7 – Magnetfeld Die Geschichte des Magnetismus reicht einige

7 – Magnetfeld
Die Geschichte des Magnetismus reicht einige tausend Jahre zurück und beginnt wahrscheinlich in Kleinasien. Dort wurde (in der Nähe von Magnesia) gefunden, dass gewisse Steine sich anziehen. Wir nennen diese Mineralart heute Magnetit (=Magneteisenerz, Eisenhammerschlag). Es hat die Strukturformel Fe3O4 und ist das stabilste Eisenoxid. Es ist tiefschwarz, glänzend und elektrisch leitend. Ausserdem ist es bei Raumtemperatur ein Ferromagnet – aber dazu später mehr.
Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde festgestellt, dass elektrische Ströme und das Phänomen des Magnetismus einen kausalen Zusammenhang haben. Elektrische Ströme erzeugen magnetische Felder.
7.1 – Magnete und magnetische Felder
Wir alle wissen, dass Magnete Objekte aus gewissen Metallen anziehen. Ein Magnet besitzt immer zwei Pole, egal, ob er als Hufeisen­ oder Stabmagnet ausgeführt ist. Ein drehbar aufgehängter Stabmagnet wird sich stets (grob) in Nord­Süd­Richtung ausrichten. Auf diesem Prinzip basiert der Kompass. Der Pol des Magnete, der zum geographischen Nordpol zeigt, wird Nordpol des Magneten genannt, der andere entsprechend Südpol.
Wir beobachten weiter, dass gleichnamige Pole zweier Magnete sich abstoßen, ungleichnamige sich aber anziehen. Das haben wir ähnlich auch bei den elektrischen Ladungen kennengelernt. Aber: Magnetpole sind keine elektrischen Ladungen!
Tatsächlich ist es nicht möglich, einen magnetischen Pol zu isolieren. Es existiert, soweit wir wissen, kein magnetischer Monopol. Das Zerschneiden eines Stabmagneten erzeugt nur immer wieder kleinere Stabmagneten.
Einige wenige Metalle und bestimmte Legierungen/Verbindungen zeigen starke magnetische Effekte. Man nennt sie Ferromagnete (ferrum: (lat.) Eisen).
Allerdings zeigen alle Materialien magnetische Effekte, wenn man nur empfindlich genug miss. Sie sind dia­ oder paramagnetisch. Dies werden wir allerdings hier nicht vertiefen.
In Analogie zum elektrischen Feld erzeugt von Ladungen erzeugen magnetische Pole ein magnetisches Feld. Die Kraftwirkung zwischen zwei Magneten kann demnach verstanden werden, als die Kraft, die ein Magnet im Magnetfeld des anderen erfährt. Wir können das Magnetfeld ebenfalls durch ein Feldlinienbild darstellen. Diese Bild kodiert das magnetische Feld in der uns schon bekannten Form:
● Die Richtung des Magnetfeldes ist an jedem Ort tangential zu den Feldlinien
● Die Dichte der Feldlinien pro Einheitsfläche/volumen ist proportional zur Magnetfeldstärke
Eine qualitative Definition der Richtung des Magnetfeldes an einem gegebenen Ort kann wie folgt gegeben werden:
Die Richtung des Magnetfeld an einem Ort entspricht der Richtung des Nordpols
einer an diesen Ort gebrachten kleinen Kompassnadel.
Mit der Kompassnadel als Feldindikator lässt sich das Feldlinienbild eines Stabmagneten gewinnen. Das Feld zeigt vom Nordpol weg und auf den Südpol hin. Weil es keine magnetischen Monopole gibt, sind Magnetfeldlinien immer geschlossen; sie laufen im Inneren des Stabmagneten weiter. Ein Verlauf des Erdmagnetfeldes ähnelt in grober Näherung dem eines fiktiven Stabmagneten im Innern der Erde. Der Nordpol eines Kompass zeigt nach Norden, wo demnach der magnetische Südpol sein muss. Entsprechend liegt im Süden der magnetische Nordpol.
