Blatt 7 - Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka)
SS09 Blatt 7
1. Aufgabe (Greensche Funktion einer ideal leitenden Kugel)
a) Untersucht wird eine ideal leitende, geerdete Kugel mit Radius R und einer Ladungsverteilung ρ(~x) außerhalb der Kugel. Bestimmen Sie im Außenraum die Greensche
Funktion G(~x, ~x′ ) dieser Anordnung mit Hilfe der Spiegelladungsmethode.
b) Zeichnen Sie die elektrischen Feldlinien einer Punktladung q > 0 außerhalb der
Kugel.
c) Welche Form hat die Greensche Funktion für eine beliebige Ladungsverteilung im
Inneren der Kugel?
d) Welche Ladung befindet sich auf der Kugelschale für eine beliebige Raumladungsverteilung außerhalb der Kugel?
e) Berechnen Sie die Ladungsverteilung σ auf der Kugeloberfläche für den Fall, dass
sich eine einzelne Punktladung außerhalb der Kugel befindet. Zeichnen Sie zudem
den funktionalen Verlauf dieser Flächenladungsdichte σ als Funktion des Winkels α
(mit α = ∡(~x, ~x′ )).
1. Aufgabe (Greensche Funktion einer ideal leitenden Kugel)
a) Grundsätzlich wird angesetzt
1
1
′
′
GK (~x, ~x ) =
·
+ F (~x, ~x )
4πǫ |~x − ~x′ |
Es wird angenommen, dass durch jede Ladungsquelle im Außenraum eine Spiegelladung im Innenraum der Kugel virtuell entsteht (in Wirklichkeit bildet sich auf der
Kugeloberfläche eine entsprechende Ladungsverteilung):
a
1
1
′
·
+
GK (~x, ~x ) =
4πǫ |~x − ~x′ | |~x − b~x′ |
Das Potential verschwindet auf der Kugeloberfläche (φ~x∈∂K = 0) und es wird eine
Auswertung auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Quellen vorgenommen
(die Verbindungslinie läuft durch den Kugelmittelpunkt):
a
1
!
= 0 und
+
′
′
|R~n − x ~n| |R~n − bx ~n|
1
a
!
=0
+
′
′
| − R~n − x ~n| | − R~n − bx ~n|
mit
~n = ~ex
und ~x′ = x′ · ~ex
Da x′ > R und bx′ < R gilt:
(R − bx′ ) + (x′ − R) · a = 0
(1)
(R + bx′ ) + (x′ + R) · a = 0
(2)
Aus (1) folgt:
b=
R − aR + x′ a
x′
in (2) eingesetzt resultiert:
a=−
R
x′
und b =
R2
x′2
Damit folgt für die Greensche Funktion einer ideal leitenden geerdeten Kugel im
Außenraum:
1
1
R
1
′
GK (~x, ~x ) =
·
− ·
4πǫ |~x − ~x′ | x′ |~x − (R2 /x′2 ) · ~x′ |
b) Für die elektrischen Feldlinien einer Ladung q > 0 außerhalb der Kugel gilt:
c) Mit dem äquivalenten Ansatz ergibt sich dann mit Hilfe von R > x′ und bx′ > R
letztendlich ebenso:
1
1
R
1
′
′
GKI (~x, ~x ) = GK (~x, ~x ) =
·
− ·
4πǫ |~x − ~x′ | x′ |~x − (R2 /x′2 ) · ~x′ |
Elektrische Feldlinien für eine nicht im Kugelmittelpunkt lokalisierte Ladungsquelle:
d) Die Gesamtladung der Raumladungszone beträgt Q =
Z
ρ (~x′ ) d3 x′
V
Die damit resultierende Gesamtladung auf der Kugeloberfläche ist dann:
Z R
′
Q =
− ′ · ρ (~x′ ) d3 x′
x
V
Für eine exakte Berechnung bieten sich hierbei Kugelkoordinaten an. In jedem Fall
beschreibt x′ den Abstand der Ladungsquelle vom Ursprung.
e) Mit dem Winkel α zwischen der Ladungsquelle und einem Punkt auf der Kugel folgt
|~x − ~x′ | = |x~n − x′~n′ | =
√
x2 + x′2 − 2xx′ cos α
r
2
2
R
R
xR2
R4
|~x − b~x′ | = |~x − ′2 ~x′ | = |x~n − ′ ~n′ | = x2 + ′2 − 2 ′ cos α
x
x
x
x
Das elektrostatische Potential hat dann die Form

φ(~x) =
q
4πǫ

·
√


1
1

−r

x2 + x′2 − 2xx′ cos α
x2 x′2
2
′
+
R
−
2xx
cos
α
R2
~ = −∇φ(~x) wird die Richtungsableitung benötigt:
Für das elektrische Feld E
q
∂φ =
∂~x ~x∈∂K(0,R)
4πǫ
=
q
4πǫ

2xx′2
′
(−1/2) ·
− 2x cos α 
 (−1/2) · (2x − 2x′ cos α)
R2


=
−
·
3/2 
3/2
2
′2
2
′2
′

 (x + x − 2xx cos α)
xx
2
′
+ R − 2xx cos α
R2
x=R
′2
x
−R
R
·
(x′2 + R2 − 2Rx′ cos α)3/2

Damit ergibt sich für die Oberflächenladungsdichte
x′2
R
~ (~x) · ~n = q ·
σ=D
4π (x′2 + R2 − 2Rx′ cos α)3/2
R−
In der Zeichnung sind die zwei Fälle mit x′ = 2R und x′ = 3R dargestellt.
σ1 = −
q
3R
·
4π (5R2 − 4R2 cos α)3/2
σ2 = −
q
8R
·
2
4π (10R − 6R2 cos α)3/2
für x′ = 2R
für x′ = 3R
Hierbei gilt q < 0 und x0 = x′ :
σ
−π
x0=2R
x0=3R
+π
α