Ubungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie

Institut für Experimentelle Kernphysik
Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und
Bioingenieure und Verfahrenstechniker
WS 11/12
Prof. Dr. T. Müller
Dr. F. Hartmann
Blatt 2
1. Multiple Choice - Verständnisfragen
(a) Nabla =
∂
∂
∂
1. ( ∂x
, ∂y
, ∂z
)
2.
3.
∂
∂x
∂
∂x
+
∂
∂y
+
· ex +
∂
∂z
∂
∂
· ey + ∂z
∂y
∂ 2
∂ 2
∂ 2
(( ∂x
) , ( ∂y
) , ( ∂z
) ).
· ez
4.
5. ∇
6. ∆
(b) In einem quellenfreien Feld F⃗ gilt immer
1. div F⃗ = 0
2. div F⃗ ̸= 0
3. rotF⃗ = 0
4. ∇ · F⃗ = 0
(c) div F⃗ ergibt
einen Vektor
einen Salar
ein skalares Quellenfeld von F⃗
das Rotationsfeld von F⃗
(d) rot F⃗ ergibt
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
einen Vektor
einen Salar
ein skalares Quellenfeld von F⃗
das Rotationsfeld von F⃗
das Wirbelfeld von F⃗
ist gleich ∇ × F⃗
Bearbeitung: 11.11.2011
(e) grad F ergibt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
einen Vektor
einen Salar
ein skalares Quellenfeld von F
das Rotationsfeld von F
ist gleich ∇ × F
ist gleich ∇ · F
(f ) Konservative Felder:
1. Ein Kraftfeld ist dann konservativ, wenn es eine Funktion V gibt, so dass sich
die Kraft als Gradient dieser Funktion V schreiben F⃗ = −∇V
2. Die geleistete Arbeit in einem konservativen Feld ist wegunabhängig
3. Das Coulombfeld ist konservativ
4. das Gravitationsfeld ist konservativ
H
5. W = F⃗ d⃗s = 0
(g) Wegintegrale im Coulombfeld; es gilt
1. Die verichtete Arbeit entlang des
Weges 1 - 5 ist gleich Null
2. Die verichtete Arbeit entlang des
Weges 1 - 5 - 1 ist gleich Null
5
3. Die Arbeit entlang jedes Weges mit
demselben Start- und Endpunkt ist
Null
4. Die Arbeit
(
∫ 2 von 1 →Qq2 ist
1
⃗ s=
W = +q 1 Ed⃗
−
4πϵ0
r1
5. Die Arbeit
∫ 2 von 2 →Qq3 ist
1
⃗ s=
W = +q 1 Ed⃗
4πϵ0 r2
6. W =
H
F⃗ d⃗s = 0
2. Quellladungen
Im Raum
sichfolgende
 befinden

 Ladungen:
 
