Nichtlinear optische 3D-Mikroskopie - IAP TU

Nichtlinear optische 3D-Mikroskopie transparenter Proben
Nonlinear optical 3d-microscopy of transparent samples
vorgelegte Master-Thesis von Florian Wagner
1. Gutachter: Prof. Dr. Thomas Halfmann 2. Gutachter: MSc. Uwe Petzold
Tag der Einreichung:
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Mikroskopietechniken
3
3 Nichtlineare Optik
5
3.1 Grundlagen der nichtlinearen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2 Nichtlineare Suszeptibilität eines klassischen anharmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3 Nichtlineare Optik mit fokussierten Gauss’schen
Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.1
Paraxiale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.2
Gauss’sche Strahlen
3.3.3
Erzeugung höherer Harmonischer mit fokussierten Gauss’schen
Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.4
Die zweite und dritte Harmonische
3.3.5
Vibration Diagrams
3.3.6
Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Experimenteller Aufbau
22
4.1 Das Lasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1
Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2
Bestimmung der zeitlichen Pulsbreite . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Dreidimensionales Abrastern der Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1
Zweidimensionales Abrastern der Probe mit einem Galvo-Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.2
Das Teleskop im 4f -Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.3
Der Abscannbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.4
Signalabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.5
Verschiebung des Objektivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Filterung und Detektion des Signals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1
Separation des Signals von der fundamentalen Strahlung . . . 32
4.3.2
Verbesserung des Signal zu Rausch Verhältnisses
. . . . . . . 34
4.4 Detektion der zweiten Harmonischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Der CCD-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Messungen und Ergebnisse
37
5.1 Erzeugung der dritten Harmonischen an Quarzglas-Luft Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Erzeugung der zweiten Harmonischen an einem BBO-Kristall . . . . 42
5.3 Signalstärke verschiedener Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Kalibrierung der zweidimensionalen Abrasterung . . . . . . . . . . . 49
5.5 Vermessung von Glasproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Zusammenfassung und Ausblick
58
A Funktionsweise eines Lock-In-Verstärkers
61
B Phasenbetrachtung bei der Erzeugung der dritten Harmonischen
63
C Peakform
65
1
1
EINLEITUNG
Einleitung
Eine wichtige Aufgabe der optischen Mikroskopie ist die Visualisierung transparenter Proben. Konventionelle Methoden wie Phasenkontrast- und differentielle
Interferenzmikroskopie stützen sich dabei auf räumliche Variationen des Brechungsindex [1]. Die Struktur von Mischungen verschiedener Stoffe mit unterschiedlichen Brechungsindizes kann auf diese Weise dargestellt werden. Allerdings liegen
die Variationen der Brechungsindizes verschiedener transparenter Medien fernab
von Resonanzen in der Größenordnung von lediglich 20% [2]. Dies hat einen geringen Kontrast der Abbildung zur Folge.
Eine Alternative stellt die nichtlinear optische Mikroskopie dar, welche Unterschiede in den nichtlinearen Eigenschaften verwendet, um Grenzflächen zwischen verschiedenen Stoffen darzustellen [3, 4, 5]. Eine solche nichtlineare Eigenschaft ist
die Suszeptibilität dritter Ordnung. Diese bewirkt, dass durch die Wechselwirkung
eines intensiven Laserstrahls der Frequenz ω mit Materie die dritte Harmonische
der Frequenz 3ω erzeugt wird. Bei einer starken Fokussierung des Laserstrahls auf
die Probe tritt dieser Effekt nur an Grenzflächen auf. Die Stärke des erzeugten Signals hängt dabei vom Unterschied der Suszeptibilitäten sowie der Brechungsindizes ab. Die Suszeptibilitäten variieren für verschiedene Medien oftmals über mehrere Größenordnungen [6]. Daher können selbst bei geringen Unterschieden der
Brechungsindizes noch Abbildungen mit hohem Kontrast aufgenommen werden.
Die Begrenzung der Erzeugung der dritten Harmonischen auf den Fokusbereich
ermöglicht dabei eine Lokalisierung der Grenzflächen mit einer Auflösung, welche
durch die Abmessung des Fokus bestimmt ist. Während Effekte zweiter Ordnung
wie die Erzeugung der zweiten Harmonischen in zentrosymmetrischen Medien
verboten sind, weisen alle Medien in jedem Aggregatzustand eine nicht verschwindende Suszeptibilität dritter Ordnung auf [6]. Diese Methode ist daher universell
auf transparente Proben anwendbar.
Ziel dieser Arbeit ist der Aufbau und die Charakterisierung eines Mikroskops, das
die Erzeugung der dritten Harmonischen an Grenzflächen nutzt, um die dreidimensionale Struktur transparenter Objekte darzustellen. Die dazu erforderlichen
hohen Intensitäten werden durch ein gepulstes Lasersystem mit Pulsbreiten im
Bereich von 120 fs erreicht. Diese Methode wurde bereits zur Visualisierung biologischer Proben genutzt [7, 8, 9, 10]. Sie soll künftig, im Rahmen von weiteren Arbeiten zur Untersuchung von Mischprozessen verschiedener Flüssigkeiten verwendet
werden.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf Kapitel. Der folgende Abschnitt gibt
einen kurzen Überblick über die konventionellen sowie nichtlinear optischen Mikroskopiemethoden. Die für das Verständnis der nichtlinearen Optik erforderlichen Grundlagen werden in Abschnitt 3 beschrieben. Es wird erläutert, wie durch
die Wechselwirkung starker Laserfelder mit Materie höhere Harmonische erzeugt
werden und wie diese Effekte zur Grenzflächendetektion genutzt werden können.
Das Kapitel schließt mit einigen Simulationen, die das Potential dieser Effekte für
die Mikroskopie demonstrieren. Anschließend erfolgt die Erläuterung des experi1
1
EINLEITUNG
mentellen Aufbaus in Kapitel 4. Experimente zur Charakterisierung des Aufbaus
werden in Abschnitt 5 diskutiert. Es werden zudem erste Anwendungen der Methode präsentiert. Die Arbeit endet mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick
auf künftige Ziele und Anwendungen.
2
2
2
MIKROSKOPIETECHNIKEN
Mikroskopietechniken
Ziel der Mikroskopie ist es, kleine Objekte sichtbar zu machen. Je nach Zusammensetzung und Struktur des verwendeten Präparats bieten sich dazu unterschiedliche
Abbildungsverfahren an. In der konventionellen Lichtmikroskopie unterscheidet
man zwischen Amplitudenpräparaten und Phasenpräparaten [1, 5].
Amplitudenpräparate bestehen aus Strukturen, welche Licht absorbieren und somit dessen Amplitude beeinflussen. Aufgrund unterschiedlicher Absorptionseigenschaften verschiedener Bereiche kann das Präparat abgebildet werden. Eine grundlegende Methode der Lichtmikroskopie ist die Hellfeldmethode [1]. Das Präparat
wird dabei, meist nach vorherigem Färben, beleuchtet. Die transmittierte Strahlung ergibt ein farbiges Bild der Probe vor hellem Hintergrund.
Diese Methode ist nicht auf transparente oder sehr dünne Objekte anwendbar, welche kaum oder überhaupt keine Veränderung der Strahlungsamplitude durch Absorption aufweisen. Bestehen diese Proben aus Strukturen mit unterschiedlichen
Brechungsindizes, welche zu verschiedenen Phasenverschiebungen der Strahlung
führen, bezeichnet man sie als Phasenpräparate. Diese nicht sichtbaren Phasenverschiebungen werden bei der Phasenkontrastmikroskopie oder der differentiellen Interferenzmikroskopie in Intensitätsänderungen überführt [1]. Die Phasenkontrastmikroskopie nutzt dazu die Interferenz der Strahlung aus dem Präparat
mit der direkten Strahlung. Bei der differentiellen Interferenzmethode durchlaufen zwei nah nebeneinander liegende Strahlen gleichzeitig die Probe. Treffen dabei
beide auf die gleiche Struktur, führt dies zu einer identischen Phasenverschiebung.
An Grenzen von Bereichen mit verschiedenen Brechungsindizes dagegen erfahren die Strahlen unterschiedliche Phasenverschiebungen. Anschließend werden
die Strahlen überlagert. Abhängig von der relativen Phase interferieren diese dann
konstruktiv oder destruktiv.
Eine weitere Methode zur Abbildung von Phasenobjekten ist die Dunkelfeldmethode [1]. Dabei wird eine Ringblende so angeordnet, dass unbeeinflusste Strahlung diese nicht passieren kann. Nur an Phasengrenzen gebrochenes und somit
abgelenktes Licht wird von der Blende transmittiert. Es entsteht ein helles Bild der
Probe vor dunklem Hintergrund.
Bei den genannten Verfahren können verschiedene Ebenen der Probe nicht getrennt voneinander betrachtet werden. Dieser Nachteil wird im Konfokalmikroskop behoben. Dabei wird das Objekt nur punktweise beleuchtet und abgerastert.
Strahlung außerhalb der Schärfenebene wird dabei mittels einer Lochblende herausgefiltert. In den so genannten “Konfokalen-Laser-Scanning-Mikroskopen” wird
als Lichtquelle ein Laserstrahl verwendet, der auf die Probe fokussiert wird. Die
einzelnen Bildpunkte werden nacheinander vermessen und mit Hilfe eines Steuerungscomputer nachträglich zu einem Bild zusammengesetzt. Auf diese Weise sind
optische Schnitte durch bestimmte Ebenen sowie 3D-Rekonstruktionen der Probe
möglich.
Oftmals werden auch andere physikalische Effekte als die Absorption oder Phasenverschiebung des eintreffenden Laserstrahls ausgenutzt. Eine Möglichkeit besteht
3
2
MIKROSKOPIETECHNIKEN
in der Detektion der von der Probe ausgehenden Fluoreszenz. Durch spezifische
Färbung mit fluoreszierenden Stoffen können dabei verschiedene Bestandteile des
Präparats visualisiert werden.
Neuere Methoden, welche durch die Entwicklung gepulster Laser mit hohen Spitzenintensitäten ermöglicht wurden, lassen sich unter dem Begriff der Multiphotonenmikroskopie bzw. nichtlinear optische Mikroskopie zusammenfassen [3, 4, 5].
Die dabei am meisten genutzten Kontrastmechanismen sind die Erzeugung der
zweiten und dritten Harmonischen des auftreffenden Laserstrahls ( “second harmonic generation” SHG und “third harmonic generation” THG ) sowie die zweiPhotonen Anregungsfluoreszenz ( “two-photon excitation fluorescence” TPEF ).
Schematisch sind diese Effekte in Abbildung 1 dargestellt [4].
TPEF
a
SHG
THG
b
c
Abbildung 1: Schematische Darstellung nichtlinear optischer Prozesse: a) zweiPhotonen Anregungsfluoreszenz (TPEF), b) Erzeugung der zweiten Harmonischen
(SHG), c) Erzeugung der dritten Harmonischen (THG). Gestrichelte Linien bezeichnen virtuelle Energieniveaus, gestrichelte Pfeile nicht strahlende Übergänge.
nach [4]
Da diese Effekte auf einer Wechselwirkung von zwei oder drei gleichzeitig eintreffenden Photonen beruhen, sind diese proportional zur zweiten oder dritten Potenz
der eingestrahlten Laserleistung. Bei einer starken Fokussierung des Laserstrahls
werden daher nur im Fokusvolumen messbare Signale erzeugt. Blenden zur Unterdrückung des außerhalb des Fokus erzeugten Signals wie bei der konventionellen
konfokalen Mikroskopie sind daher nicht nötig. Ein weiterer Vorteil ist, dass Eigenschaften mikroskopischer Objekte in der Größenordnung des Fokusvolumens
visualisiert werden können, welche sich bei makroskopischen Messungen heraus
mitteln würden.
Bei den nichtlinear optischen Effekten wird zwischen parametrischen und nicht
parametrischen Prozessen unterschieden. Bei den parametrischen Prozessen, wie
SHG oder THG, sind Anfangs- und Endzustand des Mediums identisch. Somit erfolgt kein Energieübertrag auf das Medium. Unterscheiden sich der Anfangs- und
Endzustand wie bei TPEF, bezeichnet man den Prozess als nicht parametrisch. Die
damit verbundene Energieabgabe an das Medium kann negative Effekte wie thermische Zerstörung des Präparates hervorrufen.
4
3
NICHTLINEARE OPTIK
3
Nichtlineare Optik
Die Multiphotonenmikroskopie basiert auf der nichtlinearen Wechselwirkung starker Laserfelder mit Materie. Neben den linearen Effekten der Dispersion und Absorption elektromagnetischer Strahlung in einem Medium können bei Bestrahlung
mit intensiven Laserfeldern auch nichtlineare Effekte auftreten. Dazu gehören insbesondere die Erzeugung der zweiten und dritten Harmonischen des einfallenden
Laserstrahls. In der Multiphotonenmikroskopie werden diese Effekte genutzt, um
die Verteilung der nichtlinearen Eigenschaften einer Probe zu messen. Dadurch
lassen sich Informationen zur Zusammensetzung und Struktur der Probe gewinnen, die über die Erkenntnisse der konventionellen Mikroskopie hinausgehen. In
diesem Kapitel werden die für das Verständnis der nichtlinearen Optik erforderlichen Grundlagen erläutert.
3.1
Grundlagen der nichtlinearen Optik
Trifft ein Laserstrahl auf ein dielektrisches Medium, so erzeugt dieser eine elektrische Polarisation P im Medium. Der Zusammenhang zwischen der Polarisation
und dem elektrischen Feld lässt sich durch eine Reihenentwicklung darstellen [6]
P = χ(1) E + χ(2) E 2 + χ(3) E 3 ... .
(1)
Hierbei bezeichnet χ(n) die materialabhängige Suszeptibilität n-ter Ordnung. Des
Weiteren wird P (n) = χ(n) E n als Polarisation n-ter Ordnung und P (1) = χ(1) E als
lineare Polarisation bezeichnet. Die Felder P und E sind im Allgemeinen vektorielle Größen. Bei den Suszeptibilitäten handelt es sich um Tensoren (n + 1)-ter Stufe. Zur Vereinfachung werden hier alle Größen als Skalare behandelt. Dies ist für
die folgenden Betrachtungen ausreichend. Im Fall moderater Laserstrahlung muss
aufgrund der starken Abnahme von χ(n) mit der Ordnung n nur der lineare Teil
berücksichtigt werden. Mit zunehmender Stärke des Laserfeldes steigt allerdings
die Bedeutung der höheren Ordnungen. Hat der eingestrahlte Laser die Frequenz
ω, werden durch die höheren Potenzen in E zusätzlich höhere Harmonische der
Grundfrequenz ω in der Polarisation erzeugt. Für ein eingestrahltes elektrisches
Feld der Form E ∝ E0 cos (ωt) ergeben sich die Polarisationen zweiter und dritter
Ordnung
P (2) ∝ χ(2) + χ(2) cos (2ωt) ,
(2)
(3)
(3)
P ∝ χ cos (3ωt) + 3 χ cos (ωt) ,
welche die zweite bzw. dritte Harmonische der Grundfrequenz ω enthalten. Diese
neuen Frequenzen in der Polarisation sind Quellen neuer Frequenzen im Laserfeld
[6], wie im Folgenden gezeigt wird. Die Felder P und E sind dabei Funktionen des
Ortes ~r und der Zeit t: E = E (~r, t) und P = P (~r, t).
5
3
NICHTLINEARE OPTIK
Die Wellenpropagation in einem nicht magnetischen, dielektrischen Medium ohne freie Ladungen und Ströme wird durch die nichtlineare Wellengleichung
∇×∇×E+
4π ∂ 2
1 ∂2
E
=
P
c2 ∂t2
c2 ∂t2
(3)
beschrieben, welche sich aus den Maxwellgleichungen in Materie ergibt. Für verschwindende Polarisation P beschreibt diese die Propagation freier Wellen im Vakuum mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Der Einfluss des Mediums auf die
Welle ist in der Polarisation enthalten. Zur Vereinfachung kann die Identität
∇ × ∇ × E = ∇ · (∇ · E) − ∇2 · E
(4)
verwendet werden. Wird in der Polarisation nur der lineare Anteil berücksichtigt,
verschwindet der Term ∇E in Gleichung (4) für isotrope, quellenfreie Medien. Im
allgemeinen Fall ist dieser Term allerdings von Null verschieden. Bei der in Abschnitt 3.3.1 verwendeten “Näherung der langsam variierenden Einhüllenden” ist
dieser Term aber klein gegenüber ∇2 E. Er wird daher bereits an dieser Stelle vernachlässigt. Die nichtlineare Wellengleichung vereinfacht sich damit zu
4E −
4π ∂ 2
1 ∂2
E
=
P .
c2 ∂t2
c2 ∂t2
(5)
Eine Aufteilung der Polarisation in den linearen Anteil P (1) und den nichtlinearen
Anteil P (N L) , welcher alle höheren Ordnung enthält, ergibt
4E −
4π ∂ 2 (N L)
1 ∂2
(1)
.
E
+
4πP
= 2 2P
c2 ∂t2
c ∂t
(6)
Der Ausdruck E + 4πP (1) lässt sich darstellen als r E mit der Dielektrizitätskonstante r = 1 + 4π χ(1)
4E −
4π ∂ 2 (N L)
r ∂ 2
E
=
P
.
c2 ∂t2
c2 ∂t2
(7)
Mit der Phasengeschwindigkeit v = c/n der Welle im Medium und dem linearen
√
Brechungsindex n = r ergibt sich
4E −
1 ∂2
4π ∂ 2 (N L)
E
=
P
.
v 2 ∂t2
c2 ∂t2
(8)
Gleichung (8) gilt allerdings nur für dispersionslose Medien, in deren Brechungsindex n für alle Frequenzen identisch ist. Für dispersionsbehaftete Medien müssen die einzelnen Frequenzkomponenten separat betrachtet werden. Das elektrische Feld E sowie die nichtlineare Polarisation P (N L) können im Allgemeinen über
Fouriertransformation durch ihre Komponenten mit den Frequenzen ω dargestellt
werden. Da hier nur diskrete Frequenzen ωj betrachtet werden, vereinfacht sich die
Fouriertransformation zu einer Summe
X
E=
Eωj
(9)
j
6
3
NICHTLINEARE OPTIK
P (N L) =
X
L)
Pω(N
j
(10)
j
(N L)
mit Eωj (~r, t) = Ẽωj (~r)·exp (−iωj t)+k.k. und Pωj
(N L)
(~r, t) = P̃ωj
(~r)·exp (−iωj t)+k.k. .
Einsetzen dieser Beziehungen in Gleichung (8) liefert
P
1 ∂2
r) + v2 ∂t2 Ẽωj (~r) exp (−iωj t) + k.k.
j 4Ẽωj (~
ωj
=
P 4π
j
∂2
c2 ∂t2
(11)
P̃ωNj L (~r) exp (−iωj t) + k.k. ,
wobei vωj nun die Phasengeschwindigkeit der Frequenzkomponente ωj darstellt.
Da die Exponentialfunktionen exp (−iωj t) ein linear unabhängiges Funktionensystem darstellen, gilt Gleichung (11) für jede einzelne Frequenzkomponente
4Eωj (~r, t) −
4π ∂ 2 N L
1 ∂2
E
(~
r
,
t)
=
P (~r, t) .
ω
vω2 j ∂t2 j
c2 ∂t2 ωj
(12)
Die zeitlich veränderliche Polarisation PωNj L in Gleichung (12) ist Quelle der Frequenzen ωj im elektromagnetischen Feld. Sie bewirkt die Emission einer elektromagnetischen Welle der Frequenz ωj an jedem Punkt im Medium. Wellen, die an
unterschiedlichen Orten des Mediums entstehenden, können allerdings konstruktiv oder destruktiv interferieren. Ob beim Austritt des fundamentalen Strahls aus
dem Medium eine Harmonische der Frequenz ωj resultiert und wie hoch deren Intensität ist, ergibt sich aus der Lösung von Gleichung (12). In Abschnitt 3.3 wird
die Lösung der nichtlinearen Wellengleichung für einen fokussierten Gauss’schen
Strahl als erzeugende Welle durchgeführt. Zunächst soll aber in Abschnitt 3.2 das
Zustandekommen der nichtlinearen Antwort eines Mediums erläutert werden. Dazu wird das Modell eines klassischen anharmonischen Oszillators verwendet.
3.2
Nichtlineare Suszeptibilität eines klassischen anharmonischen
Oszillators
Eine Beschreibung der linear optischen Eigenschaften eines Mediums liefert das
Lorentz Modell [6, 11]. Hierbei werden die Elektronen des Mediums als gedämpfte harmonische Oszillatoren dargestellt. Sie erfahren eine zur Auslenkung x(t) aus
der Ruhelage proportionale rücktreibende Kraft −mω02 x(t) sowie eine geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft −2mγ ẋ(t). Dabei ist m die Elektronenmasse und
ω0 die Resonanzfrequenz. Die Konstante γ charakterisiert die Stärke der Dämpfung. Wird ein elektrisches Feld E(t) eingestrahlt, erzeugt dies die antreibende Kraft
7
3
NICHTLINEARE OPTIK
FF eld (t) = −e E(t) mit der Elementarladung e. Die Bewegungsgleichung der Elektronen lautet dann
e · E(t)
ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω02 x(t) = −
.
