1 Geometrische Optik

1 Geometrische Optik
Annahme: Wellen- und Quanteneigenschaften des Lichts können vernachlässigt werden.
Experiment: Laserlichtquelle.
1.1 Axiome der geometrischen Optik
• Licht breitet sich in Form von Strahlen aus. Lichtstrahlen werden von einer Lichtquelle emittiert und können mit einem Detektor nachgewiesen werden.
• In einem homogenen Medium breiten sich Licht mit der Geschwindigkeit c geradlinig aus. Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der VakuumLichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 und der Lichtgeschwindigkeit im Medium c:
c0
n= .
(1.1.1)
c
Um eine Strecke d zurückzulegen benötigt Licht die Lichtlaufzeit t = d/c = nd/c0 =
Lopt /c0 .
Hierbei ist die optische Weglänge definiert als
Lopt = nd.
(1.1.2)
• In inhomogenen optischen Materialien variiert der Brechungsindex n(r) mit dem
Ort.
Die optische Weglänge für einen Weg S zwischen zwei Punkten A und B ist
Lopt =
Z
n(r)ds.
(1.1.3)
S
• Fermatsches Prinzip: Licht gelangt auf dem Weg S von A nach B, für den die
Lichtlaufzeit t = Lopt /c0 ein Extremum annimmt.
1-1
1 Geometrische Optik
dLopt =d òS n(r) ds = 0
s
ds
s
ds
A
B
n(r)
dLopt = òS n(r) ds = 0
Abbildung 1.1: Fermatsches Prinzip.
Formulierung als Variationsprinzip:
δLopt = δ
Z
S
n(r)ds = 0
(1.1.4)
Einige Folgerungen:
1.1.1 Das Reflexionsgesetz
Betrachte Reflexion an einem ebenen Spiegel.
Experiment: Strahlengang bei ebenen Spiegeln.
Optischer Weg:
Lopt = nAR + nRB
q
2
= n (x − x1 ) +
y12
q
+ n (x2 − x)2 + y22
(1.1.5)
Variation des optischen Weges:
dLopt
n (x − x1 )
n (x2 − x)
!
=q
−q
= 0.
2
2
dx
(x − x1 ) + y12
(x2 − x) + y22
Mit der Hilfe von Abbildung 1.2 folgt:
1-2
(1.1.6)
1.1 Axiome der geometrischen Optik
B(x2,y2)
A(x1,y1)
n=const
ai
ar
R(x,0)
Abbildung 1.2: Reflexionsgesetz.
sin (αi ) = sin (αr ) ⇒ αi = αr .
(1.1.7)
Relexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel!
1.1.2 Das Brechungsgesetz
Betrachte Übergang eines Lichtstrahls von einem homogenen Medium in ein anderes homogenes Medium.
Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment.
Brechungsgesetz:
ni sin (αi ) = nt sin (αt ) .
(1.1.8)
Beweis: Übung!
1.1.3 Totalreflexion
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei Medien mit ni > nt .
1-3
1 Geometrische Optik
ai
ar
ni
nt
at
Abbildung 1.3: Brechungsgesetz.
Experiment: Reflexion und Brechung durch Wasser.
Aus dem Brechungsgesetz folgt:
sin (αt ) =
ni
sin (αi ) .
nt
(1.1.9)
Der Lichtstrahl kann wegen sin (αt ) ≤ 1 nur in das zweite Medium eindringen, falls der
Einfallswinkel αi kleiner ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion αg definiert durch
sin (αg ) =
nt
.
ni
Beispiel:
BK-7 Glas: nBK7 = 1.514 für rotes Licht (λ = 656nm).
Grenzfläche BK7-Luft: αg = 41.34◦ .
Anwendung: Retroreflektor.
1.1.4 Fata Morgana
Beispiel für „krumme“ Lichtstrahlen: Fata Morgana.
