Lösung 9

Physik II
Übung 9 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
SoSe 2012
Stand: 04.07.2012
Aufgabe 1 Diskussion: Faraday Käfig
Was bewirkt ein Faraday-Käfig? Wie genau funktioniert er noch mal? Welche technischen Anwendungen gibt es? Und andersherum: Gibt es Probleme bei technischen Anwendungen, die
durch den einen solchen Käfig verursacht werden?
Lösungshinweise:
Ein Faradayscher Käfig ist ein geschlossenes Objekt aus einem elektrisch leitenden Material (z.B.
Metall). Wird er von außen einem elektrischen Feld (oder auch elektromagnetischer Strahlung)
ausgesetzt, kann er dieses Feld in seinem inneren “abschirmen”. Damit verhindert er, dass ein
in ihm befindlicher Gegenstand elektromagnetischer Strahlung bzw. elektrischen Feldern ausgesetzt wird. Selbst dauerhaft auf den Käfig aufgebrachte Ladungen erzeugen kein Feld im
inneren.
Allgemeines Funktionsprinzip: Der Käfig ist ein Leiter. Zusätzliche Ladungen sowie die Leitungselektronen können sich daher frei auf ihm bewegen. Sie ordnen sich in einem außen anliegenden Feld genau so an, dass im inneren des Käfigs das von ihnen selbst erzeugte Feld das äußere
gerade aufhebt. Im elektrostatischen Grenzfall spricht man hier von Influenz während man für
elektromagnetische Strahlung eher von Wirbelströmen sprechen sollte, sodass auch ausreichend
hochfrequente Magnetfelder abgeschirmt werden.
Werden zusätzliche Ladungen auf den Käfig aufgebracht, verteilen sich dies gleichmäßig außen,
auch hier hebt sich ein mögliches Feld im inneren auf.
Für eine perfekte Abschirmung bräuchte man eigentlich eine Faraday-Kiste. Für niederfrequente
oder statische Felder (Blitz) tuts auch ein Käfig, wobei allerdings die Maschen nicht zu grob sein
sollten.
Anwendungsbeispiele: Blitzableitung (auch beim Autofahren oder Fliegen), van-de-GraafGenerator, Abschirmung von Geräten und elektronischen Bauteilen gegenüber Störungen, Mikrowelle, Show-Experimente mit Blitzen.
Probleme kann es z.B. beim Empfang von Mobilfunksignalen, Fernsehen, Radio, GPS, etc. geben. Generell wird jede elektromagnetische Strahlung, deren Wellenlänge groß gegenüber den
Löchern im Käfig ist, abgeschirmt (im Auto kann man beispielsweise telefonieren aber das Feld
des Blitzes ist quasistatisch und kommt nicht rein um die Innenluft zu ionisieren und damit die
Insassen zu grillen).
1
Aufgabe 2 Diskussion: Kondensatoren Schalten
a) In einem Schaltkreis können Kondensatoren entweder parallel oder in Serie geschaltet werden. Erkläre wie sich jeweils die Gesamtkapazität der Kondensatoren in einer solchen Schaltung
verändert wenn man den zweiten Kondensator einbaut aber die Spannung konstant hält.
b) Kann Gleichstrom (konstante Spannung angelegt) durch einen Kondensator fließen? Kann es
Wechselstrom?
Lösungshinweise:
a) Bei Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten C = C1 + C2 , bei Reihenschaltung sinken
sie reziprok C1 = C1 + C1 . Das ist anschaulich ganz klar, weil eine Spannung im parallelen Aufbau
1
2
die Ladungen auf beiden Kondensatoren herauszieht, während sie sich im seriellen Aufbau auf
die Kondensatoren verteilen muss. Mathematisch gilt
Q = CU
Q p = Q 1 + Q 2 = C1 U + C2 U = C1 + C2 U
Q
1
Q
1
+
=Q
+
Us = U1 + U2 =
C1 C2
C1 C2
Wobei bei Reihenschaltung verwendet wird, dass die Ladungen, die auf den ersten Kondensator
fließen, aus dem zweiten kommen müssen.
b) Gleichstrom kann generell nicht durch Kondensatoren fließen, nachdem diese aufgeladen
sind. Das kann man sich ganz leicht überlegen: durch die Luft zwischen den Kondensatorplatten
können sich keine Ladungen bewegen.
