Sitzung 8

Nr.8 23.06.2016
Geometrie KL.7/8 – Begründungsbasis I
S.v. Scheitelwinkel
β
α
S.v. Nebenwinkel
α
S.v. Stufenwinkel a)
β
β
α + β = 180°
h
h
g
α
α=β
S.v. Wechselwinkel a)
β
g||h → α = β
g
α
g||h → α = β
Satz mit Beweis: Winkelsumme im Dreieck
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Geometrie KL.7/8 – Begründungsbasis I
S.v. Mittelsenkrechten a)
P
s
d
MS
S.v. Mittelsenkrechten b)
P
s
d
MS
P auf MS → s = d
s = d → P auf MS
S.v. Winkelhalbierenden a)
S.v. Winkelhalbierenden b)
s
P
d
P auf WH → s = d
s
WH
P
WH
d
Umkreis
Inkreis
s = d → P auf WH
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Satz (Axiom) vom gleichschenkligen Dreieck
- Begründungsbasis I
Definition: Ein Dreieck heißt
gleichschenklig, wenn es
mindestens zwei gleichlange
Seiten hat.
S.v. gleichsch. Dreieck a)
s
d
α
β
α=β →s=d
a
b
Basis
S.v. gleichsch. Dreieck b)
s
d
αα
β
β
s=d →α=β
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Sehnenviereck
Satz: α+γ = β+ δ = 180°
Beweis:
Argumentiere mit gleichschenkligen Dreiecken.
α+γ = u + v + w + z
β+ δ = v + z + u + w
uδ
w
w
γ
z
α
u
xU
v
v
z
β
Da α+γ + β+ δ = 360°,
folgt α+γ = β+ δ = 180°.
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Der Satz des Thales (600 v.Ch.)
C
γ
Satz: Wenn C auf einem
α* β*
Halbkreis über AB liegt, dann
ist γ = 90°.
Beweis:
α
X
A
1. Dreieck AMC ist
M
gleichschenklig.
2. α = α* (S.v.Gl.Drei. a)
3. Entsprechend β = β*
4. 2α + 2β = 180° (Winkelsumme im Dreieck)
5. α + β = 90°
β
B
5
Der Satz des Thales
C*
Kehrsatz: Wenn in einem Dreieck
γ = 90°ist, dann liegt C auf einem
Halbkreis über AB.
Beweis mit Kontraposition:
Wenn C nicht auf dem Halbkreis
liegt, dann ist γ ≠ 90°.
Beweis:
1. Markiere C* auf Halbkreis.
2. Winkel bei C* ist 90°(S.d.Thales)
3. γ < 90° (Winkelsummen in BCC*)
γ
C
90°
A
X
M
B
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Der Satz vom Umfangswinkel
C
Satz: Umfangswinkel über
demselben Kreisbogen sind gleich.
In der Abb. γ = γ*
(Zeige: 2γ = ε; ε Mittelpunktswinkel)
C*
γ
γ*
xM
ε
A
Sehne
δ
Beachte: Umfangswinkel wie δ zu af
der anderen Seiten der Kreissehne
sind i.a. nicht gleich γ.
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Tangenten konstruieren –
Der Thaleskreis als Ortslinie
1. Gegeben ist ein Kreis K und ein Punkt P
außerhalb von K.
Konstruiere die Tangenten an K durch P.
?
x
M
xP
?
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Tangenten konstruieren
2. Gegeben sind zwei disjunkte Kreise.
Konstruiere die gemeinsamen Tangenten, z.B.:
?
x
M
x
m
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Übersicht: Beweismittel- Begründungsbasis I
S.v.gleich.Dreieck
S.v.gleich.Dreieck
S.v.d. Mittelsenkrechten
a=b
Stufenwinkelsatz
α=β
S.v.d. Winkelhalbierenden
Scheitelwinkel
S.v. Stufenwinkel
S.v. Nebenwinkel
180°
S.d. Thales
90°
S.v. Wechselwinkel
g||h
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Begründungsbasis II – Kongruenz
„Definition“ (Schule): Zwei Figuren heißen
kongruent, wenn sie deckungsgleich sind.
Deckungsgleich bedeutet: Die Figuren passen ohne
Überstand aufeinander; dazu kann man sie
umdrehen, drehen, verschieben.
Fachlich klarere Variante, aber für Kl.7-8 etwas zu
anspruchsvoll: Zunächst Definition von
Kongruenzabbildungen, dann damit Definition der
Kongruenz von Figuren.
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Kongruenzsatz sss
1) Wenn zwei Dreiecke in allen drei Seiten
übereinstimmen, dann sind sie kongruent
Zur Begründung sollen die Schüler alle möglichen
Dreiecke mit den Seitenlängen 6cm, 5cm, 3cm
zeichnen.
3
5
6
Ergebnis:
Alle diese Dreiecke sind
deckungsgleich.
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Kongruenzsatz sws
2) Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, dann
sind sie kongruent.
s
w
s
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Kongruenzsatz Ssw
3) Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen,
dann sind sie kongruent.
S
w
s
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Kongruenzsatz wsw
4) Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und den zwei
der Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen,
dann sind sie kongruent (sws)
w
w
s
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Kongruenzsatz sww
5) Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und in zwei
Winkeln übereinstimmen, die nicht die anliegenden
Winkel sind?
Dann wird der dritte
Winkel berechnet oder
konstruiert.
Dann kann wsw
angewendet werden.
w
w
s
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Beweisen mit Kongruenzsätzen
Gegeben: ABC gleichseitig.
Zeige: A´B´C`ist gleichseitig.
Beweis: Die Dreiecke
AA´C´ bzw. A´BB´ bzw. B´C C´
sind kongruent nach sws, wegen
x; 60°; x-1.
Also stimmen sie auch in der
dritten Seite überein.
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Der Höhensatz
Die Höhen in einem Dreieck schneiden sich in einem
Punkt.
C
hb
ha
A
hc
B
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Der Höhensatz
Beweis: Die Höhen sind im Dreieck A*B*C* die
Mittelsenkrechten.
C
B*
Beweis (für hc).
Zu zeigen:
1) hc orthogonal B*A*
(Stufenwinkel)
2) C ist die Mitte von
B*A*.
Parallele zu AB
A*
hb
ha
A
hc
B
Parallele zu AC
Parallele zu BC
B*
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Der Höhensatz
2.Die Dreiecke ACB* und ABC sind kongruent nach
wsw.
C
B*
Beweis:
1) α* = α
(Wechselw. an AC)
2) γ* = γ
(Wechselw. an AC)
3) Beide Dreiecke haben
die Seite AC gemeinsam.
4) Die Dreiecke sind
kongruent.
5) Entsprechende Seiten
sind gleichlang: B*C = AB.
(Seite mit Winkeln α,γ.)
A*
α*
γ
hb
ha
γ*
α
A
hc
B*
B
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Extra-Ideen-Aufgabe
Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 70° und β = 40°,
dessen Seitenlängen zusammen 12 cm betragen.
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