1-4
(1.1.10)
1.2 Optische Abbildung
a>ag
a
Abbildung 1.4: Retroreflektor.
Zunehmender
Brechungsindex
Ein Temperaturgradient verursacht eine räumliche Variation des Brechungsindex der Luft.
Hierbei nimmt der Brechungsindex mit zunehmender Temperatur ab. An einem heißen
Tag können sehr flach einfallende Lichtstrahlen an der bodennahen Luftschicht total reflektiert werden.
Abbildung 1.5: Fata Morgana.
Experiment: Fata Morgana im Aquarium.
1.2 Optische Abbildung
Ziel: Licht, das von einem Punkt A eines Gegenstandes ausgeht, soll durch ein geeignetes
abbildendes optisches System im Bildpunkt B vereinigt werden.
1-5
1 Geometrische Optik
Nach dem Fermatschen Prinzip muss die optische Weglänge aller abgebildeten Strahlen
gleich sein.
Abbildendes
optisches
System
A
B
Abbildung 1.6: Reele Abbildung durch ein optisches System.
• Reelle Abbildung: Die Strahlen konvergieren zum Bildpunkt B und können auf
einem Schirm einen Leuchtfleck erzeugen. Beispiel: Sammellinse.
• Virtuelles Bild: Die Strahlen aus dem abbildenden optischen System sind divergent und stammen scheinbar vom Bildpunkt B. Auf einem Schirm entsteht an der
entsprechenden Stelle kein leuchtender Fleck. Beispiel: Spiegel.
1.2.1 Spiegel
Ebener Spiegel
Durch Reflexion an einem ebenen Spiegel entsteht ein virtuelles Bild des Gegenstandes.
Experiment: Virtuelles Bild, Kerze im Wasser.
Parabolspiegel
Im Folgenden wollen wir gekrümmte Spiegeloberflächen betrachten. Dabei unterscheiden
wir zwei Fälle:
• Konkave Spiegel (Hohlspiegel) weisen eine nach innen gewölbte Spiegeloberfläche auf.1
1
Eselsbrücke: konkav erinnert an das englische Wort cave (Höhle).
1-6
1.2 Optische Abbildung
A
B
Abbildung 1.7: Optische Abbildung durch einen ebenen Spiegel.
• Konvexe Spiegel besitzen dagegen eine nach außen gewölbte Spiegeloberfläche.
Wir wollen außerdem annehmen, dass die Spiegeloberflächen rotationssymmetrisch sind.
Die jeweilige Symmetrieachse wird als optische Achse bezeichnet.
Als erstes untersuchen wir einen konkaven Parabolspiegel. Dessen Form wird durch die
Gleichung y 2 = 4f x beschrieben.
Die Strahlen fallen parallel zur optischen Achse ein.
y
P(x,y)
A(a,y)
x
F(f,0)
Abbildung 1.8: Konkaver Parabolspiegel.
Betrachte optische Weglänge für Streckenzug APF (siehe Abbildung 1.8):
Lopt = a − x +
q
(f − x)2 + y 2
(1.2.1)
1-7
1 Geometrische Optik
Mit y 2 = 4f x erhalten wir Lopt = a + f = const.
Ein konkaver Parabolspiegel fokussiert somit ein Bündel paralleler Lichtstrahlen im
Brennpunkt F . Die Größe f wird als Brennweite bezeichnet.
Experiment: Streichholz im Brennpunkt eines Hohlspiegels.
Anwendungsbeispiele für konkave Parabolspiegel:
• Scheinwerferspiegel
• „Satellitenschüssel“ für TV-Empfang
• Parabolantenne zur Satellitenkommunikation.
Abbildung 1.9: Parabolantenne zur Satellitenkommunikation. Quelle: Wikipedia.
Sphärische Spiegel
Problem für die Optik: Hochqualitative Parabolspiegel sind schwierig und nur unter hohen
Kosten zu fertigen ⇒ Approximation durch sphärische Spiegel.