Riesige Mengen eisenreicher Flüssigkeit strömen im äußeren Kern der Erde in Tiefen zwischen rund 3000 und 5000 Kilometern. Diese Konvektionsbewegungen sind der Motor für einen gigantischen Dynamo­Prozess, über den das Erdmagnetfeld erzeugt wird.
Der magnetische Nordpol liegt nicht am geograpischen Nordpol (=Durchstoßpunkt der Erdrotationsachse), sondern (zur Zeit) im nördlichen Kanada ca. 1300 km vom “wahren” Nordpol entfernt. Dies verursacht eine vom Längen­ und Breitengrad abhängige Abweichung zwischen der Anzeige eines Kompass und dem geographischen Nordpol. Diese Abweichung wird magnetische Deklination genannt. Auch ist das Feld nicht immer parallel zur Erdoberfläche. Die Winkelabweichung zwischen einer Tangentialebene zur Erdoberfläche an einem Punkt und der Richtung des Magnetfeldes dort wird magnetische Inklination genannt.
Das magnetische Erdfeld ist aufgrund seines komplizierten Entstehungsprozesses ständigen Schwankungen unterworfen. Aus der Magnetisierung vulkanischer Gesteine kann man schließen, dass sich die Richtung des erdmagnetischen Feldes etwa alle 0,5 Millionen Jahre umgekehrt hat. Die Richtungsänderung verlief dabei innerhalb von etwa nur 5000 Jahren. Die Zeitskala dieser Umkehrungen ist bis ca. 80 Millionen Jahre zurück gut untersucht.
Schockfront
Sonnenwind
Erdmagnetfeldlinien
Plasmaschicht
Seit mit Satelliten das Magnetfeld der Erde großräumig untersuchen werden kann ist bekannt, dass das Magnetfeld der Erde auf der Sonnenseite naehzu dipolförmig ist. Auf der Nachtseite bewirkt aber der Sonnenwind mit seinem Magnetfeld eine deutliche Deformation des Erdmagnetfeldes. Das Magnetfeld der Erde lenkt einen Großteil dieser für den Menschen gefährlichen Teilchenstrahlung um (vgl. die braun gefärbten Pfeile).
7.2 – Magnetfelderzeugung durch elektrische Ströme
1820 entdeckte Hans Christian Oersted (1777­1851), dass eine Kompassnadel in der Nähe eines stromdurchflossenen Drahtes abgelenkt wird. Da die Kompassnadel ein Indikator für das Magnetfeld ist, folgt daraus:
Ein stromdurchflossener Draht erzeugt ein Magnetfeld.
Wir kommen darauf noch im Detail zurück. Zwei Beispiele zeigen den Verlauf des magnetischen Feldes um einen geraden, stromdurchflossenen Leiter (Draufsicht) und eine Leiterschleife (Seitenansicht). Die Richtung des Magnetfeld für den geraden Draht wird durch die Rechtsschrauben­Regel bestimmt: Man umfasst den Draht mit der rechten Hand so, dass der Daumen in der technischen Stromrichtung zeigt; die gekrümmten Finger zeigen dann die Magnetfeldrichtung an.
7.3 – Kraft auf einen elektrischen Strom im Magnetfeld, Definition von B
Gemäß dem letzten Kapitel erzeugt ein stromdurchflossener Draht eine Kraftwirkung auf einen Magneten (Kompassnadel). Nach actio = reactio sollten wir erwarten, dass gilt
Ein Magnet übt eine Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Draht aus.
Auch das wurde von Oersted beobachtet. Wir betrachten dazu einen Draht im (nahezu) homogenen Magnetfeld eines Hufeisenmagneten. Fließt ein Strom durch den Draht, so wird er in Pfeilrichtung abgelenkt.
drehbare Aufhängung
Die Kraftrichtung ergibt sich aus der
Rechte­Hand­Regel: Der Daumen zeigt in Stromrichtung, der Mittelfinger in Feldrichtung und der Ringfinger zeigt dann die Kraftrichtung.
Bei diesem Experiment werden die folgenden Proportionalitäten festgestellt:
F ∝ ILB sin
dabei ist L die Drahtlänge im Magnetfeld und  der Winkel zwischen dem Draht (in Stromrichtung) und der Magnetfeldrichtung.
