Workshop Bremen

Orientierung auf der
(Erd-)Kugel
Wolfgang Löding, Li Hamburg
Workshop am 9. Oktober 2003 auf der
Lehrerakademie in Bremen
Der globale Blick auf „die Welt“
• Globalisierung in Politik und
Wirtschaft ist aktuelles Thema
•
•
•
Auch Schülerinnen und Schüler
erleben zunehmend „Weltreisen“
Die Kugelgestalt der Erde kommt ins
Blickfeld
Navigation ist ein uraltes Thema, das
durch GPS und Navigationssysteme
- auch in privaten PKWs - aktuelles
Interesse weckt
Realitätsnähe, Modellierungsfragen und
Vernetzungen innerhalb der Mathematik
und zu anderen Fächern liegen auf der Hand
2
Ziele
Elemente einer zeitgemäßen
Mathematikdidaktik verdeutlichen
Grundvorstellungen aus
Realitätsbezügen aufbauen
Geometrische Anschauungen
vertiefen
Elementare Sphärische Geometrie
wiederbeleben
Sinnvoller Computereinsatz
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Gliederung
Persönliches
Lernen und Lehren in
„Lernsituationen“
Untersuchung und Darstellungen
von Kugeln
Orientierung auf dem Kreis
Orientierung auf der Erdkugel
„Wie weit ist es von A nach B ?“
Geometrische Lösungen
Ausblick Oberstufe
Beispiel GPS
Diskussion:
Kann man so heute (noch – schon)
unterrichten?
4
Wo etwa ist die Position
35° 07‘ N
25° 44‘ O
?
5
Wo sind
wir hier eigentlich?
Bremen-Universität:
53° 06´ N; 08° 50´ O
6
Wie weit ist es von Hamburg
nach New-York?
New –York
40,7° N
74° W
Hamburg:
53,5° N
10° O
7
Was „sagt uns“ diese Graphik?
Wie kann man sie herstellen?
8
Wie orientiert man sich auf der
Erde?
Hamburg 10° Ost
9
Welche Orte
liegen etwa auf der gleichen
Länge wie Hamburg ?
z.B. Tunis !
oder Oslo !
Wie weit ist es von Hamburg nach Tunis?
Hamburg 53,5° N ; 10° O
Tunis 36,75° N ; 10° O
Breitendifferenz: 16,75°
Entfernung:
16, 75
 40.000 km  1861km
360
10
Wie orientiert man sich auf der
Erde?
Timmendorfer Strand Ostsee 54 ° N
11
Welche Orte in Europa
liegen etwa auf der gleichen
Breite wie New-York ?
40,7° N
Madrid !
der Olymp !
Ankara
Peking
Wenn man von Madrid genau nach Westen fliegt, kommt
Ja !
man dann nach New-York?
Ist das der kürzeste Weg? Nein !
12
New-York-Madrid
13
Elemente einer zeitgemäßen
Mathematikdidaktik
•
Aufbau von Grundvorstellungen,
auf denen sich komplexere Begriffe, Zusammenhänge,
Abstraktionen und Formalisierungen aufbauen lassen
•
Orientierung an zentralen Ideen und Vernetzung
•
Realitätsbezug und Modellierung
in überschaubaren offenen Situationen
•
Einsatz des Computers
Neue Möglichkeiten und Sichtweisen
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Lernsituationen
sind offene und sinnhafte
Lernsituationen
Problemfelder,
deren
Bearbeitung
über
strukturieren
den
Unterricht
Modellierungsprozesse in die Mathematik führt
Lernsituationen wahrnehmen
•Grundvorstellungen aufbauen
•Mathematik als Werkzeug heranziehen
und als Methode eventuell neu entwickeln
•Probleme lösen, Fragen beantworten,
neue Fragen stellen
•Systematisieren, Begriffe und Strukturen bilden,
Sätze aufstellen und begründen/beweisen
und als eigenständige Objekte untersuchen
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•Mit andereren Themenfeldern vernetzen
•
Lernsituation
„Orientierung auf der (Erd-)Kugel“
•
•
•
•
•
Wo liegen wichtige Orte auf der Erde?
Wie orientiert man sich auf der Erde?
Wie weit ist es auf der Erdkugel von A (Hamburg)
nach B (NewYork)?
Was wissen wir überhaupt über die Erde?
Wie kann man die Erdkugel
graphisch darstellen?
Wie „funktionieren“ Navigationssysteme?
16
Die Geometrie der Erde
Die Erde ist ungefähr eine Kugel
•
Der Erdumfang beträgt ca. 40.000 km
•Der Erdradius
beträgt ca. 6.400 km
•
Weiteres Wissen aus dem Lexikon ....
•
17
Falsche Vorstellungen
18
Zum Beispiel mit DERIVE
19
Ebene Schnitte unterstützen
das Verständnis
20
Ebene Schnitte unterstützen
das Verständnis
•
•
•
•
•
Ebene Schnitte liefern immer
Kreise als Schnittflächen
Die Kreise haben unterschiedliche Radien
Die größten Kreise haben den Mittelpunkt
mit der Kugel gemeinsam, sie heissen
Großkreise, die anderen Kleinkreise
Grosskreise haben den gleichen Radius
wie die Kugel
Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
auf der Kugel verläuft auf einem Großkreis21
Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
auf der Kugel verläuft auf einem Großkreis
22
Orientierung auf dem Kreis
a und b
sind proportional
Kreis und Winkel gehören zusammen!
23
Orientierung auf dem Kreis
Ein Weg zu den
trigonometrischen Funktionen
24
Koordinatensystem auf der
Kugel
25
26
Koordinatensystem
auf der Kugel