(13)
m
Die erzeugte elektrische Polarisation P (t) ist das mittlere Dipolmoment, welches
durch das äußere Feld E(t) induziert wurde. Sie lässt sich durch die Anzahldichte
der Dipolmomente N und die einzelnen erzeugten Dipolmomente p(t) = −e x(t)
darstellen [11]
P (t) = N p(t) .
(14)
Gleichung (13) kann hiermit durch Multiplikation mit −N e in eine Bestimmungsgleichung für die Polarisation überführt werden
P̈ (t) + 2γ Ṗ (t) + ω02 P (t) =
e2 N
E(t) .
m
(15)
Für ebene Wellen mit der Zeitabhängigkeit E(t) ∝ exp(−iωt) lässt sich diese Gleichung lösen [11]. Es ergibt sich eine zum eingestrahlten elektrischen Feld proportionale Polarisation P (t) = χ(1) E(t) mit der linearen Suszeptibilität χ(1)
χ(1) =
N e2
1
.
· 2
2
m
ω0 − ω + 2iωγ
(16)
Für starke eingestrahlte Felder, deren Intensitäten in die Größenordnung der inneratomaren Felder mit Iatom ≈ 1014 W/cm2 [12] geht, ist das Lorentz Modell nicht
mehr ausreichend. Zusätzlich zur harmonischen Oszillatorkraft müssen höhere Ordnungen in x berücksichtigt werden. Die niedrigste Korrektur hängt von der Symmetrie des Mediums ab. Für nicht zentrosymmetrische Medien ist diese zweiter
Ordnung, für zentrosymmetrische Medien dritter Ordnung [11]
nicht zentrosymmetrisch
F (x) = −mω02 x − ma x2
(17)
zentrosymmetrisch
F (x) =
−mω02
3
x − mb x .
Die Parameter a und b charakterisieren die Stärke der Korrektur. Die entsprechenden Potentiale ergeben sich aus ∂V
= −F
∂x
nicht zentrosymmetrisch V (x) = 12 mω02 x2 + 13 ma x3
(18)
zentrosymmetrisch
V (x) = 12 mω02 x2 + 41 mb x4 .
Sie sind in Abbildung 2 veranschaulicht. Im zentrosymmetrischen Medium ist das
Potential somit symmetrisch um die Ruhelage des Elektrons, während im nicht
zentrosymmetrischen Medium eine Asymmetrie des Potentials zu erkennen ist.
8
3
NICHTLINEARE OPTIK
nicht zentrosymmetrisches Medium
V(x)
zentrosymmetrisches Medium
V(x)
korrigiertes Potential
korrigiertes Potential
Parabel
Parabel
x
x
Abbildung 2: Schematische Darstellung der rücktreibenden Potentiale für zentrosymmetrische und nicht symmetrische Medien.
Durch Lösen der modifizierten Bewegungsgleichung ergibt sich die korrigierte Polarisation. Für das nicht zentrosymmetrische Medium erhält man als Korrektur
einen Term, der zur zweiten Potenz des elektrischen Feldes proportional ist:
P (2) = χ(2) E 2 . Im zentrosymmetrischen Medium ist die niedrigste Korrektur proportional zur dritten Potenz des Feldes: P (3) = χ(3) E 3 . Gläser und Flüssigkeiten
weisen in der Regel eine solche Symmetrie auf. Prozesse zweiter Ordnung, wie
z.B. die Erzeugung der zweiten Harmonischen sind in solchen Medien daher nicht
möglich. Dagegen haben alle Medien eine nicht verschwindende Suszeptibilität
dritter Ordnung. Die dritte Harmonische kann somit prinzipiell in jedem Medium
erzeugt werden [6].
3.3
Nichtlineare Optik mit fokussierten Gauss’schen
Strahlen
Im Rahmen dieser Arbeit wird die einfallende Strahlung in das nichtlinear optische Medium fokussiert. Dadurch werden hohe Intensitäten im Fokus erzielt, was
zur Effizienzsteigerung des jeweiligen nichtlinear optischen Prozesses führt. Im
Folgenden wird zunächst beschrieben, wie die nichtlineare Wellengleichung (12)
für gerichtete, fokussierte Laserstrahlung modifiziert werden muss. Anschließend
wird der fokussierte Gauss’sche Strahl diskutiert, welcher eine gute Beschreibung
der fokussierten Laserstrahlung liefert. Er ergibt sich aus der Lösung der modifizierten nichtlinearen Wellengleichung mit verschwindender Polarisation. Schließlich wird die Erzeugung der zweiten und dritten Harmonischen erläutert.
3.3.1
Paraxiale Wellengleichung
Die Frequenzkomponenten des elektrischen Feldes Eωj (~r, t) sowie der Polarisation
(N L)
Pωj (~r, t) werden dargestellt durch
Eωj (~r, t) = Aωj (~r) exp (ikj z − iωj t) + k.k. ,
(19)
9
3
NICHTLINEARE OPTIK
L)
Pω(N
(~r, t) = Pωj (~r) exp ikj0 z − iωj t + k.k. .
j
(20)
Der Exponentialterm beschreibt jeweils eine in z-Richtung propagierende ebene
Welle mit Wellenzahl kj bzw. kj0 und Frequenz ωj . Abweichungen von ebenen Wellen werden durch die räumlich variierenden Amplituden Aωj (~r) und Pωj (~r) beschrieben [6]. Einsetzen in die nichtlineare Wellengleichung (12) liefert
ωj2
∂2
∂
2
2
Aωj (~r) + 2ikj ∂z Aωj (~r) − kj Aωj (~r) + v2 Aωj (~r) + ∇T Aωj (~r) + k.k.
∂z 2
ωj
= − 4π
ω 2 Pωj (~r) exp (i∆k · z) + k.k.
c2 j
(21)
mit der Phasenfehlanpassung ∆k = kj0 − kj . Der Laplace-Operator wurde hierbei durch einen Anteil in z-Richtung und einen transversalen Anteil dargestellt
∂2
∂2
∂2
2
2
4 = ∂z
2 + ∇T mit ∇T = ∂x2 + ∂y 2 . Zusätzlich wird die Näherung der langsam
variierenden Einhüllenden verwendet
∂
∂2
Aωj (~r)
∂z2 Aωj (~r) kj ∂z
(22)
∂2
∂z2 Pωj (~r) kj0
∂
∂z
Pωj (~r) .
Dies bedeutet, dass Änderungen der Amplituden Aωj (~r) und Pωj (~r) auf einer Längenskala in z stattfinden, welche viel größer als die Wellenlänge ist. Unter dieser
Annahme kann der erste Term in Gleichung (21) vernachlässigt werden. Die Terme
drei und vier addieren sich unter Verwendung der Dispersionsrelation ωj /vωj = kj
zu Null. Damit ergibt sich die paraxiale Wellengleichung
4πωj2
∂
2
2ikj Aωj (~r) + ∇T Aωj (~r) = − 2 Pωj (~r) exp (i∆k z) .
∂z
c
3.3.2
(23)
Gauss’sche Strahlen
Für verschwindenden Quellterm Pωj (~r) ergeben sich als Lösung der paraxialen
Wellengleichung (23) frei propagierende Wellen, die sich darstellen lassen durch
[6]
w0
−r2
ikr2
Aωj (~r) = A0
exp
exp
exp (iΦ (z)) .
(24)
w (z)
2R (z)
w (z)2
In Abbildung 3 sind die einzelnen Komponenten von Gl. (24) veranschaulicht. A0
ist die Maximalamplitude
der Welle. Das transversale Profil wird durch die Gauss
r2
funktion exp − w(z)2 beschrieben, weshalb diese Lösungen auch als Gauss’sche
Strahlen bezeichnet werden. Der 1/e-Radius der Feldverteilung ist durch die zabhängige Größe w(z) gegeben
10
3
NICHTLINEARE OPTIK
s
w (z) = w0
1+
λz
πw02
2
(25)
.
Hierbei bezeichnet λ die Wellenlänge des Strahls im Medium und w0 den Strahlradius an der Stelle z = 0. Von der so genannten Taille bei z = 0 ausgehend nimmt
der Radius mit steigendem z monoton zu. Für große z lässt sich der Strahlradius
w nähern durch w(z) ≈ πλwz0 . Der Strahl divergiert daher wie ein Kegel mit halbem
Öffnungswinkel
λ
θ=
.
(26)
π w0
2
ikr
) in Gleichung (24) bewirkt eine Abweichung
Der zweite Exponentialterm exp( 2R(z)
der Wellenfronten von ebenen Flächen. Die Größe R(z) stellt den Krümmungsradius dieser Wellenfronten dar
2 2 !
πw0
R (z) = z 1 +
.
(27)
λz
Bei der Strahltaille mit z = 0 wird der Krümmungsradius ∞ was einer ebenen Wellenfront entspricht.
Von besonderer Bedeutung für die Erzeugung höherer Harmonischer ist die GouyPhase Φ (z), die bei der Propagation durch den Fokus ihr Vorzeichen von + π2 nach
− π2 wechselt.
λz
.
(28)
Φ (z) = − arctan
πw02
ð
2ù(z1)
? (z)
ù(z)
? (z)
2ù0
R(z1)
fokussierter
Gauss‘scher
Strahl
Fokus
z1
z
ð
Abbildung 3: Schematische Darstellung eines fokussierten Gauss’schen Strahls.
11
3
NICHTLINEARE OPTIK
Der Gauss’sche Strahl ist bei bekannter Wellenlänge λ durch die Parameter Maximalamplitude A0 , Richtung bzw. Strahlachse, Position der Strahltaille und Taillenradius ω0 vollständig beschrieben. Ein in z-Richtung propagierender Gauss’scher
Strahl mit Strahltaille bei z = 0 lässt sich auch darstellen durch
!
A0
r2
.
(29)
Awj (~r) =
exp − 2
1 + i 2zb
w0 1 + i 2zb
Diese weniger anschauliche Form ist äquivalent zu (24) und wird wegen der mathematisch besseren Anwendbarkeit im Folgenden verwendet. Der konfokale Parameter b = kw02 ist ein Maß für die longitudinale Ausdehnung des Fokuses. Bei
einem
√ Abstand von z = b/2 vom der Strahltaille ist der 1/e -Radius auf einen Wert
von 2ω0 angewachsen. Die Größe b/2 wird auch als Rayleighlänge bezeichnet.
3.3.3
Erzeugung höherer Harmonischer mit fokussierten Gauss’schen Strahlen
Die paraxiale Wellengleichung für die j-te Harmonische mit ωj = j ω lautet
2ikj
∂
4π(jω)2 (j) j
Ajω (~r) + ∇2T Ajω (~r) = −
χ Aω (~r) exp (i∆k · z)
∂z
c2
(30)
mit ∆k = j · k1 − kj .
Hierbei wurde die Amplitude der Polarisation gemäß Gl. (1) durch die Amplitude
der fundamentalen Welle Aω (~r) und der Suszeptibilität j-ter Ordnung χ(j) dargestellt [6]
Pjω (~r) = χ(j) Aωj (~r) .
(31)
Ist die fundamentale Welle ein fokussierter Gauss’scher Strahl der Form (29), ergibt
sich als Lösung für Gleichung (30)
!
j r2
Ajω (z)
.
exp − 2
(32)
Ajω (r, z) =
1 + i 2zb
w0 1 + i 2zb
Dabei wurde angenommen, dass das eingestrahlte Feld durch die Frequenzkonversion nicht abgeschwächt wird. Gleichung (32) beschreibt ebenfalls einen Gauss’√
schen Strahl mit dem gleichen konfokalen Parameter b und einer um den Faktor j
verringerten, transversalen Breite im Vergleich zur Fundamentalen. Durch Einsetzen in die paraxiale Wellengleichung (30) erhält man eine Bestimmungsgleichung
für die z-abhängige Amplitude Ajω (z)
∂Ajω (z)
i 2πjω (j) j exp(i∆k z)
=
χ Aω
j−1 .
∂z
njω c
1 + 2iz
b
12
(33)
3
NICHTLINEARE OPTIK
Die Amplitude der erzeugten Harmonischen ergibt sich dann durch Integration
über die Ausdehnung des Mediums von z0 bis z1
Ajω
i 2πjω (j) j
=
χ Aω
njω c
ˆz1
z0
exp(i∆k z 0 ) 0
dz .
0 j−1
1 + 2izb
(34)
Der für diese Arbeit relevante Fall ist der einer starken Fokussierung des Strahls. Befindet sich der Fokus innerhalb des Mediums und ist die longitudinale Fokusausdehnung klein gegenüber der Abmessung des Mediums, gilt: |z0 | , |z1 | b. In diesem Grenzfall können die Integrationsgrenzen näherungsweise durch ±∞ ersetzt
werden. Das Integral kann dann mit Hilfe des Residuensatzes ausgewertet werden
[13]. Dieser besagt, dass das Integral einer Funktion f (z) über eine geschlossene
Kurve C durch die Summe der Residuen Res(f, zk ) an den Singularitäten zk der
Funktion bestimmt ist.
˛
X
Res(f, zk ) .
(35)
Residuensatz: f (z) dz = 2πi
c
k
Der Integrand in Gl. (34) hat einen Pol der Ordnung j − 1 an der Nullstelle des
Nenners bei z0 = 2b i . Dafür lässt sich das Residuum berechnen über
Res(f, z0 ) = lim
0
z →z0
i
∂ j−2 h 0
1
j−1
0
(z
−
z
)
f
(z
)
0
(j − 2)! ∂z 0j−2
(36)
und ergibt
1
b
Res(f, z0 ) =
(j − 2)! 2i
∆k b
2
j−2
∆k b
exp −
2
.
(37)
Um den Residuensatz auf obiges Integral anwenden zu können, muss über eine
geschlossene Kurve integriert werden. Dabei bietet sich eine Unterscheidung nach
Vorzeichen der Phasenfehlanpassung ∆k an. Die verschiedenen Integrationswege
sind in Abbildung 4 veranschaulicht. Für ∆k < 0 verschwindet der Integrand auf einem Halbkreis in der negativen komplexen Halbebene, der +∞ mit −∞ verbindet.
Der Integrationsweg lässt sich daher auf diesem Halbkreis schließen ohne dabei
den Wert des Integrals zu verändern. Da die einzige Singularität des Integranden
in der positiven, komplexen Halbebene liegt, verschwindet das Integral somit nach
Gleichung (35) für ∆k < 0. Für positive Phasenfehlanpassung ∆k > 0 verschwindet der Integrand auf einem Halbkreis in der positiven Halbebene. Der über diesen
Halbkreis geschlossene Integrationsweg umschließt die Singularität bei z0 = b/2 · i.
Der Wert des Integrals ist daher durch das Residuum an der Stelle z0 bestimmt.
13
3
a
NICHTLINEARE OPTIK
b
z0 -
z0 -
-
-
+
+
Abbildung 4: Integrationswege für a) ∆k > 0 und b) ∆k < 0.
Für die Amplitude der j-ten Harmonischen ergibt sich damit
Ajω
i 2πjω (j) j
· χ Aω
=
njω c
(
0
b 2π
2 (j−2)!
b ∆k j−2
2
exp
− b ∆k
2
, für ∆k < 0
, für ∆k > 0 .
(38)
Für perfekte Phasenanpassung ∆k = 0 verschwindet der Exponentialterm des Integranden in (34). Damit liefert der Integrand einen Beitrag auf beiden Halbkreisen
in der komplexen Ebene und der Residuensatz ist nicht mehr anwendbar. Das Integral lässt sich allerdings in diesem Spezialfall für die verschiedenen Werte von j
analytisch lösen. Für die zweite Harmonische mit j = 2 ergibt sich ein Wert von
bπ/2. Die Amplitude der dritten Harmonischen mit j = 3 verschwindet für perfekte
Phasenanpassung. Aus (38) ergibt sich die Leistung Ljω der dritten Harmonischen
durch Integration über die transversale Intensitätsverteilung des Strahls zu
Ljω =
3.3.4
1
njω cw02 |Ajω |2 .
4j
(39)
Die zweite und dritte Harmonische
Für diese Arbeit sind nur die zweite und dritte Harmonische der fundamentalen
Laserstrahlung von Bedeutung. Daher sind die folgenden Betrachtungen auf die
Spezialfälle j = 2 und j = 3 beschränkt.
Die Abhängigkeit der erzeugten Amplitude A3ω der dritten Harmonischen von der
Phasenfehlanpassung ∆k im Grenzfall starker Fokussierung in ein homogenes Medium ist in Abbildung 5 gezeigt. Für ∆k < 0 verschwindet die Amplitude A3ω . Bei
perfekter Phasenanpassung ∆k = 0 steigt die dritte Harmonische an. Sie erreicht
ein Maximum bei ∆k = 2/b und fällt dann wieder für große Werte von ∆k auf Null
ab. Die zunächst verwunderliche Tatsache, dass bei Phasenanpassung keine dritte
Harmonische entsteht, ist auf den Verlauf der Gouy-Phase Φ (z) (vgl. Abbildung 3)
des Gauss’schen Strahls zurückzuführen.
14
NICHTLINEARE OPTIK
A3ù in bel. Einheiten
3
1
normale Dispersion
0
-8
-4
0
8
4
? k·b
Abbildung 5: Amplitude der erzeugten dritten Harmonischen in Abhängigkeit von
∆k b im Grenzfall sehr stark fokussierter Laserstrahlen.
Um den relevanten Bereich von ∆k zu bestimmen, wird dessen Abhängigkeit von
der fundamentalen Wellenlänge λω und den Brechungsindizes nω und n3ω der Fundamentalen bzw. der dritten Harmonischen ermittelt. Es gilt
∆k = 3 kω − k3ω
= 3 2πλωnω −
2π n3ω
λ3ω
(40)
= 3 λ2πω (nω − n3ω ) .
n(? *)
Für normale Dispersion ist der Brechungsindex der dritten Harmonischen n3ω größer als der Brechungsindex der Fundamentalen nω , wie in Abbildung 6 verdeutlicht
wird. Folglich ist in diesem Fall ∆k < 0. Es entsteht keine dritte Harmonische.
anormale
Dispersion
n(3? )
n(? )
1
?0
normale
Dispersion
?*
normale
Dispersion
Abbildung 6: Schematische Darstellung der Abhängigkeit des Brechungsindex n
von der Frequenz ω ∗ . Bei ω0 befindet sich eine Resonanz des Mediums.
15
3
NICHTLINEARE OPTIK
A2? in bel. Einheiten
Wie in Abbildung 6 dargestellt, tritt anormale Dispersion im Bereich von Resonanzen auf. Die nichtlinear optische Mikroskopie soll im Rahmen dieser Arbeit
auf transparente Medien fernab von Resonanzen angewandt werden. Diese weisen normale Dispersion auf.
In Abbildung 7 ist die Abhängigkeit der erzeugten zweiten Harmonischen Amplitude A2ω von der Phasenfehlanpassung gezeigt. Für ∆k < 0 wird keine zweite Harmonische erzeugt. Im Fall perfekter Phasenanpassung entsteht eine zweite Harmonische, die für ∆k infinitesimal größer als 0 den doppelten Wert erreicht. Mit
wachsender Phasenfehlanpassung fällt A2ω dann exponentiell ab und verschwindet für große Werte von ∆k.
1
0.5
normale Dispersion
0
-8
-4
0
4
8
Äk·b
Abbildung 7: Abhängigkeit der erzeugten zweiten Harmonischen von ∆k b im
Grenzfall sehr stark fokussierter Laserstrahlen.
Wie obige Betrachtungen gezeigt haben, entsteht bei einer starken Fokussierung
des Laserstrahls in ein homogenes Medium normaler Dispersion weder ein Signal
bei der zweiten, noch bei der dritten Harmonischen der Grundfrequenz.
3.3.5
Vibration Diagrams
Um den allgemeinen Fall einer Fokussierung in ein Medium beliebiger Ausdehnung zu veranschaulichen, bieten sich so genannte “vibration diagrams” an [14,
15, 16]. Dazu werden die einzelnen infinitesimalen Beiträge des Integrals aus Gl.
