝑣Bohm = 𝑘𝑇e 𝑚i (2.131) Um diese von Te abhängige Ionengeschwindigkeit zu erhalten, müssen die Ionen in der Vorschicht durch ein elektrisches Feld beschleunigt werden. Die Bedingung (2.131) wird Bohmkriterium genannt und beschreibt die notwendige Geschwindigkeit für eine in der Schicht sinnvolle Lösung der Ionen am Ort der Schichtkante. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 134 Member of Center for Plasma Science and Technology 2.7.3 Die Vorschicht (S 131 – 134 weggelassen in WS 2010/2011) Im vorhergehenden Kapitel wurde gezeigt, dass die Ionen an der Schichtkante mindestens die Bohmgeschwindigkeit erreichen müssen. Um die Ionen auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen, muss ein (kleines) elektrisches Feld innerhalb eines bestimmten Bereichs im Plasma wirken. Dieser Bereich wird Vorschicht genannt. Da die elektrische Feldstärke zwischen Schicht und Vorschicht nicht exakt definiert ist, werden typischerweise (numerische) Lösungen beider Gebiete aneinander angepasst („matching “ ). Diese sehr sinnvolle Vorgehensweise erlaubt den Übergang der einen Lösung an die andere innerhalb eines gewissen räumlichen Bereiches und nicht an genau einer Stelle. Geht man von Quasineutralität innerhalb der Vorschicht aus (was nicht ganz genau stimmt): 𝑛i = 𝑛e ⇒ ln 𝑛i = ln 𝑛e Electrical Engineering & Plasma Technolgy (2.132) Peter Awakowicz 135 Member of Center for Plasma Science and Technology und differenziert (2.132), dann erhält man: 1 d𝑛i 1 d𝑛e = . 𝑛i d𝑥 𝑛e d𝑥 (2.133) Ersetzt man nun auf der linken Seite die (Ionen)Dichte durch die (Ionen)Stromdichte mit Ji = e ni vi, mit (Produktregel!): 1 d𝐽i 1 d𝑣i d𝑛i 1 d𝑣i 1 d𝑛i = 𝑒𝑛i + 𝑒𝑣i = + 𝐽i d𝑥 𝑒𝑛i𝑣i d𝑥 d𝑥 𝑣i d𝑥 𝑛i d𝑥 (2.134) Verwendet man nun noch für die rechte Seite von (2.133) die Boltzmannrelation: d𝑛e 𝛷 = 𝑛0exp d𝑥 𝑇e Electrical Engineering & Plasma Technolgy 1 d𝛷 1 d𝛷 = 𝑛e(𝑥) 𝑇e d𝑥 𝑇e d𝑥 Peter Awakowicz (2.135) 136 Member of Center for Plasma Science and Technology und setzt beides ((2.134) und (2.135)) in (2.133) ein, dann erhält man: 1 d𝐽i 1 d𝑣i 1 d𝛷 − = . 𝐽i d𝑥 𝑣i d𝑥 𝑇e d𝑥 (2.136) Man erwartet innerhalb der Vorschicht eine sog. Unterschallströmung (vi < vB), d.h. die Ionengeschwindigkeit liegt unterhalb der Bohmgeschwindigkeit, dann gilt für (2.136): 1 d𝐽i 1 d𝑣i 1 d𝛷 > + 𝐽i d𝑥 𝑣B d𝑥 𝑇e d𝑥 (2.137) Zur Lösung dieser Ungleichung gibt es zwei Fälle: 1.) 1 d𝐽i = 0, 𝐽i d𝑥 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 1 d𝑣i 1 d𝛷 + <0 𝑣B d𝑥 𝑇e d𝑥 Peter Awakowicz (2.138) 137 Member of Center for Plasma Science and Technology bzw. 2.) 1 d𝑣i 1 d𝛷 + > 0, 𝑣B d𝑥 𝑇e d𝑥 1 d𝐽i 1 d𝑣i 1 d𝛷 > + 𝐽i d𝑥 𝑣B d𝑥 𝑇e d𝑥 (2.139) Für den Fall 1.) bleibt der Ionenstrom konstant (linke Seite). Gleichzeitig nimmt die Ionengeschwindigkeit zu (1. Term rechte Seite). Dies wir überkompensiert durch die Abnahme des Potentials (2. Term rechte Seite). Die zu geringe Zunahme der Ionengeschwindigkeit (im Vergleich zur Potenzialabnahme) kann auf Ionenreibung in der Vorschicht zurückgeführt werden. Im zweiten Fall nimmt die Ionenstromdichte innerhalb der Vorschicht zu. Dies kann entweder aufgrund von Ionisationsprozessen in der Vorschicht geschehen oder mittels einer geometrischen Kontraktion, wie das z.B. bei sog. HID-Lampen in Elektrodennähe der Fall ist (high intensity discharge, z.B. Beamer Lampen). Weiterführende Betrachtungen zur Vorschicht/Randschicht-Thematik sind zu finden unter: K.U. Riemann, J. Phys. D: Appl. Phys. 24 (1991) 493; Review Paper R. P. Brinkmann, Vorlesung Ruhr Universität Bochum Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 138 Member of Center for Plasma Science and Technology a) Potenzialabfall in der Vorschicht Um die Ionen innerhalb der Vorschicht auf die Bohmgeschwindigkeit beschleunigen zu können, wird ein Abfall des Potenzials vom Plasmapotenzial (p) in der Plasmamitte (eigentlich da, wo Vorschicht und Bulk aufeinander treffen) auf das Potenzial an der Schichtkante ( = 0) (vgl. Abb. 2.24) benötigt: 1 𝑚i𝑣B2 = 𝑒𝛷P 2 (2.138) Für die Bohmgeschwindigkeit gilt: 𝑣B2 𝑘𝑇e = 𝑚i (2.139) und in (2.138) eingesetzt: 𝑘𝑇e 𝑒𝛷P 1 = 𝑒𝛷P ⇒ = 2 𝑘𝑇e 2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.140) 139 Member of Center for Plasma Science and Technology Die Boltzmannrelation für die Elektronen ergibt die Ladungsträgerdichte (Elektronendichte =Ionendichte wg. Quasineutralität) an der Schichtkante (sk): 𝑒𝛷 𝑛Sk = 𝑛bulk exp − = 𝑛b exp −0.5 ≈ 0.61𝑛b , 𝑘𝑇e (2.141) wobei im Bereich der Vorschicht das Potenzial positiv ist. Damit gilt also: 𝑛S ≈ 0.61𝑛b (2.142) der Zusammenhang zwischen der Ladungsträgerdichte nb im Bulk und an der Schichtkante (nS). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 140 Member of Center for Plasma Science and Technology b) Spannung der Randschicht vor floatender Wand Für viele technologische Prozesse ist der Spannungsabfall in der Randschicht von großer Bedeutung, da hier die Ionen auf hohe kinetische Energien beschleunigt werden, die z.B. zum Ätzen notwendig sind. Durch Gleichsetzen des Ionen- und des Elektronenflusses auf der (floatenden) Wand ergibt sich (Schichtkante: ne=ni=nS): 1 𝑒𝛷W 𝑛S𝑣B = 𝑛S𝑣e exp 4 𝑘𝑇e , (2.143) mit der mittleren thermischen Elektronengeschwindigkeit 𝑣e = 8𝑘𝑇e . 𝜋𝑚e Setzt man diese sowie die Bohmgeschwindigkeit in (2.143) ein, erhält man: 𝑛S 𝑘𝑇e 𝑚i 1 2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 1 8𝑘𝑇e = 𝑛S 4 𝜋𝑚e 1 2 𝑒𝛷W exp 𝑘𝑇e , Peter Awakowicz (2.144) 141 Member of Center for Plasma Science and Technology wobei in (2.144) das Potenzial (da innerhalb der Randschicht) wieder negativ ist. Durch Umrechnung erhält man daraus: 1 𝜋𝑚e 2 𝑒𝛷W (2.145) 4 = exp 8𝑚i 𝑘𝑇e und durch logarithmieren: 𝑘𝑇e 𝑚i −𝛷W = ln 2𝑒 2𝜋𝑚e (2.146) Hat man z.B. ein Argonplasma (40 amu) mit Te=3 eV, dann ergibt der Logarithmus einen Wert von etwa 9.37 (Werte S. 29), der mit 3/2 multipliziert 14 V ergibt. Argonionen, die an der Schichtkante die Energie kTe/2 haben (2.140) und dann in der Schicht nochmal 9.4/2 Te= 4.7 Te aufnehmen, treffen also mit (4.7 + 0.5) Te = 5.2 Te auf der floatenden Wand auf. Diese einfache Abschätzungsformel kann jedoch nur für floatende Wände verwendet werden. Bei stromführenden Wänden, z.B. kapazitiv getriebenen Elektroden, darf diese Formel nicht verwendet werden (siehe Biasspannung)! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 142 Member of Center for Plasma Science and Technology c) Randschicht mit großem Spannungsabfall Für Randschichten mit großem Potenzialabfall (d.h. groß gegen die Energie der Ionen an der Schichtkante) ist Gl. (2.146) nicht anwendbar. In diesen Fällen (z.B. bei Sonden oder kapazitiv gekoppelten Elektroden) ist die kinetische Energie der Ionen an der Schichtkante vernachlässigbar gegen das Potential in der Randschicht, daher wird aus (2.119) (Potential i .d. Schicht negativ!): 1 𝑚i𝑣i2 𝑥 = −𝑒𝛷(x) 2 (2.147) Die Erhaltung der Stromdichte ergibt: 𝐽0 = 𝑒𝑛 𝑥 𝑣 𝑥 = const. (2.148) die Geschwindigkeit in (2.147) und (2.148) eliminiert und aufgelöst nach der Ionendichte in der Schicht erhält man: 𝐽0 𝑚i 𝑛 𝑥 = − 𝑒 2𝑒𝛷 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (2.149) 143 Member of Center for Plasma Science and Technology Zur Beschreibung des Potentialverlaufs benötigt man die 1-dimensionale Poissongleichung (ne vernachlässigbar): d²𝛷 𝜌 𝑛i − 𝑛e 𝑒𝑛i = − = −𝑒 ≈− 𝜀0 ε0 𝜀0 d𝑥² (2.150) Die Näherung in (2.150) ist sinnvoll, da in diesen Randschichten nahezu überall die Elektronendichte vernachlässigbar ist (wg. der hohen Gegenspannung). Setzt man nun in (2.150) die Gl. (2.149) ein, ergibt sich: d²𝛷 𝐽0 𝑚i =− − ε0 2𝑒𝛷 d𝑥² (2.151) Multipliziert man (2.151) mit d/dx und integriert von 0 bis x, dann wird (vgl. (2.125)): 1 d𝛷 2 d𝑥 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 2 =2 1 𝐽0 𝑚 i 2 𝜀0 2𝑒 −𝛷 Peter Awakowicz (2.152) 144 Member of Center for Plasma Science and Technology Zieht man aus (2.152) die Wurzel (und -Terme nach links) 1 𝑚i 4 1 dΦ 𝐽0 = 2 𝜀0 2𝑒 2 d𝑥 1 (−𝛷)4 ⇒ 1 −4 d𝛷 (−Φ) d𝑥 =2 1 𝐽0 𝑚 i 4 𝜀0 2𝑒 (2.153) und integriert nochmals über x, dann erhält man: 4 3 𝐽0 𝑚 i − 𝛷4 = 2 3 𝜀0 2𝑒 1 4 𝑥 ⇒ 3 −𝛷 4 = 3 𝐽0 𝑚i 2 𝜀0 2𝑒 1 4 𝑥 (2.154) An der Wand, d.h. bei x=s (s: Schichtdicke), sei das Potenzial = -V0. Dort gilt für die Ionenstromdichte (nach Quadrieren auf beiden Seiten): 3 2𝑒 𝑉02 4 𝐽0 = 𝜀0 9 𝑚i 𝑠² (2.155) Dies ist das berühmte „U3/2- Gesetz“ raumladungsbegrenzter Ströme nach Child-Langmuir, also für genügend große Schichtspannungen! Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 145 Member of Center for Plasma Science and Technology Gibt man in (2.155) die Stromdichte vor mit der Ladungsträgerdichte an der Schichtkante und der Bohmgeschwindigkeit (was in Niederdruckplasmen dem Standardfall entspricht): 𝐽0 = 𝑒𝑛S𝑣B , dann kann man die Schichtdicke s berechnen: 4 𝜀0 2𝑒 𝑠² = 9 𝑒𝑛S𝑣B 𝑚i und weiterhin: 𝑠= damit: 𝑠= 3 𝑉02 3 3 3 − 24 𝜆D𝑇e 4 𝑉04 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 1 𝜀0𝑇𝑒 2 2 ⇒ 𝑠= 3 𝑒𝑛S 1 1 2 −2 −2 𝜆 𝑇 𝑣 3 D e B 2 24 3 1 2 1 24 1 𝑒𝑇e 4 𝑚i 1 𝑇e 1 2𝑒 𝑣B 𝑚i 1 3 −4 4 𝑇𝑒 𝑉0 2 2𝑉0 ⇒ 𝑠= 𝜆D 3 𝑇e 1 4 3 𝑉04 (*) (**) 3 4 Peter Awakowicz (2.156) 146 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: Hochspannungsrandschicht Te = 4 eV, ne = 1010 cm-3 D = 140 m (Gl. 2.34) V0 = 800 V s = 5.9 mm = 42 D Setzt man (2.155) in (2.154) ein, dann erhält man einen einfachen Zusammenhang für das Potenzial in der Hochspannungsschicht als Funktion des Ortes in der Schicht in Abhängigkeit von der Schichtspannung: 𝛷 = −V0 𝑥 𝑠 4 3 (2.157) Damit wird das elektrische Feld zu: d𝛷 4 𝑥 𝐸=− = 𝑉0 d𝑥 3 𝑠 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 1 31 𝑠 Peter Awakowicz (2.158) 147 Member of Center for Plasma Science and Technology Die Ionendichte kann mittels der (1-dim) Poissongl. berechnet werden: d²Φ d𝐸 𝜌 𝑒𝑛i ∆𝛷 = =− =− ≈− d𝑥 𝜀0 𝜀0 d𝑥² (2.159) Damit erhält man für die Ionendichte: 𝜀0 d𝐸 𝑛i = . 𝑒 d𝑥 (2.160) Wird (2.160) auf (2.158) angewendet, ergibt sich eine Berechnungsmöglichkeit der Ionendichte in der Hochspannungsrandschicht als Funktion des Ortes in der Schicht: 𝜀0 4 𝑉0 𝑥 𝑛i = 𝑒 9 𝑠² 𝑠 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 2 −3 Peter Awakowicz (2.161) 148 Member of Center for Plasma Science and Technology Man erkennt, dass (2.161) für x 0 eine Singularität besitzt, die durch die Näherung der verschwindenden Ionenenergie an der Schichtkante (vgl. Gl. (2.147)) hervorgerufen wird. Wichtig für alle Berechnungen mit den Formeln der Child-Langmuir-Beziehung ist, dass das Schichtpotenzial groß gegen die Elektronentemperatur ist. Hat man hingegen (relativ kleine) Spannungen zwischen dem Plasma und einer floatenden Wand, kann das Child-Langmuir Gesetz nicht verwendet werden. In diesen Fällen ist es sinnvoll mit Gl. (2.146) zu arbeiten. Da die Ionenbewegung durch die Schicht als stoßfrei angenommen wurde, kann das ChildLangmuir-Gesetz nicht für Entladungen bei hohen Drücken verwendet werden. Aber auch solche Entladungen können mit einigen Modifikationen des Child-Langmuir-Gesetzes behandelt werden. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 149 Member of Center for Plasma Science and Technology 3. Plasmaätzen 3.1 Abfolge technologischer Prozesse i. d. Mikroelektronik: Deposition Lithographie Dotieren Veraschen Ätzen Abb. 3.1 (Beispiel hierzu siehe Kap. 1 „Einleitung“) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 150 Member of Center for Plasma Science and Technology „Ätzen“: Strukturieren von Festkörperoberflächen z.B. ein Graben („Trench“) Maske „Naßätzen“ Zu ätzende Schicht isotrop Maske B „Trockenätzen“ anisotrop Substrat B Maske B Substrat Substrat Abb. 3.2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 151 Member of Center for Plasma Science and Technology Grabenkondensator $$$ => Hohe Ionenflüsse bei geringem Druck Elektrode Isolator Elektrode 1 Bit Breite: 0.12 μm Tiefe: 5.5 μm Aspektverhältnis 1 : 45 1Gbit-Trench (Stand 6.99) Abb. 3.3 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 152 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.2 Ätztechnologien Ätzen Naßätzen Chemisch •HF, HNO3 •KOH ChemischPhysikalisch •Polieren Trockenätzen Physikalisch Chemisch ChemischPhysikalisch •Ion Beam •Gas •Plasma •Sputtern •Remote •Ionen Abb. 3.4 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 153 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.3 Mechanismen Sputtern SeitenwandPassivierung Ionenunterstützt Reaktives Ionenätzen Chemisch Plasma el. Feld