Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne: • Elektrisches

Kernphysik I
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
• Elektrisches Quadrupolmoment
• Magnetisches Dipolmoment
Spin und Parität
Der Kern ist ein abgeschlossenes System und hat somit einen definierten
Kernspin mit der Quantenzahl =J für den Kernspin.
J = J ( J + 1)h
mJ = − J ,−( J − 1),...., J − 1, J
Kernspin ist die Summe der Gesamtdrehimpulse der individuellen
Nukleonen : j
v
J = ∑ ji
(jj - Kopplung)
i
Der Gesamtdrehimpuls eines Nukleons ist die Summe des intrinsischen
Spins und des Bahndrehimpulses :
v v v
j =l +s
- intrinsischer Spin des Protons oder Neutrons : s = 1/ 2h
- der Bahndrehimpuls eines Nukleons ist immer geradzahlig
Daraus folgt:
gerade Massenzahl A: J = ganzzahlig
ungerade Massenzahl A: J = halbzahlig
Alle Kerne mit geradem Z und geradem N haben J = 0
Nukleonen: Spin ½ Teilchen
Fermionen haben einen
“Inneren Drehimpuls”
z
Quantisierungsachse
½~
0
-½ ~
zusätzliche Quantenzahl: ms
n,l,ml,ms
Elektromagnetische Momente
Statische elektromagnetische Eigenschaften der Kerne werden durch ihre
elektromagnetischen Momente charakterisiert. Diese enthalten die Information
über die Verteilung der Ladung und der magnetischen Momente im Kern.
Die zwei wichtigsten Momente sind:
Elektrisches Quadrupolmoment Q
Magnetisches Dipolmoment µ
Elektrische Momente
Sie sind von der Ladungsverteilung im Inneren des Kernes abhängig und
Sind ein Maß für die Kernform d.h. den Kontouren konstanter Ladungsdichte.
Die Kernform wird durch eine Multipolentwicklung des äusseren elektrischen
Feldes parametrisiert.
Elektrische - Momente
Reihenentwicklung des Potentials für große Abstände r (r´/r < 1):
Elektrische - Momente
Quantenmechanische
Beschreibung:
Definition der z-Achse:
Ladung
Elektrischer
Dipol
Elektrischer
Quadrupol
Wellenfunktionen des Kernes haben definierte Parität.
Das elektrische Dipolmoment des Kernes ist null.
Quadrupolmoment
1
v
Q = ∫ Ψ ∗ ( 3 z 2 − r 2 ) Ψd 3 r
e
1
v v
Q = ∫ ( 3 z 2 − r 2 ) ρ ( r ) d 3r
e
1
v v
∝ ∫ r 2 (3 cos2 θ − 1) ρ ( r )d 3r
e
1 2 0
v v
∝ ∫ r Y2 (θ , φ ) ρ ( r )d 3r
e
Q: Quadrupolmoment des Kernes
• Dimension des Quadrupolmomentes ist Fläche.
Einheit barn (b)
• Für kugelsymmetrische Kerne verschwindet das
Quadrupolmoment Q.
• Prolater (zigarrenförmiger) Kern: Q > 0
Oblater (linsenförmiger) Kern: Q < 0
• In inhomogenen elektrischen Feld verschieben sich
die Energieniveaus eines deformierten Kernes.
• Das Integral verschwindet für J = 0 oder J =1/2
(Eigenschaft von Kugelfunktionen),
Kernzustände mit Spin 0 oder 1/2 haben
kein elektrisches Quadrupolmoment.
prolat
oblat
Quadrupolmomente
Einfaches Modell für die Beschreibung einer Kernform:
Homogen geladenes Rotationsellipsoid (um die z-Achse)
der Ladung Ze mit den Halbachsen b in z-Richtung und
a senkrecht dazu.
