Grundlagen – Gleichstrom und Felder Leseprobe
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Leseprobe Kuckertz Grundlagen – Gleichstrom und Felder ELEKTROTECHNIK/ELEKTRONIK Studienbrief 2-050-1001 4. Auflage 2014 Grundlagen – Gleichstrom und Felder Impressum Verfasser: Prof. Dipl.-Ing. Heinz Kuckertz em. Professor für Elektrotechnik und Regelungstechnik im Fachbereich Produktions- und Verfahrenstechnik an der Ostfalia Hochschule für angewandte Wissenschaften, Wolfenbüttel Der Studienbrief wurde auf der Grundlage des Curriculums für das Studienfach „Elektrotechnik/Elektronik“ verfasst. Die Bestätigung des Curriculums und des Studienbriefes erfolgte durch den Fachausschuss Wirtschaftsingenieurwesen, dem Professoren und Dozenten von HDL-Mitglieds- und kooperierenden Hochschulen angehören. 4. Auflage 2014 ISBN 978-3-86946-182-3 Redaktionsschluss: Januar 2014 Studienbrief 2-050-1001 © 2014 by Service-Agentur des Hochschulverbundes Distance Learning. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der Service-Agentur des HDL reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Service-Agentur des HDL (Hochschulverbund Distance Learning) Leiter: Dr. Reinhard Wulfert c/o Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer e. V. Magdeburger Straße 50, 14770 Brandenburg Tel.: 0 33 81 - 35 57 40 E-Mail: [email protected] Fax: 0 33 81 - 35 57 49 Internet: http://www.aww-brandenburg.de Grundlagen – Gleichstrom und Felder Inhalt Impressum........................................................................................................................................................................................2 Verzeichnis der Formelzeichen.................................................................................................................................................5 Einleitung..........................................................................................................................................................................................7 Literaturempfehlung.....................................................................................................................................................................8 1Gleichstrom...................................................................................................................................................................8 1.1 Elektrische Grundgrößen........................................................................................................................................................................8 1.1.1 Elektrische Ladung und Leitungsmechanismus............................................................................................................................8 1.1.2 Elektrischer Strom................................................................................................................................................................................... 10 1.1.3Stromdichte................................................................................................................................................................................................11 1.1.4 Elektrische Spannung............................................................................................................................................................................ 13 1.1.5 Elektrische Leistung, Arbeit und Wirkungsgrad.......................................................................................................................... 14 1.1.6 Der elektrische Widerstand................................................................................................................................................................. 16 1.2 Ohmscher Widerstand.......................................................................................................................................................................... 