Die Breite beschreibt die Nord-Süd-Lage (-90° bis 90°)
Die Länge beschreibt die Ost-West-Lage (-180° bis 180°)


Ein Längenhalbkreis beschreibt alle Punkte gleicher Länge
Ein Breitenkreis beschreibt die Punkte gleicher Breite
1° Längenabstand (am oberen/unteren) Kartenrand auf einem
Breitenkreis beschreibt je nach Breite unterschiedliche
Abstände auf der Erdoberfläche
1° Breitenabstand (am linken/rechten) Kartenrand auf einem
Breitenkreis beschreibt unabhängig von der Länge immer den
gleichen Abstand auf der Erdoberfläche
(1 Seemeilen = 40000/360/60 km = 1,852 km)

Nullpunkt : Südlich Greenwich auf dem Äquator
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Fehlvorstellung ! ?
Die Winkel
sind
33,6°
unterschiedlich
groß !
9,6°
11 Breitenkreise in 15°-Abstand?
28
Zeichne Breitenkreise mit 15°-Abstand
15°
15°
Unterschiedliche Abstände zwischen den Breitenkreisen
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Problem
Eine Person geht 1 km nach Süden
dann 1 km nach Osten und
dann 1 km nach Norden
und stellt fest, dass sie wieder am
Ausgangspunkt ihrer Wanderung ist !
Anschliessend schiesst sie einen einen Bären.
Welche Farbe hat der Bär?
Gibt es weitere Lösungen?
Auch auf der Nordhalbkugel?

30
Bestimmung der
geographischen Breite
31
Wie weit ist es von
Hamburg nach New-York?
Hamburg: 53° 30‘ N ; 10° O
New-York: 40° 42‘ N ; 74° W
32
Sphärischer Abstand
Durch zwei nicht polare Punkte A und B
gibt es genau einen Großkreis

Die Schnittebene wird durch die drei Punkte
A, B und M bestimmt

Der kürzere Kreisbogen von A nach B
bestimmt den Abstand

Der zugehörige Winkel heißt sphärischer Winkel

33
Geometrische Konstruktion
 Dynageo (Ende 1. Teil)
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Oberstufe
Im Rahmen der Analytischen
Geometrie
35
1.
2.
3.
4.
Einführung eines dreidimensionalen kartesischen
Koordinatensystems
Umrechnung von geographischen in kartesische
Koordinaten
Berechnung des euklidischen Abstands
von zwei Punkten
Berechnung des sphärischen Winkels von
zwei Punkten auf der Kugel aus deren
euklidischem Abstand (Kosinussatz)
5.
Alternative zu 3. und 4. : Verwendung des Skalarprodukts
6.
Berechnung des sphärischen Abstands (Dreisatz!)
7.
Ausblick:
3-D-Darstellungen der Erdkugel
Satellitenbahnen
GPS und wie funktionieren Navigationssysteme?
36
Umrechnung von
geographischen Koordinaten
in kartesische Koordinaten
37
38
39
Zusammenfassung
Umrechnung von geographischen Koordinaten
in
kartesische Koordinaten:
(  ; )  [
=
r • cos  ;
r • sin  ; sin ß ]
[ cos ß • cos  ; cos ß • sin  ; sin ß ]
(R = 1)
Euklidischer Abstand
(„Tunnelabstand“)
d (P1 ,P2 ) =
(x 2  x1 )  (y 2  y1 )  (z 2  z1 )
2
2
2
41
Sphärischen Winkel 
aus euklidischem Abstand e
berechnen:
42
Sphärischer Winkel
mit Skalarprodukt
< A , B > = |A|·|B|·cos  = cos 
43
Ein paar Graphiken,
Zur Bearbeitung
und Visualisierug
Mit
Computeralgebra (DERIVE)
44
45
Stelle die nachfolgenden Bilder selber her
Verwende die hier für das GPS-System
angegebenen Daten
46
47
Wie sind diese Kurven zu verstehen?
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InterInet Links

[email protected]
http://www.hh.schule.de/ifl/mathematik/kugel.zip

http://www.trimble.com/gps/

http://www.ugur.at/sat/d-satgeo.htm

http://www.raumstation.net/iss-fakten.html

http://spot5.cnes.fr/gb/systeme/310.htm
49
Literatur



Schulbuch:
Jutta Cukrowicz, Bernd Zimmermann (Hrsg.):
„Mathe Netz“ Klasse 10, Kap.1
Westermann, Braunschweig, 2002
Schulbuch:
Rudolf Hame:
„Sphärische Geometrie“, Additum Klasse 11
Ehrenwirth, München
Hans-Günther Bigalke:
„Kugelgeometrie“
München, Salzburg 1984 (vergriffen)
50