(34) als Vektoren in der komplexen Ebene dargestellt. Durch Addition dieser Vektoren ergibt sich eine Kurve, die als “vibration diagram” bezeichnet wird. Der Vektor
vom Startpunkt zum Endpunkt der Kurve ist proportional zur resultierenden komplexen Amplitude der j-ten Harmonischen. Füllt das Medium den Raum zwischen
zwei Punkten z1 und z2 aus, so lässt sich die Amplitude durch den Vektor zwischen
den zu z1 und z2 gehörenden Punkten auf der Kurve mit dem entsprechenden Vorfaktor aus Gl.(34) bestimmen. Die Diagramme für die Erzeugung der zweiten und
16
3
NICHTLINEARE OPTIK
dritten Harmonischen sind in Abbildung 8 für verschiedene Werte der Phasenfehlanpassung ∆k dargestellt [14]. Der Fokus des erzeugenden Gauss’schen Strahls befindet sich im Ursprung bei z = 0.
z=0
a
z=-b/2
SHG b
THG
z=0
z=b/2
c
z=+
z=+/-
8
8
z=-
SHG d
z=0
8
z=b/2
z=-b/2
THG
z=0
?k>0
?k>0
?k<0
?k=0
?k<0
8
z=+
8
?k=0
z=+
Abbildung 8: “Vibration diagrams” für die Erzeugung a) der zweiten Harmonischen
und b) der dritten Harmonischen bei perfekter Phasenanpassung ∆k = 0 und Abweichung der Diagramme bei Phasenfehlanpassung ∆k 6= 0 für c) die zweite Harmonische und d) die dritte Harmonische nach [14].
In a) ist die Erzeugung der zweiten Harmonischen für perfekte Phasenanpassung
∆k = 0 gezeigt. Für ein unendlich ausgedehntes Medium ergibt sich die Amplitude
der zweiten Harmonischen durch den Vektor, der die Punkte z = −∞ mit z = +∞
verbindet. Maximal wird die zweite Harmonische, wenn das Medium einen kompletten Halbraum z > 0 oder z < 0 ausfüllt. Da sich die Punkte zu z = ±∞ in
unendlichem Abstand zum Punkt bei z = 0 befinden, entsteht ein unendlich langer Amplitudenvektor. Dieses unphysikalische Ergebnis resultiert aus der Annahme, dass der fundamentale Strahl bei der Frequenzkonversion nicht abgeschwächt
wird.
Das Diagramm für die Erzeugung der dritten Harmonischen bei ∆k = 0 ist in b)
dargestellt. Die Kurve bildet einen Kreis. Für ein unendlich ausgedehntes Medium
17
3
NICHTLINEARE OPTIK
verschwindet somit die erzeugte Amplitude. Dies entspricht dem Resultat aus Abschnitt 3.3.4. Ausgehend von einem Medium, dessen Ausdehnung viel kleiner ist
als die doppelte Rayleighlänge und welches symmetrisch zum Ursprung angeordnet ist, steigt das erzeugte Signal mit wachsender Ausdehnung zunächst an. Die
Amplitude der dritten Harmonischen wird maximal bei einer Ausdehnung, die der
doppelten Rayleighlänge 2 (b/2) entspricht. Anschließend fällt sie wieder ab. Erstreckt sich das Medium über den negativen oder positiven Halbraum z < 0 oder
z > 0, wird ebenfalls ein maximales Signal erzeugt.
Die Abweichungen der Diagramme bei Phasenfehlanpassung ∆k 6= 0 sind in den
Abbildungen 8 c) und d) gezeigt. Hier wurde das Integral aus Gründen der Übersichtlichkeit nur über den positiven Halbraum ausgeführt. Das Diagramm für eine
Integration über den Bereich z < 0 ergibt sich durch Spiegelung an der Vertikalen
durch den Punkt z = 0. Eine Abweichung von der Phasenanpassung beeinflusst die
Krümmung der Kurven. Dabei hängt der Effekt vom Vorzeichen der Phasenfehlanpassung ∆k ab. Eine negative Phasenfehlanpassung führt zu einer Verstärkung der
Krümmung. Die Kurven werden spiralförmig gebogen und die Punkte für z = ±∞
werden aufeinander abgebildet. Im unendlich ausgedehnten Medium mit ∆k < 0
werden somit weder zweite noch dritte Harmonische erzeugt. Eine positive Phasenfehlanpassung ∆k > 0 bewirkt zunächst eine Kompensation der Krümmung
und anschließend eine Krümmung in entgegengesetzter Richtung. Dies führt dazu, dass bei der Erzeugung der zweiten Harmonischen die Punkte zu z = ±∞ für
eine infinitesimal positive Phasenfehlanpassung zunächst einen größeren Abstand
haben als bei perfekter Phasenanpassung. Somit entsteht ein doppeltes Signal (vgl.
Abbildung 7). Bei der Erzeugung der dritten Harmonischen liegen die Punkte zu
z = ±∞ nicht mehr aufeinander. Daher wird zunächst ein Signal erzeugt. Dieses
erreicht ein Maximum bei ∆k = 2/b. Anschließend bewegen sich die Punkte wieder aufeinander zu. Das Signal nimmt ab und verschwindet für eine große positive
Phasenfehlanpassung (vgl. Abbildung 5).
Nun soll die Erzeugung der dritten Harmonischen bei einer Fokussierung des Laserstrahls auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien untersucht werden. Zur Veranschaulichung sind in Abbildung 9 “vibration diagrams” für negative Phasenfehlanpassung ∆k gezeigt [16]. Dabei wurde für ∆k eine realistische Größenordnung
gewählt, wie sie beispielsweise in Quarzglas auftritt. Die Teile des Diagramms für
den positiven und den negativen Halbraum sind zur besseren Übersicht separat
dargestellt. In a) ist die Fokussierung des Laserstrahls in ein homogenes, unendlich ausgedehntes Medium gezeigt. Die blauen Pfeile stellen die Amplitude der in
dem jeweiligen Teilraum erzeugten dritten Harmonischen dar. Beide Vektoren haben den gleichen Betrag, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Die Summe
dieser Vektoren verschwindet somit. In b) ist die Fokussierung auf eine Grenzfläche zweier Medien dargestellt. Unterscheiden sich die Medien in ihren Suszeptibilitäten dritter Ordnung χ(3) oder im Brechungsindex n, werden nach Gl. (34) unterschiedlich hohe Amplituden erzeugt. Dies ist an den verschiedenen Beträgen
beider Vektoren zu erkennen. Die Summe der Amplituden ergibt somit einen Wert
ungleich Null.
18
3
NICHTLINEARE OPTIK
÷1
(3)
÷1
(3)
÷2
8
-
8
8
8
(3)
z=0
z=0
-
z=0
8
b -
8
z=0
8
a -
8
Für die Erzeugung der zweiten Harmonischen mit realistischer negativer Phasenfehlanpassung zeigen die “vibration diagrams” einen ähnlichen Verlauf. Auch hier
entsteht ein Signal an Grenzflächen zwischen Medien mit unterschiedlichen χ(2)
oder Brechungsindizes n. Dieser Effekt ermöglicht die Detektion von Grenzflächen
mit der Erzeugung der zweiten und dritten Harmonischen.
Abbildung 9: “Vibration diagrams” für die dritte Harmonische mit ∆k < 0 für a) Fokussierung des Laserstrahls in ein homogenes, unendlich ausgedehntes Medium
normaler Dispersion, b) Fokussierung auf eine Grenzfläche zweier Medien nach
[16].
3.3.6
Simulationen
Im folgenden Abschnitt werden einige Simulationen zur Erzeugung der zweiten
und dritten Harmonischen in normal dispersiven Medien diskutiert. Diese sollen
das Potential der genannten Effekte für mikroskopische Anwendungen demonstrieren. Abbildung 10 a) zeigt die Simulation einer Fokussierung des Laserstrahls in
ein homogenes Medium (blaugrau). Die Abmessung des Mediums ist groß gegenüber der Rayleighlänge b/2, sodass die Integrationsgrenzen in Gl. (34) näherungsweise durch ±∞ ersetzt werden können. Zur Veranschaulichung der bis zu einer
beliebigen Stelle z im Medium erzeugten dritten Harmonischen wurde das Integral für j = 3 in den Grenzen −∞ und z ausgeführt. Blau dargestellt ist die aus Gl.
(39) resultierende Leistung in Abhängigkeit von z. Die Position ist hier in Einheiten des konfokalen Parameters b aufgetragen. Zu erkennen ist, dass vor dem Fokus zunächst ein Signal erzeugt wird. Dieses steigt an und erreicht sein Maximum
im Fokus des erzeugenden Laserstrahls. Aufgrund der Homogenität des Mediums
entsteht hinter dem Fokus eine gleich starke Amplitude, die allerdings durch den
19
3
NICHTLINEARE OPTIK
Einfluss der Gouy-Phase destruktiv mit der bereits erzeugten Amplitude interferiert. Daher sinkt die erzeugte Leistung. Beim Austritt des Strahls aus dem Medium
verschwindet die dritte Harmonische (vgl. Abschnitt 3.3.5).
a
b
Dritte Harmonische Leistung
-1
fokussierter
Gauss‘scher
Strahl
Fokus
÷1
(3)
1
z/b
Dritte Harmonische Leistung
-1
fokussierter
Gauss‘scher
Strahl
Fokus
1
z/b
÷1(3) ÷ 2(3)
Abbildung 10: Simulation der Erzeugung der dritten Harmonischen mit einem fokussierten Gauss’schen Strahl (rot). a) Der Fokus befindet sich im Zentrum eines
homogenen Mediums mit normaler Dispersion. b) Der Fokus befindet sich auf einer Grenzfläche zwischen zwei Medien. Die blaue Kurve stellt die Leistung der bis
zur Position z erzeugten dritten Harmonischen dar.
In Abbildung 10 b) ist die Simulation einer Fokussierung des Laserstrahls auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien gezeigt. Die Suszeptibilität des ersten Medi(3)
(3)
ums χ1 beträgt dabei das fünffache der Suszeptibilität des zweiten Mediums χ2 ,
während die Brechungsindizes identisch gewählt wurden. Das Integral aus Gl. (34)
wurde in den Bereichen z0 = −∞ bis z1 = 0 und z0 = 0 bis z1 = ∞ getrennt berechnet. Beide Integrale wurden dann gemäß Gl. (34) mit der Suszeptibilität dritter
Ordnung χ(3) des jeweiligen Mediums gewichtet. Die erzeugte Leistung ergibt sich
dann aus Gl. (39). Vor dem Fokus entspricht diese dem homogenen Fall. Das Signal (blau) steigt an und erreicht im Fokus ein Maximum. Die Amplitude der hinter
dem Fokus erzeugten dritten Harmonischen hat aufgrund des Unterschieds in χ(3)
einen geringeren Betrag, weshalb es nicht zur vollständigen Auslöschung kommt.
Beim Austritt des Strahls aus dem zweiten Medium resultiert somit eine dritte Harmonische. Die Höhe des erzeugten Signals hängt vom Unterschied der Suszeptibilitäten dritter Ordnung ab. Dieser bestimmt den Kontrast einer Abbildung, die
mit der Erzeugung der dritten Harmonischen erstellt wird. Durch Unterschiede im
Brechungsindex kann der Kontrast zusätzlich beeinflusst werden. Beide Simulationen wurden ebenfalls für die zweite Harmonische durchgeführt. Die Kurven zeigen
den gleichen qualitativen Verlauf wie bei der dritten Harmonischen.
Während die in Abbildung 10 gezeigten Simulationen von unendlich ausgedehnten
Medien ausgingen, wird im Folgenden der Einfluss einer endlichen Breite auf die
Erzeugung der dritten Harmonischen untersucht. Abbildung 11 a) zeigt die Simulation einer Fokussierung des Laserstrahls auf ein Medium (Medium 2) der Breite 5 b.
Außerhalb dieses Bereichs befindet sich ein Medium (Medium 1) mit verschwin20
3
NICHTLINEARE OPTIK
z/b
-2,5
2,5
Medium 2
Medium 1
b
Medium 1
THG Leistung in bel. Einh.
Medium 2
Medium 1
a
Medium 1
THG Leistung in bel. Einh.
dender Suszeptibilität dritter Ordnung. Die Brechungsindizes sind in allen Raumbereichen identisch gewählt. Dargestellt ist die Leistung der erzeugten dritten Harmonischen (blau) in Abhängigkeit von der Fokusposition. Die Position ist in Einheiten des konfokalen Parameters b angegeben. Zu erkennen sind zwei Maxima an
den beiden Oberflächen. Im Zentrum sowie außerhalb des Mediums verschwindet
das Signal. Die Halbwertsbreite (engl. Full Width at Half Maximum, FWHM) beider
Maxima wurde durch Lorentz-Fit an die simulierten Datenpunkte bestimmt und
beträgt jeweils (0,928 ± 0,003) b. Aufgrund der Abhängigkeit von der fundamentalen Intensität zur dritten Potenz wird das Signal hauptsächlich im Fokusbereich,
wo die Intensität sehr hoch ist, erzeugt. Diese Eigenschaft ermöglicht die Detektion von Oberflächen innerhalb des Fokusbereichs.
Verringert man die Breite des Mediums, wird auch der Abstand der Signale entsprechend kleiner. Für Abstände im Bereich der Halbwertsbreite verschmelzen beide Maxima. Dies ist in Abbildung 11 b) veranschaulicht. Die Breite des Mediums
beträgt b, welches näherungsweise der Halbwertsbreite der Signale entspricht. Es
sind noch zwei Maxima zu erkennen, die jedoch nicht mehr exakt an den Oberflächen lokalisiert sind. Für ein noch dünneres Medium 2 ergibt sich nur noch ein
Maximum. Bei mikroskopischen Anwendungen ist die Auflösung daher durch die
Halbwertsbreite bestimmt. Nur Grenzflächen, deren Abstand größer als 0,928 b ist,
können getrennt detektiert werden. Ähnlich verhält es sich mit der transversalen
√
Auflösung. Diese ist durch den Taillenradius der dritten Harmonischen w0 / 3 bestimmt.
Entsprechende Simulationen für die zweite Harmonische ergeben eine Halbwertsbreite von (2,937 ± 0,030) b. Die höhere Breite verglichen mit der dritten Harmonischen ist auf die quadratische Abhängigkeit von der fundamentalen Intensität zurückzuführen. Mit der dritten Harmonischen lassen sich Grenzflächen daher besser lokalisieren.
z/b
-2,5
-0,5
0,5
2,5
Abbildung 11: Abhängigkeit der erzeugten dritten Harmonischen von der Fokusposition bei Fokussierung auf ein endlich ausgedehntes Medium (Simulation). a)
Für ein Medium der Breite 5 b , b) für ein Medium der Breite b.
21
4
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Experimenteller Aufbau
Spannungsquelle
2.7nV
0.7 kV
Spannung
Signal
-128.7
PMT
Lock- In Verstärker
Lichtquelle
270 nm
Interferenzfilter
HT 270 nm
Signal
HR 270 nm
HR 270 nm
Referenz
532 nm
Kondensor
Tsunami
Probe
Millenia
z
Objektiv
Steuerung
x
f2
f1
y
HR 810 nm
810 nm
f1
Chopper
f2
CCD-Kamera
Galvo-Scanner
Bild
Spektrometer
Bild
0.6 W
Powermeter
Autokorrelator
Abbildung 12: Schema des experimentellen Aufbaus.
Der in Kapitel 3.3.4 beschriebene Effekt der Erzeugung dritter Harmonischer mit
fokussierten Gauss’schen Strahlen wird genutzt, um Grenzen zwischen verschiedenen transparenten Medien zu visualisieren. Wie in 3.3.4 dargestellt, können auf
diese Weise sowohl Unterschiede im Brechungsindex, als auch in der Suszeptibilität dritter Ordnung χ(3) detektiert werden. Der Fokus eines Laserstrahls wird
dazu dreidimensional relativ zur Probe bewegt. Durch eine dritte Harmonische
werden Grenzflächen zwischen zwei Medien signalisiert, wodurch die Struktur der
Probe abgebildet werden kann. Außerdem soll der Aufbau zur Untersuchung von
Mischungsprozessen verschiedener Flüssigkeiten verwendet werden. Da keine zusätzliche Dynamik erzeugt werden soll, ist eine Bewegung der Probe zu vermeiden. Stattdessen wird der Laserstrahl dreidimensional durch die Probe gescannt.
22
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Der Abbildungsprozess soll in kurzer Zeit sehr oft wiederholt werden, um ein Betrachten der Dynamik von Mischprozessen in Realzeit zu ermöglichen. Zusätzlich
wird der abgescannte Bereich vergrößert auf einer CCD-Kamera abgebildet, was
zur Orientierung innerhalb der Probe dient. In Abbildung 12 ist der verwendete
Aufbau gezeigt. Die einzelnen Komponenten werden in den folgenden Unterkapiteln näher erläutert.
4.1
Das Lasersystem
Wie in Abschnitt 3 beschrieben, sind zur effizienten Erzeugung höherer Harmonischer hohe Intensitäten der fundamentalen Strahlung erforderlich. Diese Intensitäten lassen sich durch Verwendung ultrakurzer Laserpulse mit hoher Spitzenleistung erreichen. Hierzu wird in dieser Arbeit ein Femtosekunden Lasersystem mit
zeitlichen Pulsbreiten (engl. Full Width at Half Maximum, FWHM) im Bereich von
120 fs verwendet. Das System besteht aus dem Titan:Saphir Laser Tsunami und
dem NdYVO Pumplaser Millenia V, der Firma Spectra Physics. Ausgangsstrahlung
des Titan:Saphir Lasers ist ein Pulszug mit einer Repetitionsrate von 82 MHz und
einer mittleren Leistung von ca. 0,5 W bei einer Zentralwellenlänge von 810 nm. Der
1/e2 Durchmesser der abgestrahlten Leistung beträgt D ≈ 2 mm.
4.1.1
Funktionsweise
Die Zentralwellenlänge des Tsunami ist durchstimmbar von 760 nm bis 840 nm.
Dazu werden die longitudinalen Moden im Resonator mit Hilfe der Prismen P 1
und P 4 räumlich getrennt, wie in Abbildung 13 schematisch dargestellt [17]. Mit
einem beweglichen Spalt lässt sich dann die Zentralwellenlänge auswählen. Außerdem ist die Breite des Spaltes variabel, was eine Änderung der Frequenzbandbreite
∆ν der Pulse ermöglicht. Über Fouriertransformation ist die zeitliche Pulsbreite ∆t
mit der Frequenzbandbreite verknüpft und erfüllt die Ungleichung
∆ν ∆t ≥ const .
(41)
Die Konstante hängt dabei von der Pulsform ab und entspricht für gaussförmige
Pulse einem Wert von 0,441 [17]. Eine Variation der spektralen Breite ermöglicht
somit auch eine Veränderung der Pulsdauer ∆t. Pulse, die bei gegebener Bandbreite eine minimale zeitliche Dauer erreichen, werden als Fourier-limitiert bezeichnet. Ein stabiler gepulster Betrieb über einen längeren Zeitraum wird durch regeneratives Modenkoppeln mittels eines akustooptischen Modulators (AOM) erzielt
[17]. Erreicht eine longitudinale Mode den AOM, so werden Seitenbänder mit um
2ωAOM verschobener Frequenz erzeugt wobei ωAOM die Frequenz beschreibt, mit
der der AOM getrieben wird. Erfüllen die Seitenbänder die Resonatorbedingung
2ωAOM = c/2L mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Resonatorlänge L,
23
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
entstehen somit phasengekoppelte longitudinale Moden im Resonator. Diese interferieren konstruktiv an einer Stelle im Resonator und destruktiv an allen anderen Stellen, wodurch ein Puls entsteht. Die Repetitionsrate ergibt sich aus der Zeit
t = 2L/c, die ein Puls für einen kompletten Umlauf im Resonator benötigt. Im Tsunami beträgt diese Zeit 12,2 ns, was einer Repetitionsrate von 82 MHz entspricht.
Bei der Technik des regenerativen Modenkoppelns wird die Treiberfrequenz ωAOM
direkt aus der Resonatorlänge bestimmt. Eine Fotodiode detektiert das im Resonator umlaufende Signal. Handelt es sich dabei bereits um Pulse, so kann die AOMFrequenz mittels der Repetitionsrate ermittelt werden. Läuft der Laser anfänglich
noch nicht im gepulsten Betrieb, so entstehen trotzdem Beatsignale zwischen benachbarten longitudinalen Moden. Diese sind wiederum mit der Frequenz c/2L
moduliert, was der Repetitionsrate im gepulsten Betrieb entspricht. Ein besonderer Vorteil des regenerativen Modenkoppelns ist, dass die AOM-Frequenz automatisch an die Resonatorlänge angepasst wird. Dies gewährleistet auch bei Veränderung der Resonatorlänge, beispielsweise durch thermische Effekte, einen stabilen
gepulsten Betrieb.
P2
P3
P1
P4
Selektionsspalt
Abbildung 13: Schematische Darstellung der Wellenlängenselektion und der Kompensation von pulsverbreiternden Effekten im Laserresonator.