Bei Wechselstrom sieht das anders aus, weil Wechselstrom gar nicht in dem Sinne “fließt” sondern vielmehr hin und her wackelt. Er fließt also immer in den Kondensator rein und wieder
hinaus, man sagt dann er kann durch ihn hindurchfließen. Das funktioniert allerdings nur so
lange gut, wie die Periodendauer des Stromes kleiner ist als die Aufladezeit des Kondensators.
Ist der Kondensator sehr klein und der Strom eher niederfrequent, fließt nur ganz wenig Strom
- man hat also wie fast immer in der Physik einen stetigen Übergang.
Aufgabe 3 Diskussion: Kondensatoren Bauen
a) Man kann die Kapazität eines Schaltkreises erhöhen, indem man die Oberfläche eines Kondensators vergrößert, oder indem man mehrere Kondensatoren zusammenschaltet (siehe Aufgabe 2). Was sind jeweils Vor- und Nachteile der beiden Herangehensweisen?
b) Warum kann es u.U. Sinn machen, einen Kondensator rund und nicht eckig zu bauen?
Lösungshinweise:
a) Die Kapazität erhöht sich in beiden Fällen gleich stark. Die Kapazität eines Plattenkondensators ist proportional zu dessen Oberfläche. Wenn man also annimmt, dass man einfach kleine
Metallplatten nebeneinander setzt, ist es tatsächlich egal, wie man es macht, wenn man mal
2
von den Spalten absieht, die man zwischen den kleinen Kondensatoren lassen müsste. Einziger
Nachteil bei der Verwendung vieler Einzelkondensatoren ist verschwendeter Platz und eine kompliziertere Verschaltung. Ähnlich kann man für einen Schichtkondensator argumentieren, der im
Prinzip ja nichts anderes darstellt als eine Menge übereinandergestapelter Kondensatoren.
b) An Ecken entsteht durch den Spitzeneffekt ein hohes elektrisches Feld. Dadurch kommt es
irgendwann zu Funkenentladung, was die maximal mögliche Spannung am Kondensator limitiert. Baut man den Kondensator rund, kommt es erst sehr viel später zu Funken, was immer
dann Sinn macht, wenn man sehr hohe Spannungen erreichen möchte. Eine andere Methode,
um die Spannung zu erhöhen, ist die Verwendung eines geeigneten Dielektrikums, das eine
höhere Durchschlagsfestigkeit als Luft aufweist (etwa Keramiken).
Aufgabe 4 Schwebeplatte
Für einen Zaubertrick nutzt Arbadak Arba zwei quadratische Kupferplatten mit der gleichen
Fläche A = 1 m2 und der Dicke d = 1 mm. Die Platten sind waagerecht angeordnet, die obere
Platte ist befestigt, aber unsichtbar für das Publikum. Die untere Platte liegt zunächst auf dem
Tisch des Zauberers. Der Abstand zwischen den beiden Platten beträgt z = 10 cm.
Man kann beide Platten als Kondensator betrachten. Arbadak hat eine Spannungsquelle, die er
an den Kondensator anschließt. Anschließend hebt er die untere Platte exakt um 1 cm an. Die
Platte schwebt nun genau in dieser Lage.
a) Welche Spannung hatte seine Spannungsquelle?
b) Prüfe, ob die Lage ein stabiles Gleichgewicht darstellt.
As
Hinweis: ρKup f er = 8.91 g/cm3 und "0 = 8.85 × 10−12 Vm
Lösungshinweise:
a) Im Zustand der schwebenden Platte herrscht offenbar ein Kräftegleichgewicht. Was ist nun
die Kraft auf die untere Platte?
Die Energie des Plattenkondensators ist
W (x) =
1
2
C(x)U 2 =
"0 A
2x
U2
Dabei hängt in unserem Fall C vom Abstand der Platten x ab. Wir wissen auch dW = F dx. Wir
können das ganze umformen zu
F=
dW
dx
=−
"0 A
2x 2
U2
Die Kraft wirkt entgegen der Richtung des Abstandes, damit also anziehend. Wir suchen nun
eine Spannung, bei dem die Kraft gleich der Gewichtskraft der Platte ist.