Das klassische Quadrupolmoment ergibt sich zu:
Q=
2
4
 ∆R  4
2
Z (b2 − a 2 ) = ZR 2 
 ≡ ZR ⋅ δ
5
5
 R  5
Die Abweichung R = (b-a) von der Kugelgestalt mit mittlerem Radius R = (a+b)/2
wird üblicherweise durch den Deformationsparamter δ beschrieben.
Elektromagnetische Momente
Intrinsisches und spekroskopisches Quadrupolmoment
Unterschied zwischen dem Quadrupolmoment Qlab im Laborsystem, dem
spektroskopischen Quadrupolmoment und dem intrinsischen Quadrupolmoment Qintr.
Qlab bezieht sich auf die z-Achse (Quantisierungsachse) im Laborsystem,
Qintr bezeiht sich auf die 3-Achse im intrinsischen System
Beide Achsen können um Winkel β verdreht sein.
Beziehung zwischen Labor- und
intrinsischem System:
Quantenmechanische Beziehung
Magnetisches Moment
1) Kreisstrom erzeugt
magnetisches
Diploment
Leiterschleife:
2) Magnetischer Dipol
in Magnetfeld
hat potentielle Energie
Drehimpuls L
B
Strom I
S
Fläche A
N
Magnetisches
Dipolmoment
µ= IA
senkrecht auf A
v
µ=
1 v v v
3
′
′
[
]
r
×
j
(
r
)
d
r′
∫
2
3) Kreisendes
Teilchen erzeugt
Magnetfeld
Magnetisches Moment des Elektrons
Drehimpuls l
r
Umlaufzeit T
π r2
• Bohrsches Magneton:
magnetisches Moment eines Elektrons mit Bahndrehimpuls l=1ħ
• QM Operator des
magnetischen Dipolmoments:
v
e
∗
3
′
′
µ=
Ψ
(
r
)
⋅
L
⋅
Ψ
(
r
)
d
r′
∫
2m
v
Magnetisches Moment des Elektrons
Magnetisches Moment des Elektrons
für einen Kreisstrom wäre g=1
g: g-Faktor des Elektrons
gs=2,0023
Spin ½ Teilchen: Dirac Theorie (relativistische QM) g=2
Abweichungen von 2 QED: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld
Magnetisches Moment des Kernes
Magnetisch es Moment eines Kernes
r
r
r
I
µ I = const ⋅ I = g k µk
h
Einheit des magnetisch en Momentes : Kernmagnet on
µk =
eh
= 3.152 ⋅ 10 −14
2m p c
[MeV T ]
Analog zum Bohrschen Magneton
Kernmagnet on ist um Verhältnis
me
~ 1 1836 kleiner.
mp
Für Kern g - Faktor könnte man 2 für das Proton (wie Elektron)
erwarten, und null für das Neutron. Aber Experiment zeigt :
g s = 5,5858
gl = 1
für das Proton
g s = −3,8261
gl = 0
für das Neutron
Magnetisches Moment des Kernes
Magnetisch es Moment des Kernes
r
r
r
I
eh
µ I = const ⋅ I = g k µk
µk =
= 3.152 ⋅ 10 −14
h
2m p c
g s = 5,5858
gl = 1
für das Proton
g s = −3,8261
gl = 0
für das Neutron
magnetisch e Momente der Spins :
µ p = 2 ,79 µK (Proton)
µn = -1,91µK (Neutron)
Die anomalen magnetisch en Momente der Nukleonen sind
ein klarer Hinweis auf die Substruktu r der Nukleonen.