Gleichung für kreisförmigen Querschnitt einer Kugel:
y 2 + (x − R)2 = R2 .
(1.2.2)
Umformen liefert:
x=R−
1-8
q
R2 − y 2
(1.2.3)
1.2 Optische Abbildung
y
R
x
M
F
f
Abbildung 1.10: Vergleich eines sphärischen Spiegels mit einem Parabolspiegel.
Für achsennahe Strahlen (y 2 ≪ R2 ) gilt:
x=
y2
y4
+
+
O
y6 .
2R 8R3
(1.2.4)
Für achsennahe Strahlen wirkt ein sphärischer Spiegel mit dem Radius R wie ein Parabolspiegel mit der Brennweite f = R/2.
Mit zunehmendem Abstand der Strahlen von der Achse nimmt die Brennweite des sphärischen Spiegels ab (Beweis: Übung).
y
R
g
x A
a
a
b
d
M B
h
b
g
Abbildung 1.11: Abbildung des Achsenpunktes A auf den Bildpunkt B.
Betrachte jetzt Abbildung eines beliebigen Punktes A auf der optischen Achse durch einen
konkaven sphärischen Spiegel. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der Spiegeloberfläche reflektiert und schneidet die optische Achse im Bildpunkt B.
1-9
1 Geometrische Optik
Aufgrund des Reflexionsgesetz gilt:
!
(1.2.5)
γ + β = 2δ.
(1.2.6)
α = δ − γ = β − δ.
Damit:
Für achsennahe Strahlen (kleine Winkel!) gilt:
γ ≈ tan (γ) =
h
,
g
h
,
b
h
δ ≈ sin (δ) = ,
R
β ≈ tan (β) =
(1.2.7)
(1.2.8)
(1.2.9)
Somit erhalten wir die Spiegelformel:
1 1
2
1
+ =
= .
g b
R
f
(1.2.10)
Experiment: Zauberspiegel.
Wir betrachten jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil), das
senkrecht zur optischen Achse steht.
Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden:
• Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Reflexion durch den Brennpunkt F geht (roter Strahl).
• Der schräg laufende Strahl, der vor der Reflexion durch F geht und nach der Reflexion parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl).
• Der Strahl, der durch den Kugelmittelpunkt M geht und in sich selbst reflektiert
wird (grüner Strahl).
Für kleine Abstände der Strahlen von der optischen Achse, schneiden sich die so konstruierten Strahlen in B, dem Bildpunkt von A.
Fallunterscheidung:
1-10
1.2 Optische Abbildung
y
y
A
A
F
x
F
O
M
B
x
O
M
f
f
B
b
g
b
g
y
B
A
O
F
x
M
f
g
b
Abbildung 1.12: Geometrische Konstruktion der Abbildung für konkave sphärische Spiegel.
• g > 2f : Das Bild ist reell, liegt zwischen F und M, ist verkleinert und umgekehrt.
• 2f > g > f : Das Bild ist reell, befindet sich links von M, ist vergrößert und
umgekehrt.
• f > g: Das Bild ist virtuell, befindet sich rechts von O, ist vergrößert und aufrecht.
Ein konvexer sphärischer Spiegel erzeugt immer ein virtuelles Bild.
Formal: f < 0.
1.2.2 Linsen
Experiment: Strahlengang durch Linsen.
1-11
1 Geometrische Optik
y
A
B
F
x
M
Abbildung 1.13: Abbildung mit einem konvexen sphärischen Spiegel.
Brechung an sphärischen Flächen
Um die Experimente zu analysieren, betrachten wir zunächst die Brechung von Licht an
einer konvexen sphärischen Glasfläche. Hierbei wollen wir nur achsennahe Lichtstrahlen
betrachten, die kleine Winkel mit der optischen Achse einschließen ⇒ paraxiale Näherung.