3
mg =
"0 A
2x 2
È
U=
U2
2mg x 2
"0 A
È
U=
2ρKup f er dAg x 2
"0 A
U =440 kV
Das ist natürlich eine relativ hohe Spannung, die vermutlich bei diesem Abstand auch zu Überschlägen führen würde.
b) Je kleiner der Abstand zwischen den Platten ist, desto größer wird die anziehende Kraft.
Wenn der Zauberer also nicht exakt den richtigen Abstand trifft, schwebt die untere Platte nicht,
sondern wird zur oberen angezogen, bzw. fällt wieder auf den Boden. Eigentlich ist also so ein
Trick unmöglich.
Aufgabe 5 Felder, Felder, Felder
Berechne das Feld für das Innere und das Äußere einer homogen geladenen Kugel mit der
Ladung Q und Radius R.
Hinweis: Die Ladungen befinden sich tatsächlich gleichmäßig über das gesamte Kugelvolumen
verteilt (offensichtlich kein Leiter).
Lösungshinweise:
Zur Erinnerung:
I
~ · dA
~=
E
Q
"0
Sowohl im Inneren als auch im Äußeren steht das Feld immer senkrecht auf einer beliebigen
Kugelfläche (Mittelpunkt identisch mit der geladenen Kugel). Wir müssen daher nur über Gauss
den Betrag berechnen.
Innen (r < R):
Als Fläche betrachten wir eine Kugel mit Radius r.
I
~ · dA
~ = E4πr 2 =
E
Q i (r)
"0
4
Da die Kugel homogen geladen ist, herrscht überall die gleiche Ladungsdichte. Damit können
wir Q i (r) bestimmen.
ρ =4
3
Q i (r) =
r3
R3
Q
=
πR3
Qi
4
πr 3
3
Q
Einsetzen ergibt
E=
1
Q
4π"0 R3
r
Außen (r > R):
Hier ist offensichtlich immer die gesamte Ladung Q eingeschlossen.
I
~ · dA
~ =E4πr 2 =
E
E=
1
Q
"0
Q
4π"0 r 2
Aufgabe 6 Was hat Milikan gemacht
Den Milikan-Versuch natürlich! Dazu hatte er zunächst einen horizontalen Plattenkondensator
(d = 6 mm, U = 200 V). In das Feld des Plattenkondensators kann man nun ein Öltröpfchen geben, welches die Dichte ρ = 0.95g/cm3 hat. Das Öltröpfchen kann man von der Seite beobachten. In der Luft werden Bewegungen des Tröpfchens durch Stokesche Reibung (F r = −6πηr v
beeinflusst. Nach kurzer Beschleunigungsphase (vernachlässigen) kann man eine gleichförmige
Bewegung des Tröpfchens feststellen. Das Tröpfchen steigt in 25 s um 1 mm. Bei umgepoltem
Feld bewegt es sich abwärts, benötigt für einen Millimeter diesmal jedoch nur 12 s.
Berechne Ladung und Radius des Tröpfchens!
kg
Hinweis: Für Luft sei η = 1.82 × 10−5 m · s
Lösungshinweise:
Man hat es jeweils mit einem Kräftegleichgewicht (gleichförmige Bewegung) aus drei Kräften
zu tun: Gewichtskraft, Reibungskraft und elektrostatische Kraft. Die z-Achse zeige in Richtung
der Gewichtskraft
Zunächst berechnen wir die elektrostatische Kraft. In einem Kondensator herrscht ein elektrisches Feld E = Ud . Die von diesem Feld erzeugte Kraft ist (Vorzeichen je nach Polung)
Fel = qE = ±
qU
d
5
Die Gewichtskraft berechnet sich mit Hilfe des Tröpfchenradius
F g = mg = −4πρr 3 g
Die Reibungskraft hängt ebenfalls mit dem Tröpfchenradius zusammen
F r = −6πηr v
Setzt man das Kräftegleichgewicht an ergeben sich folgende Gleichungen für das Auf- bzw.