17 1.2.1 Ohmsches Gesetz.................................................................................................................................................................................... 17 1.2.2 Bemessungsgrößen von linearen Widerständen........................................................................................................................ 21 1.2.3 Temperaturverhalten von Widerständen...................................................................................................................................... 23 1.2.4Widerstandsnetzwerke......................................................................................................................................................................... 24 1.3 Kirchhoffsche Sätze, Netzberechnungen...................................................................................................................................... 30 1.3.1Knotensatz................................................................................................................................................................................................. 30 1.3.2Maschenregel........................................................................................................................................................................................... 32 1.3.3 Netze mit mehreren Knoten und Maschen...................................................................................................................................34 1.3.4 Lineare Spannungsquellen.................................................................................................................................................................. 36 2Felder........................................................................................................................................................................... 39 2.1 Das elektrische Feld...............................................................................................................................................................................40 2.1.1 Stromfluss und elektrische Feldstärke............................................................................................................................................40 2.1.2 Das elektrostatische Feld..................................................................................................................................................................... 41 2.1.3Plattenkondensator................................................................................................................................................................................ 43 2.1.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren..................................................................................................................46 2.1.5 Spannung und Strom am Kondensator.......................................................................................................................................... 47 2.1.6 Energieinhalt eines aufgeladenen Kondensators.......................................................................................................................48 2.1.7 Bauformen von Kondensatoren........................................................................................................................................................ 49 2.2 Das magnetische Feld........................................................................................................................................................................... 51 2.2.1Magnetismus............................................................................................................................................................................................ 51 2.2.2 Magnetfeld stromdurchflossener Leiter........................................................................................................................................ 