Wir haben dabei gleich das Symbol B für das Magnetfeld eingeführt. B wird auch magnetische Flussdichte genannt. Der Grund für diese Namensgebung wird später klar werden. Die Einheit von B ist das Tesla (T): 1 T = 1 N/Am = 1 VAs/Am2 = 1 Vs/m2
Im SI­System ist die Proportionalitätskonstante eins. Weiterhin legt die sin­Abhängigkeit die folgende vektorielle Formulierung des obigen Zusammenhangs nahe
 ×B

F = I L
Wenn B nicht homogen, oder der Leiter nicht gerade geformt ist, gilt allgemeiner der infinitesimal formulierte Zusammenhang
 ×B

d F =I d L
Die Gesamtkraft auf den Draht ist dann durch Integration entlang des Drahtes zu ermitteln.
Hörsaal­Übung: Ein Drahtbügel mit halbkreisförmigem Bogen (Radius R) und geraden
Armen wird von einem homogenen Magnetfeld B0 durchdrungen. Die geraden Teile
haben jeweils die Länge L. Durch den Drahtbügel fließt ein Strom I. Welche Kraft wirkt
auf den Bügel?
7.4 – Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld
Der Strom in einem Draht besteht aus bewegten Ladungen. Demnach ist zu erwarten, dass die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Draht tatsächlich auf eine Kraftwirkung auf die Ladung zurückgeführt werden kann. Wir können das aus bekanntem ableiten.
Ein Strom I herrscht, wenn N Ladungen q in der Zeit t vorbeifließen: I = Nq/t.
Wir nehmen an, die Ladung durchläuft in der Zeit t die Strecke L im Magnetfeld. Es gilt dann L = vt (v: Geschwindigkeit). Daraus ergibt sich
 ×B
 = Nq t v ×B
 =Nq v ×B

F =I L
t
Auf die Einzelladung wirkt also die sogenannte Lorentzkraft:

F =q v ×B
Über diese Gleichung kann ebenfalls das Magnetfeld definiert werden: Die maximale Kraft auf eine Ladung im Magnetfeld B tritt auf, wenn v und B senkrecht zueinander sind
F max =qvB
Sind v und B parallel, so ist die Kraftwirkung null.
Die Bedingung F = 0 liefert uns also die lokale Magnetfeldrichtung als parallel zu v und die Bedingung F = Fmax liefert den Betrag des Magnetfeldes. Die Richtung der Kraft ist wieder über die Rechte­Hand­Regel bestimmt.
Hörsaal­Übung: Ein Elektron bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2∙107 m/s
in einer Ebene senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Stärke 0,01 T.
Man zeige, dass das Elektron eine Kreisbahn durchläuft.
Die Zeit für einen Kreisbahnumlauf (Radius r) einer Ladung q im Magnetfeld B sei T = 2r/v. Aus der Hörsaalübung wissen wir, dass r = mv/qB ist. Demnach gilt:
T=
2 mv 2 m
=
qBv
qB
Die Frequenz des Umlaufs f = 1/T bzw. die Kreisfrequenz  = 2f ist demnach
=
qB
m
Das ist die sogenannte Zyklotron(kreis)frequenz. Der Name stammt daher, dass die Bahnbewegung von einem geladenen Teilchen in einem Zyklotron durchlaufen wird.
Ein Zyklotron ist ein Typ von Elementarteilchenbeschleuniger, bspw. für Protonen.
Wenn die Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens schiefwinklig zu anliegenden Magnetfeld ist, so ergibt eine Schraubenbahn. Das lässt sich leicht einsehen, wenn man den Geschwindigkeitsvektor in Komponenten senkrecht und parallel zum Magnetfeld zerlegt. Die senkrechte Komponente führt zu einer Kreisbahn, da die Lorentzkraft als reine Zentripetalkraft wirkt. Die parallele Komponente erfährt keine Kraft erzeugt also eine uniforme Translation. Die Überlagerung dieser Bewegungsformen ist eine Schraubenbahn.