Absteigen des Tröpfchens
0=
qU
− 4πρr 3 g − 6πηr v 1
d
qU
0=−
− 4πρr 3 g + 6πηr v 2
d
Das ist ein nicht-lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Zunächst berechnen wir r,
indem wir beide Gleichungen addieren und damit q eliminieren
0 = −8πρr 3 g + 6πηr v 2 − v 1
8ρ g r 3 = 6ηr v 2 − v 1
3
η
v2 − v1
r2 =
4
ρg
Das kann man in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um q auszurechnen
q=
Setzen wir Zahlenwerte ein: v 1 =
Š
d€
4πρr 3 g + 6πηr v 1
U
1 mm
25 s
= 4 × 10−5 m/s, v 2 =
1 mm
12 s
= 8 × 10−5 m/s
r = 2.51 × 10−7 m
q = 1.60 × 10−19 C
Aufgabe 7 Vier Ladungen
In jedem der vier Eckpunkte eines Quadrates befinde sich eine punktförmige Ladung q = 2 ×
109 C. Um zu verhindern, dass diese Ladungen sich aufgrund der abstoßenden Coulombkraft
voneinander entfernen, wird in die Mitte des Quadrates eine negative Ladung Q positioniert,
die die vier Ladungen der Eckpunkte anzieht. Wie groß muss die Ladung Q sein, damit sich die
anziehenden und die abstoßenden Kräfte genau derart die Waage halten, dass alle Ladungen
kräftefrei an ihren Orten bleiben?
Lösungshinweise:
6
d
2
d
1
Q
3
4
Aus Symmetriegründen reicht es aus, zunächst die abstoßende Kraft zu berechnen die auf eine
der vier Ladungen wirkt. Gleicht die negative Ladung diese aus, gilt das auch für die anderen
drei Ladungen.
Wir betrachten Ladung 1, und Kräfte in zwei Dimensionen.
F~1,g es = F~1,2 + F~1,3 + F~1,4
Für jede Kraft gilt allgemein
F~ =
1,2
1,3
1,4
q2
4π"0 r 2
Abstand x
d
pd
2·d
F~1,ges =
1
q2
4π"0 d 2
‚
~e r
Richtung ~e r
(−1, 0)>
(0, 1)>
(− p12 , p12 )>
−(1 + 2p1 2 )
1 + 2p1 2
Œ
Wie auch aus Symmetriegründen zu erwarten, ist diese Kraft schon parallel zur von der Ladung
Q auf die erste Ladung ausgeübte Kraft. Wir können daher Beträge vergleichen.
7
!
F1,g es = − F1,Q
q2
p
1
qQ
1
2(1 + p ) =
·1
2
d
4π"0 ( p )2
4π"0 d
2 2
2
p
2
1
q
(1 + p ) =Q
2
2 2
Q =1.9 × 10−9 C
Aufgabe 8 Energiedichte des Feldes
Eine Kugel mit einem Radius R = 10cm werde mit einer elektrischen Ladung von Q = 109 C
aufgeladen und erfüllt dadurch den sie umgebenden Raum mit einem elektrostatischen Feld.
Berechne die Gesamtenergie, die dieses Feld im Außenraum der Kugel enthält.
Hinweis: Die Energiedichte eines Feldes wird beschrieben durch u = 12 "0 E 2 .
Lösungshinweise:
Wir kennen die Feldstärke aus früheren Aufgaben:
E(r) =
1
Q
4π"0 r 2
Um die Gesamtenergie zu bestimmen, müssen wir die Energiedichte über den kompletten Außenraum integrieren
Z
E=
udV
aussen
=
Z2πZπ Z∞
2
0
0
=4π "0
2
Q
"0 E(r)2 r 2 sin θ dϕdθ dr
R
1
=
1
Z∞ R
∞
Z
Q
2
4π"0 r 2
1
r2
8π"0
1
dr
dr
R
=
Q
∞
1
(−1)
8π"0
r R
Q 1
=
≈ 4.5 × 10−8 J
8π"0 R
8