Theorie der Kondensatorentladung

Theorie zur Entladung eines Kondensators
In einem sogenannten RC-Kreis, d.h., einem Stromkreis, in dem neben der Spannungsquelle noch
ein Widerstand und ein Kondensator vorhanden sind, fallen über den Bauteilen Widerstand und
Kondensator die Spannungen UR bzw. UC ab. Diese beiden Spannungen addieren sich zu der
Spannung U0 aus der Spannungsquelle. Das ist die sogenannte Maschenregel: Alle Spannungen
innerhalb einer Masche, also einem Stromkreis, addieren sich zu Null. Dabei ist der Umlaufsinn zu
beachten. In der Abbildung heißt das:
UR + UC − U0 = 0
Hier also:
UR + UC = U0
Die Spannung UR setzt sich zusammen aus dem Widerstand R und dem Strom durch den
Widerstand IR. Es gilt:
U R = R ⋅I R
Weiterhin kann der Stromfluss IR als die zeitliche Veränderung der Ladung Q verstanden werden:
ΔQ
IR =
Δt
Zusammengenommen ergibt sich also für die Spannung über den Widerstand:
ΔQ
U R = R⋅
Δt
Die Spannung über dem Kondensator kann so aufgeschrieben werden:
Q
UC =
C
Für U0 ergibt sich damit der folgende Ausdruck:
U 0 = R⋅
ΔQ Q
+
Δt
C
In dieser Gleichung tauchen sowohl die Ladung als auch die zeitliche Ableitung der Ladung auf.
Gleichungen dieser Form nennt man auch Differentialgleichungen. Gelöst werden kann sie durch
die Anwendung spezieller Lösungsmethoden. Eine Lösung für die Differentialgleichung ist:
( )
Q(t ) = Q ⋅e
−
t
RC
0
Oder, nach dem Wechsel der Basis von e auf 2:
( )
Q(t ) = Q ⋅2
−
0
t
TH
Was passiert bei einer Entladung?
Wenn der Kondensator entladen wird, muss die Speisespannung U0 = 0 sein! Andernfalls werden
immer weiter Ladungen auf den Kondensatorplatten gespeichert. Ein für das Verständnis besseres
Schaltbild als das oben gezeigte bietet die nächste Abbildung:
Ist der Schalter in der Position a, fließt ein Strom von der Spannungsquelle über den Widerstand
und läd den Kondensator auf. Wird der Schalter in Position b gebracht, ist die Spannungsquelle
außerhalb des Stromkreises. Der Maschenumlauf für die im Stromkreis vorhandenen Spannungen
lautet nur noch:
UR + UC = 0
Setzen wir die Lösung der Differentialgleichung und ihre Ableitung in den Ausdruck für U0 ein,
folgt:
t
t
−
Q0 − RC
Δ Q(t )
RC
Q(t ) = Q0⋅e
;
= − ⋅e
Δt
RC
( )
U 0 = R⋅
( )
ΔQ Q
+
Δt
C
( )
t
( )
t
−
−
Q
1
U 0 = −R⋅ 0 ⋅e RC + ⋅Q0⋅e RC
RC
C
U0 = 0
( )
Q(t ) = Q ⋅e
−
t
RC
Also ist die Gleichung
eine Lösung der Differentialgleichung.
0
Mit ihr kann man den zeitlichen Verlauf der Ladung eines Entladevorgangs beschreiben.
Die Zeitkonstante RC im Exponenten der e-Funktion ist vergleichbar mit der Halbwertszeit TH.
Allerdings gibt RC die Zeit an, in der die Ladung des Kondensators auf 36,8% der Anfangsladung
gefallen ist (e-1 = 0,368).
Die Halbwertszeit TH gibt die Zeit an, in der die Ladungsmenge halbiert wird. Der Zusammenhang
wird hergestellt, indem man die Basis der Exponentialfunktion wechselt. Dort taucht ein Term ln(2)
auf, der den Zusammenhang liefert (e-ln2 = 0,5).
Was passiert beim Laden des Kondensators?