Im Folgenden wollen wir die hier angegebene Vorzeichenkonvention verwenden:
g,fg
b,fb
R
hg , hb
+
+
+
+
links von O
rechts von O
falls M rechts von O
oberhalb der optischen Achse
-
rechts von O
links von O
falls M links von O
unterhalb der optischen Achse
Sei A ein Punkt auf der optischen Achse. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der
Grenzfläche gebrochen (Brechungsgesetz!) und schneidet die optische Achse im Bildpunkt
B.
In paraxialer Näherung gilt für das Brechungsgesetz wegen sin(αi ) ≈ αi :
n1 α1 ≈ n2 α2 .
(1.2.11)
Weiterhin ist
α1 = γ + δ
(1.2.12)
α2 = δ − β.
(1.2.13)
und
1-12
1.2 Optische Abbildung
y
n1
a1
g
h
O
A
n2
R
P
d
a2
b
M
p
g
B
x
b
Abbildung 1.14: Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen Kugelfläche.
Für achsennahe Strahlen gilt:
h = (g + p) tan (γ) ≈ gγ
= (b − p) tan (β) ≈ bβ
= R sin (δ) ≈ Rδ.
(1.2.14)
(1.2.15)
(1.2.16)
Einsetzen und kurze Umformung liefert das Abbildungsgesetz:
n2 − n1
n1 n2
+
=
.
g
b
R
(1.2.17)
Bei Beachtung der oben angegebenen Vorzeichenkonvention erhalten wir dieses Ergebnis
auch für eine konkave sphärische Glasfläche. Beweis: Übung.
Wir betrachten jetzt zwei Spezialfälle:
• Befindet sich A im vorderen Brennpunkt Fg (g = fg ), so wird B im Unendlichen
abgebildet (b = ∞). Es gilt:
n2 − n1
n1
n1 n2
+
=
⇒ fg =
R.
fg
∞
R
n2 − n1
(1.2.18)
• Befindet sich A im Unendlichen (g = ∞), so wird B in den hinteren Brennpunkt Fb
(b = fb ) abgebildet. Somit:
n1 n2
n2 − n1
n2
+
=
⇒ fb =
R.
∞ fb
R
n2 − n1
(1.2.19)
1-13
1 Geometrische Optik
Sphärische Linsen
Wir untersuchen nun eine Linse (Brechungsindex nl ) mit zwei konvexen sphärischen
Grenzflächen in einem Medium (Brechungsindex nm ).
A
M2
B
R2
g1
M1
B1
R1
d
b2
b1
Abbildung 1.15: Dünne Linse.
Betrachte zunächst nur die Brechung an der vorderen (linken) Grenzfläche. Das Abbildungsgesetz liefert mit n1 = nm und n2 = nl :
nl − nm
nm nl
+
=
.
g1
b1
R1
(1.2.20)
Der so entstandene Bildpunkt B1 kann formal als Gegenstand für die Abbildung durch die
hintere (rechte) Grenzfläche angesehen werden. Für die zweite Abbildung gilt mit n1 = nl ,
n2 = nm und g2 = −b1 + d:
nl
nm
nm − nl
+
=
.
−b1 + d
b2
R2
(1.2.21)
Addition von Gleichung (1.2.20) und (1.2.21) ergibt:
nm nm
1
1
nl d
+
= (nl − nm )
−
+
.
g1
b2
R1 R2
b1 (b1 − d)
1-14
(1.2.22)
1.2 Optische Abbildung
Für dünne Linsen (d → 0) in Luft (nm = 1) erhalten wir schließlich die sogenannte
Linsenschleiferformel:
1 1
1
1
+ = (nl − 1)
−
g b
R1 R2
(1.2.23)
.
Wir betrachten jetzt wieder zwei Spezialfälle:
• Befindet sich A im vorderen Brennpunkt Fg (g = fg ), so wird B im Unendlichen
abgebildet (b = ∞):
1
1
1
1
+
= (nl − 1)
−
fg ∞
R1 R2
⇒ fg =
1
R1 R2
.