52 HDL 4 Grundlagen – Gleichstrom und Felder 2.2.3 Die magnetische Feldstärke H...........................................................................................................................................................54 2.2.4 Die magnetische Induktion (Flussdichte) B................................................................................................................................... 56 2.2.5 Der magnetische Fluss F......................................................................................................................................... 59 2.2.6Spannungsinduktion............................................................................................................................................................................. 59 2.2.7Induktivität................................................................................................................................................................................................ 63 2.2.8 Energieinhalt einer stromdurchflossenen Spule.........................................................................................................................64 Lösungen zu den Übungsaufgaben..................................................................................................................................... 67 Literaturverzeichnis.................................................................................................................................................................... 70 Sachwortverzeichnis.................................................................................................................................................................. 71 HDL Grundlagen – Gleichstrom und Felder 7 Einleitung Die Elektrotechnik, also die technische Anwendung der Elektrizität, hat seit ihren Anfängen Ende des 18. Jahrhunderts eine rasante Entwicklung durchgemacht und ist aus der modernen Industriegesellschaft nicht mehr wegzudenken. Diese Entwicklung beruht auf drei Anwendungsgebieten: XX Elektrische Energietechnik: elektrische Energie ist relativ einfach zu erzeugen (Generatoren), leicht und sicher zu transportieren (Überlandnetze), leicht und sicher in andere Energieformen (Wärme, mechanische Energie) umzuformen. XX Nachrichtentechnik: Nachrichten sind als elektrische Signale entweder drahtgebunden (Telegrafie, Fernsprecheinrichtungen) oder als elektromagnetische Signale drahtlos (Funk, Fernsehen) leicht zu übertragen. XX Elektronische Datenverarbeitung: elektrische Signale sind leicht zu verarbeiten, zu verteilen und miteinander zu verknüpfen (Elektronische Datenverarbeitung, Computertechnik, Mess- und Regelungstechnik). Da uns die Elektrotechnik in allen Bereichen des täglichen Lebens begegnet, von der Beleuchtung, dem Computer, dem Radio bis hin zum elektronisch geregelten Verbrennungsmotor im Auto, sollen sich die folgenden Studienbriefe mit der Elektrotechnik auseinandersetzen. Dabei stehen bei der gebotenen wissenschaftlichen Exaktheit doch die überschaubare Betrachtung der einzelnen Gebiete und deren technische Anwendung im Vordergrund. Die Inhalte der Studienbriefe „Elektrotechnik/Elektronik“ sollen Sie in die Lage versetzen, sich mit den Partnern aus dem Ingenieurbereich zu verständigen, es ist nicht das Ziel, einen Elektroingenieur auszubilden. Die Studienbriefe werden nicht die gesamte Elektrotechnik abdecken können, für spezielle Kenntnisse muss auf die einschlägige Literatur verwiesen werden. Folgende Studienziele sollen mit diesem ersten Studienbrief erreicht werden: •• Kennenlernen der wichtigsten elektrischen Grundgrößen, Studienziele •• Kenntnis ihrer Zusammenhänge, •• Anwendung der wichtigsten Grundgesetze der Gleichstromtechnik, •• Erlernen der Berechnung einfacher elektrischer Netze mittels Knoten- und Maschenregel, •• Kennenlernen des elektrischen Feldes und seiner Anwendungen, •• Kenntnis des Elektromagnetismus und seiner Anwendungen, •• Kennenlernen des Induktionsgesetzes und seiner Anwendung in der Technik. Das Lehrmaterial ist so aufgebaut, dass auf die einzelnen Theorieabschnitte jeweils ein Beispiel folgt. Rechnen Sie dieses Beispiel unbedingt nach. Danach sollten Sie die zugehörige Übungsaufgabe selbst rechnen, ohne vorher im Lösungsanhang nachzusehen. Da die elektrischen Größen, mit denen in diesen Studienbriefen gearbeitet wird, von sehr kleinen bis zu sehr großen Werten reiHDL 30 Grundlagen – Gleichstrom und Felder Ü 1.4 a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der unten stehenden Anordnung! R2 Netzgerät U R1 R4 R3 R1 =10 kΩ R5 = 2 kΩ R2 = 3 kΩ R6 = 1 kΩ R3 = 5,8 kΩ U =15 V R6 R5 R4 = 2 kΩ b) Welchen Strom muss das Netzgerät liefern? 