Hörsaal­Übung: Hochenergetische Ionen nähern sich ständig von der Sonne kommend
der Erde (Sonnenwind). Sie dringen in die Atmosphäre ein und zwar hauptsächlich im
Bereich der magnetischen Pole. Sie verursachen in der Atmosphäre durch Stoßanregung
eine Leuchterscheinung (Polarlicht = Aurora Borealis). Warum nur an den Polen?
7.5 – Drehmoment auf eine Leiterschleife im Magnetfeld; magnetisches Dipolmoment
Fließt durch eine Leiterschleife im Magnetfeld ein Strom, so kann auf die Leiterschleife ein Drehmoment wirken. Dieser Effekt wird bspw. bei Drehspulinstrumenten ausgenutzt. Er lässt sich nun einfach erklären:
Die Kraft auf einen der vertikalen Arme der Länge a ist F = aIB. Der Hebelarm für jede Kraft ist b/2. Damit ergibt sich für das gesamte maximale Drehmoment (A senkrecht B):
B
I
A
max = 2⋅IaB
F
F
b
b
=IAB
2
Hat die Schleife N Windungen, ist also eine Spule, so ist das Drehmoment N mal so groß.
a
Wenn die Leiterschleifennormale (Flächenvektor A) einen Winkel  ungleich 90° mit B einschließt, so ergibt sich allgemeiner für das Drehmoment
= IAB sin
Dieses Ergebnis gilt für jede ebene Leiterschleife, unabhängig von ihrer Form.
Man nennt die Größe IA das (magnetische) Dipolmoment der Leiterschleife. Das Dipolmoment ist ein Vektor und hat die allgemeine Form


 =I A
A steht wie senkrecht auf der Schleifenebene. Seine Richtung ergibt sich unter Anwendung der Rechtsschraubenregel für den Strom.
Mit dieser Definition von µ können wir für das Drehmoment auf einen magnetischen Dipol im Magnetfeld allgemein schreiben


 ×B
 =
Die Form entspricht der für den elektrischen Dipol  = p  E. Auch für die potentielle Energie eines Dipols im Magnetfeld ergibt sich analoges zum elektrischen Fall U = ­p∙E, denn
U =∫  d  =∫ IAB sind =− B cosC
Wir wählen U = 0 für  = /2 und erhalten dann

U =−B cos=−
⋅B
Stabmagnete, Stromschleifen und Kompassnadeln können als magnetische Dipole angesehen werden. Das ist offensichtlich plausibel, wenn man bedenkt, wie ähnlich die Magnetfeldlinienbilder eines Stabmagneten und einer Leiterschleife aussehen.
Hörsaal­Übung: Wie groß ist das magnetische Dipolmoment des Elektrons im
Wasserstoffatom, das sich im Grundzustand des Bohrschen Atommodells auf
einer Kreisbahn mit Radius 0.529 Å um den Atomkern bewegt? [sehr grobes Modell!]
7.6 – Anwendungen: Galvanometer, Lautsprecher, Motoren
Ein Galvanometer besteht aus einer Spule mit daran befestigtem Zeiger. Die Spule ist im Magnetfeld eines Permanentmagneten drehbar aufgehängt.
Skala
Zeiger
Feder
Fließt ein Strom I durch die Spule (N Windungen), so wirkt ein Drehmoment NIABsin , dass durch ein Gegenmoment, aufgebracht durch die Feder (Federkonstante k), kompensiert wird:
=k =NIAB sin
Anschlussklemme
Magnet
Wir lösen nach dem Drehwinkel  auf
=
NIAB sin
k
Der Drehwinkel ist proportional zum Strom – Gut!
Er ist aber auch proportional zu sin , also dem Winkel, den die Spulennormale mit dem Magnetfeld einschließt – Schlecht! Zur Lösung dieses Problems werden gekrümmte Polschuhe verwendet und die Spule wird um einen zylindrischen Eisenkern gewickelt. Der Eisenkern verursacht eine magnetische Flusskonzentrierung, so dass das Magnetfeld im Bereich der Spulenwicklung ausserhalb des Kerns weitgehend radial verläuft. Es ist damit dort stets parallel zur Spulenfläche und es wirkt dann immer das maximale Drehmoment auf die Spule, unabhängig vom Drehwinkel.
