3.3.3.2 Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger

314
3.3 Das magnetische Feld
Auf einen stromführenden Leiter in einem dazu senkrechten ä ußeren Magnetfeld
wirkt eine Kraft senkrecht zur Stromrichtung und zum M agnetfeld. Sie ist der
Geschwindigkeit der Ladungsträger im Leiter und der magnetischen Induktion B des
äußeren Magnetfeldes proportional. Mit GI. (3.64) und (3.65) erh alten wir den
Zusammenhang zw~chen der Lorentzkraft F L und dem Strop I im Leiter mit der
vektoriellen Länge I, der man die Richtung der Stromdichte S z uo rdnet :
FL
= I(lx B)
(3.78)
3.3.3.2 Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger
Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf einen Leiter nur dann aus, wenn in diesem ein Strom
fließt, wenn sich also Lad u ngs träger im Leiter bewegen. Dabei ist der Lei ter nich t
wesen tlich. Auch auf bewegte Ladungsträger in Gasen oder im Va kuum wirkt die Kraft
eines äußeren Magnetfeldes.
o
Versuch 32. Fadenstrahlrohr. In einem Glasgefäß (Bild 3.62) befindet sich ein Gas
geringer Dichte. Zwei nicht eingezeichnete Spulen erzeugen ein annä hernd homogenes
magnetisches Feld senkrecht zur Zeichenebene. Die von einer Glühkathode 1 austretenden Elektronen werden zur Anode 2 hin beschleunigt. Ein Teil von ihnen fliegt durch ein
Loch der Anode 2.
3.62
Magnetische Ablen kung eines Elektronenstrahls im
Fadenstrahlro hr. D as M agnetfeld ist senkrecht zur
Zeichenebene von vorn nach hjnten gerichtet
Ihre Bahn wird durch das Leuchten, zu dem sie die Gasmoleküle durch Stöße anregen,
sichtbar. Ohne äußeres Magnetfeld fliegen die Elektronen nach Verlassen der Anode
geradlinig (3) weiter. Nach Einschalten des Stromes in den Spulen beobachtet man aber
eine deutlich abgelenkte Bahn 4, die mit wachsendem Strom in den Spulen immer stärker
gekrümmt ist, bis sie z. B. zu einem geschlossenen Kreis 5 wird. 0
Auf die Elektronen im magnetischen Feld wirkt demnach eine Kraft senkrecht zum Feld
und zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Die dadurch hervorgerufene Auslenkung des
Elektronenstrahls entspricht der des Stabes im Versuch 29 a), ja, der Stab bewegt sich dort
überhaupt nur, weil auf die Elektronen, die sich in ihm bewegen, diese Kraft wirkt.
Bezüglich der Richtung der Kraft muß man berücksichtigen, daß die Bewegungsrichtung
der Elektronen der konventionellen Stromrichtung entgegengesetzt ist.
Wirkt auf einenKörper eine K r a f t sen k r e c h t zur B ewe gun g s r ich tun g ,
so ändert sich nur die Richtung, nicht der Betrag seiner Geschwindigkeit ; der Körper
3.3.3 Kraftwirkung magnetischer Felder
315
erfahrt also eine reine Radialbeschleunigung. Ist die Kraft dem Betrag nach konstant, so
beschreibt er eine Kr eis ba h n. In Versuch 32 erzeugt das homogene magnetische Feld
eine derartige Kraft auf die Elektronen, daher bewegen sie sich auf einer Kreisbahn. Mit
wachsendem Spulenstrom, d. h. mit steigender magnetischer Induktion B des Magnetfeldes, wird der Radius der Bahn immer kleiner, weil die Kraft auf die Elektronen wächst.
Da ein konstante Magnetfeld also nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit eines Ladungsträgers ändert, bleibt die kinetische Energie des Ladungsträgers
konstant: Das magnetische Feld leistet keine Arbeit.
