Grenzkosten (1) (B)

Grenzkosten (1)*
Aufgabennummer: B_316
Technologieeinsatz:
möglich T
erforderlich £
Ein Betrieb erhebt die Grenzkosten für unterschiedliche Produkte.
a) Für eine quadratische Grenzkostenfunktion K′ mit K′(x) = a · x 2 + b · x + c ergeben sich
folgende Zusammenhänge:
Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME)
Grenzkosten in Geldeinheiten/Mengeneinheit (GE/ME)
20
50
60
1 060
7 120
10 340
– Interpretieren Sie den Grenzkostenwert 1 060 im gegebenen Sachzusammenhang.
− Stellen Sie die Funktionsgleichung dieser Grenzkostenfunktion auf.
b) Für die Grenzkostenfunktion K′ eines anderen Produkts gilt:
K′(x) = 0,3 ∙ x 2 – 4 ∙ x + 15
x … Anzahl der produzierten ME
K′(x) … Grenzkosten bei x ME in GE/ME
– Berechnen Sie die Kostenkehre.
Bei einer Produktionsmenge von 35 ME betragen die Gesamtkosten 2 372,50 GE.
− Berechnen Sie die zugehörige Kostenfunktion K.
* ehemalige Klausuraufgabe
Grenzkosten (1)
2
c) Ein Produkt wird zu einem konstanten Preis von 10 GE/ME abgesetzt. Die Fixkosten be­
tragen 5 GE. Die obere Gewinngrenze beträgt 4 ME.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Grenzkostenfunktion
K′ dieses Produkts.
K′(x) in GE/ME
25
K′
20
15
10
5
0
x in ME
0
1
2
3
4
–Z
eichnen Sie den Funktionsgraphen der zugehörigen Erlösfunktion E im Intervall [0; 4] in
der unten stehenden Abbildung ein.
− Zeichnen Sie den Funktionsgraphen der zugehörigen Kostenfunktion K im Intervall
[0; 4] in der unten stehenden Abbildung ein.
K(x), E(x) in GE
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
x in ME
0
1
2
3
4
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Grenzkosten (1)
3
Möglicher Lösungsweg
a) Der Grenzkostenwert 1 060 GE/ME bedeutet, dass bei einer Produktionsmenge von
20 ME eine Steigerung der Produktion um 1 ME zu einer Kostensteigerung von nähe­
rungsweise 1 060 GE führen wird.
K′(20) = 1 060
K′(50) = 7 120
K′(60) = 10 340
Lösen dieses Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
K′(x) = 3 · x 2 – 8 · x + 20
b) K
″(x) = 0,6 · x – 4
20
≈ 6,7
3
Die Kostenkehre liegt bei rund 6,7 ME.
0 = 0,6 · x – 4 ⇒ x =
∫ (0,3 · x
2
– 4 · x + 15) dx = 0,1 · x 3 – 2 · x 2 + 15 · x + C
K(35) = 2 372,50:
0,1 ∙ 353 – 2 ∙ 352 + 15 ∙ 35 + C = 2 372,50 ⇒ C = 10
K(x) = 0,1 · x 3 – 2 · x 2 + 15 · x + 10
c)
K(x), E(x) in GE
50
45
40
35
E
30
K
25
20
15
10
5
0
x in ME
0
1
2
3
4
Grenzkosten (1)
4
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Interpretation der Grenzkosten im gegebenen Sachzusammen­
hang
1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung
b) 1 x B1: für die richtige Berechnung der Kostenkehre
1 x A: für den richtigen Ansatz zum Aufstellen der Funktionsgleichung der Kosten­
funktion K
1 x B2: für die richtige Berechnung der Integrationskonstanten
c) 1 x A1: für das richtige Einzeichnen des Graphen von E im Intervall [0; 4]
1 x A2: für das richtige Einzeichnen des Graphen von K im Intervall [0; 4] als ertrags­
gesetzliche Kostenfunktion mit Fixkosten 5 GE und oberer Gewinngrenze
4 ME
1 x A3: für die richtige Darstellung der Extremstelle der Grenzkostenfunktion als Wen­
depunkt des Graphen der Kostenfunktion an der Stelle x = 1