1.3 Kirchhoffsche Sätze, Netzberechnungen Das Berechnen von elektrischen Größen mittels Ersatzwiderständen lässt sich nur bei einfachen elektrischen Netzen mit z. B. einer Spannungsquelle durchführen. In verzweigten Netzen müssen andere Verfahren angewandt werden, wobei das Berechnungsverfahren nach Kirchhoff sicher zum Ziel führt. Dies Verfahren beruht auf den im Folgenden erläuterten zwei Regeln: 1.3.1 Knotensatz Bild 1.21 zeigt einen Ausschnitt aus einem elektrischen Netz. Die Schaltungspunkte, wo drei oder mehr Zweige zusammenlaufen, werden als Knoten bezeichnet. I1 I0 I2 Bild 1.21 Knoten und Ströme Da in einem solchen Knoten keine Ladungsträger verschwinden können, muss die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe aller abfließenden Ströme sein; im Bild 1.21 ist I0 = I1 + I2 . HDL Grundlagen – Gleichstrom und Felder 31 Wenn man diese Gleichung umstellt in I0 − I1 − I2 = 0, erhält man die Formulierung: Merksatz Knotensatz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist stets gleich Null, wenn sie vorzeichenrichtig addiert werden (zufließende Ströme werden positiv gezählt, abfließende negativ). Allgemein gilt: n åI i=1 B 1.11 i = 0 .(1.31) Gleichstromnetz in einem Kraftfahrzeug (s. Schaltplan Bild 1.22a)): a) Beispiel I0 I1 I2 I3 UB M 12 V Batterie Glühlampe 60 W Heizung 120 W Motor 12 W I0 b) Knoten I1 I2 I3 UB 12 V Bild 1.22 Kfz-Netz mit mehreren Verbrauchern Dieses Netz lässt sich zu dem Ersatzschaltbild in Bild 1.22 b) zusammenfassen. Die einzelnen Verbraucher sind durch ihre Widerstände dargestellt. In den oberen Knoten im Bild 1.22 b) fließt der Strom I0 hinein; er wird positiv gezählt. Die Strompfeile für I1, I2 und I3 zeigen vom Knoten weg. Diese sind also abfließende Ströme und werden negativ gezählt: I0 − I1 − I2 − I3 = 0. Aus den Leistungsangaben sind die Ströme gemäß P = U ⋅ I leicht zu berechnen: I1 = 5 A; I2 = 10 A; I3 = 1 A. Aus Gl. (1.31) folgt I0 – I1 – I2 – I3 = 0 oder I0 = I1 + I2 + I3 = 16 A. HDL 32 Grundlagen – Gleichstrom und Felder 1.3.2 Maschenregel Als Maschen werden geschlossene Zählwege (Umläufe) bezeichnet, die Spannungsquellen, Verbraucher und offene Klemmen enthalten dürfen. Zur Verdeutlichung dient das Bild 1.23: Hier ist eine Taschenlampe mit zwei Batterien und einer Glühlampe dargestellt. Das zugehörige Schaltbild zeigt zwei ideale Spannungsquellen und einen Widerstand (Bild 1.23 a)). In Bild 1.23 b) ist zu erkennen, dass die Spannung UR gleich der Summe der beiden Batteriespannungen ist: UR = U1 + U2 . Diese Gleichung lässt sich umstellen in: UR − U1 − U2 = 0. Dieselbe Gleichung erhält man, wenn alle Spannungen (Spannungsquellen, Spannungsabfälle) in einer Masche über einen geschlossenen Umlauf vorzeichenrichtig (Spannungspfeile in Umlaufrichtung zählen positiv, Spannungspfeile entgegen der Umlaufrichtung negativ) addiert werden und diese Summe gleich Null gesetzt wird. In Bild 1.23 b) beginnt der Umlauf beim Punkt A. Dann zählt UR positiv, U2 und U1 negativ. Damit ist UR − U1 − U2 = 0. a) b) I A Batterie I U1 U1 Batterie II U2 U2 B Bild 1.23 Merksatz A Umlaufrichtung I UR R B Taschenlampe mit zwei Batterien Die Maschenregel lautet also: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist stets gleich Null, wenn sie vorzeichenrichtig addiert werden. Dabei sind die Spannungsabfälle an Verbrauchern in dieselbe Richtung wie die Strompfeile einzutragen. Allgemein gilt: n åU i=1 i = 0. (1.32) Physikalische Erklärung: Verschiebt man eine gedachte Ladung Q längs einer