Auch ein Lautsprecher funktioniert nach dem Prinzip der Lorentzkraft.
Das Tonsignal (zeitabhängiger Strom) fließt durch eine Spule, die in einem speziell geformten Magneten aufgehängt ist. Die Spule ist mit der Membran des Lautsprechers verbunden. Bei Stromfluss durch die Spule wirkt auf sie eine nach oben oder unten gerichtete Kraft, so dass die “Stromschwingung” in eine Membranschwingung umgesetzt wird. Der Lautsprecher ist ein elektromechanischer Wandler.
Detail
F
S
S
N
S
x
x
x
x
x
x
F
N
∙
∙
∙
∙
∙
∙
S
Ein Gleichstrommotor wandelt elektrische Energie in Rotationsenergie um. Er arbeitet nach dem gleichen Prinzip, wie ein Galvanometer, nur dass auf die Feder verzichtet wird und so eine kontinuierliche Drehung ermöglicht wird.
Die Spule ist um einen länglichen Zylinder, den Rotor oder Anker, gewickelt. Der Anker ist auf einer Drehachse montiert. Fließt ein Strom durch die Spulenwicklungen, so wirkt solange ein Drehmoment, bis der Anker im Bild horizontal liegt. Seine Trägheit lässt ihn dabei ein wenig über diese kräftefreie Position hinauslaufen. Jetzt muss der Strom umgepolt werden, da sonst ein rücktreibendes Drehmoment auf den Anker wirkt.
Die Umpolung des Stromes wird durch den sogenannten Kommutator erreicht. Er besteht (im Bild) aus zwei Halbkreisflächen, die sich – elektrisch isoliert – gegenüberliegen. Die Flächen sind mit den Spulenende verbunden. Auf den Flächen machen Schleifbürsten den elektrischen Kontakt zu den Anschlussklemmen. Die Halbkreisflächen werden nun gerade so angeordnet, dass bei einer Drehung über die horizontale Ankerlage eine Umpolung erfolgt, d.h. die Trennlinie zwischen den Halbkreisflächen verläuft parallel zum Anker.
7.7 – Eigenschaften des Elektrons
Bei der Entdeckung des Elektrons waren Magnetfelder von großer Bedeutung für die Bestimmung seiner Eigenschaften.
Ende des neunzehnten Jahrhunderts wurden Experimente mit Gasentladungsröhren gefüllt mit Edelgasen durchgeführt. Bei Anlegen einer großer Spannungen kam es zur Ausbildung eines dunklen Bereiches im Bereich der Kathode, der sich mit wachsender Spannung in Richtung der Anode ausdehnte. Durch Einfügen von Gittern als Kollimatoren konnte das Glühen der Entladung auf einen kleinen Bereich am Ende der Röhre begrenzt werden. Es schien, als ob “etwas” von der Kathode emmittiert würde, durch die Röhre lief und am Ende der Röhre das Glühen hervorrief.
Kathode
Gitter
Anode
­ +
Hochspannung
Was dieses “etwas” sei wurde heftig diskutiert. Deshalb wurde weiter experimentiert und festgestellt, dass die Position der Glüherscheinung durch ein Magnetfeld verschoben werden konnte. Mit bestimmen Edelgasen (bei geeigneten Drücken) konnte auch die Trajektorie dieses “etwas” über die Leuterscheinung, die es hervorrief, sichtbar gemacht werden.
Unter Verwendung einer Kathodenstrahlröhre im Magnetfeld konnte J. J. Thomson (1856­
1940) im Jahre 1897 das Ladungsmassenverhältnis q/m dieses “etwas” bestimmen.
Dazu verwendete er die im homogenen Magnetfeld geltende Beziehung zum Kräftegleichgewicht zwischen der Zentrifugalkraft und der Lorentzkraft
qvB =mv 2 / r  q
v
=
m Br
v konnte er so ermitteln, dass er die Ablenkung durch das Magnetfeld durch Anlegen einer geeigneten Spannung an den Ablenkplatten der Röhre gerade kompensierte. Es gilt dann wieder im Kräftegleichgewicht
qE =qvB  v =E / B
Es gilt demnach:
q
E
= 2
m rB
B
q,m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E
Der heute akzeptierte Wert für das Elektron (q = e) für e/m ist 1,76∙1011 C/kg.