Der Elektronenstrahl entspricht einem Strom I = Q/t. Mit GI. (3.41) schreiben wir
1=
gt = neoAv
Dabei ist n = N / Vdie Zahl der Elektronen pro Volumen, v deren Geschwindigkeit, Ader
Querschnitt des Elektronenstrahls und eo die Elementarladung des Elektrons. Mit
GI. (3.64) und (3.65) erhalten wir für die Kraft auf die Elektronen des Strahls
F = neoAvlB
Im Volumen V = Al sind nAI Elektronen vorhanden. Damit ist wie in GI. (3.66) die Kraft
auf ein Elektron FL = eo(V x ih
Wirkt gleichzeitig ein elektrisches und ein magnetisches Feld, so erhält man al
vollständigen Ausdruck für die Lorentzkraft
FL = QE + Q(vx B) = Q(E + vX B) I)
Beispiel 19. Die Anordnung von Versuch 32 eignet sich auch zur Bestimung der spezifischen Ladung
eo/m. des Elektrons. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft.
F L = me v2 jr = eovB
Die magnetische Induktion B ist aus den Abmessungen der Spulen und des Stromes zu ermitteln, der
Radius r der Bahn ist direkt meßbar. D ie Geschwindigkeit erhält man mit GI. (3.62) aus der
Beschleunigungsspanung U. Somit wird
(3.79)
bestimmbar. Gemessene Zahlenwerte : U = 200 V; Windungszahl N = 100; I = 1 A; Gesamtlänge
der Spule 1= 13,2 cm· r = 5· 10- 2 m. Daraus eo/ Ill. = 1,77 . 10 11 Asjkg (Genauer Wert :
1,7589 . 10 11 Asjkg).
Anwendungen. Auf der Kraftwirkung magnetischer Felder auf stromdurchnossene Leiter beruht die
Wirkungsweise der in Abschn. 3.3.6.2 beschriebenen Elektromotoren und des in Abschn. 3.2.1
besprochenen D re h s pul ins t ru me n tes. Die Ablenkung von Elektronenstrahlen durch die
Magnetfelder von Spulen wird bei Fernsehbildröhren angewandt. Im Hals der Bildröhre sind
3 Elektronenkanonen für die Farben Blau, Grün und Rot untergebracht. Sie bestehen au Heizfaden,
Kathode, Wehneltelektrode, Schirmgitter, Fokussierungselektroden und Beschleunigung elektroden
(s. Abschn. 3.2.6.1). Die vertikale (Bild) und horizontale (Zeile) Ablenkung der Elektronen trahlen
I) Siehe auch Abschn. 8.2.3
82
1.5 Dynamik der Drehbewegungen
2. Welche Anziehungskraft übt die Erde aufeinen Körper der M a oe I kg auf dem Mond, welche der
Mond auf einen gleichen Körper auf der Erde au ? (Durehme er ernaehlä igen.)
3. a) Man zeichne ein Diagramm, in dem die Fallbesch l eunigu~g (Ordinale) al Funktion der Höhe
über der Erdoberfläche (Abszisse) bi 5000 km aufgetragen wird.
b) In einem entsprechenden Diagramm trage man al Ordinate die potentielle Energie ei ne Kör per
der Masse 1 kg bezogen auf die Erdoberfläche auf.
4. Ein Raumfa hrer hat sich 2 m von einer kugelförmigen Raum tati on mit 20 m Durchme ser und
der Masse 2· 106 kg entfernt. Wie lange würde es d auern, bi er nur durch die Gravi tatio nskraft
wieder auf der Station ange langt wäre? (Es ei eine kon tante mittlere Fallbeschleunigung
angenommen).
5. Welche Anfangsgeschwindigkeit braucht ein G e choß, um von der Erde in den Weltraum (r --+ (0)
zu gelangen?
1.5 D ynamik der Drehbewegongen
In diesem Abschnitt gehen wir über die bloße Be s c h re i b u n g von Drehbewegungen
(Abschn. 1.2) hinaus und untersuchen ihre Ursachen. Wir tun da in zwei Schritten.
Zunächst nehmen wir an, die gesamte Masse eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden
Körpers sei in einem P unkt vereinigt, wir benutzen also da Modell des sog.