Masche, so wird ihre Energie W in Verbrauchern gemäß Gl. (1.6) um den Betrag W = UR · Q verringert; in Erzeugern entsprechend erhöht. Gelangt die Ladung zum Anfangspunkt zurück, so muss sie die gleiche Energie besitzen wie vor ihrem Umlauf. Sämtliche HDL Grundlagen – Gleichstrom und Felder 33 Energieerhöhungen und ‑verringerungen müssen sich aufheben, da der Energieerhaltungssatz gilt. B 1.12 Berechnen Sie in der Schaltung Bild 1.24 den Strom I0 und die Klemmenspannung UAB! Beispiel Lösung: Zuerst wird die Stromrichtung festgelegt (Bild 1.24 b)). Hier fließt der Strom aus den Spannungsquellen heraus. Im zweiten Schritt werden die Spannungsabfälle in Stromrichtung eingetragen, hier: UR = R1 · I0 , UR = R2 · I0 und UR = R3 · I0 . 1 2 3 Der dritte Schritt legt die Umlaufrichtung mit Startpunkt fest. a) R1 A U1 R2 UAB U2 R3 B b) Startpunkte R1 A UR 1 U1 UR 2 R2 UAB U2 UR 3 R3 B Masche 1 Bild 1.24 Masche 2 Anwendung der Maschenregel (s. Beispiel B 1.12) HDL 34 Grundlagen – Gleichstrom und Felder Damit ergibt sich mit den Werten U1 = 9 V, U2 = 6 V, R1 = 1 W, R2 = 14 W und R3 = 15 W gemäß Gl. (1.32) für die erste Masche: UR + UR + UR − U1 − U2 = 0 oder 1 2 3 R1 · I0 + R2 · I0 + R3I0 − U1 − U2 = 0 I0 (R1 + R2 + R3) = U1 + U2 und I0 = U1 + U2 R1 + R2 + R3 = 15 V 30 Ω = 0, 5 A . Für die zweite Masche gilt: UAB − UR − UR = 0 oder 2 3 UAB = R2 · I0 + R3 · I0 UAB = I0 (R2 + R3) = 0,5 A · 29 Ω = 14,5 V. 1.3.3 Netze mit mehreren Knoten und Maschen Hier sollen ausschließlich die Knoten- und Maschenregeln angewendet werden, da dieses Verfahren bei konsequenter Anwendung mit Sicherheit zum Ziel führt. Beispiel B 1.13 Ladegerät mit zwei Akkumulatoren Die Schaltung Bild 1.25 zeigt den Betrieb eines Ladegeräts für zwei Akkumulatoren. Es sollen die drei Zweigströme berechnet werden. R0 R1 U0 Ladegerät Bild 1.25 HDL R2 U1 Akku 1 Schaltplan zu Beispiel B 1.13 U2 Akku 2 Grundlagen – Gleichstrom und Felder Lösung: 1. Schritt: Bezeichnen der Ströme und Festlegen der Stromrichtungen. 2. Schritt: Bezeichnen der Spannungsabfälle mit Richtungsan­ gabe, 3. Schritt: Festlegen der Umläufe und deren Startpunkte. Diese Schritte sind in Bild 1.26 zu sehen. I0 I2 I1 R0 R0 · I0 R1 · I1 R2 · I2 U0 U1 Masche 1 Bild 1.26 R2 U2 Masche 2 Strom- und Spannungspfeile zu Beispiel B 1.13 Damit ergeben sich folgende Gleichungen: Knotenregel:I0 − I1 − I2 = 0 Gl. (1) Masche 1: R1 · I1 + U1 − U0 + R0 · I0 = 0 Aus (2): R0 · I0 + R1 · I1 = U0 − U1oder I0 + Masche 2: R2 · I2 + U2 − U1 − R1 · I1 = 0 oder wie oben: - R1 R0 R1 R0 × I1 = × I1 + R2 R0 U0 - U1 R0 × I2 = Gl. (2) U1 - U2 R0 Gl. (2 a) Gl. (3) Gl. (3 a) Hinweis: In den Gleichungen (2 a) und (3 a) wurde durch R0 dividiert, um ein Gleichungssystem nur aus Strömen mit derselben Einheit zu erhalten. Mit den Zahlenwerten U0 = 6,4 V, U1 = 5 V, U2 = 5,2 V, R0 = 1 W, R1 = 100 W und R2 = 120 W erhält man aus Gl. (1), (2 a) und (3 a): I0 − I1 − I2 = 0 Gl. (1) I0 + 100 · I1 = 1,4 A Gl. (2 b) −100 · I1 + 120 · I2 = −0,2 A . Gl. (3 b) HDL 35 36 Grundlagen – Gleichstrom und Felder Mit den drei Gleichungen (1), (2 b) und (3 b) lassen sich die drei unbekannten Zweigströme berechnen nach den üblichen Methoden zur Lösung von drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Die Aufbereitung der Gleichungen durch Division durch einen Widerstand erlaubt die Lösung mittels Taschenrechner durch Eingabe der Koeffizienten. Man erhält: I0 = 23,59 mA , I1 = 13,76 mA , I2 = 9,8 mA . Übungsaufgabe Ü 1.5 Berechnen Sie die drei Zweigströme der Schaltung in Bild 1.27! R1 R3 R2 U1 U2 U1 = 6 V R1 = 10 Ω U2 = 8 V R2 = 12 Ω U3 = 4 V R3 = 24 Ω U3 R4 R4 = 16 Ω Bild 1.27 1.3.4 Schaltplan zu Ü 1.5 Lineare Spannungsquellen Alle technischen Spannungsquellen besitzen einen Innenwiderstand, der bei Stromfluss einen inneren Spannungsabfall verursacht. Dieses Verhalten wird durch eine Reihenschaltung aus einer idealen Spannungsquelle Uq und einem Innenwiderstand Ri ausgedrückt (Bild 1.28). Dabei ist bei der idealen Spannungsquelle die Quellenspannung Uq unabhängig vom Strom I. Diese Ersatzschaltung