Verschiedene Effekte können zur Verbreiterung der Pulse führen. Von großer Bedeutung ist die Gruppengeschwindigkeitsdispersion. Beim der Propagation durch
ein Medium unterscheiden sich der Brechungsindex und dessen Steigung für die
verschiedenen spektralen Komponenten des Pulses. Diese propagieren daher mit
unterschiedlichen Gruppengeschwindigkeiten, was zu einem auseinander laufen
der Frequenzen führt. Eine solche Änderung der Frequenz über den Verlauf des
Pulses wird als gechirpter Puls bezeichnet. Ein weiterer Effekt, der für kurze Laserpulse eine Rolle spielt, ist die Selbstphasenmodulation. Aufgrund der nichtlinearen
Wechselwirkung eines intensiven Laserpulses mit einem Medium entsteht ein intensitätsabhängiger Brechungsindex. Dieser führt zur Frequenzvariation über den
Verlauf des Pulses. Wie bei der Gruppengeschwindigkeitsdispersion entsteht dadurch ein gechirpter Puls. Zur Kompensation dieser Effekte werden die Dispersionsprismen P 2 und P 3 verwendet. Die verschiedenen Wellenlängen legen innerhalb der Prismen unterschiedliche optische Weglängen zurück. Durch Variation der Prismenposition können somit Gruppengeschwindigkeitsdispersion und
24
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Selbstphasenmodulation verschiedener Stärke ausgeglichen werden. Auf diese Weise lassen sich Pulslängen in der Nähe des Fourierlimits erzielen.
4.1.2
Bestimmung der zeitlichen Pulsbreite
Zur Abschätzung der Signalstärke der dritten Harmonischen ist die Kenntnis der
zeitlichen Pulslänge der fundamentalen Strahlung erforderlich. Außerdem kann
durch Überprüfung der Pulslänge eine optimale Konfiguration der Dispersionsprismen und der Spaltbreite ermittelt werden. Da herkömmliche Messgeräte wie
Fotodioden aufgrund ihrer langsamen Anstiegszeiten (bestenfalls im Bereich weniger ns) Pulsbreiten im fs-Bereich nicht auflösen können, muss auf die Methode der Autokorrelation zurückgegriffen werden [18]. Dazu wurde im Rahmen einer Bachelorarbeit ein “Einzelschuss-Autokorrelator” aufgebaut [19]. Der Aufbau
ist schematisch in Abbildung 14 dargestellt.
Tsunami
810 nm
50:50-Strahlteiler
BBO-Kristall
3°
Interferenzfilter
HT 405
405nm
CCD-Kamera
Abbildung 14: Schema eines “Einzelschuss-Autokorrelators” zur Vermessung der
zeitlichen Pulsbreite.
Der Laserstrahl wird dabei mittels eines Strahlteilers in zwei gleiche Anteile aufgespalten. Beide Teilstrahlen durchlaufen die gleiche optische Weglänge und werden
anschließend unter einem Winkel von etwa 3◦ in einem Beta-Bariumborat(BBO)Kristall gekreuzt. Nur bei einer zeitlichen und räumlichen Überlagerung beider
Strahlen entsteht im BBO-Kristall die zweite Harmonische der eingehenden Laserstrahlung in Richtung der Winkelhalbierenden. Die relative zeitliche Verschiebung
beider Strahlen ist im Schnittpunkt Null und nimmt aufgrund des Winkels in transversaler Richtung zu. Somit hängt die Breite des Überlagerungsbereichs von der
zeitlichen Dauer der Pulse ab. Wie in Abbildung 15 dargestellt, führt eine längere
Pulsdauer ∆t daher zu einem größeren Überlagerungsbereich. Über die transversale Ausdehnung des erzeugten Strahls mit der zweiten harmonischen Frequenz
kann somit auf die Pulslänge geschlossen werden.
25
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Aufgrund der verschiedenen Propagationsrichtungen kann die zweite Harmonische in ausreichend großer Entfernung vom BBO-Kristall, getrennt von der Fundamentalen, detektiert werden. Ein solcher Aufbau wird auch als untergrundfreier
Autokorrelator bezeichnet [18]. Um Streulicht aus der Umgebung sowie verbleibende Anteile der Fundamentalen herauszufiltern, wird ein schmalbandiger Interferenzfilter mit einem Transmissionsmaximum bei 405 nm verwendet. Die zweite
Harmonische wird anschließend auf einer CCD-Kamera abgebildet.
a
b
?t
?t
?t
BBO
r
esse
Stra
r
esse
chm
ldur
chm
ldur
h
h
Stra
Abbildung 15: Erzeugung der zweiten Harmonischen im Überlagerungsbereich
beider Strahlen (schematische Darstellung). a) für eine geringe Pulsbreite ∆t der
Fundamentalen, b) für eine hohe Pulsbreite der Fundamentalen.
In Abbildung 16 (links) ist das CCD-Bild des erzeugten Strahls der zweiten Harmonischen dargestellt. Der Schnittwinkel beider Teilstrahlen beträgt bei der Messung
2,5◦ ± 0,3◦ .
Spektrum
Gauss-Fit
~Ät
L e is tu n g in b e l. E in h e ite n
1 ,0
0 ,5
∆λF
W H M
=
(1 1 ,5 2 + /- 0 ,0 2 ) n m
0 ,0
8 0 0
Wellenlänge in nm
8 1 0
8 2 0
Abbildung 16: Links: CCD-Aufnahme der im BBO-Kristall erzeugten zweiten Harmonischen. Rechts: Spektrum des Laserstrahls.
26
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Die transversale Ausdehnung der zweiten Harmonischen wird durch Gauss-Fit an
die einzelnen Zeilen des Bildes und anschließendes Mitteln über alle Zeilen bestimmt. Aus dem ermittelten Wert lässt sich die zeitliche Breite des Pulses berechnen [19]. Es ergibt sich eine Halbwertsbreite von ∆tF W HM = 119 ± 12 fs. Abbildung
16 (rechts) zeigt ein Spektrum des Laserstrahls. Die Breite des Spektrums wurde
mittels Gauss-Fit an die Daten bestimmt. Daraus wurde das Fourierlimit gemäß Gl.
(41) unter der Annahme eines gaussförmigen Pulses berechnet. Es ergibt sich eine
minimale Halbwertsbreite von ∆tF ourier = 83,5 ± 0,2 fs. Der Abstand der tatsächlichen Pulsdauer vom Fourierlimit ist mit der Gruppengeschwindigkeitsdispersion
zu begründen und entspricht einer Wegstrecke von ca. 15 mm in Quarzglas.
4.2
Dreidimensionales Abrastern der Probe
Der Laserstrahl wird durch ein Mikroskopobjektiv auf die Probe fokussiert. Um ein
dreidimensionales Bild zu erhalten, muss der Fokus in drei Dimensionen über die
Probe verfahren werden. Das Abrastern in x-y-Richtung geschieht mit Hilfe eines
Galvo-Scanners. Durch Verfahren des Objektivs mit einem linearen Verschiebetisch kann der Fokus zusätzlich in z-Richtung bewegt werden. Somit ist die Abbildung verschiedener Ebenen der Probe möglich. Aus diesen Ebenen kann anschließend die dreidimensionale Struktur rekonstruiert werden.
4.2.1
Zweidimensionales Abrastern der Probe mit einem Galvo-Scanner
Zur zweidimensionalen Abrasterung der Probe wird der 2D-Galvo-Scanner OFH-5
der Firma Nutfield Technology verwendet. Dieser besteht aus zwei Spiegeln, welche in zueinander orthogonale Richtungen verkippbar sind. Dies geschieht mit
Hilfe von zwei Rotationsmotoren auf deren Drehachsen jeweils einer der Spiegel
montiert ist. Beide Motoren können über separate Treiberkarten unabhängig voneinander angesteuert werden, wodurch der Strahl in beliebiger Richtung in zwei
Dimensionen abgelenkt werden kann. Durch Variation der an den Treiberkarten
anliegenden Spannung im Bereich ±10 V lässt sich die Verkippung kontrollieren.
Der resultierende Winkel der Spiegel ist proportional zur Spannung und liegt im
Bereich ±11◦ . Daraus ergibt sich eine Ablenkung des Strahls um ±22◦ . Eine kleine
Verkippung von 1% des maximalen Winkels ist in 225 µs erreichbar. Bei Vergrößerung der Schrittweite wächst die Dauer näherungsweise linear mit dem Verkippungswinkel. Der Strahl erhält somit einen Winkel in x- und in y-Richtung was bei
der Fokussierung zu einer Verschiebung der Fokusposition in der entsprechenden
Richtung führt. Die Fokussierung des Strahls durch das Objektiv ist in Abbildung
17 veranschaulicht. Das Objektiv ist hierbei schematisch durch eine einfache Sammellinse mit der Brennweite fobj dargestellt. Ein parallel zur optischen Achse propagierender Strahl wird auf der optischen Achse fokussiert (Abbildung 17 a). Trifft
der Strahl unter einem Winkel α auf das Objektiv, verschiebt sich der Fokus um den
27
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Betrag d = fobj · tan α ≈ fobj · α senkrecht zur optischen Achse in der Fokalebene
(Abbildung 17 b). Die Verwendung der Näherung tan α ≈ α ist für die hier verwendeten kleinen Winkel von α < 2◦ (vgl. Abschnitt 4.2.3) gerechtfertigt.
Bei der Abrasterung kann prinzipiell zwischen zwei Modi unterschieden werden:
dem kontinuierlichen Scan und dem Punktscan. Beim kontinuierlichen Scan bewegt sich ein Spiegel mit konstanter Geschwindigkeit. Dies ist durch ein linear
ansteigendes Spannungssignal erreichbar. Durch Anlegen eines dreieckförmigen
Spannungssignals wird zunächst eine Linie der Probe abgescannt. Ist das Ende der
Linie erreicht, wird durch Variation des Signals am zweiten Spiegel eine neue Linie
angesteuert. Diese wird dann in umgekehrter Richtung abgefahren. Beim Punktscan liegt ein stufenweise ansteigendes Signal am ersten Spiegel an. Dadurch wird
die Probe Punktweise abgerastert.
z
a
b
z
d
Fokalebene
fobj
fobj
Objektiv
Abbildung 17: Fokussierung des Strahls durch das Objektiv, hier durch eine Sammellinse dargestellt, a) für einen parallel zur optischen Achse propagierenden
Strahl, b) für den Fall, dass der Strahl einen Winkel α mit der optischen Achse einschließt (schematische Darstellung).
4.2.2
Das Teleskop im 4f -Aufbau
Bei der in Abbildung 17 gezeigten Geometrie trifft der Strahl immer an der gleichen
Position auf das Objektiv. Dies ist ohne weitere optische Komponenten nicht möglich. Aufgrund der freien Propagation zwischen den galvanischen Spiegeln und der
Objektivöffnung erfährt der Strahl eine, vom Winkel abhängige Verschiebung von
der optischen Achse. Bei größer werdendem Winkel trifft somit ein zunehmend
größerer Teil des Strahls nicht mehr auf die Objektivöffnung. Abhilfe schafft ein
Teleskop im 4f -Aufbau, das in Abbildung 18 schematisch dargestellt ist. Mit der
Matrixmethode der geometrischen Optik [20] soll gezeigt werden, wie die Strahlposition sowie der Winkel an der Objektivöffnung durch das Teleskop beeinflusst
wird. Dabei wird der Laserstrahl durch einen zwei-komponentigen Vektor ~r = (r, α)
mit dem senkrechten Abstand zur optischen Achse r und dem Winkel α zwischen
28
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Strahl und optischer Achse charakterisiert. Jede optische Komponente wird durch
eine Matrix M repräsentiert, deren Einfluss auf den Strahl sich durch eine MatrixVektor-Multiplikation M · ~r ergibt. Den Einfluss mehrerer optischer Komponenten
M 1 ....M n erhält man durch Multiplikation der jeweiligen Matrizen M n · M n−1 · ... ·
M 1 . Die Matrixmethode gilt nur in der Paraxialnäherung für kleine Abstände r zur
optischen Achse und kleine Winkel α. Dies ist im Rahmen dieser Arbeit erfüllt.
L1
L2
optische Achse
z
obj
D
Dobj
f1
f1
f2
f2
Abbildung 18: Schematische Darstellung des Strahlverlaufs durch das Teleskop im
4f -Aufbau.
Im Teleskop treten zwei unterschiedliche optische Komponenten auf [20]
• die freie Propagation über eine Strecke L Mf rei =
• die Bikonvexlinse mit der Brennweite f MLinse =
1 L
0 1
1 0
− f1 1
,
.
Das Teleskop besteht aus einer freien Propagation um f1 von den galvanischen
Spiegeln zur ersten Teleskoplinse, der ersten Linse mit der Brennweite f1 , einer
Propagation zwischen den Linsen um f1 + f2 , der zweiten Teleskoplinse mit der
Brennweite f2 und schließlich der freien Propagation um f2 zum Objektiv. Daraus
ergibt sich die resultierende Matrix für das Teleskop
M T eleskop =
1 f2
0 1
·
1 0
− f12 1
1 0
1 (f1 + f2 )
1 f1
·
·
·
. (42)
− f11 1
0
1
0 1
Durch Matrixmultiplikation erhält man
M T eleskop =
− ff12
0
0 − ff12
!
(43)
29
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
und daraus den Strahlvektor ~robj am Objektiv in Abhängigkeit der Strahlparameter
nach dem Galvo-Scanner ~rgal = (rgal , αgal )
~robj = M T eleskop ~rgalv = (−
f2
f1
rgal , − αgal ) .
f1
f2
(44)
Befindet sich der Strahl an den galvanischen Spiegeln auf der optischen Achse, so
ist rgal = 0 und damit ~robj = (0, −f1 /f2 · αgal ) . Der Strahl trifft das Objektiv somit unabhängig vom Winkel αgal immer auf der optischen Achse. Der Winkel des Strahls
zur optischen Achse an der Objektivöffnung beträgt αobj = −f1 /f2 · αgal .
4.2.3
Der Abscannbereich
Der maximal zulässige Winkel αmax lässt sich ebenfalls mit Hilfe der Matrixmethode bestimmen. Dabei handelt es sich um den Winkel, unter dem die Teleskoplinsen
gerade noch getroffen werden. Für einen anfänglichen Strahldurchmesser D ergibt
sich die Position der Strahlränder an der ersten Linse
1 f1
0 1
D D
± 2 + α · f1
±2
=
·
α
α
(45)
und an der zweiten Linse
1 (f1 + f2 )
0
1
1
− f11
D
0
± 2 + α · f1
·
=
1
α
∓ D2
· ff21
∓ D2
+ α · f1
· f11
!
.
(46)
Die verwendeten Linsen L1 und L2 haben identische Durchmesser DL1 = DL2 .
Da für das Teleskop f2 > f1 gilt, wird die zweite Teleskoplinse in einem größeren
Abstand zur optischen Achse getroffen als die erste Linse. Der Durchmesser DL2
dieser Linse bestimmt somit den maximal zulässigen Winkel αmax
D f2
2 f1
+ αmax f1 =
DL2
2
(47)
⇒ αmax =
DL2
2f1
−
D f2
2 f12
.
Die verwendeten Parameter sind in Tabelle 1 aufgelistet. Es ergibt sich ein Winkel αmax = 5,2◦ , welcher nach Gl. (44) in einem Winkel von αobj−max = 1,7◦ an der
Objektivöffnung resultiert. Bei gegebenem Maximalwinkel αobj−max hängt die maximale Verschiebung des Fokus linear von der Objektivbrennweite ab. Durch Verwendung verschiedener Objektive, lassen sich somit unterschiedliche Abscannbereiche realisieren. Für die beispielhafte Objektivbrennweite von 10 mm ergibt
sich eine maximale Fokusverschiebung von 0,3 mm und ein Abscannbereich von
0,6 mm × 0,6 mm.
30
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Brennweite der ersten Teleskoplinse
f1
100 mm
Brennweite der zweiten Teleskoplinse
f2
300 mm
Strahldurchmesser
D
2 mm
DL1 = DL2
24 mm
αmax
±5,2◦
αobj−max
±1,7◦
Objektivbrennweite
fobj
10 mm
Maximale Verschiebung des Fokus
dmax
±0,3 mm
w0
0,9 µm
IF okus
8,8 · 1011 W/cm2
Durchmesser der Teleskoplinsen
Maximaler Winkel an den galvanischen Spiegeln
Maximaler Winkel am Objektiv
Fokusradius
Pulsintensität im Fokus
(bei einer mittleren Leistung von 200 mW)
Tabelle 1: Parameter für das zweidimensionale Abscannen der Probe.
Ein weiterer Vorteil des Teleskops ist die Vergrößerung des Strahldurchmessers. Aus
Gleichung (46) ergibt sich für den Durchmesser Dobj an der Objektivöffnung
Dobj = D
f2
.
f1
(48)
Der ursprüngliche Strahldurchmesser von D = 2 mm wird somit auf Dobj = 6 mm
erhöht, wodurch die Eintrittsöffnungen der verwendeten Objektive vollständig ausgeleuchtet werden. Dies führt zu einer Verkleinerung des Fokusradius w0 , welcher
gemäß Gleichung (26) dargestellt werden kann
w0 =
2 λ fObj
.
π DObj
(49)
Durch die Verkleinerung des Fokusradius um den Faktor 3 erhöht sich die Intensität I im Fokus auf das 9-Fache. Dies führt wiederum aufgrund der I 3 Abhängigkeit
der dritten Harmonischen auf ein 729-faches Signal.
4.2.4
Signalabschätzung
Für die in Tabelle 1 gegebenen Parameter wurde die Signalstärke der an der Grenzfläche zwischen Quarzglas und Luft erzeugten dritten Harmonische berechnet. Hierzu wurden die Gleichungen (34) und (39) verwendet. Da diese sich auf Esu-Einheiten
beziehen, mussten die Formeln, um in SI-Einheiten rechnen zu können, zunächst
entsprechend modifiziert werden [6]. Für Quarzglas wurde eine Suszeptibilität drit(3)
ter Ordnung von χQ = 2,52 · 10−22 m/V verwendet [6]. Die Suszeptibilität von Luft
31
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
(3)
wurde aufgrund ihres geringen Wertes von χL = 2,16 · 10−25 m/V vernachlässigt. In
Tabelle 3 sind verschiedene Parameter der dritten Harmonischen dargestellt.
Leistung pro Puls
84 mW
Energie pro Puls
10−14 J
Mittlere Leistung
0,0008 mW
Photonenzahl
13700
Tabelle 3: Berechnete Parameter der an der Oberfläche von Quarzglas erzeugten
dritten Harmonischen.
4.2.5
Verschiebung des Objektivs
Mit dem Galvo-Scanner lässt sich eine Ebene der Probe abrastern und durch die
erzeugte dritte Harmonische abbilden. Um verschiedene Ebenen darzustellen und
daraus die dreidimensionale Struktur der Probe rekonstruieren zu können, muss
der Fokus zudem in z-Richtung bewegt werden. Dazu ist das Objektiv in z-Richtung
verschiebbar gehaltert. Verwendet wird ein linearer Verschiebetisch der Firma Zaber
mit einem maximalen Verfahrbereich von 25,4 mm. Die kleinste Schrittweite beträgt 0,05 µm. Das Verfahren des Objektivs um eine bestimmte Strecke führt dabei
zur Verschiebung des Fokus um den gleichen Betrag. Hierbei ist zu beachten, dass
durch Veränderung der Objektivposition der in Abschnitt 4.2.2 beschriebene 4f Aufbau des Teleskops nicht mehr exakt gilt. Bei den verwendeten Proben ist jedoch
eine Verschiebung von maximal einem Millimeter ausreichend, weshalb dieser Effekt vernachlässigt werden kann.
4.3
Filterung und Detektion des Signals
Die in der Probe erzeugte dritte Harmonische wird detektiert und zusammen mit
der aktuellen Fokusposition gespeichert. Dazu muss das Signal zunächst von der
fundamentalen Strahlung separiert werden. Anschließend wird die gefilterte dritte
Harmonische in ein elektrisches Signal umgewandelt und verstärkt. Zur Verbesserung des Signal zu Rausch Verhältnisses wird ein Lock-In-Verstärker verwendet.
4.3.1
Separation des Signals von der fundamentalen Strahlung
Der fokussierte Laserstrahl wird zunächst zusammen mit der erzeugten dritten
Harmonischen kollimiert. Dazu sind ein Kondensor und das Objektiv wie in Abbildung 19 gezeigt, im Teleskopaufbau angeordnet.
32
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Bei dem Kondensor handelt es sich
dritte Harmonische
z
um eine Linsenkombination aus UVtransmittivem Quarzglas mit einer efFundamentale
fektiven Brennweite von 16 mm und einem freien Durchmesser von 21,4 mm.
Kondensor
Eine wichtige Eigenschaft ist der große
fkond
Durchmesser bei einer möglichst kleinen Brennweite. Dies ermöglicht, dass
die erzeugte Strahlung vollständig durch
Probe
den Kondensor propagiert. Beim Verfobj
Objektiv
fahren des Objektivs in z-Richtung ändert sich der Abstand zwischen Objektiv und Kondensor. Dadurch sind beide nicht mehr exakt im Teleskopaufbau, wodurch die erzeugte dritte Har- Abbildung 19: Schema der Kollimation
monische nicht mehr komplett kolli- des erzeugten Signals zusammen mit der
miert wird. Dieser Effekt kann jedoch fundamentalen Strahlung nach der Fobei den gewählten Verfahrstrecken von kussierung.
maximal einem Millimeter vernachlässigt werden. Der nun folgende Aufbau dient zur Trennung des Signals von der ursprünglichen Laserstrahlung und ist für eine Fundamentalwellenlänge von 810 nm
ausgelegt. Zur Separation beider Wellenlängen dienen zwei dichroitische Spiegel
sowie ein Interferenzfilter, welche wie in Abbildung 20 gezeigt angeordnet sind.