Die Lösung der Differentialgleichung für den Ladungsvorgang ist eine etwas andere:
( ))
Q(t) = C⋅U ⋅(1 − e
−
t
RC
0
Die Ableitung ist hier:
( )
t
Δ Q(t) C⋅U 0 − RC
=
⋅e
Δt
RC
Eingesetzt in die Differentialgleichung folgt:
U 0 = R⋅
U 0 = R⋅
ΔQ Q
+
Δt
C
C⋅U 0
RC
( ) + 1⋅C⋅U ⋅(1 − e( ))
⋅e
−
t
RC
U0
0
U0 = U0
t
RC
( )
− U ⋅e
−
0
t
RC
0
C
( )+ U
= U ⋅e
−
−
t
RC
0
Also ist die Lösung auch hier richtig. Aber warum taucht statt Q0 auf einmal C · U0 auf?
Der Kondensator ist zum Zeitpunkt t = 0 noch ungeladen. Deshalb darf an der Stelle keinesfalls die
Ladung zum Zeitpunkt t = 0 auftauchen, die ja dann Null ist. Stattdessen taucht sozusagen die
maximal mögliche Ladung dort auf, die durch das Produkt C · U0 für den Kondensator gegeben ist.
( )
1− e
−
t
RC
Die maximal mögliche Ladung wird multipliziert durch den Klammerausdruck
, der
zum Zeitpunkt t = 0 Null wird, und der für sehr große t nahezu Eins ergibt. Die Zeitkonstante RC
gibt die Zeit an, in der der Kondensator zu 63,2% aufgeladen ist (1 – e -1 = 0,632).
Beschreibung des Ladevorgangs:
Die Spannung am Kondensator ist Null, da dieser ungeladen ist. Die gesamte Spannung U0 fällt
somit über dem Widerstand ab. Damit fließt durch den Widerstand ein großer Strom, wegen
I = U/R. Durch diesen Stromfluss wird der Kondensator nach und nach aufgeladen.
Dadurch entsteht aber eine Spannung, die über dem Kondensator abfällt. Somit wird die Spannung
am Widerstand geringer, wegen U0 = UR + UC. Durch die geringere Spannung am Widerstand fließt
ein geringerer Strom durch den Widerstand, und die Ladung auf dem Kondensator nimmt nicht
mehr so schnell zu. Damit nimmt auch die Spannung am Kondensator langsamer zu.
Am Ende des Ladevorgangs fällt die gesamte Spannung U0 am Kondensator ab und keine über dem
Widerstand. Damit ist auch der Stromfluss Null.
Für den Ladevorgang lässt sich folgende Tabelle aufstellen, die den Verlauf von Ladung, Spannung
und Stromstärke am Kondensator angibt:
Ladevorgang
Ladung
Spannung
( ))
Q(t ) = C⋅U ⋅(1 − e
−
0
t
RC
Stromstärke
( ))
U (t) = U ⋅(1 − e
−
t
RC
0
( )
I (t ) = I ⋅e
−
t
RC
0
Beschreibung des Entladevorgangs:
Die Spannungen, die über Widerstand und Kondensator abfallen, sind entgegengesetzt gleich groß,
da die Speisespannung U0 abgeklemmt ist. Zunächst fließt ein großer Strom durch den Widerstand.
Wenn aber Ladungen vom Kondensator wegfließen, nimmt auch die Spannung über dem
Kondensator ab. Gleichzeitig nimmt auch die Spannung über dem Widerstand ab, so dass der
Stromfluss auch geringer wird. Die Ladungsabnahme auf der Kondensatorplatte wird langsamer.
Die Spannung nimmt lamgsamer ab, der Stromfluss wird langsamer geringer, usw.
Analog zum Ladevorgang kann man eine Tabelle für den Entladevorgang füllen:
Entladevorgang
Ladung
Spannung
( )
Q(t) = Q ⋅e
−
0
t
RC
Stromstärke
( )
U (t) = U ⋅e
−
0
t
RC
( )
I (t ) = I ⋅e
−
0
t
RC