Randschicht Ar+ Ar+ CHx Cl Br+ Cl AlxCly SiClx SiBrx F SiFx Si Wafer/Schicht Al Si Si Abb. 3.5 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 154 Member of Center for Plasma Science and Technology Trockenchemisches Ätzen Beispiel: Si-Ätzen mit CF4 Plasmaprozeß: z.B. e- + CF4 CF3 + F + e(Elektronenstoßdissoziation), Schwelle: 12.5 eV F fluorinierte Schicht flüchtig F F SiFx F Si Si Si F F Weg a: 5-30% SiF2 F Si F Si F Si Abb. 3.6 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 155 Member of Center for Plasma Science and Technology F Weg b: 70-95% F F F Si F F Si F Si 2x F F Si flüchtig F Si F SiF4 Si Abb. 3.7 • Viele verschiedene Gase im Plasma produzieren F-Atome wie z.B. F2, SF6, NF3 • Alle weisen hohe Selektivität für Si gegen SiO2 und Si3N4 auf (ReSi >> ReSiO2) Problem: Ungesättigte Spezies (CF2, SxFy), können Polymere bilden und die Fluorkonzentration erniedrigen • Da F2 toxisch ist, wird oftmals CF4 und SF6 verwendet Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 156 Member of Center for Plasma Science and Technology Abhilfe gegen Polymerbildung: O2 - Zugabe O + CFx O2 COF2 CO CO2 + F, F2 Bis ca. 16% O2 - Zugabe steigt die Ätzrate stark an (x 5) Fazit: Da CF4/O2 - Plasmen Si praktisch immer isotrop (Rehor = Rever) aber sehr selektiv ätzen, werden diese verwendet, um • organische Masken (Resist) zu entfernen, • „Stringer“ zu vermeiden, • Wafer und Maschinen zu reinigen. Reaktor: Da diese „Aufgaben“ weniger kritisch sind, werden sie in CCP-Maschinen (s.o.) konventioneller Bauart durchgeführt. Typische Werte: ptot = 35 Pa, Pin = 0.16 W/cm2, Φ = 200 sccm, RSi = 0.5 μm/min Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 157 Member of Center for Plasma Science and Technology Vereinfachter CF4-Reaktionsmechanismus: Parameter z.B. Ratenkonstante Reaktion 3 nS, ne, Te nS1, nS2, Tg nS, ne, Te nS, Tsurf CF4 + e → CF3 + CF4 + e → CF2 + 2F+e CF3 + e → CF2 + FCF3 + CF3 + M → C2F6+M CF3 + F + M → CF4+M CF2 + CF2 + M → C2F4+M CF2 + F → CF3 CF + F + M → CF2+M C2F6 + e → CF3 + CF3+e C2F4 + e → CF2 + CF2+e ... F + Sisurf → SiF SiF + F → SiF2 SiF2 + F → SiF3 SiF3 + F → SiF4 Electrical Engineering & Plasma Technolgy F- 4.6 ∙ − 10−9 𝑇e 2 exp − 7 𝑇e cm³ s „Volumenprozesse“ „Oberflächenprozesse“ Tab. 3.1 Peter Awakowicz 158 Member of Center for Plasma Science and Technology Ionenunterstütztes Ätzen Beispiel: Si-Ätzen mit Cl2 oder Br2 a) nicht dotiertes Si: •Cl und Cl2 ätzen undotiertes Si mit sehr geringen Raten (10 nm/min bei Tsub < 100 °C, 10 Pa) •wird Ionenbeschuß (z.B. 400 eV Ar+) „zugeschaltet“, erhöht sich die Ätzrate um Faktor 10 Ar+ Modell: Cl Ionenbeschuß einige 100 eV SiClx • bricht Si-Bindungen • schafft „Dangling Bonds“ • hinterlässt in den ersten Monolagen eine modifizierte, am reinen Si adsorbierte Schicht „Transformation“ der oberflächennahen Bereiche in sehr reaktive Schicht Si „Chemical Sputtering“ Abb. 3.8 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 159 Member of Center for Plasma Science and Technology b) dotiertes Si: • n-dotiertes Si (P, As, ...): starke Abhängigkeit der Ätzrate Re von Donatorkonzentration nD • Hohe Ätzraten auch ohne Ionenbeschuß • p-dotiertes Si (B, In, ...): Re ≠ f (nA) Modell: Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl e- Si en-Si n-Dotierung: • erhöht Ladungstransfer zu adsorbierten Cl-Atomen • verändert Bindungsgeometrie • erhöht adsorbierte Cl-Dichte • erleichtert Eindringen in Si-Gitter mehr Cl-Atome diffundieren in Si, Cl stark elektronegativ Abb. 3.9 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 160 Member of Center for Plasma Science and Technology Ätzen durch Seitenwandpassivierung Beispiel: Al ätzen mit Cl2 und CCl4 •Al + F: nicht-flüchtige Verbindungen → Al kann in F-Plasmen nicht geätzt werden •Cl, Br ätzen reines Al stark; Endprodukt: Al2Cl6 (T = 300 K), AlCl3 (T = 500 K) •Ionenbeschuss hat keinen Einfluss auf Ätzrate → worauf basiert Anisotropie? Ion AlxCly Cl Modell: Polymerschicht (3 - 15 nm) C Maske C C C Abb. 3.10 C Al Electrical Engineering & Plasma Technolgy C Peter Awakowicz C C C C C 161 Member of Center for Plasma Science and