Die Spiegel weisen für 270 nm eine Reflektivität von über 99,9 % auf, wähPMT
rend der Hauptteil der 810 nm (> 90
%) transmittiert wird. Der verbleibende
Linse
2cm
Anteil der IR-Strahlung wird dann mit 4 cm
Interferenzfilter
Hilfe des Interferenzfilters geblockt.
1cm
Die Transmission des Filters beträgt ca.
dichr. Spiegel
30 % bei 270 nm mit einer Bandbreite 4 cm
von 50 nm. Die restlichen Wellenlän4 cm
gen von UV bis IR werden mit einer
8 cm
Transmission von lediglich 0,001 % unterdrückt. Anschließend wird die dritte
Harmonische mit einer PhotoelektroKondensor
nenvervielfachungsröhre (engl. Photomultipliertube, PMT) detektiert und in Abbildung 20: Schema der Separation des
ein elektrisches Signal umgewandelt. Signals von der fundamentalen StrahBei der Anordnung der Spiegel und des lung.
Filters muss sichergestellt werden, dass
der Signalstrahl auch bei maximalem Winkel αmax noch vollständig auf die optischen Komponenten trifft. Zudem muss die Detektorfläche getroffen werden. Dazu
sind die optischen Weglängen zwischen Kondensor und Detektor möglichst kurz
33
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
gewählt. Die jeweiligen Abstände sind in Abbildung 20 gezeigt. Wie in Abschnitt
4.2 erläutert, kreuzt der Strahl an der Eintrittsöffnung des Objektives stets die optische Achse. Dieser Punkt entspricht näherungsweise dem Fokus des Objektivs, so
dass sich Ergebnisse aus Abschnitt 4.2 verwenden lassen. Im Abstand von 16 mm
zum Kondensor kreuzt der Strahl somit die optische Achse unter einem maximalen Winkel von αobj−max · fobj /fkondensor = 1,1◦ . Hierbei wurde eine Objektivbrennweite fobj = 10 mm angenommen. Mit der Matrixmethode lässt sich der weitere
Strahlverlauf berechnen. Es ergibt sich, dass der erste Spiegel in einem maximalen
Abstand von 2 mm vom Zentrum getroffen wird. Auf den zweiten Spiegel trifft der
Strahl in einem maximalen Abstand von 4 mm zum Zentrum. Filter und Linse werden in einem Abstand von 2,8 mm bzw. 2,9 mm getroffen. Durch die Linse wird der
Strahl dann zur optischen Achse hin abgelenkt. Der PMT wird daher unter einem
Abstand von etwa 1 mm zum Zentrum getroffen.
Sowohl die Spiegel, als auch der Interferenzfilter und die Linse haben eine freie
Apertur von einem Zoll. Der Strahl trifft somit auch bei dem maximalen Winkel
von 1,1◦ noch vollständig auf alle optischen Komponenten sowie auf den PMT.
4.3.2
Verbesserung des Signal zu Rausch Verhältnisses
Das vom Photoelektronenvielfacher gelieferte elektrische Signal ist oftmals so niedrig, dass es von Störungen aus der Umgebung sowie elektronischem Rauschen kaum
zu unterscheiden ist. Da diese Störungen in allen Frequenzen auftreten, lässt sich
das Signal zu Rausch Verhältnis mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers verbessern.
Dieser verstärkt nur Signale mit einer festen Referenzfrequenz. Auf diese Weise
können auch Signale weit unterhalb des Rauschniveaus detektiert werden [22].
Zur Rauschunterdrückung wird im Lock-In-Verstärker ein Bandpassfilter mit einer
Bandbreite ∆F B verwendet. Störsignale, deren Frequenzabstände zur Referenzfrequenz innerhalb ∆F B liegen, können nicht unterdrückt werden und treten somit
auch im Ausgangssignal des Verstärkers auf. Um ein möglichst hohes Signal zu
Rausch Verhältnis zu erreichen, ist daher eine niedrige Bandbreite erforderlich.
Diese hängt von der Zeitkonstante τ des Filters ab
∆F B =
1
.
2π · τ
(50)
In dieser Arbeit wird der Lock-In-Verstärker SR530 der Firma Stanford Research Systems verwendet [22]. Die Referenzfrequenz von 1, 3 kHz wird durch einen Chopper
im Laserstrahl erzeugt. Die Zeitkonstante des Filters kann zwischen 1 ms und 100 s
variiert werden. Zusätzlich besteht die Möglichkeit einen zweiten Filter mit einer
Zeitkonstante von wahlweise 0,1 s oder 1 s zu verwenden. Da alle Zeitkonstanten
um mehrere Größenordnungen höher sind als der Abstand zweier Pulse, werden
die Signale mehrerer Pulse aufintegriert.
Eine Alternative wäre ein Radiofrequenz(RF)-Lock-In-Verstärker. Damit besteht die
Möglichkeit die Repetitionsrate des Lasers von 82 MHz als Referenzfrequenz zu ver34
4
EXPERIMENTELLER AUFBAU
wenden. Allerdings gibt es einige Störsignale, wie beispielsweise Funkwellen in diesem Frequenzbereich, die nicht herausgefiltert werden können. Solche Störungen
würden daher auch im Ausgangssignal des Verstärkers auftreten (engl. coherent
pick-up [22]).
4.4
Detektion der zweiten Harmonischen
Zusätzlich zur dritten Harmonischen soll die in der Probe erzeugte zweite Harmonische der auftreffenden Laserstrahlung detektiert werden. Dies ermöglicht es,
weitere Informationen über die Zusammensetzung der Probe zu gewinnen. Bei einer starken Fokussierung des Laserstrahls in normaldispersive Medien entsteht die
zweite Harmonische ebenfalls nur an Grenzflächen (vgl. Abschnitt 3.3). Die Signalstärke hängt dabei vom Unterschied der Suszeptibilitäten zweiter Ordnung sowie
der Brechungsindizes ab. Allerdings ist die zweite Harmonische schlechter zur Bestimmung von Grenzflächen geeignet. Wie die Simulation in Abschnitt 3.3.6 verdeutlicht, ist die Signalbreite höher als bei der dritten Harmonischen, was zu einer
ungenaueren Lokalisierung der Grenzfläche führt. Zudem weisen
inversionssymmetrische Medien
keine Nichtlinearitäten zweiter Ordnung auf, wie in in Kapitel 3.2
PMT 2
PMT 1
erläutert wurde. Die zweite Harmonische wird daher nur bei ge405 nm
brochener Symmetrie erzeugt. Dies 270 nm
kann allerdings zur Lokalisierung
nicht zentrosymmetrische Medien
HT 405 nm
HT 270 nm
genutzt werden. Die zur Detektion
der zweiten Harmonischen erforHR 270 nm
derlichen Modifikationen des exHR 270 nm
perimentellen Aufbaus sind in Abbildung 21 dargestellt. In der Probe
Kondensor
erzeugte Signale der zweiten harmonischen Frequenz werden zuAbbildung 21: Modifikation des Aufbaus zur
sammen mit der Fundamentalzusätzlichen Detektion der zweiten Harmostrahlung und der dritten Harmonischen (Schema).
nischen im Kondensor kollimiert.
Der folgende dielektrische Spiegel
transmittiert den Hauptteil der 405 nm (> 90%) und der 810 nm. Zur Separation
der zweiten Harmonischen von der Fundamentalen dient ein Interferenzfilter mit
einer Transmission von ca. 30% bei 405 nm und einer Bandbreite von 10 nm. Für
die verbleibenden Wellenlängen von UV bis IR beträgt die Transmission 0,001% .
Die Detektion des gefilterten Signals erfolgt ebenfalls mit einem Photoelektronenvervielfacher.
35
4
4.5
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Der CCD-Kanal
Probe
d
Fokalebene
fobj
Objektiv
optische Achse
?
LCCD
fCCD
CCDKamera
d‘
Zur Orientierung in der Probe während
einer Messung wird der abgescannte Bereich vergrößert auf einer CCD-Kamera
abgebildet. Diese Abbildung soll außerdem das Bild ergänzen, welches durch
die dritte Harmonische entsteht. Auf der
CCD-Kamera wird die Ebene der Probe scharf abgebildet, deren Abstand zum
Objektiv gerade der Objektivbrennweite
entspricht. Durch Verfahren des Objektivs
in z-Richtung lassen sich somit beliebige Ebenen darstellen. Die Probe wird dazu, wie in Abbildung 12 gezeigt, durch den
Kondensor mit einer Halogenglühlampe
beleuchtet. Die Strahlung, welche von einem Punkt auf der Probe ausgeht, wird
vom Objektiv kollimiert. Für einen Punkt
auf der optischen Achse entsteht so ein
parallel zur optischen Achse propagierender Strahl. Befindet sich der Punkt in einem Abstand d zur optischen Achse, so
verlässt der kollimierte Strahl das Objektiv unter einem Winkel β. Dabei gilt
d = fobj · tan β ≈ fobj · β .
(51)
Abbildung 22: Schema des CCD- Aufgrund der kleinen Abstände d zur optischen Achse entstehen nur kleine WinKanals.
kel β. Dies rechtfertigt die Näherung tan β ≈ β. Nach einer freien Propagation
über 20 cm trifft der Objektstrahl auf eine Bikonvexlinse mit einer Brennweite von
fCCD = 70 mm. Diese fokussiert den Objektstrahl auf die CCD-Kamera, welche sich
in der Fokalebene der Linse befindet. Der Objektpunkt wird somit auf der Kamera
abgebildet, wobei der Winkel β zu einer Verschiebung des Fokus um
d0 = fCCD · β =
fCCD
·d
fobj
(52)
führt. Ein Objekt mit Durchmesser d wird daher um den Faktor fCCD /fobj vergrößert abgebildet. Für eine Objektivbrennweite von fobj = 10 mm ergibt sich
der Vergrößerungsfaktor 7. Um den darstellbaren Bereich der Probe zu bestimmen, muss die Abmessung des CCD-Chips betrachtet werden. Dieser besteht aus
570 × 700 Pixel mit einem Pixelabstand von 7,5 µm. Die CCD Fläche beträgt somit
4,28 mm × 5,25 mm. Dies entspricht für die Objektivbrennweite von 10 mm einer
Fläche von 0,61 mm × 0,75 mm auf der Probe.
36
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
5
5.1
Messungen und Ergebnisse
Erzeugung der dritten Harmonischen an Quarzglas-Luft Grenzflächen
T H G -S ig n a l in b e l. E in h .
Die Grenzflächensensitivität der Erzeugung der dritten Harmonischen soll zunächst an einer Quarzglasplatte verifiziert werden. Zur Verfügung steht eine Probe
der Dicke 1 mm. Quarzglas weist im Vergleich zu Luft eine relativ hohe Suszeptibilität dritter Ordnung χ(3) auf (vgl. Abschnitt 4.2.4). Die große Differenz der Suszeptibilitäten sowie der Unterschied der Brechungsindizes lässt ein starkes Signal
an der Quarzglas-Luft-Grenzfläche erwarten. Außerdem hat Quarzglas eine hohe
Transmission im ultravioletten Bereich des Spektrums, sodass die erzeugte dritte
Harmonische nicht in der Probe absorbiert wird. Für die Messung wird der in Kapitel 4 erläuterte Aufbau verwendet. An dem Galvo-Scanner liegt keine Spannung
an, sodass der Laserstrahl ohne Ablenkung parallel zur optischen Achse durch das
Objektiv propagiert. Verwendet wird ein Objektiv der Firma Zeiss mit einer Brennweite von 25 mm. Der Fokus des Laserstrahls wird mit Hilfe des Linearverschiebers
über die Probe verfahren und das Signal in Abhängigkeit von der Objektivposition
gemessen. Dabei wird eine Schrittweite von 1 µm und eine Verschiebestrecke von
1 mm gewählt.
2
Q u a rz g la s
L u ft
L u ft
1
0
0 ,0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1 ,0
O b je k tiv p o s itio n in m m
Abbildung 23: Dritte Harmonische an den Oberflächen einer 1 mm dicken Quarzglasplatte in Abhängigkeit von der Objektivposition.
37
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Bei der vorliegenden mittleren Laserleistung von 100 mW ist eine Spannung von
0,4 kV am Photoelektronenvervielfacher (Maximalspannung 1 kV) ausreichend, um
ein maximales Signal zu erhalten. Eine Erhöhung der Spannung würde zur Überladung des Lock-In-Verstärkers führen. Die Integrationszeit des Lock-In-Verstärkers
wird auf 110 ms eingestellt. Dies ermöglicht eine effektive Rauschunterdrückung.
Beim Auslesen des Signals ist daher an jeder Position eine Wartezeit von mindestens 110 ms erforderlich.
In Abbildung 23 ist die erzeugte Spannungsausgabe des Lock-In-Verstärkers über
der Objektivposition dargestellt. Zu erkennen sind zwei Signale beider Oberflächen
im Abstand von 0,6918 ± 0,0001 mm. Der Laserstrahl trifft zuerst auf die Oberfläche
bei 0,1366 ± 0,0001 mm. Das Signal dieser Oberfläche ist etwas niedriger als das
Zweite bei 0,8284 ± 0,0001 mm. Dies ist damit zu begründen, dass der Strahl der
dritten harmonischen Frequenz nur für eine bestimmte Objektivposition perfekt
kollimiert wird. Durch Verschiebung des Objektivs ist dieses nicht mehr exakt mit
dem Kondensor im Teleskopaufbau. Die Randbereiche des divergierenden Strahls
treffen nicht auf die folgenden Optiken und werden somit nicht detektiert. Das Experiment zeigt, dass der Effekt sehr gering ist. Bei Verschiebungen in der Größenordnung von 100 µm ist er nicht zu erkennen. Zusätzlich könnten Reflexions- und
Absorptionsverluste in der Probe sowie Schwankungen in der fundamentalen Laserleistung oder Ungleichmäßigkeiten der Probenoberflächen für unterschiedlich
starke Signale verantwortlich sein. Um diese Effekte auszuschließen, wurde das Experiment
mit
variierenden
Ausgangspositionen
von
Objektiv und Kondensor durchgeführt.
Sind beide bei Fokussierung auf die ersLuft
te Oberfläche exakt im Teleskopaufbau,
kehrt sich der Effekt um. Das erste MaQuarzglas
â
ximum ist dann höher als das Zweite,
xFokus
was obige Vermutung bestätigt.
â
xObj
á
Der Kontrast ist gegeben durch das
nQ
Verhältnis der Signalstärke zum Untery
nL á
grund. Er beträgt bei obiger Messung
55 : 1 für die erste Oberfläche und 57 : 1
für die Zweite.
Der verringerte Abstand der Maxima
im Vergleich zur Dicke der Probe lässt
Objektiv
sich auf die Brechung des Strahls beim
Eintritt in die Quarzglasplatte zurückAbbildung 24: Schematische Darstellung führen. Aufgrund des höheren Breder Fokusverschiebung in der Quarzglas- chungsindex von Quarzglas im Vergleich zu Luft werden die unter einem
platte.
Winkel eintreffenden Anteile des fokussierten Strahls zum Lot hin gebrochen.
Dies bewirkt eine Verschiebung des Fokus in Richtung der zweiten Oberfläche, sodass diese bereits bei einer Objektivverschiebung getroffen wird, die geringer als
38
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
die tatsächliche Dicke der Probe ist. Dieser Effekt ist in Abbildung 24 veranschaulicht. Die Größe xObj bezeichnet den Verfahrweg des Objektivs. Die daraus resultierende Verschiebung des Fokus im Medium ist durch xF okus gegeben. Die Winkel α
und β sind der Einfalls- bzw. Brechungswinkel des auftreffenden Strahls und y ist
der Radius des Strahls bei Eintritt in die Quarzglasplatte. Mit der in Abbildung 24
gezeigten Geometrie ergibt sich
y
xF okus
= tan(β) und
y
xObj
(53)
= tan(α) .
Durch Division beider Gleichungen in (53) erhält man
xF okus = xObj
α
tan(α)
≈ xObj .
tan(β)
β
(54)
Die in Gl. (54) durchgeführte Kleinwinkelnäherung tan(α) ≈ α und tan(β) ≈ β ist
bei der gegebenen Fokussierung gerechtfertigt. Der dabei gemachte Fehler liegt
unterhalb von 0,5 %. Unter Verwendung des Snellius’schen Brechungsgesetzes
nL α ≈ nQ β, ebenfalls in Kleinwinkelnäherung, ergibt sich für die Fokusverschiebung xF okus in Abhängigkeit von der Objektivverschiebung xObj
T H G -S ig n a l in b e l. E in h .
xF okus ≈ xObj
2
L u ft
nQ
.
nL
(55)
L u ft
Q u a rz g la s
1
0
0 ,0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1 ,0
1 ,2
F o k u s p o s itio n in m m
Abbildung 25: Dritte Harmonische an den Oberflächen einer 1 mm dicken Quarzglasplatte in Abhängigkeit von der Fokusposition.
39
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Die Brechungsindizes von Quarzglas bzw. Luft für eine Wellenlänge von 810 nm
betragen nQ = 1,4532 und nL = 1,0003 [21]. Die Verschiebestrecken des Objektivs
sind daher für den Bereich in der Probe gemäß Gl. (55) mit einem Faktor 1,4528
zu multiplizieren. In Abbildung 25 ist die erzeugte dritte Harmonische in Abhängigkeit von der Fokusposition dargestellt. Der Abstand beider Maxima beträgt nun
1,005 ± 0,005 mm. Dies entspricht der tatsächlichen Dicke der Probe.
Im Folgenden soll der Einfluss der Brechung an der Luft-Quarzglas-Grenzfläche
auf die transversale Fokusgröße bestimmt werden. Wie in Abschnitt 3.3.2 gezeigt,
lassen sich die Winkel α und β durch den Taillenradius w0 darstellen
α=
λQ
λL
und β =
.
π w0,L
π w0,Q
(56)
Hierbei ist w0,L der Taillenradius bei einer Fokussierung in Luft und w0,Q bezeichnet den Radius in der Quarzprobe. Die Wellenlängen in Luft λL und in Quarzglas
λQ können mit dem jeweiligen Brechungsindex durch die Vakuumwellenlänge λ
ausgedrückt werden
λ
λ
, λQ =
.
(57)
λL =
nL
nQ
Einsetzen dieser Beziehungen in Gl. (56) und Division von α durch β ergibt
α
w0,Q nQ
=
.
β
w0,L nL
(58)
Unter Verwendung des Snellius’schen Brechungsgesetzes in Kleinwinkelnäherung
erhält man
w0,Q = w0,L .
(59)
Die transversale Fokusgröße bleibt somit erhalten. Damit sind auch die Intensitäten im Fokus an beiden Grenzflächen identisch, wodurch die gleiche Signalstärke
erzeugt wird. Dies wurde auch durch das Experiment bestätigt, da die sehr geringen Unterschiede der Signalamplituden lediglich auf verschiedene Detektionseffizienzen zurückzuführen sind.
Die Rayleighlänge dagegen ändert sich beim Übergang von Luft auf Quarzglas.
Nach Abschnitt 3.3.2 ist diese gegeben durch b/2 = k ω02 . Mit den Wellenzahlen
kL = 2π/λL und kQ = 2π/λQ ergibt sich für das Verhältnis der Rayleighlänge in Luft
und in Quarzglas
nL
bL /2
=
.
(60)
bQ /2
nQ
Da die Erzeugung der dritten Harmonischen hauptsächlich im Fokusvolumen stattfindet, hat die Rayleighlänge einen Einfluss auf die Halbwertsbreite des erzeugten
Signals. In Abbildung 26 ist die an der ersten Grenzfläche erzeugte dritte Harmonische in Abhängigkeit von der Fokusposition (schwarz) dargestellt. Außerdem ist
eine Lorentzkurve gezeigt (rot), die durch Fit an die in Luft befindliche Hälfte der
Daten ermittelt wurde. Zu erkennen ist, dass die Brechung an der Oberfläche der
40
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Probe das Maximum in der Quarzglasplatte verbreitert. Die Kurve wird somit asymmetrisch. Die jeweiligen Halbwertsbreiten wurden durch Lorentz-Fit an den in Luft
bzw. Quarzglas befindlichen Teil der Messdaten bestimmt. Der Vergleich ergibt ein
Verhältnis der Breiten von 1,4530 ± 0,0002. Dies entspricht gerade dem Verhältnis
der Rayleighlängen. Dieser Effekt konnte ebenfalls an der zweiten Oberfläche der
Quarzglasplatte beobachtet werden.