ersetzt die reale Spannungsquelle jedoch nur hinsichtlich ihres Verhaltens bei Stromfluss, innere Verluste lassen sich mit Hilfe des Innenwiderstands nicht berechnen, da er nicht als reales Bauelement vorhanden ist. HDL Grundlagen – Gleichstrom und Felder I A R1 UAB Uq B Bild 1.28 Lineare Spannungsquelle Das Verhalten der linearen Spannungsquelle wird durch die U-I-Kennlinie beschrieben (siehe Bild 1.29): UAB Uq lineare U-I-Kennlinie Ik Bild 1.29 I Lineare U-I-Kennlinie Bei der unbelasteten Spannungsquelle liegt an den Klemmen A und B die Quellenspannung Uq. Bei I = 0 ist also UAB = Uq. Bei Kurzschluss der Klemmen A und B ist UAB = 0 und es fließt der Strom Ik = Uq Ri . (1.3.3) Die Kennlinie in Bild 1.29 ist eine Gerade mit der Gleichung UAB = Uq − Ri · I , (1.3.4) daher die Bezeichnung „lineare Spannungsquelle“. Die meisten technischen Spannungsquellen zeigen dieses lineare Verhalten. Zumindest im normalen Betriebsbereich können sie als linear angenommen HDL 37 38 Grundlagen – Gleichstrom und Felder werden. Bei technischen Spannungsquellen besteht also zwischen der „Leerlaufspannung“ Uq und der Klemmenspannung UAB eine belastungsabhängige Spannungsdifferenz. Beispiel B 1.14 Laden und Entladen eines Akkumulators In Bild 1.30 ist ein Akkumulator (Uq = 6 V, Ri = 1 W) in ein Netz mit einer zweiten Spannungsquelle eingebaut. Es soll die Stromrichtung und die Stromstärke untersucht werden. I + R1 U1 Uq Akkumulator Bild 1.30 − Laden und Entladen eines Akkumulators 1. Fall: U1 = 5,5 V. Annahme: I fließt wie in Bild 1.30 aus dem Akkumulator am Pluspol heraus. Dann ist nach der Maschenregel: Ri · I + U1 − Uq = 0 oder I= Uq - U1 Ri = 0, 5 A . Der Innenwiderstand Ri begrenzt den Entladestrom. 2. Fall: U1 = 6,8 V Es wird dieselbe Richtung des Strompfeils angenommen. Damit ergibt sich dieselbe Gleichung wie im ersten Fall: I= Uq - U1 Ri und mit Zahlenwerten I = 6 V - 6, 8 V 1Ω = -0, 8 A . Das Vorzeichen „Minus“ bei der Stromangabe bedeutet, dass in diesem Fall der Strom entgegen unserer Annahme in die andere Richtung fließt. Hier fließt der Strom also in den Pluspol hinein, der Akkumulator wird geladen. Der Strompfeil zeigt damit in dieselbe Richtung wie der Spannungspfeil: Der Akkumulator ist hier ein Verbraucher und keine Quelle. Dabei begrenzt der Innenwiderstand Ri den Ladestrom. HDL Grundlagen – Gleichstrom und Felder Hinweis: 39 Merksatz Wenn bei der Berechnung von Strömen in verzweigten Netzen negative Vorzeichen auftauchen, so bedeutet dies, dass die Stromrichtung „falsch“ angenommen wurde. Behalten Sie aber unbedingt diese angenommenen Stromrichtungen bei, sonst müssen Sie die ganze Berechnung wiederholen. Ü 1.6 Ein Ladegerät für Akkumulatoren besitzt einen Innenwiderstand von 1 W und hat eine Leerlaufspannung von 13 V. Der aufzuladende Akkumulator hat einen Innenwiderstand von 4 W; seine Spannung beträgt zu Beginn des Aufladevorgangs 8 V. Zur Begrenzung des Ladestroms ist ein Vorwiderstand von 20 W in die Leitung zwischen Ladegerät und Akkumulator eingebaut. Übungsaufgabe a) Entwerfen Sie das Schaltbild! b) Wie groß ist der Ladestrom zu Beginn des Ladevorgangs? c) Welche Leistung gibt das Ladegerät dabei in den Stromkreis ab? d) Welche Leistung wird dabei im Vorwiderstand in Wärme umgesetzt? 2 Felder Mit „Feld“ im physikalischen Sinn werden Räume bezeichnet, die mit Energie gefüllt sind. In solchen Räumen (Feldern) finden Wechselwirkungen zwischen den darin befindlichen Körpern statt. Zum Beispiel gibt es im Schwerefeld der Erde Wechselwirkungen zwischen Erde und Mond. Andere Felder sind –– das elektrische Feld, gekennzeichnet durch Kraftwirkungen zwischen elektrischen Ladungen, –– das Magnetfeld, gekennzeichnet durch Kraftwirkungen zwischen magnetischen Körpern. Die Kraftwirkungen der Felder werden durch „Kraftlinien“, sogenannte Feldlinien, dargestellt. Dabei bedeutet eine hohe Feldliniendichte eine starke Wechselwirkung. •• In diesem Kapitel werden Sie die Beschreibung der Wechselwirkungen im elektrischen und magnetischen Feld kennenlernen. Studienziele HDL