Massenpunktes. Danach stellen wir auch die Au dehnung eine sich drehenden
Körpers in Rechnung. Dazu werden wir das Modell des og. star r en Körpers
verwenden.
1.5.1 Massenpunkt
Für die folgenden Betrachtungen denken wir uns die Körper als Massenpunkte. (Vgl.
Abschn. 1.3.2.3)
1.5.1.1 Zentripetalkraft und Zentrifu galkraft
o
Versuch 10 (Bild 1.70). Eine Kugel 1 wird an einem Faden 2 unter Einschaltung eines
Kraftmessers 3 mit der Hand 4 gleichförmig im Kreise herumgeschwungen. Der
Kraftmesser zeigt eine im Faden wirkende Kraft an, die um so größer ist, je schneller die
Kugel bewegt wird. Der Faden und damit die Kraft zeigen nicht genau auf den
Kreismittelpunkt. Man muß mit leicht kreisender Handbewegung immer etwas schräg
nach vorn ziehen. 0
Zur Erklärung des Versuches 10 zerlegen wir die Kraft F in eine tangentiale und eine
radiale Komponente, Ft und Fzpo Die Tangentialkraft Ft dient zur Kompensation der
Luftreibungskraft FR, welche die Kugel auf ihrer Bahn erfährt. Wird Ft größer als FR, wird
die Kugel tangential beschleunigt.
Das Auftreten der viel größeren Radialkraft Fzp verstehen wir, wenn wir uns an das erste
Newtonsche Axiom erinnern (vgl. Abschn. 1.3.1). Danach wirkt nur solange keine äußere
Kraft auf einen Körper, wie er in Ruhe oder in ge rad I i n i g gleichförmiger Bewegu ng ist.
1.5.1 Massenpunkt
Auf eine Kreisbahn muß er also auch bei
konstantem Betrag der Bahngeschwindigkeit ständig durch eine Kraft gezwungen
werden. Wie wir aus Abschn. 1.2.1.2 wissen,
erfährt der Körper dabei die Radialbeschleunigung Qr = 0 2 / r = ro 2 r, die nur die
Änderung der R ich tun g , nicht jedoch die
Änderung des Betrages der Bahngeschwindigkeit hervorruft.
83
_--_ 1;
v
Die Ursache für die Radialbeschleunigung ä r ist die Zentripetalkraft')
Fzp = mär mit dem Betrag F zp = m0 2/r
= mro 2 r. Sie greift an dem Körper an,
der auf die Kreisbahn gezwungen wird.
1. 70 Kräfte bei der Kreisbewegung
Lassen wir in Versuch 10 den Körper los, so fliegt er in Richtung einer momentanen
Bahngeschwindigkeit in tangentialer Richtung weg (vgl. z. B. auch Funken am
Schleifstein.)
Zu jeder Kraft gehört nach dem dritten Newtonschen Axiom eine Gegenkraft. Man
spürt sie in unserem Versuch an der im Zentrum befindlichen Hand. Sie ent teht durch
die Trägheit der Kugel, ist also eine Träghei tskraft (vgl. Abschn.1.3.3.3). Ihre
Radialkomponente muß der an der Kugel angreifenden Zentripetalkraft entgegengesetzt
gleich sein. Da man durch sie an der Hand den Eindruck hat, der Körper zöge nach
außen, würde also das Zentrum fliehen, bekommt sie den Namen Fliehkraft oder
Zentrifugalkraft ') Fzr.
Die Zentrifugalkraft
Fzr = -F zp .
Fzr
ist die Gegenkraft zur Zentripetalkraft
Fzp-
Daher gilt
In Versuch 10 ist die Person, welche die Kugel im Kreis herumschleudert, ein äußerer
Be 0 b ach te r. Sie spürt deutlich, daß die Zentrifugalkraft an ihrer Hand und nicht an der
Kugel angreift. Darum gilt:
Vom äußeren Beobachter aus betrachtet greift die Zentrifugalkraft Fzr nicht an dem
Körper an, der auf die Kreisbahn gezwungen wird.
