Vortragsthemen - Institut für Mathematik
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HAPTSEMINAR ANALYSIS THEMA: SPEKTREN VON GRAPHEN“ ” VADIM KOSTRYKIN [email protected] Institut für Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Sommersemester 2012 1. T ERMINE • Vorbesprechung am Donnerstag, den 16.02.2012 um 16 Uhr c.t. in Raum 04-512 2. A BLAUF Dieses Seminar wird für Studierende der Mathematik angeboten. Das Seminar soll unter anderem einen Einblick in die Spektaltheorie von Graphen geben. Konkret behandeln wir den Laplaceoperator auf einem Graphen. Wir studieren den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten und der Geometrie des Graphen. Die für den Vortrag relevanten Inhalte sollen selbstständig erarbeitet werden. Bei Problemen, die auch nach längerer Auseinandersetzung mit der Quelle ungeklärt bleiben, können Sie sich natürlich gerne an den Dozenten wenden. Spätestens eine Woche vor dem jeweiligen Vortragstermin soll der Vortrag mit dem Dozenten besprochen werden. Es wird erwartet, dass jeder Vortragende sein Referat auch in schriftliche Form bringt (wenn möglich unter Verwendung von LATEX). Sehr nützliche Hinweise zur Vorbereitung ihres Vortrages finden Sie auf der Webseite von Herrn Prof. Dr. Manfred Lehn. Scheinkriterien: Regelmäßige Teilnahme am Seminar und das Gestalten einer Sitzung. 3. E INLEITUNG Ein (einfacher oder schlichter) Graph ist ein geordnetes Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge von Knoten (auch Ecken) und E eine Menge von Kanten (manchmal auch Bögen) ist. Die Menge E ist dabei Teilmenge der 2-elementigen Teilmengen von V , das heißt, jede Kante ist eine Menge {v, w} von zwei Knoten. Häufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden. Zwei Knoten u und v heißen adjazent oder benachbart (in Zeichen: u ∼ v), wenn sie in diesem durch eine Kante verbunden sind. Zwei Kanten heißen adjazent oder benachbart, wenn sie sich an einem Knoten berühren, das heißt diesen gemeinsam besitzen. Der Grad dv eines Knotens v ∈ V in einem Graphen (auch Valenz genannt) ist die Anzahl seiner Nachbarn, d.h. der Knoten, die mit v adjazent sind. Ein Graph heißt k-regulär, falls alle seine Knoten den gleichen Grad k haben. Als Knotenzahl |V | = |V (G)| eines Graphen G bezeichnet man die Anzahl seiner Knoten, als Kantenzahl |E| = |E(G)| bezeichnet man die Anzahl seiner Kanten. Für jeden Graphen G mit Knotenmenge V gilt: X (3.1) dv = 2|E|. v∈V 1 2 SPEKTREN VON GRAPHEN Ein Zyklus in einem Graphen ist ein Weg, der im selben Knoten beginnt und endet. Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph, der keine Zyklen enthält. Ein vollständiger Graph ist ein Graph, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten durch genau eine Kante verbunden ist. Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnet man mit Kn . Ein einfacher Graph G = (V, E) heißt bipartit, falls sich seine Knoten in zwei disjunkte Teilmengen A und B aufteilen lassen, sodass zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen keine Kanten verlaufen. Das heißt für eine Kante {v, w} ∈ E gilt entweder v ∈ A und w ∈ B oder aber w ∈ A und v ∈ B. Die Menge A, B bezeichnet man dann als Bipartition des Graphen G. Vereinfacht dargestellt, ist ein bipartiter Graph ein Graph, in dem zwei Gruppen von Knoten