Technology Seitenwandpassivierung • wird induziert durch ungesättigte Spezies von CCl4, CHCl3, SiCl4, ... (z.B. CH). • Oxidfilm muss vor Ätzprozeß entfernt werden durch Sputtern oder chemisches Reinigen z.B. mit BCl3 • die Filmdeposition auf horizontalen Flächen wird durch Ionenbeschuß unterbunden Probleme: • Wasser im porösen Al (Sauerstoff, Wasserstoff: Oxidation, Reduktion, HCL, Al2O3) • Kupfer legiert in Al (geringe Flüchtigkeit von Cu-Chloriden) • Photoresist-Degradation in Cl-Plasmen (AlCl3 zerstört organische Substanzen f. Tsub ↑) • Nach Prozess verbleibendes AlCl3 Abhilfe: • Wasser: Schleusensyteme, BCl3 • Cu: Erhöhung von Tsub • Cu: Weniger Cu größerer Körnigkeit • Cu: Höhere Beschußenergie • AlCl3: O2-Plasma, C2F6-Plasma Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 162 Member of Center for Plasma Science and Technology Reaktives Ionenätzen Vorüberlegung: Si mit Cl2 Annahmen für Standard-Plasmaquelle (CCP): p = 1 Pa, Tg = 300 K, 1 % Diss., ne = ni = 1015 m-3, Te = 5 eV, Cl = 35 amu Daraus Flußdichten: Ätzrate (Ausbeute =1 „Yield“): •Cl-Atome: jatom ≈ 2.4 ·1016 cm-2 s-1 •Cl-Ionen: jion ≈ 3.7 ·1014 cm-2 s-1 •Atome: Reatom ≈ 300 nm min-1 •Ionen: Reion ≈ 4.6 nm min-1 Annahmen für hochdichte Plasmaquelle (z.B. ICP): wie oben, außer ne = ni =1017 m-3 Flußdichten: •Cl-Atome: jatom ≈ 2.4 ·1016 cm-2 s-1 •Cl-Ionen: jion ≈ 3.7 ·1016 cm-2 s-1 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Erst mit HD-Plasmaquellen ist „RIE“ möglich Peter Awakowicz 163 Member of Center for Plasma Science and Technology Beispiel: SiO2 -Ätzen mit CF4 Wichtige Anwendungen: Ätzen von Gate-Oxid, Dielektrikum zwischen Metallisierungsebenen, ... Drei Bereiche (a) - c)) in allen HD-Plasmaätzern (ECR, ICP, Helicon): CF4 0.1 Pa SiO2 Ätzrate [nm/min] 600 400 b) a) c) 200 Deposition Sputtern 0 -200 Abb. 3.11 Unterdrückung 0 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 25 100 Uth 50 Usp 75 Schicht-Spannung [V] 125 Peter Awakowicz 150 164 Member of Center for Plasma Science and Technology a) Abscheidebereich (0 ≤ Usch ≤ Uth) • Unterhalb einer Schwellenspannung Uth wächst ein FluorKohlenstoff-Film (Polymer: CFx) • Wachstumsrate steigt linear mit Ionenflußdichten • Uth hängt von externen Parametern ab (Leistung, Druck, Gase, usw.) Modell: CFx+ CFx t d = f(t) CFx SiO2 Abb. 3.12 Electrical Engineering & Plasma Technolgy • Beschußenergie der Ionen zu gering, um Wachstum zu unterdrücken • Ionen tragen zum Wachstum bei • Schichtdicke d nimmt zu (als Funktion der Zeit: d = d(t), Deposition) Peter Awakowicz 165 Member of Center for Plasma Science and Technology b) Unterdrückungsbereich (Uth ≤ Usch ≤ Usp) • CF-Ätzen dominiert über CF-Abscheidung • Dünner CF-Film bedeckt das Oxid mit d ≠ f(t) • Mit steigender Spannung nimmt Filmdicke ab, d.h. d = f(U) • Mit abnehmender Filmdicke steigt Ätzrate: d = 1.1 nm, Re = 100 nm/min, d = 0.5 nm, Re = 500 nm/min, bei ca. 1.5 nm stoppt Ätzvorgang Modell d = f(U) CFx C CFx+ SiFx CFx SiO2 Mögliche Erklärung: • Nimmt Dicke d zu, wird Ionenenergie im Film zunehmend dissipiert, d.h. Energie reicht nicht mehr, um Si-O Bindung zu brechen • Im Fall von Si-Ätzen (mit F) sind viel dickere Filme möglich, d.h. hier reicht Diffusion zum Oxid aus • d > 0 wenn jCF ↓ > jC ↑ Abb. 3.13 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 166 Member of Center for Plasma Science and Technology c) Reaktiver Sputterbereich (Usp ≤ Usch) • Oxidoberfläche frei von CF-Film • Ätzrate linear proportional zu Ionenflußdichte und Wurzel aus der Ionenenergie • nur bei sehr geringen Drücken (0.1 Pa) nimmt Ätzrate mit steigendem Ionenstrom ab CFx+ Modell Si, O SiF4 CO2 CO COF2 ? SiO2 Mögl. Erklärung: • CF-Film kann sich aufgrund der Beschussenergie nicht mehr bilden • Proportionalität der Ätzrate zu Flussdichte und Energie aus Sputtertheorie • bei sehr geringen Drücken ist Te sehr hoch, + daher nimmt CFx - Konzentration zugunsten von C+ und F+ - Konz. ab • geringeres Sputtern wegen geringer Masse: Bindungspartner f. Endprodukte fehlen Abb. 3.14 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 167 Member of Center for Plasma Science and