[MeV T ]
Magnetisches Moment des Kernes
Operatore für die magnetisch en Momente :
eh sˆ
eh lˆ
µˆ s = g s
µˆ l = g l
2mN h
2mN h
Das totale magnetisch e Moment eines Nukleons mit totalem Drehimpuls ˆj
setzt sich aus den magnetisch en Momenten des Spins und des Bahndreh impulses zusammen :
1
( g s sˆ + g l lˆ)
h
Um das magnetisch e Moment µ zu bestimmen, muss man µˆ j auf den totalen
µˆ j = µK
Drehimpuls ˆj projiziere n. Quantenmec hanisch korrekt ist das magnetisch e
Moment µˆ über den Erwartungs wert der z - Komponente des Operators µˆ j
definiert :
µˆ = g j µK ˆj =
µˆ j ⋅ ˆj ˆj
j
⋅
j
G-Faktoren des Kernes
Für den g - Faktor g j gilt :
gj =
g l (lˆ ⋅ ˆj ) + g s ( sˆ ⋅ ˆj )
j
2
mit j ( j + 1) = ˆj 2 = lˆ 2 + 2lˆ ⋅ sˆ + sˆ 2
lˆ 2 = l (l + 1)
sˆ 2 = s ( s + 1) = 3 4
g l { j ( j + 1) + l (l + 1) − 3 4}+ g s { j ( j + 1) − l (l + 1) − 3 4}
2 j ( j + 1)
(
g s − gl )
g j = gl ±
für j = l ± 1 2
2l + 1
gj =
Einfache Beziehung für den g-Faktor von Einteilchenzuständen.
Weitere Details im Zusammenhang mit Zuständen im Schalenmodell.
Messung von magnetischen Momenten
Präzissionsfrequenz
Wechselwirkungsenergie
Zweites Oszillierendes B-Feld (Frequenz ω) senkrecht zu B
Drehmoment=
Maximale Energieabsorption bei Larmorfrequenz
Elektromagnetische Momente
Rabi Atomstrahlversuch:
A, B1
C, B2
B, B3
Elektromagnetische Momente
Rabi-Atomstrahlversuch
• In Magnetfeld (C) durch den Zeeman-Effekt eine energetische Aufspaltung der
magnetischen Unterzustände und eine Präzession des magnetischen Momentes
um das homogene Magnetfeld
• Einstrahlung einer elektromagnetischen Hochfrequenz im Bereich des Magneten (C)
kann bei der richtigen Frequenz, der Zyklotronfrequenz, Übergänge zwischen den
magnetischen Unterzuständen induzieren. Damit ändert man die z-Komponente des
magnetischen Momentes.
• Die Atome im Magneten (B) erfahren veränderte Kraft und werden nicht mehr auf
den Detektor fokussiert.
• Beim Durchfahren der eingestrahlten Frequenz erhält man ein Resonanzminimum
bei der Zyklotronfrequnez, aus der dann das magnetische Moment bestimmt werden
kann.
• Da das magnetische Moment der Elektronen sehr viel größer ist als das der Kerne,
ist diese Messung nur für Atome mit verschwindendem Gesamtdrehimpuls der Hüllenelektronen möglich.
Elektromagnetische Momente
Kernresonanzmessung
Starke Absorption bei Einstrahlung der HF mit Larmorfrequenz
Grundlage für Kernspinresonanztomographie (NMR, MRI)
Hyperfeinstruktur
Aufgrund der Kopplung der Drehimpulse des Kerns und der Hüllen
elektronen kommt es zu einer Aufspaltung der Energien der atomaren
Zustände. Dabei wird ein Gesamtdrehimpuls F eingeführt, zu dem der
Kernspin I und der Drehimpuls J der Elektronen koppeln:
F=I+J
Der Gesamtdrehimpuls F kann Werte mit ganzzahligem Abstand zwischen
|I - J| und (I + J) annehmen.
Gesamtdrehimpuls
des Atoms
F
Feinstruktur
Hüllendrehimpuls
J
Bahndrehimpuls
der Hülle
L
I
Kernspin
Hyperfeinstruktur
Hüllendrehimpuls
J
Elektronenspin
s
Hinweis: in diesem Abschnitt ist Abkürzung I und J für
Kernspin und Hüllenspin vertauscht!
