14. Übung

PD. Dr. R. Klesse, Prof. Dr. A. Schadschneider
S. Bittihn, C. von Krüchten
Wintersemester 2016/2017
Theoretische Physik in 2 Semestern I
14. Übung
www.thp.uni-koeln.de/∼rk/tpI 16.html
Abgabe: bis 08.02.2017, 13:00 Uhr, in den Briefkasten TP in 2 Sem - Gr 1/2“
”
Bitte schreiben Sie Namen und Gruppennummer / Uhrzeit gut leserlich auf das erste Blatt.
Achtung: Beachten Sie bitte, dass Sie sich selbst zur Klausur anmelden müssen. Die von uns
vorgenommene Anmeldung in KLIPS 2 ist NICHT die Klausuranmeldung.
53. Spiegelladungen
2+2+3+3+3 = 13 Punkte
Wir betrachten eine Punktladung mit Ladung q am Punkt (d, 0, 0)T vor einer unendlich ausgedehnten Leiterfläche in der y-z-Ebene (siehe Skizze).
Die Influenz erzeugt in der Metallplatte eine Ladungsverteilung. Wir wollen diese Anordnung
mit Hilfe der Bildladungsmethode untersuchen. Eine Bildladung ist eine Hilfskonstruktion, die
es ermöglicht das elektrische Feld und das Potential bei bestimmten Randwertproblemen zu
ermitteln. Der Trick besteht darin, sich eine weitere Ladung mit entgegengesetzter Ladung −q
auf der anderen Seite der Leiterplatte vorzustellen. Diese gedachte Bildladung befindet sich im
Punkt (−d, 0, 0) genau gegenüber der tatsächlichen Ladung. Das elektrische Feld der Anordnung
aus Metallplatte und realer Ladung ist (im Halbraum x > 0) das gleiche, das durch Bildladung
und reale Ladung erzeugt wird.
a) Geben Sie die Ladungsverteilung an, die sich aus den beiden Punktladungen ergibt.
b) Wie lautet das elektrische Feld und das Potential dieser Ladungsverteilung?
c) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld überall senkrecht auf der Platte steht.
d) Berechnen Sie die induzierte Oberflächenladungsdichte σ (~r) auf der Leiterplatte. Skizzieren Sie die Verteilung von σ (~r).
e) Integrieren Sie nun σ (~r) über die gesamte Platte und zeigen Sie, dass die gesamte
induzierte Ladung −q beträgt.
Hinweis: Integrieren Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten in der Leiterplattenebene.
Beim Lösen des Integrals sollte folgende Identität hilfreich sein:
∂
1
r
1 = −
3
∂r (r2 + d2 ) 2
(r2 + d2 ) 2
54. Vektorpotential und Eichfreiheit
2+2+2+2+2 = 10 Punkte
~ am Beispiel eines räumlich konIn dieser Aufgabe soll die Eichfreiheit eines Vektorpotentials A
~
stanten Magnetfeldes B näher untersucht werden.
a) Erläutern Sie kurz den Begriff der Eichfreiheit am Beispiel der magnetischen und elektrischen Potentiale.
~ durch das Vektorpotential A~1 = 1 B
~ × ~r
b) Zeigen Sie, dass das konstante Magnetfeld B
2
gewonnen werden kann.
~ = B~ez . Zeigen Sie, dass auch
c) Das Koordinatensystem sei nun derart gewählt, dass B
~
~
~
die Vektorfelder A2 = −By~ex und A3 = Bx~ey auf das gewünschte konstante B-Feld
führen.
~ 1 und A
~ 2 , sowie A
~ 1 und A
~3
d) Geben Sie die Eichtransformationen an, die die Potentiale A
miteinander verknüpfen.
e) Genügen die drei angegebenen Vektorpotentiale der Coulomb-Eichung?
55. Wechselstromgenerator
2+3+2 = 7 Punkte
Ein Wechselstromgenerator besteht aus einer quadratischen Leiterschleife der Kantenlänge a,
~ rotiert.
die mit konstanter Kreisfrequenz ω in einem zeitlich konstanten Magnetfeld B
a) Berechnen sie den magnetischen Fluss durch die Leiterschleife.
b) Berechnen Sie die zeitliche Änderung des Flusses und daraus die Induktionsspannung
als Funktion der Zeit.
c) An der Leiterschleife ist ein Widerstand R angelegt. Bestimmen Sie zusätzlich die Leistung P (t) = I(t) · U (t) zur Zeit t.
56. Maxwellscher Verschiebungsstrom
2+2+3+3 = 10 Punkte
In dieser Aufgabe wollen wir den Gedankengang nachvollziehen, der Maxwell zu seinem Postulat über den Verschiebungsstrom führte. Diesen haben Sie bereits in der Vorlesung über einen
Widerspruch der zweiten Feldgleichung der Magnetostatik und der Kontinuitätsgleichung kennengelernt.
Betrachten Sie einen Plattenkondensator. Dieser ist an einen Leiter angeschlossen, welcher den
Kondensator durch einen konstanten Strom der Stromstärke I lädt. Es soll das Magnetfeld des
stromdurchflossenen Leiters während des Ladevorgangs mittels zweier verschiedener Integrationswege S1 , S2 bestimmt werden (siehe Abbildung).
a) Rekapitulieren Sie die Zwischenschritte zur Herleitung des Ampèreschen Gesetzes
I
~ ~l = 4π IF .
Bd
c
∂F
Erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen bei jeder Umformung und die resultiertenden Terme.
b) Werten Sie das Ampèresche Gesetz mittels Integration über den Weg S1 , der die Fläche
~
A1 einschließt, aus (vgl. Abbildung links). Bestimmen Sie so das Magnetfeld B(r)
im
Abstand r vom Leiter.
Das Ampèresche Gesetz und seine Herleitung (vgl. Teilaufgabe a)) gilt für beliebige geschlossene
Kurven und die entsprechenden eingeschlossenen Flächen.
Betrachten Sie im Folgenden die Fläche A2 (siehe Abbildung rechts), die sich aus der Fläche A1
ergibt, indem diese nach unten hin ausgebeult wird. Somit ragt die Fläche A2 in den Plattenkondensator hinein, während der umschließende Weg unverändert bleibt (S2 = S1 ).
c) Werten Sie nun das Ampèresche Gesetz mittels Integration über den Weg S2 , der die
~
Fläche A2 einschließt, aus. Bestimmen Sie so das Magnetfeld B(r)
im Abstand r vom
Leiter. Entspricht das Ergebnis Ihren Erwartungen?
d) Woraus resultiert der Widerspruch zwischen den Ergebnissen aus b) und c) und wie kann
dieser aufgelöst werden? Überlegen Sie, was während des Ladevorgangs innerhalb des
Plattenkondensators geschieht. Welche Größe aus Teilaufgabe a) muss angepasst werden? Zeichnen Sie das elektrische Feld des Plattenkondensators sowie alle auftretenden
Ströme zu einem beliebigen Zeitpunkt während des Ladevorgangs.