existieren, innerhalb derer keine Knoten miteinander verbunden sind. Ein Graph vom Grad k heißt ein Sterngraph, wenn ein Knoten (die Mitte des Sterns) Grad k (Kanten zu allen anderen Knoten) hat, und alle anderen Knoten Grad 1 haben (nur mit dem Knoten in der Mitte verbunden sind). Mit Sn bezeichnet man den Sterngraphen mit |V | = n. Der n-Hyperwürfel Qn hat alle 0 − 1-Vektoren im Rn als Knoten, und Kanten bestehen zwischen zwei Knoten, die sich genau in einer Koordinate unterscheiden. Man betrachtet folgende |V | × |V | Matrizen: dv , v = w, L(v, w) := −1, v ∼ w, (kombinatorischer Laplaceoperator) 0, sonst v = w, 1, √ (normierter Laplaceoperator) L(v, w) := −1/ dv dw , v ∼ w, 0, sonst v = w, 1, ∆(v, w) := −1/dv , v ∼ w, (diskreter Laplaceoperator) 0, sonst Unter dem Spektrum eines Graphen versteht man die Gesamtheit der Eigenwerte des Laplaceoperators (L, L oder ∆). In diesem Seminar studieren wir Beziehungen zwichen dem Spektrum und der Geometrie eines Graphen. Warnung: Manche Autoren verstehen unter dem Spektrum eines Graphen die Eigenwerte der Adjazenzmatrix 0, v = w, A(v, w) := 1, v ∼ w, 0, sonst. 4. VORTRAGSTHEMEN 1. Grundlagen der Graphentheorie. Beispiele. Graphen, Grad eines Knotens, Beweis von (3.1) + [Di]. Laplaceoperatoren auf einem Graphen. Das Spektrum des vollständigen Graphen Kn , vollständigen bipartiten Graphen Km,n und des n-Hyperwürfels Qn . + [Bh], [E]. Das Spektrum vom n-Kreis Cn + [E, Lemma 1.13]. Das Spektrum des Sterngraphen Sn und des n-Pfades Pn selbstständig. 2. Das Variationsprinzip für Eigenwerte. Der Satz von Courant-Fischer mit Beweis + [B, Corollary III.1.3], [HJ, Theorem 4.2.11]. Variationsprinzip für Eigenwerte des Laplaceoperators auf einem Graphen + [Bh, Section 1.2], [E]. 3. Grundlegende Fakten über Eigenwerte eines Graphen. + [Bh, Section 1.3], auch [E]. SPEKTREN VON GRAPHEN 3 4. Bewertete Graphen. Definitionen, Eigenschaften, Beweis von Lemma 1.14 + [Bh, Section 1.3] 5. Die Ungleichung von Cheeger. (2 Vorträge). + [Bh, Section 2.2,2.3,2.5] 6. Eigenwerte und der Durchmesser. Flüsse und die Cheegersche Konstante. + [Bh, Section 3.2, 4.2] 7. Vergleichssätze für Eigenwerte eines Graphen. + [Bh, Section 4.5] 8. Eigenwerte symmetrischer Graphen. + [Bh, Section 7.3, 7.5] 9. Eigenwerte von Untergraphen mit Randbedingungen. (2 Vorträge). + [Bh, Section 8.1, 8.2, 8.4, 8.5], auch [E, I.C] L ITERATUR [B] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, 1997. PMC-Signatur: SK 2200 BHA1. [Ch] Fan R. K. Chung, Spectral Graph Theory, American Mathematical Society, 1997. Das erste Kapitel des Buches ist verfügbar online unter http://www.math.ucsd.edu/˜fan/research/cbms.pdf. Unter http://www.math.ucsd.edu/˜fan/research/revised.html findet man die ersten vier Kapitel einer überarbeiteten Version des Buches. [Di] R. Diestel, Graphentheorie, Springer-Verlag, verschiedene Auflagen. PMC-Signatur: ST 1202 DIE1. Die englischsprachige Auflage des Buches ist verfügbar online unter http://diestel-graph-theory.com/ [E] R. B. Ellis III, Chip-Firing Games with Dirichlet Eigenvalues and Discrete Greens Functions, Dissertation, University of California, San Diego, 2002. Verfügbar online unter http://math.ucsd.edu/˜thesis/thesis/rellis/rellis.ps [HJ] R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, 1985. PMC-Signatur: SK 2200 HOR1.