Hyperfeinstruktur
l=1, j=3/2
n=2, l=0,1
l=0, j=s
l=1, j=1/2
n=1
l=0
l=0
j=s
2p3/2
2p3/2
2s1/2
2p1/2,2s1/2
2p1/2
F=1
1s1/2
∆En=10eV
∆EFS=10-4eV
∆Erel=10-4eV
Schrödinger
gleichung
ohne
Spin
Feinstruktur
LS
Relativistische
Effekte
5.8 10-6eV
∆ELamb
=4 10-6eV
Lambshift
QED
F=0
∆EHFS=10-6eV
Hyperfein
struktur
(Kern)
Hyperfeinstruktur
Magnetische Hyperfeinwechselwirkung
magnetisches
zuKerns
I: spürt ein Magnetfeld B dass durch die
Das
magnetischeKernmoment
Moment µI des
J
Hüllenelektronen am Ort des Kerns erzeugt wird.
magnetische Wechselwirkungsenergie
v
∆∆EEM ==- −
µIµv· B⋅JB
M
I
J
Kern
B Feld durch
Atomhülle
mit Drehimpuls J=l+s
v v
∆EM = − µ I ⋅ BJ
wegen µI (Kernmasse)
typisch 103 kleiner als FS
Mit µI = gI µK I und BJ ~ J
Magnetische Hyperfeinwechselwirkung
∆EM = A/ħA2 vI · vJ
∆E M = 2 I ⋅ J
h
Faktor A = gI µK BJ(0)/J enthält atomare
und nukleare Eigenschaften inklusive des
g-Faktors.
∆E M = A
2
[F ( F + 1) − J ( J + 1) − I ( I + 1)]
Hyperfeinstruktur in Natrium
Hyperfeinaufspaltung in Natrium
Erinnerung: Grundzustand: 32s1/2 Elektron
Kernspin: J=3/2
F=2, F=1 aus: 1/2+3/2, |1/2-3/2 |
Energiedifferenz zwischen Hyperfeinniveaus
des selben elektronischen Niveaus mit
(F + 1) und F ist gegeben durch:
E = E(F+1) - E(F) = A(F+1).
Intervalle des 32P3/2 Multipletts:
16,4MHz, 18MHz, 20,8MHz
für F=1 ->F=0, F=2 -> F=1, F=3 ->F=2
Zustände.
Die Aufspaltung durch die magnetische
Wechselwirkung sollte jedoch drei gleiche
Energiedifferenzen zu den selben A-Werten
haben. D. H. weitere Wechselwirkungen
müssen berücksichtigt werden.
Hyperfeinstruktur
Wechselwirkung zwischen Kern und Elektronen durch
nicht - verschwindendes Quadrupolmoment.
v
v v
EQ = ∫ ρ ( r )Φ ( r )d 3r
Multipolentwicklung :
1  ∂ 2Φ 
v
2
2
3v


EQ =  2  ∫ ρ ( r )(3z − r )d r
4  ∂z 
Wechselwirkungsenergie verursacht Aufspaltung der entarteten
Multipletts des totalen Drehimpulses F.
Energieaufspaltung aufgrund der Hyperfeinwechselwirkung :
3 2C(C + 1 )-2 J(J + 1 ) I(I + 1 )
C
∆EHF = A
+B
2
J( 2 J + 1 )I( 2 I + 1 )
mit
C = [F ( F + 1) − I(I + 1 ) − J(J + 1 )]
A = g I µ K B ( 0) / J
und
B = eQlab
(
∂ 2Φ
)
∂z
2
r =0
Hyperfeinstruktur
Experimente zur Hyperfeinstruktur
Bestimmung der
Hyperfeinstrukturaufspaltung
mit Laserspektroskopie
- durchstimmbare Farbstofflaser
- Atomstrahl
- kolineare Anordnung von
Atomstrahl und Laser
- resonante Absorption und Reemission bei Übergangsenergie
- Detektion der resonanten
Photonen z.B. mit Photomultiplier
Messungen von Kernen fernab der Stabilität
ISOLDE Labor am CERN