S ig n a l in b e l.E in h e ite n
2
L u ft
Q u a rz g la s
1
0
0 ,1 0
0 ,1 2
0 ,1 4
0 ,1 6
0 ,1 8
F o k u s p o s itio n in m m
Abbildung 26: Dritte Harmonische an der ersten Oberfläche einer 1 mm dicken
Quarzglasplatte in Abhängigkeit von der Fokusposition. Die schwarzen Punkte zeigen die Messdaten. Die rote Linie zeigt eine Lorentzkurve, der durch Fit an die linke
Hälfte der Daten bestimmt wurde.
Zur Verifizierung, dass es sich bei den gemessenen Signalen tatsächlich um die
dritte Harmonische handelt, wird deren Abhängigkeit von der Leistung L des erzeugenden Laserstrahls bestimmt. Dazu wird der Laser auf eine Oberfläche der
Quarzglasplatte fokussiert und das erzeugte Signal für verschiedene Leistungen
der Fundamentalen gemessen. Zu erwarten ist die für nichtlineare Prozesse dritter
Ordnung charakteristische L3 -Abhängigkeit. Abbildung 27 zeigt die Ausgabespannung des Lock-In-Verstärkers über der Laserleistung in doppelt logarithmischer
Darstellung. Es ist deutlich ein linearer Anstieg des Signals zu erkennen. Ein Fit
der Form a + b · xc ergibt eine Abhängigkeit der Ordnung 2,74 ± 0,13 von der fundamentalen Leistung. Die Abweichung vom erwarteten Ergebnis hat mehrere Ursachen. In der in Kapitel 3 beschriebenen Theorie wurden durch Absorption und
Reflexion erzeugte Verluste vernachlässigt. Außerdem wurde die Verringerung der
fundamentalen Leistung durch die Frequenzkonversion nicht berücksichtigt. Zusätzlich entstehen Fehler durch den Detektionsprozess. Beispielsweise wird ein älterer PMT verwendet, dessen Ausgabesignal möglicherweise nicht mehr exakt pro41
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
T H G -S ig n a l in b e l. E in h e ite n
portional zur detektierten Leistung ansteigt. Unter Berücksichtigung dieser Fehlerquellen konnte somit die erwartete Abhängigkeit bestätigt werden.
1
D a te n p u n k te
c
F it: a + b x
Equation
Adj. R-Square
I^3? fit of P³Ab
h‫ن‬ngigke_C
I^3? fit of P³Ab
h‫ن‬ngigke_C
0 ,1
0 ,0 1
1 0
2 0
3 0
4 0
L e is tu n g in m W
Abbildung 27: Abhängigkeit der erzeugten dritten Harmonischen von der Intensität der fundamentalen Laserstrahlung in doppelt logarithmischer Darstellung. Die
schwarzen Punkte sind die Messdaten. Die rote Kurve ist eine an die Daten gefittete Funktion der Form a + b · xc . Der Fit ergibt c = 2,74 ± 0,13. Die Ungenauigkeit der
Messdaten liegt innerhalb der Punktgröße.
5.2
Erzeugung der zweiten Harmonischen an einem BBO-Kristall
Nun wird die Erzeugung der zweiten Harmonischen an Grenzflächen im nicht phasenangepassten Fall überprüft. Dazu wird der Fokus des Laserstrahls in z-Richtung
durch einen Beta-Bariumborat(BBO)-Kristall verfahren und das an der jeweiligen
Position erzeugte Signal gemessen. Der Strahl propagiert dabei senkrecht zur Oberfläche durch die Probe. Es wird ein Objektiv der Brennweite 25 mm verwendet, was
einem konfokalen Parameter von b = 36 µm entspricht. Der Kristall hat eine Dicke
von 250 µm und seine optische Achse verläuft parallel zur Oberfläche. Zur Detektion der zweiten Harmonischen wird der experimentelle Aufbau wie in Abschnitt
4.4 beschrieben modifiziert. Zusätzlich wird die Signalstärke der dritten Harmonischen gemessen. Beide Messungen erfolgen nacheinander. Das Signal der zweiten
Harmonischen ist sehr stark, so dass zur Detektion lediglich eine Spannung von
0,08 kV am PMT erforderlich ist. Bei der Messung der dritten Harmonischen liegt
dagegen eine höhere Spannung von 0,34 kV an. Um eine Phasenanpassung zu vermeiden wird der Kristall um eine Achse parallel zur Strahlrichtung gedreht, bis die
gemessene zweite Harmonische minimal ist.
42
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
In Abbildung 28 sind die zweite und dritte Harmonische in Abhängigkeit von der
Objektivposition gezeigt. Die roten Punkte zeigen das Signal mit der Wellenlänge
von 270 nm. Das bei 405 nm detektierte Signal ist durch die schwarzen Punkte dargestellt.
Die rote Kurve zeigt zwei Maxima, die den beiden Oberflächen der Probe zuzuordnen sind. Innerhalb der Probe verschwindet die dritte Harmonische. Dies entspricht der Messung an der Quarzglasplatte. Im Unterschied dazu ist jedoch nun
die zweite Signalamplitude wesentlich niedriger als die erste.
Auch die schwarze Kurve zeigt zwei Maxima an den Kristalloberflächen. Hier ist das
zweite Signal ebenfalls etwas niedriger als das Erste. Dieser Unterschied ist jedoch
deutlich geringer als bei der dritten Harmonischen. Zudem entsteht im Gegensatz
zur dritten Harmonischen ebenfalls ein hohes Signal innerhalb der Probe.
Wie in der Simulation in Kapitel 3.3.6 gezeigt, ist die Halbwertsbreite der Maxima
für die dritte Harmonische durch den konfokalen Parameter b bestimmt zu 0,928 · b.
Da die Kristallbreite größer als der konfokale Parameter ist, treten beide Maxima
klar getrennt voneinander auf. Die Breiten der beiden Signalamplituden der dritten Harmonischen wurden durch Lorentz-Fit an die Messdaten bestimmt. Es ergibt sich eine Breite von (28,4 ± 0,4) µm für das erste- und (30,5 ± 0,5) µm für das
zweite Maximum. Im Rahmen der Messfehler und unter Berücksichtigung der Ungenauigkeiten bei der Bestimmung des konfokalen Parameters b konnten somit die
Simulationsdaten reproduziert werden.
Für die Maxima der zweiten Harmonischen wurde in der Simulation eine Breite
von 2,937 · b bestimmt. Durch Lorentz-Fit ergibt sich ein experimenteller Wert von
(89 ± 3) µm für das erste- bzw. (100 ± 3) µm für das zweite Maximum. Dies bestätigt
ebenfalls die Simulation. Aufgrund der hohen Breiten in der Größenordnung der
Kristallbreite kommt es zur Verschmelzung beider Signale.
Die verschiedenen Signalstärken können durch zwei Effekte erklärt werden. Zum
Einen fällt der Strahl nicht exakt senkrecht zur Kristalloberfläche ein. Dadurch propagieren die unterschiedlichen Polarisationskomponenten der fundamentalen
Strahlung aufgrund der Doppelbrechung in verschiedene Richtungen. Nur eine
dieser Komponenten trifft auf die Grenzfläche, wo sie die Erzeugung der jeweiligen Harmonischen bewirkt. Die geringere Intensität führt damit auch zu einer Abnahme des Signals. Zum Anderen propagieren beide Polarisationskomponenten
aufgrund der verschiedenen Brechungsindizes mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Dieser Effekt tritt auch bei senkrechtem Einfall auf und führt zur Verbreiterung der Pulse und somit auch zur Abnahme der Intensität. Auch die hohe
Gruppengeschwindigkeitsdispersion im BBO-Kristall führt zu einer Pulsverbreiterung. Beide Effekte ändern die Intensität der auf die Grenzfläche treffenden Laserstrahlung. Aufgrund der spezifischen Intensitätsabhängigkeiten hat diese Änderung einen größeren Einfluss auf die Erzeugung der dritten Harmonischen. Zusätzlich können Reflexionen an der Kristalloberfläche zu einer Verringerung der
Intensität und somit einer geringeren Signalamplitude führen.
43
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Z w e ite H a rm o n is c h e
D ritte H a rm o n is c h e
5
S ig n a l in m V
4
3
2
1
0
-0 ,2
-0 ,1
0 ,0
0 ,1
0 ,2
O b je k tiv p o s itio n in m m
Abbildung 28: Zweite und dritte Harmonische am BBO-Kristall.
Die Messung zeigt die Möglichkeiten, die sich bei einer kombinierten Detektion
der zweiten und dritten Harmonischen ergeben. Mit Hilfe der dritten Harmonischen lassen sich sämtliche Grenzflächen zwischen Medien mit unterschiedlichem
Brechungsindex oder unterschiedlichen Suszeptibilitäten dritter Ordnung lokalisieren. Dies ermöglicht es die dreidimensionale Struktur inhomogener Mischungen zu bestimmen. Die Methode ist universell einsetzbar, da alle Medien in jedem
Aggregatzustand nicht verschwindende χ(3) aufweisen [6]. Die oft sehr hohen Unterschiede der Suszeptibilitäten dritter Ordnung ermöglichen dabei einen hohen
Kontrast der Messung.
Die Detektion der zweiten Harmonischen liefert zusätzliche Informationen über
die Zusammensetzung der Probe. Da zentrosymmetrische Medien, wie in Abschnitt
3.2 erläutert, keine Suszeptibilität zweiter Ordnung aufweisen, entsteht die zweite
Harmonische nur an Stellen mit gebrochener Inversionssymmetrie. Ist bekannt,
dass sich in der Probe Stoffe mit nicht verschwindendem Suszeptibilitäten χ(2) befinden, so können diese mittels der zweiten Harmonischen lokalisiert werden. Entsprechende Messungen wurden bereits an LBO-Fragmenten [24] und Stärke bzw.
Kollagen [23, 25, 26, 27] in biologischen Zellen durchgeführt.
Aufgrund der Symmetriebrechung beim Übergang zwischen verschiedenen Medien eignet sich die Detektion der zweiten Harmonischen ebenfalls zur Lokalisierung
von Grenzflächen [6]. Dies kann die Messung der dritten Harmonischen ergänzen
und ermöglicht eine Verbesserung des Kontrastes bei geringen Unterschieden der
Suszeptibilitäten dritter Ordnung und der Brechungsindizes. Allerdings ist mit der
dritten Harmonischen, wie obige Messung gezeigt hat, eine genauere Lokalisierung möglich.
44
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
5.3
Signalstärke verschiedener Flüssigkeiten
Der in Kapitel 4 beschriebene Aufbau soll künftig zur Untersuchung von Mischprozessen von Flüssigkeiten genutzt werden. Hierzu ist die Kenntnis der von den unterschiedlichen Flüssigkeiten erzeugten Signalstärken erforderlich. Dazu werden
die Signale verschiedener Proben an der Grenzfläche zu Quarzglas gemessen. Zusätzlich wird bei jeder Messung auch die dritte Harmonische an einer QuarzglasLuft-Grenzfläche bestimmt, welche als Referenz dient. In Abbildung 29 ist die Messanordnung dargestellt. Die Flüssigkeit befindet sich zwischen einem Mikroskopdeckglas und einer 0,5 mm dicken Quarzglasplatte. Der Galvo-Scanner ist in Nullstellung, so dass der Laserstrahl in z-Richtung durch die Probe propagiert. Dabei
wird der Fokus mit Hilfe des Linearverschiebers verfahren und das erzeugte Signal
der dritten Harmonischen in Abhängigkeit von der Position bestimmt.
Luft
z
Quarzglas
Flüssigkeitsprobe
Glas
Abbildung 29: Aufbau zur Vermessung der Signalstärke an der FlüssigkeitsQuarzglas-Grenzfläche
In Abbildung 30 a) ist das Ergebnis einer Messung ohne Flüssigkeit gezeigt. Im Bereich zwischen der Glas- und der Quarzglasscheibe befindet sich Luft. Zu erkennen sind drei deutliche Maxima. Die dritte Harmonische an der Position 0 mm
stammt von der Grenzfläche der unteren Glasscheibe zu Luft. Die beiden Maxima zwischen 1 mm und 1,5 mm wurden an den beiden Oberflächen der Quarzglasplatte erzeugt. Wie schon in Abschnitt 5.1 gezeigt, entstehen an beiden Oberflächen der Quarzglasscheibe näherungsweise identische Signale. Der Unterschied
zu dem Maximum an der Glas-Luft Grenzfläche ist auf Differenzen im Brechungsindex und in den Suszeptibilitäten dritter Ordnung zurückzuführen. Der Bereich
zwischen der Glas- und der Quarzglasscheibe wird mit den verschiedenen Flüssigkeiten gefüllt.
In 30 b) ist das Ergebnis einer Messung mit n-Hexan dargestellt. Auch hier sind drei
Signale zu erkennen, die sich den drei unterschiedlichen Grenzflächen zuordnen
lassen. Das obere Maximum, der von der Quarzglas-Luft-Fläche stammt, ist ver45
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
gleichbar mit dem entsprechenden Maximum in a). Die etwas veränderte Signalstärke lässt sich auf die bei dieser Messung leicht erhöhte Laserleistung zurückführen.
b
a
4
2
1
0
L u ft
G la s
3
Q u a rz
n -H e x a n
S ig n a l in b e l. E in h .
Q u a rz
L u ft
G la s
3
L u ft
S ig n a l in b e l. E in h .
4
2
1
0
0 ,0
0 ,3
0 ,6
0 ,9
1 ,2
O b je k tiv p o s itio n in m m
1 ,5
0 ,0
0 ,3
0 ,6
0 ,9
1 ,2
O b je k tiv p o s itio n in m m
Abbildung 30: Dritte Harmonische an verschiedenen Grenzflächen.
Das an der Quarzglas-Flüssigkeits-Grenzfläche erzeugte Signal ist um einen Faktor
zwei geringer. Dies ist auf die geringere Differenz im Brechungsindex sowie auf Unterschiede der Suszeptibilitäten dritter Ordnung zurückzuführen. Die an der GlasFlüssigkeits-Grenzfläche erzeugte dritte Harmonische erfährt Absorption in der
Flüssigkeit. Aufgrund des unterschiedlichen Absorptionsverhaltens verschiedener
Proben lässt sich anhand dieses Signals somit keine eindeutige Aussage über die
erzeugte dritte Harmonische gewinnen. Daher werden im Folgenden nur die beiden Oberflächen der Quarzglasplatte abgescannt. Dabei wird eine Schrittweite von
2 µm gewählt. Bei einer Laserleistung von 200 mW wird die PMT-Spannung für alle Messungen auf 0,3 kV gesetzt. Eine Ausnahme stellt die Flüssigkeit Nitrobenzen
dar, bei der die Spannung aufgrund des sehr hohen erzeugten Signals auf 0,25 kV
reduziert wird. In Abbildung 31 ist die Signalstärke der dritten Harmonischen in
Abhängigkeit von der Objektivposition für die Flüssigkeiten a) Ethanol und b) Nitrobenzen dargestellt. Die Amplituden werden durch Fit einer Lorentzfunktion an
die jeweiligen Maxima bestimmt. Anschließend wird das Verhältnis der, an der
Flüssigkeits-Quarzglas-Grenzfläche und der Quarzglas-Luft-Grenzfläche erzeugten
Signalamplituden gebildet. Damit ergibt sich für Ethanol ein Wert von 0,347 und für
Nitrobenzen 2,475. Das Ergebnis lässt auf einen starken Unterschied in der nichtlinearen Suszeptibilität dritter Ordnung der beiden Flüssigkeiten schließen.
In Abbildung 32 sind die Signale der Grenzflächen verschiedener Flüssigkeiten zu
Quarzglas in Form eines Balkendiagramms dargestellt (blau). Die Werte wurden
auf das an der Quarzglas-Luft-Grenzfläche erzeugte Signal normiert. Zusätzlich
sind die in den Quellen [28] (ohne *) und [29] (mit *) bestimmten Suszeptibilitäten
(3)
χF l der jeweiligen Flüssigkeit gezeigt (gelb). Diese Daten wurden für die Darstellung auf den Wert von Nitrobenzen normiert. Die Ergebnisse aus [28] beziehen sich
46
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
auf eine Fundamentalwellenlänge von 1,064 µm. Eine Ausnahme stellt der Wert für
Pyridin dar, welcher in [28] für eine Wellenlänge von 1, 907 µm bestimmt wurde.
Quelle [29] bezieht sich auf 1,5 µm.
b
N itro b e n z e n
4
1
3
2
L u ft
S ig n a l in b e l. E in h .
Q u a rz
2
E th a n o l
3
L u ft
S ig n a l in b e l. E in h .
4
Q u a rz
a
0
1
0
0 ,8
1 ,0
1 ,2
0 ,6
0 ,8
O b je k tiv p o s itio n in m m
1 ,0
1 ,2
O b je k tiv p o s itio n in m m
Abbildung 31: Dritte Harmonische an der Flüssigkeits-Quarzglas-Grenzfläche im
Vergleich zur Luft-Quarzglas-Grenzfläche für die Flüssigkeit a) Ethanol und b) Nitrobenzen.
*
*
0 ,0
0 ,5
N itro b e n z e n
C a rb o n te tra c h lo rid
C h lo ro fo rm
C y c lo h e x a n
A c e to n
n -H e x a n
E th a n o l
T o lu o l
M e th a n o l
W a sse r
D im e th y lfo rm a m id
P y rid in
1 ,0
A 3 1
A 3 0
2 ,5
S ig n a l in b e l. E in h .
Abbildung 32: Blau: Signalstärke an der Grenzfläche verschiedener Flüssigkeiten
(3)
zu Quarzglas. Gelb: χF l der jeweiligen Flüssigkeit aus Quelle [28] (ohne *) und [29]
(mit *). Die blauen Balken sind auf das an der Quarzglas-Luft-Grenzfläche erzeugte
(3)
Signal normiert, die gelben Balken auf χN von Nitrobenzen.
47
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Das stärkste Signal wird mit Nitrobenzen erreicht. Mit den Proben Aceton, Carbontetrachlorid, Chloroform und Cyclohexan entstehen ebenfalls hohe Intensitäten
der dritten Harmonischen. Dagegen sind die mit Dimethylformamid und Pyridin
erzeugten Signale verschwindend gering. Im Vergleich zu den Referenzwerten ist
(3)
zu erkennen, dass Flüssigkeiten mit hoher Suszeptibilität χF l bei den Wellenlängen 1,064 µm bzw. bei 1,5 µm ebenfalls bei 0,81 µm starke dritte Harmonische erzeugen. Ausnahmen sind Toluol, Dimethylformamid und Pyridin. Diese erzeugen
(3)
trotz hohem χF l bei den Referenzwellenlänge ein vergleichsweise niedriges Signal
bei 0,81 µm. Dies lässt auf eine geringere Suszeptibilität dritter Ordnung der Stoffe bei der verwendeten Wellenlänge schließen. Zusätzlich könnten Absorptionsverluste der Fundamentalen in der Flüssigkeit zu einer Signalverringerung führen.
Die entsprechenden Messwerte sind zusammen mit den Referenzwerten in Tabelle
5 gezeigt.
(3)
(3)
Signal[Flüssigkeit-Quarz]
Signal[Luft-Quarz]
χF l /χQuarz Referenz
Nitrobenzen
2,475 ± 0,039
3,3 − 4,5b
Carbontetrachlorid
0,711 ± 0,011
2,56a
Chloroform
0,630 ± 0,010
2,25a
Cyclohexan
0,616 ± 0,010
2,08a
Aceton
0,568 ± 0,009
1,51a
n-Hexan
0,495 ± 0,008
1,42a
Ethanol
0,347 ± 0,005
1,11a
Toluol
0,220 ± 0,003
3,5b
Methanol
0,208 ± 0,003
0,96a
Wasser
0,131 ± 0,002
0,9a
Dimethylformamid
0,095 ± 0,001
1,79a
Pyridin
0,050 ± 0,005
3,60a
Flüssigkeit
Tabelle 5: Signalstärken an der Grenzfläche verschiedener Flüssigkeiten zu Quarzglas für eine Fundamentalwellenlänge von 810 nm. Die Referenzwerte stammen
aus Quelle a) [28] und b) [29] und beziehen sich auf eine Wellenlänge von
a)1, 064 µm bzw. b) 1, 5 µm.
Aus den ermittelten Signalstärken könnten die Suszeptibilitäten dritter Ordnung
bei der Wellenlänge von 810 nm bestimmt werden. Da die Signale vom Quadrat der
Suszeptibilitäten abhängen, liefert die Rechnung jedoch jeweils zwei verschiede48
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
(3)
ne Werte von χF l . Zur eindeutigen Bestimmung der Suszeptibilitäten, muss das
Signal an einer Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und einem weiteren Material gemessen werden. Dies wurde mit Calciumfluorid durchgeführt. Aufgrund fehlender Quellen für einen verlässlichen Wert der Suszeptibilitäten von Quarz und
Calciumfluorid bei der verwendeten Wellenlänge von 810 nm konnten die Suszeptibilitäten der Flüssigkeiten jedoch hier nicht berechnet werden.