Technology Fazit: • Ein realer Ätzvorgang ist oftmals eine Überlagerung verschiedener Mechanismen. • Das ionenunterstützte Ätzen, das Ätzen mittels Seitenwandpassivierung sowie das reaktive Ionenätzen ermöglichen ein hohes Maß an Anisotropie. • Grundregel: Mit zunehmender Anisotropie nimmt die Selektivität ab, daher sind oftmals Zwischenschichten notwendig. • Das reaktive Ionenätzen wird erst durch moderne HD-Plasmaanlagen Realität, wirft aber durch völlig veränderte Ionen- zu Neutralflußdichteverhältnisse neue Probleme auf. Anwendungen z.B.: • Tiefe Gräben (Trench) f. DRAM-Speicherzellen (vgl. REM-Aufnahme) • Kontaktlöchern (interconnect holes) zur Verbindung mehrlagiger Metallisierungsebenen • Mikro-Elektromechanische Strukturen: MEMS • GaAs-HL-Laser (vertikale On-Chip Laser) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 168 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.4 Selektivität, Anisotropie und Uniformität Wie in Kapitel 3.3 gezeigt, sind Forderungen nach hoher Selektivität und gleichzeitig großer Anisotropie oft im Widerspruch. Gleichzeitig ist auch die Uniformität sowohl des Ätzprozesses als auch der Schichtdicken nicht beliebig gut, d.h. es existieren in der Praxis sowohl eine Variation der Dicke der zu ätzenden Schicht als auch der Ätzrate selbst. Letzere wird z.B. durch das nicht konstante Profil der Elektronendichte bzw. die nicht gleichmäßige Verteilung der Teilchenflussdichten hervorgerufen. Um die gegenseitige Beeinflussung der technologisch wichtigen Größen aufzuzeigen, soll folgendes Beispiel aus dem Bereich des Poly-Si-Ätzens herangezogen werden: 1.5 m Abb. 3.15 Photoresist 0.3 m Poly-Si 30 nm Gate-Oxid Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 169 Member of Center for Plasma Science and Technology Im Rahmen eines Single-Wafer Prozesses müssen in der Fab Ätzzeiten im Bereich von ca. 3 Minuten erreicht werden, um kommerziell interessant zu sein. Damit sind typische Ätzraten für die verschiedenen Materialien vorgegeben: Rpr 500 nm/min Rox 10 nm/min Rpoly 100 nm/min Die daraus notwendige Forderung an die Selektivität lautet: 𝑅poly 300 𝑠= ≫ = 0.2 , 𝑅pr 1500 (3.1) um den Polysiliziumfilm komplett zu ätzen ohne die Photoresist-Maske nennenswert zu beschädigen. Damit wird hierfür eine Selektivität von 2 bis 3 ausreichend sein. Allerdings gibt es einen zweiten Aspekt, der durch die fehlende Uniformität des Plasmas und damit des Prozesses bedingt ist (vgl. z.B. Elektronendichteprofil über dem Radius). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 170 Member of Center for Plasma Science and Technology Aufgrund dieses Profils (d.h. der Nicht-Uniformität) ist es nötig, an manchen Stellen ein Überätzen in Kauf zu nehmen, um eben sicher zu sein, dass überall freigeätzt wurde. Während des Überätzschrittes liegt an vielen Stellen die Gateoxid-Schicht frei und wird ebenfalls dem Ätzprozess ausgesetzt. Für einen Überätzschritt um 100% (d.h. doppelte Ätzzeit zum Freiätzen eines perfekt homogenen Poly-Si Films in einem perfekt uniformen Plasmaprozess) ist eine hohe Selektivität der Ätzrate des Poly-Si gegen das Gateoxid notwendig: 𝑅poly 300 𝑠= ≫ = 10 𝑅ox 30 (3.2) Damit ist für den Überätzschritt eine Selektivität von etwa 100 (30 - 300) notwendig. Im folgenden muss an dieser Stelle auch die Anisotropie ah des Prozesses berücksichtigt werden. Dazu wird die horizontale Ätzrate (Rh) mit der vertikalen Rv verglichen: 𝑅v 𝑎h = 𝑅h Electrical Engineering & Plasma Technolgy (3.3) Peter Awakowicz 171 Member of Center for Plasma Science and Technology In Abb. 3.16 ist die Situation eines horizontalen Ätzprozesses berücksichtigt. wm 1.5 m Photoresist w Abb. 3.16 0.3 m Poly-Si 30 nm Gate-Oxid d Unter der Annahme, dass die Maske nicht erodiert wird, gilt für die Anisotropie: 𝑑 𝑎h = 𝛿 Damit wird die maximale Trenchbreite: Electrical Engineering & Plasma Technolgy (3.4) 𝑤 = 𝑤m + 2𝛿 Peter Awakowicz (3.5) 172 Member of Center for Plasma Science and Technology Gl. (3.5) nach aufgelöst und in (3.4) eingesetzt ergibt Mindestmaß an Anisotropie: 2𝑑 𝑎h ≥ 𝑤 − 𝑤m Beispiel: (3.6) w=1 m, d= 2 m, wm= 0.5 m ah 8 (sogar für wm = 0 (sinnlos) ist ah 4 notwendig); damit ergibt sich für die kleinstmögliche Breite: 2𝑑 4μm 𝑤≈ = = 0.5μm 𝑎h 8 (3.7) Damit sieht man, dass für das Deep-Trench-Etching (G-Bit D-RAM) mit d/w>>1 die Anforderung an die Anisotropie sehr hoch sein muss. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 173 Member of Center for Plasma Science and Technology Im nächsten Schritt soll die Auswirkung der Prozessuniformität auf die Selektivität und die Anisotropie untersucht werden. Zu diesem Zweck wird Abb. 3.17 betrachtet. Hierin ist Rprh die (horizontale) Ätzrate der Maske und Roxv die (vertikale) Ätzrate der GateoxidSchicht. wm Rprh 1.5 m Photoresist w 0.3 m Abb. 3.17 Rv Roxv Poly-Si Rh d 30 nm ox Die Selektivität des Photoresist gegen die Poly-Si-Schicht lautet: 𝑅v 𝑠pr = 𝑅prh Electrical Engineering & Plasma Technolgy (3.8) Peter Awakowicz 174 Member of Center for Plasma Science and Technology und die Selektivität des Gateoxids gegen das Poly-Si ergibt: 𝑅v 𝑠ox = 𝑅oxv (3.9) Wenn die Zeit, die benötigt wird, um an alle unmaskierten Stellen den Poly-Si Film komplett wegzuätzen tmax ist, dann gilt: 𝑑 𝑡max = 𝑓 = 𝑓𝑡 , 𝑅v (3.10) wobei f ein Überätzfaktor ist, um die ungleiche Filmdicke zu kompensieren, d.h. um das sichere Freiätzen an allen Stellen zu gewährleisten. Für die Filmdickevariation gilt: 𝑑 = 𝑑0(1 ± 𝛼) (3.11) Gleichzeitig existiert z.B. aufgrund des inhomogenen Plasmadichteprofils eine Variation der Ätzrate über dem Waver: 𝑅v = 𝑅v0(1 ± 𝛽) Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (3.12) 175 Member of Center for Plasma Science and Technology Die maximale Ätzzeit tmax ist durch die maximale Schichtdicke (dmax) und die minimale Ätzrate (Rvmin) bestimmt: 𝑑0(1 + 𝛼) (1 + 𝛼) 𝑡max = 𝑓𝑡 = =𝑡 𝑅v0(1 − 𝛽) (1 − 𝛽) (3.13) Und damit wird: 1+𝛼 𝑓= ≈1+𝛼+𝛽 1−𝛽 (3.14) wobei , <<1 gilt. Unter der (vernünftigen) Annahme, dass im Poly-Si die vertikale Ätzrate sehr viel größer ist als die horizontale, d.h. Rv>>Rh, gilt: 𝛿 ≈ 𝑅h + 𝑅prh 𝑡max , (3.15) da, sobald ein Stück des Photoresist horizontal freigeätzt wird (und damit das darunterliegende Poly-Si freigibt), das Poly-Si instantan weggeätzt wird (da Rv>>Rh). Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 176 Member of Center for Plasma Science and Technology kombiniert man nun Gl. (3.15) mit (3.10), erhält man: 𝛿 𝑑 =𝑓 𝑅h + 𝑅prh 𝑅v (3.16) und daraus folgt für horizontale Ätzbreite : 𝑅h + 𝑅prh 𝛿 = 𝑓𝑑 𝑅v (3.17) Setzt man dies nun in die Gl. f. d. maximale Trenchbreite (3.5) ein, erhält man: 𝑅h + 𝑅prh 𝑤 = 𝑤m0 + 2𝑓𝑑 𝑅v Electrical Engineering & Plasma Technolgy (3.18) Peter Awakowicz 177 Member of Center for Plasma Science and Technology oder umgeschrieben: 𝑅h + 𝑅prh 𝑤 − 𝑤m0 = 𝑅v 2𝑓𝑑 (3.19) Beispiel: w=1 m, wm0=0.5 m, d= 0.5 m, ==0.1. Dann wird: 𝑅h + 𝑅prh ≈ 0.42 𝑅v In Abb. 3.18 ist gezeigt, wie sich die Resist-Selektivität (Rprh/Rv) gegen die Ätz-Anisotropie (Rh/Rv) verhält. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 178 Member of Center for Plasma Science and Technology 0.5 isotrop 𝑅h 1 = 𝑅 v 𝑎h 𝑅h + 𝑅prh ≥ 0.42 𝑅v nicht verwendbar anisotrop Abb. 3.18 0 selektiv 1 𝑅prh = 𝑠pr 𝑅v 0.5 nicht selektiv Für einen „Deep Trench“ mit z.B. d=2 m erhält man: 𝑅h + 𝑅prh ≈ 0.1 𝑅v womit man die gestrichelte Kurve erhält. Daraus ist ersichtlich, dass die Anforderungen an Resist-Selektivität und Ätz-Anistropie sehr hoch werden. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 179 Member of Center for Plasma Science and Technology Betrachtet man nun noch den Extremfall einer minimalen Ätzdauer, d.h. an einer Stelle, wo die Poly-Si Schicht dünn und die Ätzrate hoch ist: 𝑑 1−𝛼 𝑡min = 𝑅v 1 + 𝛽 (3.20) Nach dieser Zeit tmin liegt also an einigen Stellen das Gateoxid bereits frei, während an anderen Stellen (die besonders dick sind und wo die Ätzrate geringer ist) noch geätzt werden muß. Damit ergibt sich für die maximale Tiefe, die an den nach tmin freien Stellen in die Gateoxidschicht (unerwünschterweise) hinein geätzt wird (Abb. 3.17): 𝛿ox = 𝑡max − 𝑡min 𝑅oxv (3.21) mit der max. Ätzdauer tmax (3.13) wird aus (3.21): 𝑑 1+𝛼 1−𝛼 𝛿= − 𝑅 𝑅v 1 − 𝛽 1 + 𝛽 oxv Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz (3.22) 180 Member of Center for Plasma Science and Technology Daraus erhält man unter der (sehr vernünftigen) Annahme, dass 2<<1: 𝑑 𝛿ox ≈ 1+𝛼+𝛽− 1−𝛼−𝛽 𝑅v 𝑑 = 2 α + β 𝑅oxv 𝑅v (3.23) Schreibt man dieses Ergebnis um in 𝑅oxv 𝛿ox α+β ≈ 𝑅v 2𝑑 (3.24) dann können die Maßzahlen für die Uniformität (+) gegen die Selektivität der Gateoxidschicht (Roxv/Rv) betrachtet werden, wobei die Größe a.d. rechten Seite konstant gehalten wird. Beispiel: d=300 nm, ==0.1, ox 3 nm (gefordert!) sox = Rv/Roxv 40 notwendige Selektivität Den allgemeinen Zusammenhang zwischen Uniformität und Selektivität kann man Abb. 3.19 entnehmen. Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 181 Member of Center for Plasma Science and Technology 0.3 schlechte Uniformität nicht verwendbarer Bereich + gute Uniformität 0 0.3 gute Selektivität Abb. 3.19 Roxv/Rv schlechte Selektivität Akzeptanzbereich d. Plasmaätzens: Selektivität vs. Uniformität Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 182 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.5 Technologische Probleme des Plasmaätzens 3.5.1 „Damage“ Ursache: Hochenergetische Ionen (bis zu 1000 eV), Photonen im UV, weiche Röntgenstrahlung Ionen: Versetzen von Gitteratomen bis in Tiefen von 15 nm (Gateoxid < 15 nm !), Änderung der Stöchiometrie Abhilfe bzw. Verbesserung: • bis Ende 80er Jahre: Ausheizen bei ca. 650 - 950 °C (nicht immer möglich) • seit Beginn der 90er: ICP-Quellen (Inductiv Coupled Plasma), dadurch geringere Beschussenergie Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 183 Member of Center for Plasma Science and Technology Verbesserung : Ätzen mit HD-Plasmen (z.B. ICP) Aufbau: Ringdusche planare Spule Uhf Plasma HF-Spulenleistung Wafer el. stat. Substratteller Cb Pumpen Uhf HF-Biasleistung Abb. 3.20 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 184 Member of Center for Plasma Science and Technology Induziertes elektrisches Feld: Hydrodynamisches Plasmamodell f. Argon Quarzplatte Quarzplatte Argon,1600 100 W, W, Pa Argon, 400 Argon, W,111Pa Pa Mittelachse Electrical Engineering & Plasma Technolgy Abb. 3.21 Peter Awakowicz 185 Member of Center for Plasma Science and Technology ICP-Plasma: Radialverteilung von ne + <E> Abb. 3.22 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 186 Member of Center for Plasma Science and Technology Vergleich von ICP- und CCP-Ätzplasmen 130 1,0 ICP 300 W ICP 600 W CCP 110 100 Bias-Power: 0 - 45 W 90 Ätzrate [nm/min] 300 W Bias: 45 W 80 70 Bias-Power: 0 - 25 W 60 50 150 W 40 ICP 300 W ICP 600 W CCP 0,9 Atomzahlverhältnis P/In 120 Bias: 25 W 0,8 0,7 0,6 0,5 30 70 W 20 0,4 10 0,3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 20 40 60 80 100 Ätzrate [nm/min] Substratbias [V] •Bei gleichen Ätzraten hat CCP mehr Beschußenergie Abb. 3.23 Electrical Engineering & Plasma Technolgy 0 •Bei vergleichbaren Ätzraten der P-Verlust beim CCP höher Peter Awakowicz ist 187 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.5.2 „Notching“ Beispiel: Poly-Si Gate Ätzen a) Ätzen Schichtkante b) Überätzen Ar+ e- Ar+ Photoresist - - - - - - - - - - - - Poly-Si e- e- ++++ SiO2 Si Abb. 3.24 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 188 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.5.3 „RIE-Lag“ Aufgrund der Winkelverteilung der Ionen durch Streuung in der Randschicht kommt es zu einer vom Aspektverhältnis (l/d) abhängigen Ätzrate Re = f(l/d): 1 dN N dϑ ϑ1 ϑ2 l1 l2 RIE-Lag Abb. 3.25 ϑ1 ϑ2 Electrical Engineering & Plasma Technolgy ϑ d1 d2 Peter Awakowicz 189 Member of Center for Plasma Science and Technology 3.5.4 Weitere Probleme: Mikromaskierung „Black Silicon“ Facetten Wand + + Maske + Si Mikrotrench HF-Elektrode „Microloading“ , SiC-Bildung, H-Ein- dringen, Gateoxidzerstörung, Rede- position, Durchbruch ... Abb. 3.26 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 190 Member of Center for Plasma Science and Technology Dünne, runde Ätzmaske ist erodiert: Zylinder wird zum Kegelstumpf Am Beispiel eines oberflächenemittierenden Lasers (vgl. Abb. 1.9) Abb. 3.27 Electrical Engineering & Plasma Technolgy Peter Awakowicz 191
