Einführung in die Theoretische Astrophysik Aufgabe 10: Aufgabe 11:

Einführung in die Theoretische Astrophysik
WS 15/16
Übungsblatt IV
Zunächst behandeln wir heute noch einmal polytrope Zustandsgleichungen. Danach wenden wir
uns dem Thema Strahlungstransport zu.
Aufgabe 10:
Im Rahmen der statistischen Mechanik lässt sich der Druck eines Gases mit Phasenraumverteilung f definieren als:
4π
P =
3
Z∞
(f vp)p2 dp
0
wobei v und p die Geschwindigkeit und den Impuls eines Gasteilchens bezeichnen. Im Falle
eines entarteten (Fermi-)Gases in einem Weißen Zwerg (siehe Vorlesung) gilt:
(
2
p ≤ pF
3
f= h
0
p > pF
mit dem Planck’schen Wirkungsquantum h und dem Fermi-Impuls pF = h(3/(8π))1/3 n1/3 . Der
Zusammenhang der Teilchenzahldichte n mit der Massendichte ρ ist, wie üblich, gegeben durch
n = ρ/(µmp ).
Zeigen Sie nun für (a) den nicht-relativistischen und (b) den hoch-relativistischen Fall, dass
sich damit jeweils eine polytrope Zustandsgleichung der Form P = Kργ ergibt. Bestimmen Sie
jewils die Konstanten K und γ.
Aufgabe 11:
In der Vorlesung wurde diskutiert, dass ein C-O-Kern nicht zum Weißen Zwerg wird, wenn
seine Masse die Chandrasekharmasse MCh ≈ 1.44 M übersteigt.
Der nächste mögliche stabile Zustand ist der eines Neutronensterns.
Um einen Eindruck von letzterem zu erhalten sollen hier zwei
Abschätzungen gemacht werden. Nehmen Sie an, ein C-O-Kern habe einen Radius von 0.1 R , eine mittlere Dichte von 4 · 106 kg/m3
und eine Rotationszeit von 30 Tagen.
Berechnen Sie (geht näherungsweise ohne Taschenrechner ,) nun
(a) die Dichte aus der Massenerhaltungsbedingung und (b) die Rotationsgeschwindigkeit aus der Drehimpulserhaltungsbedingung unter
der Annahme, dass der resultierende Neutronenstern einen Radius
von 20 km hat.
Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 – 1995)
erhielt 1983 den Nobelpreis für seine Studien
zur Struktur und EntHinweis: Der Drehimpuls einer rotierenden Kugel mit Radius R,
wicklung von Sternen.
2
2π
Masse M und Rotationsperiode T lautet L = M R2 .
5
T
=⇒
b.w.
Aufgabe 12:
Die Strahlungstransportgleichung lässt sich in vereinfachter Form schreiben als
cos ϑ
dI
=I −B
dτ
wobei I = I(τ, ϑ) die Strahlungsintensität, B = B(T ) die integrierte Kirchhoff-Planck-Funktion
R
1
(geund τ die optische Tiefe ist. Zeigen Sie,
dass
unter
Verwendung
der
‘Momente’
J
=
R4π IdΩ
R
1
I cos2 (ϑ)dΩ
mittelte Strahlungsintensität), ΦS = I cos(ϑ)dΩ (Strahlungsstrom) und K = 4π
(wobei Ω den Raumwinkel bezeichnet)
(a) die Momentengleichungen
dΦS
dτ
dK
dτ
= 4π(J − B)
=
1
ΦS
4π
gelten und
(b) berechnen Sie J, ΦS und K für die Eddington-Näherung I(τ, ϑ) = I0 (τ ) + I1 (τ ) cos(ϑ)
explizit.
2