Wie zu Beginn des Kapitels erläutert, sollen künftig Mischprozesse verschiedener
Flüssigkeiten untersucht werden. Der Mischungsgrad könnte dabei über die Signalstärke an einer Flüssigkeits-Quarzglas-Grenzfläche ermittelt werden. Um gut
zwischen den beiden Komponenten der Mischung unterscheiden zu können, bietet sich die Verwendung von Proben mit hohen Signalunterschieden an. Wie obige
Messung gezeigt hat, decken die untersuchten Flüssigkeiten einen hohen Signalbereich ab. Die Mischkomponenten können daher aus den verwendeten Proben gewählt werden. Dabei können die Messergebnisse zur Auswahl herangezogen werden.
5.4
Kalibrierung der zweidimensionalen Abrasterung
50ìm
Bei Verwendung des in Kapitel 4 beschriebenen Aufbaus zur mikroskopischen Untersuchung von Proben ist
die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen der an den Galvo-Treibern anliegenden Spannung und der resultierenden Verschiebung des Fokus auf der
Probe erforderlich. Die Verkippung der
Spiegel skaliert linear mit der Spannung. Außerdem ist die Fokusverschiebung proportional zum Strahlwinkel
mit der Objektivbrennweite als Propor50ìm
tionalitätsfaktor. Somit ist ein linearer
Zusammenhang zwischen der Fokusposition auf der Probe und der anlie- Abbildung 33: CCD-Aufnahme des zweigenden Spannung zu erwarten. Dieser dimensionalen Gitters.
soll nun experimentell für drei unterschiedliche Objektive bestimmt werden. Dazu wird eine Glasplatte mit eingeätztem zweidimensionalen Gitter mit einem Gitterabstand von 50 µm verwendet. Abbildung 33 zeigt einen Ausschnitt des Gitters, der mit dem CCD-Kanal aufgenommen wurde. Der Laserstrahl wird zunächst auf die Oberfläche fokussiert, indem die
Objektivposition auf maximales Signal eingestellt wird. Anschließend wird der Fokus um 10 µm in die Probe hinein bewegt. Die Probe wird dann mit Hilfe des GalvoScanners zweidimensional abgerastert. Beim Abscannen ist ein abgeschwächtes
Signal der Oberfläche zu erwarten. Trifft der Fokus auf eine Gitterlinie, so führt dies
49
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
aufgrund der zusätzlichen Grenzfläche zu einer erhöhten dritten Harmonischen.
Abbildung 34 zeigt das Ergebnis für ein Objektiv der Firma Zeiss mit einer Brennweite von 14 mm. Die an den Galvo-Treibern anliegende Spannung wurde dabei für
die x-Richtung zwischen −4 V und 4 V und für die y-Richtung zwischen −3 V und
4 V mit einer Schrittweite von jeweils 32 mV variiert. Aufgetragen ist die Signalstärke in Abhängigkeit der an den Spiegeln anliegenden Spannung in Falschfarbendarstellung. Weiß stellt ein hohes, blau ein niedriges Signal dar. Die Gitterlinien sind
durch eine hohe dritte Harmonische deutlich zu erkennen, während das Signal im
Zwischenraum sehr niedrig bleibt. Außerdem sind die Linien äquidistant, was den
linearen Zusammenhang zwischen der Position und der anliegenden Spannung
bestätigt. In einem kleinen Bereich um das Zentrum bei x = 0 V und y = 0 V ist das
erzeugte Signal niedriger. Dies wurde möglicherweise durch Verunreinigung der
Probe oder der verwendeten Optiken verursacht. Radial nach außen nimmt das Signal zunächst zu, erreicht ein Maximum und fällt dann wieder ab. Außerhalb des
dargestellten Bereiches waren keine Gitterlinien mehr erkennbar.
Spannung in y-Richtung in V
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Spannung in x-Richtung in V
Abbildung 34: Dritte Harmonische am zweidimensionalen Gitter in Falschfarbendarstellung aufgenommen mit einem Objektiv der Brennweite 14 mm. Weiß stellt
ein hohes, blau ein niedriges Signal dar.
Die Abnahme der dritten Harmonischen mit zunehmendem Abstand zum Zentrum ist darauf zurückzuführen, dass ein geringerer Anteil der fundamentalen Strahlung die Probe erreicht. Aufgrund des Abstandes der beiden Galvo-Spiegel für die
50
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
x- und y-Richtung lässt sich der in Kapitel 4.2.2 beschriebene 4f -Aufbau des Teleskops nicht für beide Spiegel gleichzeitig realisieren. Das Teleskop wurde so einjustiert, dass das Objektiv bei kleinen Winkeln sowohl in x- als auch in y-Richtung
gleichermaßen getroffen wurde. Bei größeren Winkel führt dies dazu, dass Teile des
Strahls nicht mehr komplett auf die Eintrittsapertur des Objektivs treffen und somit
für die Erzeugung der dritten Harmonischen verloren gehen. Sowohl die Teleskoplinsen als auch alle verwendeten Umlenkspiegel wurden innerhalb des verwendeten Spannungsbereichs noch gut getroffen. Der gesamte Abscannbereich beträgt
0,9 mm in x-Richtung und 0,8 mm in y-Richtung. Die leichte Asymmetrie ist auf
Ungenauigkeiten in der Justage zurückzuführen.
Aus den in Abbildung 34 dargestellten Daten wurde die Spannungs-Positions-Kennlinie bestimmt. Dazu wurde ausgehend von einer beliebigen Gitterlinie dem Spannungsabstand zur nächsten Linie ein Positionsabstand von 50 µm zugeordnet. An
die resultierenden Datenpunkte wurde eine lineare Funktion gefittet. Die Datenpunkte sind zusammen mit der Fitfunktion in Abbildung 35 gezeigt. Mögliche Fehlerquellen ergeben sich aus der Zuordnung der Spannungen zu den jeweiligen Gitterlinien sowie durch die endliche Breite der Linien. Die Ungenauigkeiten sind kleiner als die in der Abbildung gewählte Punktgröße. Alle Datenpunkte liegen gut auf
einer Geraden mit einer Steigung von (0,117 ± 0,001) mm/V. Dies wurde für mehrere Positionen auf der Probe durchgeführt und über die resultierenden Geradensteigungen gemittelt. Die gemittelte Steigung beträgt (0,117 ± 0,001) mm/V in xRichtung und (0,118 ± 0,001) mm/V in y-Richtung.
P o s itio n a u f d e r P ro b e in m m
0 ,8
D a te n p u n k te
L in e a re r F it
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
S p a n n u n g in x -R ic h tu n g in V
Abbildung 35: Abhängigkeit der Fokusposition in x-Richtung von der am GalvoTreiber anliegenden Spannung.
51
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
Das Gitter wurde zusätzlich mit zwei weiteren Objektiven abgerastert. Die Resultierenden Signalstärken in Abhängigkeit von der Spannung sind in den Abbildungen
36 a) und 36 b) gezeigt. Weiß stellt wieder ein hohes, blau ein niedriges Signal dar.
Abbildung 36 a) wurde mit einem Objektiv der Brennweite 25 mm aufgenommen.
Die resultierende Spannungs-Positions-Kennlinie hat eine Steigung von (0,216 ±
0,001) mm/V in beiden Richtungen. Der gesamte Abscannbereich beträgt ungefähr
1,8 mm in x- und 1,4 mm in y-Richtung. Auch hier sind die entsprechenden Effekte
wie in Abbildung 34 zu sehen. Das Signal ist in der Mitte der Probe etwas geringer,
nimmt dann nach außen hin zu und sinkt für größere radiale Abstände wieder. Zudem ist von links oben nach rechts unten eine Abnahme der dritten Harmonischen
zu erkennen. Dies deutet auf eine schiefe Lage der Probe hin. Im linken oberen Bereich befindet sich der Fokus näher an der Oberfläche. Daher ist auch ein deutliches Signal in den Zwischenbereichen der Gitterlinien zu erkennen. Rechts unten
ist der Fokus etwas tiefer in der Probe. Die dritte Harmonische der Oberfläche verschwindet somit fast vollständig. Auch die Signale des Gitters sind aufgrund der
Absorption der erzeugten dritten Harmonischen in der Probe niedriger.
Abbildung 36 b) wurde mit einem Objektiv der Brennweite 16 mm aufgenommen.
Dieses Objektiv hat eine etwas kleinere freie Apertur, weshalb auch nur über einen
geringeren Spannungsbereich abgescannt werden kann. Der resultierende Abscannbereich auf der Probe beträgt ca. 0,6 mm in x- und 0,5 mm in y-Richtung. Die Positions-Spannungs-Kennlinie hat eine Steigung von (0,114 ± 0,002) mm/V in beiden
Richtungen. Die Gitterlinien sind nun größtenteils blau dargestellt. Das ist nicht
mit einer verschwindenden dritten Harmonischen zu begründen. Bei der gewählten PMT-Spannung war das Signal hingegen so hoch, dass ein Überladen des LockIn-Verstärkers verursacht wurde. Der Lock-In-Verstärker liefert in diesem Fall kein
Signal. Dies führt auch zu den etwas verbreiterten Gitterlinien im Zentrum des Bildes. Befindet sich der Fokus in der Nähe einer Linie, so bewirkt das kombinierte
Signal der Probenoberfläche und des Gitters bereits ein Überladen des Lock-InVerstärkers.
Die Verzerrung der vertikalen Linien, welche vor allem in Abbildung 36 b) zu erkennen ist, kommt durch den Messprozess zustande. Die vom Lock-In-Verstärker
benötigte Zeit, bis das maximale Signal erreicht wird, ist höher als die verwendete Zeitkonstante. Daher wird das Maximum erst erreicht, wenn der Fokus bereits
wenige Schritte weiter bewegt wurde. Das Signal wird somit einer verschobenen
Position zugeordnet. Dieser Fehler lässt sich durch langsameres Abscannen beheben.
Bei allen drei Objektiven tritt der Linsenfehler der Verzeichnung auf. Dieser bewirkt, dass gerade Linien, welche nicht in der Nähe der optischen Achse verlaufen,
gekrümmt dargestellt werden. In den Bildern ist eine leichte Krümmung der randnahen Linien zum Zentrum hin zu erkennen. Zusätzlich kann eine Bildfeldwölbung auftreten. Bei sphärisch gekrümmten Linsen bewegt sich der Fokus nicht auf
einer Ebene senkrecht zur optischen Achse, sondern auf einer gewölbten Fläche.
In den Randbereichen des Bildes befindet sich der Fokus somit in einem größeren Abstand zur Oberfläche. Dieser Effekt verstärkt die Abnahme der Intensität der
52
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
dritten Harmonischen mit zunehmendem Abstand vom Bildmittelpunkt.
b
3
Spannung in y-Richtung in V
Spannung in y-Richtung in V
a
2
1
0
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
Spannung in x-Richtung in V
3
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
3
Spannung in x-Richtung in V
Abbildung 36: Dritte Harmonische am zweidimensionalen Gitter in Falschfarbendarstellung aufgenommen mit einer Objektivbrennweite von a) 25 mm und b)
16 mm. Weiß stellt ein hohes, blau ein niedriges Signal dar.
Wie die Messungen gezeigt haben, ergibt sich für jedes Objektiv ein anderer Abscannbereich. Mit langen Brennweiten fObj lässt sich ein größerer Bereich abrastern
als mit kurzbrennweitigen Objektiven. Allerdings beeinflusst fObj auch die longitudinale und transversale Auflösung der Abrasterung. Kürzere Brennweiten bewirken
einen geringeren Taillenradius sowie eine niedrigere Rayleighlänge. Dies führt zu
einer erhöhten Auflösung. Bei der Wahl des verwendeten Objektivs muss daher ein
Kompromiss zwischen Abscannbereich und Auflösung eingegangen werden.
5.5
Vermessung von Glasproben
Die Erzeugung der dritten Harmonischen in normaldispersiven Medien wird im
folgenden Abschnitt zur dreidimensionalen Vermessung von Glasplatten verwendet. Zur Verfügung stehen Proben der Firma Schott, welche aufgrund verschiedener Defekte von der Weiterverarbeitung ausgeschlossen wurden. Dabei kann zunächst nicht zwischen Oberflächendefekten, Blasenbildung im Inneren des Materials sowie Rückständen von Rohmaterial unterschieden werden. Die Vermessung
der Proben soll eine genauere Klassifizierung der Defekte ermöglichen. Daraus gewonnene Informationen könnten zur Optimierung des Herstellungsprozesses herangezogen werden. Da die Platten aus UV-absorbierendem BK7-Glas bestehen, ist
nur die Abbildung von Bereichen in der Nähe der Oberflächen möglich. Im Inneren
53
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
der Probe erzeugte Signale der Wellenlänge 270 nm können aufgrund der Absorption im Glas nicht detektiert werden.
Abbildung 37 zeigt das CCD-Bild einer Glasplatte. In der Probe ist ein Kratzer, der
auf dem CCD-Bild deutlich zu erkennen ist. Die Aufnahme besteht aus einer Überlagerung eines scharfen Bildes der Fokalebene des Objektivs und unscharfen Abbildungen der angrenzenden Ebenen. Daher kann die genaue Tiefenposition des
Kratzers sowie dessen dreidimensionale Struktur nicht aus der CCD-Aufnahme bestimmt werden. Mit der Erzeugung der dritten Harmonischen können verschiedene Ebenen der Probe separat abgebildet werden, woraus sich deren dreidimensionaler Aufbau rekonstruieren lässt.
Abbildung 37: CCD-Aufnahme eines Kratzers in einer Glasplatte.
Für die Abrasterung der Glasplatte wird der in Abschnitt 4 beschriebene Aufbau
mit einem Objektiv der Brennweite 14 mm verwendet. Damit ergibt sich ein Fokusradius von w0 = 1,2 µm und ein konfokaler Parameter von b = 11 µm. Es werden
acht Ebenen im Objektivabstand von 10 µm abgescannt. Da dieser Abstand in der
Größenordnung des konfokalen Parameters liegt, führt eine kleinere Schrittweite
zu keiner höheren longitudinalen Auflösung. Beim Abrastern beträgt die mittlere
Leistung der fundamentalen Laserstrahlung 300 mW und am Photoelektronenvervielfacher liegt eine Spannung von 0,3 kV an. Der Lock-In-Verstärker wird mit einer
Integrationszeit von 110 ms betrieben. Abgescannt wird ein Bereich von 0,8 mm in
x-Richtung und 0,35 mm in y-Richtung. Die Schrittweite ist mit 3,5 µm in der Größenordnung des Taillenradius w0 , weshalb durch eine noch feinere Abrasterung
keine wesentliche Verbesserung der transversalen Auflösung zu erwarten wäre.
Das Ergebnis ist in Abbildung 39 für sechs Ebenen dargestellt. Die Abbildungen
a) bis f ) zeigen das Signal bei der dritten harmonischen Frequenz der jeweiligen
Ebene in Abhängigkeit von der Position in Falschfarbendarstellung. Blau stellt ein
niedriges, weiß ein hohes Signal dar. Die in a) gezeigte Ebene befindet sich ca.
40 µm (Objektivposition) unterhalb der Probenoberfläche, f) liegt ca. 30 µm oberhalb der Glasplatte. Der Abstand der Ebenen a) bis e) beträgt 10 µm. Ebene f) be54
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
findet sich im Abstand von 30 µm von e). In Abbildung 38 ist die aus den Signalen
der Ebenen a) bis f) rekonstruierte Struktur des Kratzers schematisch dargestellt.
Aus den Objektivabstände wurden dabei die Fokusposition nach Gl. (55) mit einem
Brechungsindex von nBK7 = 1,51 für BK7-Glas [21] bestimmt.
• In Abbildung 39 a) sind zwei parallele Streifen erhöhten Signals zu erkennen.
Ihr Abstand beträgt ca. 60 µm. Die Linien stammen von den beiden unteren
horizontalen Glas-Luft-Grenzflächen. Wie im Schema (Abbildung 38) dargestellt, befindet sich der Fokus hier noch unterhalb dieser Flächen. Daher entsteht in a) nur eine geringe dritte Harmonische. Außerdem propagiert ein Teil
des Signalstrahls aufgrund des schrägen Einfalls der Fundamentalen sowie
der Divergenz nach der Fokussierung durch Glas. Dabei wird ein großer Teil
des erzeugten Signals absorbiert. Die Breite der Streifen liegt im Bereich weniger Mikrometer. Strukturen innerhalb dieser Streifen liegen somit unterhalb
der Auflösungsgrenze und können nicht getrennt dargestellt werden.
• Eine höhere Intensität wird in Ebene b) erzeugt. Beide Linien sind nun deutlicher zu erkennen. Dies ist damit zu erklären, dass der Fokus sich nun näher
an den beiden Grenzflächen befindet. Zusätzlich ist ein geringes Signal im
Zwischenbereich der Streifen zu sehen, welches von der horizontalen Grenzfläche des Plateaus im Zentrum des Kratzers stammt. Dieses ist ebenfalls aufgrund des Fokusabstands zur Oberfläche des Plateaus und der Absorption im
Glas relativ niedrig.
• In Ebene c) ist das am Plateau erzeugte Signal wesentlich höher. Die beiden
parallelen Linien sind dagegen durch eine verschwindende dritte Harmonische zu erkennen. Die Distanz von Ebene c) zu den beiden unteren Flächen
ist daher vermutlich höher als der konfokale Parameter b. Im Bereich außerhalb des Kratzers ist eine erhöhte Intensität zu sehen, welche an der Probenoberfläche erzeugt wurde. Der Abstand zur Oberfläche liegt daher in der Größenordnung von b.
• Die folgende Ebene d) befindet sich näher an der Probenoberfläche als an
dem Plateau. Außerhalb des Kratzers ist das Signal daher nun viel höher als
im Inneren.
• In e) ist der Abstand zum Plateau bereits so hoch, dass an diesem kaum mehr
dritte Harmonische produziert wird. Der Außenbereich ist dagegen deutlich
zu erkennen.
• Ebene f) befindet sich oberhalb der Probe. Dort ist nur das Signal der Probenoberfläche schwach zu sehen.
Die vertikalen Grenzflächen innerhalb der Probe werden nicht detektiert. Das ist
hauptsächlich auf die Absorption der an diesen Stellen erzeugten Signale im Glas
55
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
zurückzuführen. Außerdem hängt die Intensität der dritten Harmonischen von der
Orientierung der Grenzfläche ab. Für ein gaussförmiges Strahlprofil ist die Intensität an Flächen senkrecht zur Strahlrichtung maximal. Mit zunehmendem Winkel
nimmt das Signal ab und erreicht bei einer Orientierung parallel zur Propagationsrichtung etwa die Hälfte des Maximalwertes [30].
30µm z
f
Luft
d
Glas
65 µm
0µm
45 µm
-10µm
-20µm
c
b
a
5 µm
55 µm
15 µm
-30µm
Objektiv Position
e
-40µm
Abbildung 38: Schematische Darstellung der Struktur des Kratzers.
Wie die Messung zeigt, ist mit der Erzeugung der dritten Harmonischen an Grenzflächen eine Rekonstruktion der dreidimensionalen Struktur von Defektstellen in
Glas möglich. Aufgrund der Absorption des Signals bei 270 nm im Glas entsteht
nur in der Nähe der Oberfläche ein guter Kontrast. Tiefer in der Probe befindliche
Strukturen können daher nicht vermessen werden. Um auch diese untersuchen zu
können, müsste eine höhere fundamentale Wellenlänge verwendet werden, deren
dritte Harmonische in der Probe nicht absorbiert wird.
Die Auflösung wird durch das Fokusvolumen limitiert, welches durch die Objektivparameter vorgegeben ist. Bei Verwendung einer kürzeren Brennweite könnte
durch feinere Abrasterung eine noch bessere Auflösung erzielt werden.
56
5
MESSUNGEN UND ERGEBNISSE
b
a
0,1 mm
0,2 mm
-30 m
-40 m
d
c
-20 m
-10 m
f
e
0 m
30 m
Abbildung 39: Dritte Harmonische an verschiedenen Ebenen einer Glasplatte mit
Kratzer in Falschfarbendarstellung. Blau stellt ein niedriges, weiß ein hohes Signal
dar. Die Ebenen haben einen Abstand von 10 µm. Ebene a) befindet sich 40 µm unterhalb der Oberfläche, Ebene f) 30 µm oberhalb der Probe.