−2
2
0
8e @  4  ; 1e @  −2  ; − 5e @  0 
4
1
7
 
0
⃗

0 
Welches Feld ergibt sich in O =
0
⃗
Welche Kraft erfährt eine Ladung e in O?
1
r2
)
3. Ladung im elektrischen Feld
(a) Ladung im elektischen Feld
Ein Elektron wird durch ein homogenes elektrisches Feld von 100 V/m beschleunigt. Wie lange dauert es, bis das Elektron nach 1 Meter aus dem Feld austritt?
Wie groß ist die Geschwindigkeit? Wie groß ist die kinetische Energie?
(b) Ladung im elektischen Feld II
Es sei ein homogenes elektrisches Feld von 100 V/m zwischen zwei wagrechten
Fläechen der Kantenlängen von 2m mit
 Abstand 2 m; Feldlinienrichtung von
0
⃗ = 100 V  0 .
oben nach unten, d.h. E
m
−1
Ein Elektron fliegt nun in waagrechter Richtung e⃗x mit der Geschwindigkeit ⃗v =
100 ms und einer Höhe von 1 m hinsichtlich der unteren Fläche.
Prallt das Elektron auf eine der beiden Platten oder verläßt es das elektrische
Feld?
Bitte vektoriell rechnen und Gravitation vernachlässigen!
4. Potential des elektrischen Feldes
1
· Qr das Potential einer Punktadung (Bezugspunkt = ∞)
Zeigen Sie, dass ϕ(r) = 4πϵ
0
des bekannten elektrischen Coulomfeld ist!
⃗ r) = −∇ϕ(⃗
⃗ r)
Hinweis: E(⃗
5. Ladungsverteilungen, E-Felder und Potentiale
Vorvorbemerkung: Es ist nicht vorgesehen alle Teilaufgaben durchzusprechen (siehe
auch Überlapp mit Vorlesung). Es sollen eher mehrere Beispiele angeführt werden,
um das allgemeine Vertändnis zu erweitern. Die Lösungen werden später im Web
veröffentlicht.
⃗ (Flächennormale für dA)
Vorbemerkung: Der Fluss Φ durch das Flächenelement dA
ist folgendermassen definiert:
∫
⃗ r)dA
⃗
Φ = E(⃗
(1)
Satz von Gauß: Φ = ϵQ0 Fluß aus beliebiger geschlossener Fläche ist proportional zur
umschlossenen Ladung Q, unabhängig von der Ladungsverteilung.
Um den Satz von Gauss vernünftig anwenden zu können, ist es wichtig, sich als erstes
über die Symmetrie des Systems (insbesondere des elektrischen Feldes) klar zu werden.
Dieser Symmetrie angepasst muss dann eine geeignete Gausssche Fläche ausgewählt
werden, so dass das elektrische Feld in jedem Punkt
1. senkrecht zur Fläche steht,
2. sowie identischen Betrag besitzt. Erst dann ist es leicht genug, den Fluss Φ des
elektrischen Feldes durch diese Fläche zu berechnen und damit den Satz von
Gauss anzuwenden.
Zusätzliche Hilfestellungen und Vorbemerkungen in Info.Aufgabe2.pdf
Aufgabe:
Berechnen und zeichnen Sie die elektrischen Felder und Potentiale in Abhängigkeit
von z bzw. r folgender Ladungsverteilungen:
(a) Wir betrachten eine homogen geladene (x,y)-Ebene mit Flächenladungsdichte σ.
Als Gausssche Fläche wählen wir dementsprechend einen Quader (oder ein beliebiges Prisma) mit Deckfläche A. (z-Abhängig)
(b) Hohlkugel mit Radius R, einer Flächenladungsdichte σ und einer Gesamtladung
Q = 4πR2 σ. (r-Abhängig)
(c) Geladene Vollkugel mit einer Ladung Q = 34 πR3 ρ für r ≥ R. (r-Abhängig)
(d) Unendlich langer, geladener Stab mit Radius R. Die Ladung pro Längeneinheit sei
λ = πR2 ρ (r-Abhängig)
(e) Koaxialkabel
Ein Koaxialkabel entspricht einer Anordnung von
einem leitenden Draht mit Radius R1 , der koaxial von einem dünnen, leitenden Hohlzylinder mit
Radius R2 umgeben ist. Die beiden Leiter mögen
die entgegengesetzt gleichen Ladunsgdichten pro
Längeneinheit λ1 = −λ2 haben.
6. Multi Choice Teil II - die geladene Linie
Die unendlich ausgedehnte, homogen verteilte linienförmige Ladung besitzt ausserhalb
der Linie in einem Abstand R zur Linie folgendes elektrische Feld:
1. Null
2. E ∼ R
3. E ∼ 1/R
4. E ∼ 1/R2
5. E ∼ R2
6. E=konst
7. Quellenfreies Vektorfeld
⃗ aus, wenn es überall
Was sagt der Satz von Gauss über den Fluss eines Vektorfelds B
quellenfrei ist?
www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/∼hartmann/Wellen-Elektrodynamik WS11 12.htm