Versetzen wir uns jedoch in die Lage eines Astronauten, der mit einem Raum chiff die
Erde umkreist, so ist eine andere Betrachtungswei e zweckmäßig ; denn der Astronaut i t
ein mit seinem Raumschiffradial mi tbeschleunigter Beo bach ter. Für ihn er cheint
das Raumschiff in Ruhe. Also muß er, wie in Ab chn. 1.3.3.4 be chrieben, chließen, daß
') LaI. petere = zu erreichen suchen ; lat. fugare = fliehen .
84
1.5 Dynamik der Drehbewegungen
die von der Erde aus wirkende Gravitationskraft durch eine gleich große entgegengesetzt
gerichtete Kraft kompensiert wird. Es gilt de halb:
Für den mi t besch le uni gten Beobachter greift auch die Zentrifugalkraft an dem auf
der Kreisbahn bewegten Körper an.
Zur Angabe des Angriffspunktes der Zentrifugalkraft gehört daher stets
die Angabe des Beo bach ters tandpunk tes. Welcher Standpunkt der zweckmäßigere ist, hängt vom jeweiligen Problem ab. (Vgl. auch dje Abschn. 1.3.3.3 und 1.3.3.4).
Beispiele: 18. Die Schaufel einer Dampfturbine bewegt sich auf dem Umfang des Laufrades mit 1 m
Halbmesser mit der Drehzahl 3000 min - 1. Wievielmal größer als ihre Gewichtskraft muß die
Zentripetalkraft sein, die die Schaufel auf ihre Kreisbahn zwingt?
F zp
mw 2 r
w 2r
4n 2 n 2 r
mg
g
g
4n 2 • 2500 . 1 m S2
-=--=-=--=
S2 .
9,81 m
= 10000
Alle Befestigungen müssen also die 10000fache Gewichtskraft der Schaufel übertragen können!
19. In einer Trockenschleuder rotiert die Wäsche so schnell, daß die Kräfte, die die Wassertröpfchen
im Gewebe festhalten , nicht mehr ausreichen, um für sie die Zentripetalkraft aufzubringen. Die
Wassertröpfchen fliegen in tangentialer Richtung aus der Wäsche heraus.
20. Ein Auto kann nur deshalb eine Kurve durchfahren, weil die Haftreibungskraft zwischen Straße
und Rädern die erforderliche Zentripetalkraft liefert. Da diese quadratisch mit der Bahngeschwindigkeit v anwächst, F zp = mv 2 /r, kann es geschehen, daß die Haftreibungskraft bei zu schneller Fahrt
nicht mehr ausreicht und das Auto sich geradlinig weiterbewegt. Es wird nicht etwa durch die
Fliehkraft aus der Kurve "hinausgetragen", wie oft fälschlich angenommen wird, denn die Fliehkraft
greift ja, vom äußeren Beobachter aus gesehen, nicht am Auto, sondern als Reaktionskraft auf die
Zentripetalkraft an der Straße an.
21. Wegen der Erddrehung wird ein kleiner Teil der Gravitationskraft dazu benutzt, um die
Zentripetalkraft für die rotierende Erdmasse zu liefern (s. Aufgabe 1 zu Abschn. 1.5.1). Nach den
Polen zu nimmt dieser Teil wegen des kleineren effektiven Radius ab und verschwindet dort. Das ist
die Ursache für die Abplattung der Erde an den Polen.
Anwendungen. Siehe die folgenden Aufgaben.
Aufgaben zu Abschn. 1.5.1
1. a) Wieviel Prozent der Gravitationskraft werden am Äquator der Erde als Zentripetalkraft
benötigt?
b) Man berechne die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse 1 kg an den Polen. Dabei werde
die Erde als Kugel und die resultierende Gewichtskraft (gleich Gravitationskraft minus senkrechter
Komponente der Zentripetalkraft) in 45 ° Breite zu 9,81 N angenommen.
2. Wie schnell muß ein "Steilwandfahrer" an der
Innenwand eines senkrecht stehenden Zylinders
mit 10 m Durchmesser mindestens fahren, um
nicht herabzufallen ? (p' = 0,2).
1.71
Fliehkrartregler