57
6
6
ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Aufbau realisiert, der die Detektion von Grenzflächen zwischen transparenten Medien ermöglicht. Die dazu verwendete Methode basiert auf der Erzeugung der dritten Harmonischen eines fokussierten Laserstrahls der Frequenz ω in normaldispersiven Medien. Beim Fokussieren des Lasers
auf ein dielektrisches Medium wird in der Probe eine elektrische Polarisation induziert. Bei ausreichend hoher Intensität des Strahls enthält die Polarisation Komponenten mit höheren Harmonischen der Grundfrequenz ω. Diese neuen Frequenzen in der Polarisation stellen Quellen neuer Frequenzen im Laserfeld dar. Die an
verschiedenen Positionen des Mediums emittierten harmonischen Wellen interferieren konstruktiv oder destruktiv. Ob beim Austritt des fundamentalen Strahls aus
der Probe eine höhere Harmonische resultiert hängt von der relativen Phase der
einzelnen erzeugten Wellen ab. Bei einer Fokussierung in ein homogenes Medium mit normaler Dispersion interferieren die vor und hinter dem Fokus erzeugten
Amplituden der dritten Harmonischen destruktiv. Befindet sich innerhalb des Fokusvolumens allerdings eine Grenzfläche zwischen Medien mit unterschiedlichen
Suszeptibilitäten dritter Ordnung oder mit verschiedenen linearen Brechungsindizes, werden in beiden Bereichen unterschiedlich hohe Amplituden erzeugt. Es
kommt zu keiner vollständigen Auslöschung beider Anteile. Dieser Effekt wird zur
Detektion von Grenzflächen genutzt.
Als Laserquelle wird ein gepulstes Lasersystem mit zeitlichen Pulsdauern von 120 fs
bei der Zentralwellenlänge von 810 nm verwendet. Der Laserstrahl wird mit einem
Mikroskopobjektiv in die Probe fokussiert. Um ein dreidimensionales Bild zu erhalten, wird der Fokus in drei Raumrichtungen über die Probe verfahren. Die Abrasterung in x- und y-Richtung geschieht mit Hilfe eines Galvo-Scanners. Dieser
besteht aus zwei Spiegeln, welche in zueinander orthogonale Richtungen verkippbar sind. Durch Verfahren des Objektivs mit einem linearen Verschiebetisch wird
der Fokus in z-Richtung durch die Probe bewegt.
Die erzeugte dritte Harmonische wird gemessen und zusammen mit der aktuellen Fokusposition gespeichert. Dazu wird das Signal mittels zweier dichroitischer
Spiegel und eines Interferenzfilters von der fundamentalen Strahlung getrennt. Anschließend wird es mit einem Photoelektronenvervielfacher detektiert und in ein
elektrisches Signal umgewandelt. Ein Lock-In-Verstärker verbessert das Signal zu
Rausch Verhältnis und ermöglicht die Detektion von Signalen unterhalb des Rauschniveaus.
Mit dem beschriebenen Aufbau konnte die Grenzflächensensitivität der Erzeugung
der dritten Harmonischen an einer Quarzglasplatte verifiziert werden. Bei linearer Verschiebung des Fokus durch die Probe wurden hohe Signale lediglich an den
Oberflächen detektiert. Die Messung diente der Charakterisierung des Aufbaus in
axialer Richtung.
Durch Abscannen einer Glasplatte mit eingeätztem zweidimensionalen Gitter wurde der Aufbau für verschiedene Objektive in transversaler Richtung kalibriert. Diese Messung lieferte den Zusammenhang zwischen der an dem Galvo-Scanner an58
6
ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
liegenden Spannung und der Position auf der Probe. Außerdem gab sie Aufschluss
über den maximalen Abscannbereich, der je nach Objektiv zwischen 0,5 mm und
1,8 mm liegt.
Die Methode ermöglicht die Detektion von Strukturen mit einer Genauigkeit, die
durch die Fokusgröße, welche im Bereich weniger Mikrometer liegt, bestimmt ist.
Durch Abrastern einzelner Ebenen können Schnittbilder transparenter Proben erstellt werden, woraus die dreidimensionale Struktur der Probe rekonstruiert werden kann. Dies wurde anhand einer Glasplatte mit Oberflächendefekten demonstriert.
Die zusätzliche Detektion der zweiten Harmonischen liefert weitere Informationen über die Zusammensetzung einer Probe. Da in zentrosymmetrischen Medien
keine nichtlinearen Prozesse gerader Ordnung auftreten, lassen sich mit Hilfe der
zweiten Harmonischen nicht zentrosymmetrische Substanzen lokalisieren. Dies
wurde im Rahmen dieser Arbeit an einem BBO-Kristall überprüft und soll künftig
zur Lokalisierung von Stoffen wie beispielsweise Stärke oder Kollagen genutzt werden. Hierbei liegt die erziehlte Auflösung oberhalb der der dritten Harmonischen.
Eine künftige Aufgabe ist die Verwendung des Aufbaus zur Untersuchung von Mischungsprozessen zwischen transparenten Flüssigkeiten. Um dabei zwischen den
verwendeten Mischungskomponenten unterscheiden zu können, bieten sich Proben mit hohen Unterschieden in den nichtlinearen Eigenschaften dritter Ordnung
an. Dazu wurden in dieser Arbeit die Signalstärken vermessen, welche an der Grenzfläche zwischen verschiedenen Flüssigkeitsproben und Quarzglas entstehen. Die
verwendeten Proben zeigen starke Variationen in der erzeugten dritten Harmonischen. Daher eignet sich der Aufbau für die weiterhin geplanten Messungen.
Ein Vorteil der beschriebenen Methode ist die Abhängigkeit von den nichtlinear
optischen Eigenschaften der Probe. Dies ermöglicht die Abbildung von Objekten,
welche aufgrund ihrer Transparenz und geringen Variationen im Brechungsindex
mit konventionellen Methoden nicht visualisiert werden können. Dieser Vorteil
stellt ein hohes Potential für verschiedenste Bereiche der Wissenschaft und Technik dar. Bei der Erzeugung der zweiten und dritten Harmonischen handelt es sich
um parametrische Prozesse ohne Energieübertrag auf das Medium. Dies ermöglicht die Untersuchung von Objekten mit niedriger Zerstörschwelle und somit die
Anwendung auf zahlreiche biologische Proben. Ein Beispiel hierfür ist in Abbildung 40 gezeigt. Dargestellt ist eine Abbildung von Tabakwurzelzellen (lat. nicotiana tabacum), welche mit dem oben beschriebenen Aufbau erstellt wurde. Gelb
stellt ein hohes, schwarz ein niedriges Signal der dritten Harmonischen dar. Die
Zellwände sind deutlich durch ein hohes Signal zu erkennen. Bei der Struktur innerhalb der Zellen handelt es sich um den Zellkern.
Eine Herausforderung ist die Beschleunigung des Messprozesses. Dieser wird momentan durch den Lock-In-Verstärker limitiert. Um eine effiziente Rauschunterdrückung zu erzielen, ist eine Wartezeit von einigen hundert Millisekunden pro
Messpunkt erforderlich. Durch einen schnelleren Lock-In-Verstärker soll die Wartezeit auf wenige Millisekunden verkürzt werden. Zusätzlich wird die Geschwindigkeit durch die Ansteuerung des Galvo-Scanners begrenzt. Auch hier besteht Opti59
6
ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
mierungspotential, sodass die Aufnahme eines Messpunktes in Zukunft nur noch
wenige Mikrosekunden dauern könnte. Eine solche Beschleunigung würde die Beobachtung verschiedener dynamischer Prozesse in Realzeit ermöglichen.
Abbildung 40: Dritte Harmonische an Tabakwurzelzellen (lat. nicotiana tabacum)
in Falschfarbendarstellung. Gelb stellt ein hohes, schwarz ein niedriges Signal dar.
60
A
FUNKTIONSWEISE EINES LOCK-IN-VERSTÄRKERS
Anhang
A
Funktionsweise eines Lock-In-Verstärkers
Oftmals sollen Signale gemessen werden, die so niedrig sind, dass sie von Störsignalen aus der Umgebung sowie elektronischem Rauschen des Detektors kaum zu
unterscheiden sind. Treten diese Störungen in allen Frequenzen auf, lässt sich das
Signal zu Rausch Verhältnis mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers verbessern [22].
Dieser verstärkt nur Signale, welche mit einer festen Referenzfrequenz auftreten.
Entstehen die Messdaten durch Laser indizierte Prozesse (wie z.B. THG), kann die
Referenzfrequenz durch einen Chopper im Laserstrahl erzeugt werden. Die Signale
sind dann ebenfalls mit der entsprechenden Frequenz moduliert.
Ein Spannungssignal der Form Vsig · sin (ωref · t + θsig ) mit der Referenzfrequenz
ωref und einer Phase θsig wird im Lock-In-Verstärker von einem Demodulator D1
mit dem Referenzsignal Vref · sin (ωref · t) multipliziert. Das resultierende Signal VD1
enthält einen DC-Anteil ohne Frequenz sowie einen Anteil mit der doppelten Referenzfrequenz
VD1 = Vsig · Vref · sin (ωref · t + θsig ) · sin (ωref · t)
=
1
2
· Vsig · Vref · cos (θsig )
(61)
+ 21 · Vsig · Vref · sin (2 · ωref · t + θsig ) .
Durch einen Tiefpassfilter wird nun das Signal mit der doppelten Referenzfrequenz
herausgefiltert. Das resultierende Signal nach der Filterung lautet
1
· Vsig · Vref · cos (θsig ) .
(62)
2
Dieses ist proportional zur gesuchten Signalamplitude Vsig , hängt jedoch noch von
der Phase des Eingangssignals ab. Um sowohl Vsig als auch die Phase θsig bestimmen zu können wird im Lock-In-Verstärker ein weiterer Demodulator D2 verwendet. Dieser multipliziert das Eingangssignal mit einem um 90◦ phasenverschobenen Referenzsignal. Nach Durchlaufen eines weiteren Tiefpassfilters entsteht somit das Signal
1
VD2+F ilter = · Vsig · Vref · sin (θsig ) .
(63)
2
Aus VD1+F ilter und VD2+F ilter kann nun die Amplitude und die Phase des Ursprungsignals berechnet werden:
VD1+F ilter =
Signal
Vsig
q
2
2
= Vref VD1+F
ilter + VD2+F ilter
2
(64)
Phase
θsig = arctan
VD2+F ilter
VD1+F ilter
61
A
FUNKTIONSWEISE EINES LOCK-IN-VERSTÄRKERS
Rauschen und Störsignale bei anderen Frequenzen werden ebenfalls in den Demodulatoren mit dem Referenzsignal multipliziert. Dies resultiert in einem Anteil mit
der Summenfrequenz und einem Teil mit der Differenzfrequenz
VD1 =
1
2
· VX · Vref · cos ((ωX − ωref ) · t + θX )
(65)
+ 12 · VX · Vref · sin ((ωx + ωref ) · t + θX ) .
Der Summenfrequenzterm ist hochfrequent und wird von dem Tiefpassfilter herausgefiltert. Ob der niederfrequente Differenzfrequenzterm den Filter passiert hängt
von dessen Bandbreite ab. Ist der Abstand der Frequenz ωX von der Referenzfrequenz ωref größer als die Filterbandbreite ∆F B , wird auch dieser Anteil unterdrückt.
62
B PHASENBETRACHTUNG BEI DER ERZEUGUNG DER DRITTEN
HARMONISCHEN
B
Phasenbetrachtung bei der Erzeugung der dritten Harmonischen
Die Tatsache, dass bei Phasenanpassung ∆k = 0 keine dritte Harmonische entsteht, ist auf den Verlauf der Gouy-Phase Φ (z) des Gauss’schen Strahls zurückzuführen. Die an verschiedenen Stellen im Medium emittierten elektromagnetischen
Wellen bei der dritten harmonischen Frequenz können konstruktiv oder destruktiv
interferieren. Die Interferenz hängt dabei von der Phase der induzierten Polarisation im Vergleich zur Phase der abgestrahlten Welle ab. Sind beide identisch, so
interferieren die Teilwellen konstruktiv. Dagegen kommt es zur destruktiven Interferenz, wenn beide außer Phase sind.
Die im Medium erzeugte Polarisation der Frequenz 3ω ist proportional zur dritten
Potenz des erzeugenden Strahls. Dies verursacht eine Phase 3Φ (z) in der Polarisation. Die dritte Harmonische ist ein Gauss’scher Strahl mit dem gleichen konfokalen Parameter und der gleichen Gouy-Phase wie bei der Fundamentalen. Somit
entsteht zwischen dem erzeugten Strahl und der Polarisation eine Phasendifferenz
von (3 − 1) Φ (z). Diese Phasendifferenz ist in Abbildung a dargestellt.
? k=0
Phase
p
0
-2
0
2
z/b
-p
Abbildung a: Abhängigkeit der Phasendifferenz zwischen dem erzeugten Strahl
und der Polarisation bei der dritten harmonischen Frequenz für perfekte
Phasenanpassung ∆k = 0.
Bei Propagation durch den Fokus verläuft die Phasendifferenz von +π bis −π. Die
an den verschiedenen Stellen im Medium erzeugten Beiträge zur Amplitude der
dritten Harmonischen interferieren daher destruktiv.
Ist ∆k 6= 0, so entsteht zusätzlich eine Ortsabhängige Phasendifferenz von ∆k · z.
Je nach Vorzeichen der Phasenfehlanpassung ∆k kann dies den, durch die GouyPhase verursachten Effekt verstärken oder kompensieren. Für positive Phasenfehlanpassung verläuft der zusätzliche Teil entgegengesetzt zu Φ (z) vom Negativen ins
Positive. Die Phasendifferenz 2 · Φ (z) wird dadurch im relevanten Fokusbereich
zunächst verringert. Für zu große positive ∆k dominiert dagegen der Term ∆k · z
gegenüber 2·Φ (z) und bewirkt seinerseits eine destruktive Interferenz der verschie63
B
PHASENBETRACHTUNG BEI DER ERZEUGUNG DER DRITTEN
HARMONISCHEN
denen Anteile der dritten Harmonischen. Dies ist in Abbildung b dargestellt. Eine
minimale Phasendifferenz im relevanten Fokusbereich wird bei ∆k = 2/b erreicht.
Für diesen Wert von der Phasenfehlanpassung wird daher auch ein maximales Signal bei der dritten harmonischen Frequenz erzeugt.
p
? k=4/b
Phase
? k=2/b
0
-2
0
2
z/b
? k=0.5/b
-p
Abbildung b: Abhängigkeit der Phasendifferenz zwischen dem erzeugten Strahl
und der Polarisation bei der dritten harmonischen Frequenz für verschiedene positive Werte der Phasenfehlanpassung ∆k.
Für negative Phasenfehlanpassung ∆k < 0 wird der durch die Gouy-Phase erzeugte
Effekt noch verstärkt. Dies ist in Abbildung c gezeigt. In diesem Fall interferieren
die erzeugten Wellen destruktiv.
Phase
p
0
? k=-2/b
-2
0
2
z/b
-p
Abbildung c: Abhängigkeit der Phasendifferenz zwischen dem erzeugten Strahl
und der Polarisation bei der dritten harmonischen Frequenz für negative Phasenfehlanpassungen ∆k < 0 .
64
C
C
PEAKFORM
Peakform
T H G L e is tu n g in b e l. E in h e ite n
Bei verschiedenen Messungen wird die, an Grenzflächen erzeugte dritte Harmonische in Abhängigkeit von der Fokusposition detektiert. Um Parameter wie die Breite und Höhe des erzeugten Signals zu bestimmen, muss eine geeignete Peakfunktion an die Datenpunkte gefittet werden. Aus der Theorie lässt sich jedoch kein einfacher funktionalen Zusammenhang zwischen der Fokusposition und dem Signal
bei der dritten harmonischen Frequenz vorhersagen. Zur Bestimmung der passenden Funktion wurde das an einer Grenzfläche zwischen Quarzglas und Luft erzeugte Signal simuliert. Die Simulationsdaten sind in Abbildung d dargestellt. An die
Daten wurden verschiedene Funktionen gefittet. In der Abbildung ist ein Gauss-Fit
sowie ein Lorentz-Fit an die Simulationsdaten gezeigt. Es ist zu erkennen, dass die
Datenpunkte fast vollständig auf der Lorentzkurve liegen. Die Gausskurve zeigt dagegen Abweichungen von den Daten. Daher wird bei Auswertung der Messungen
immer eine Lorentzfunktion an die Messdaten gefittet.
Equation
S im u la tio n s d a te n
G a u s s -F it
L o re n tz -F it
Adj. R-Square
F
F
F
F
F
F
F
Equation
Adj. R-Square
F
F
F
F
F
F o k u s p o s itio n in b e l. E in h e ite n
Abbildung d: Simulierte Leistung der dritten Harmonischen an der Grenzfläche
zwischen Quarzglas und Luft. Die schwarzen Punkte stellen die Simulationsdaten dar. Die blaue Kurve zeigt einen Gauss-Fit an die Daten, die rote Kurve einen
Lorentz-Fit.
65
C
66
PEAKFORM
LITERATUR
Literatur
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gas atmosphere: Absolute value of the third-order nonlinear optical susceptibility χ(3) , Physical Review B, Vol. 61, No.16, 2000
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[18] R. Trebino: Frequency-Resolved Optical Gating: The Measurement of Ultrashort
Laser Pulses, Boston Mass.: Kluwer, 2002
[19] C. Wenski: Aufbau eines Einzelpuls-Autokorrelators für FemtosekundenLaserpulse, Bachelor Thesis, 2010
[20] T. Halfmann: Optik, Vorlesungsskript 2008
[21] http://refractiveindex.info (Stand: Oktober 2010)
[22] Stanford Research Systems: Model SR 530 Lock-In-Amplifier, User’s Manual,
2005
[23] G. Mizutani, et al: Detection of starch granules in a living plant by optical second harmonic microscopy, Journal of Luminescence, 2002
[24] R. Gauderon and P. B. Lukins: Three-dimensional second-harmonic generation
imaging with femtosecond laser pulses, Optics Letters, Vol. 23, No. 15, 1998
[25] I. Freund and M. Deutsch: Second-harmonic microscopy of biological tissues,
Optics Letters, Vol. 11, Issue 2, 1986
[26] P.J. Campagnola, et al: Three-dimensional high-resolution second-harmonic
generation imaging of endogenous structural proteins in biological tissues, Biophysical Journal, Vol. 82, 2002
[27] P.J. Campagnola and L.M. Lew: Second-harmonic imaging microscopy for visualizing biomolecular arrays in cells, tissues and organisms, Nature Biotechnology, Vol. 21, 2003
[28] F. Kajzar and J. Messier: Third-harmonic generation in liquids, Physical Review
A, Vol. 32, No. 4, 1985
[29] R. Barille, et al: Nonlinearity measurements of thin films by third-harmonicgeneration microscopy, Physical Review E, Vol. 66, 2002
[30] N. Olivier and E. Beaurepaire: Third-harmonic generation microscopy with
focus-engineered beams: a numerical study, Optics Express, Vol. 16, No. 19,
2008
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Danksagung
Zuerst möchte ich mich bei Prof. Dr. Thomas Halfmann bedanken. Danke Thomas für die spannenden Vorlesungen, durch die Du mich von der Optik und Laserphysik begeistert hast. Dir habe ich die Entscheidung für die Vertiefungsrichtung
Moderne Optik im Masterstudiengang und schließlich für diese Masterarbeit zu
verdanken. Danke für das interessante Thema und, dass ich meine Masterarbeit in
deiner Arbeitsgruppe durchführen durfte.
Ein besonderer Dank geht an Uwe Petzold für die nette Betreuung und die kollegiale Zusammenarbeit. Die gemeinsame Arbeit am Projekt hat mir sehr viel Spass gemacht. Danke für die interessanten physikalischen und außerphysikalischen Dikskussionen und für die Unterstützung beim verfassen dieser Arbeit.
Auch bei allen anderen Mitgliedern der Arbeitsgruppe Nichtlineare Optik/Quantenoptik möchte ich mich bedanken. Bei euch habe ich mich immer sehr wohl gefühlt.
Bei fachlichen Fragen und Problemen konnte ich immer auf eure kompetente Unterstützung zählen.
Hier ist besonders Holger Münch zu erwähnt. Deine Ratschläge bei labortechnischen sowie physikalischen Fragestellungen haben mir immer sehr weitergeholfen.
Außerdem möchte ich mich bei Christian Wenski für die Zusammenarbeit im Rahmen seiner Bachelorarbeit bedanken.
Auch für die zahlreichen privaten Unternehmungen danke ich der Arbeitsgruppe.
Danke an die Arbeitsgruppe von Yaron Silberberg am Weizmann Institut in Israel
und insbesondere an Ori Katz für die fachliche Hilfe und die Gastfreundschaft.
Für das Korrekturlesen dieser Arbeit bedanke ich mich bei Saranya Bechtold und
Joachim Langhammer.
Meinen Eltern Bruno und Christel Wagner danke ich für die finanzielle und moralische Unterstützung vor und während meines Studiums. Ohne euch wäre diese
Arbeit nicht möglich gewesen.
Erklärung zur Masterthesis
Hiermit versichere ich, vorliegende Masterthesis ohne Hilfe Dritter nur mit den
angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus
Quellen entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat
in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Ort
Datum
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