Thomson war es, der überzeugt war, dass das Kathodenlicht von kleinen, negativ geladenen Partikeln herrührt. Ihm wird deshalb die Entdeckung des Elektrons zugeschrieben.
Thomson war auch überzeugt, dass das Elektron nur ein Teils des Atoms war.
Die diskrete Natur der Elektronenladung wurde von Robert A. Millikan (1868­1953) in seinem Öltröpfchenexperiment nachgewiesen. Er beobachtete die Vertikalbewegung kleiner, geladener Öltröpfchen zwischen den horizontalen Platten eines Kondensator im Erdschwerefeld. Im kräftefreien Fall gilt für die Öltröpfchen
Gewichtskraft = Auftrieb  Feldkraft  mg =  L V T g  qE
L ist die Dichte der Luft, VT das Volumen des Öltröpfchens, q seine Ladung.
Es folgt daraus die Ladung des Öltröpfchens (T: Tropfendichte)
T −  L  g
q=
E
g
q
Millikan fand, dass nur Ladungen in Vielfachen einer Elementarladung e = 1,6∙10­19 C auftraten.
Mit dem Ladungsmassenverhältnis aus dem Thomson­Versuch war somit auch die Masse des Elektrons bestimmt: m = 9,1∙10­31 kg.
7.8 – Der Hall­Effekt
Ein stromdurchflossener Leiter erfährt im Magnetfeld eine Kraft. Wird er allerdings festgehalten, so verschieben sich in ihm die Ladungen aufgrund der Lorentzkraft.
Wenn, wie in Metallen, nur die Elektronen beweglich sind, kommt es deshalb zu einer negativen Ladungsanhäufung an einer Seite des Leiters. Die zurückbleibenden, festen positiven bilden effektiv eine gegensinning aufgeladenen andere Seite des Leiters. Es baut sich ein elektrisches Feld EH auf, das im stationären Fall mit der Lorentzkraft im Gleichgewicht ist
eE H = ev D B
vD meint dabei die Driftgeschwindigkeit der Elektronen.
Die Hall­Spannung VH ist die messbare Größe und hat den Wert VH = Ehb. vD ist nicht unmittelbar bekannt, wohl aber ist die Stromdichte j = nevD zu bestimmen, denn es gilt
j = I/bd. Damit liefert die Kräftebilanzgleichung auch
e V H / b = e B j / ne = B I / nbd
Das Hall­Experiment erlaubt es uns also, aus der Messung der Hall­Spannung bei bekanntem Strom die Anzahldichte der Ladungsträger, n, zu bestimmen
n=
BI
B
=
eV H d eR H d
Oftmals wird dabei der sogenannte Hall­Widerstand RH = VH/I eingeführt.
Da die Lorentzkraft für positive und negative Ladungen ein entgegengesetztes Vorzeichen hat, sagt uns das Vorzeichen der Hall­Spannung auch, welche Ladungen verschoben werden. So wird in sogenannten p­dotierten Halbleitern (bspw. Bor­dotiertes Silizium) der Ladungstransport von “Defektelektronen” oder “Löchern” getragen. Diese bewegen sich so, wie positive Ladungen sich bewegen führen. Ein Verständnis des Konzepts der “Defektelektronen” benötigt Elemente der Festkörperphysik. Wir können das deshalb hier nicht vertiefen.
Im frühen zwanzigsten Jahrhundert wurden verschiedene Methoden zur Bestimmung von Atommassen ersonnen. Eine davon ist die Massenspektrometrie mit magnetischen Feldern. Es wird dabei ausgenutzt, dass ein geladenes Atom (Ladung q) der Masse m, senkrecht mit Geschwindigkeit v in ein homogenes Magnetfeld geschossen, eine Kreisbahn beschreiben wird mit Radius r. Ist v und g bekannt, so ist aus der Messung von r die Masse bestimmbar.