(nl − 1) R2 − R1
(1.2.24)
• Befindet sich A im Unendlichen (g = ∞), so wird B in den hinteren Brennpunkt Fb
(b = f ) abgebildet:
1
1
1
1
+
= (nl − 1)
−
∞ fb
R1 R2
⇒ fb =
1
R1 R2
.
(nl − 1) R2 − R1
(1.2.25)
Offensichtlich ist fb = fg . Wir erhalten somit die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse:
1 1
1
+ = .
g b
f
(1.2.26)
Wir untersuchen jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil) durch
eine bikonvexe Linse.
Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden:
• Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Linse durch den hinteren
Brennpunkt Fb geht (roter Strahl).
• Der schräg laufende Strahl, der durch den vorderen Brennpunkt Fg geht und nach
der Linse parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl).
• Der Strahl, der durch die Mitte der Linse läuft und der nicht abgelenkt wird (grüner
Strahl).
Die so konstruierten Strahlen schneiden sich in B, dem Bildpunkt von A.
1-15
1 Geometrische Optik
(a)
(b)
hg
Fb
A
hb
Fg
f
f
g
hg
B
Fb
A
Fg
B
hb
f
f
b
(d)
(c)
hb
hg
Fb
A
Fg
hg
B
hb
Fb
Fg B A
Abbildung 1.16: Geometrische Konstruktion der Abbildung für eine bikonvexe dünne Linse.
Das Verhältnis von Bildgröße hb und Gegenstandsgröße hg bestimmt die transversale
Vergrößerung Vt :
Vt ≡
hb
.
hg
(1.2.27)
Anhand des Strahlensatzes finden wir:
b
Vt = − .
g
(1.2.28)
Erzeugt die Abbildung ein reales Bild, so ist Vt negativ (der Pfeil steht auf dem Kopf).
Zusammenfassend erhalten wir:
1-16
1.2 Optische Abbildung
Sammellinse (f > 0)
Gegenstandsweite
2f < g < ∞
g = 2f < ∞
f < g < 2f
g=f
g<f
Bildweite
f < b < 2f
b = 2f
2f < b < ∞
b→∞
b < −g
Abbildungstyp
reell
reell
reell
virtuell
transversale Vergrößerung
−1 < Vt < 0, verkleinert
Vt = −1
Vt < −1, vergrößert
Vt > 1, vergrößert
Bildweite
−f < b < 0
Abbildungstyp
virtuell
transversale Vergrößerung
0 < Vt < 1, verkleinert
Streulinse (f < 0)
Gegenstandsweite
0<g<∞
Linsentypen
Bikonvex
R1>0
R2<0
f>0
Plankonvex
R1=¥
R2<0
f>0
Bikonkav
R1<0
R2>0
f<0
Plankonkav
R1=¥
R2>0
f<0
Meniskus
R1>0
R2>0
Abbildung 1.17: Bezeichnung von Linsen nach Krümmung ihrer Flächen.
1-17
1 Geometrische Optik
Linsenfehler
Die bisherigen Überlegungen und Formeln sind nur im Rahmen der paraxialen Näherung streng gültig. Für achsenferne Strahlen oder für Strahlen, die die optische Achse
unter einem großen Winkel schneiden, treten Abbildungsfehler auf. Zusätzlich spielen die
Materialeigenschaften eine Rolle.
• Chromatische Aberration: Aufgrund der Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl n(λ) ist die Brennweite f (λ) einer Linse für Lichtstrahlen unterschiedlicher
Farbe verschieden groß.
Fblau Frot
Experiment: Chromatische Aberration.
• Sphärische Aberration: Aufgrund der Form der Linsenoberflächen hängt die
Brennweite einer sphärischen Linse vom Abstand der Strahlen von der optischen
Achse ab. Bei einer Sammellinse weist ein achsenferner Strahl eine kleinere Brennweite auf als ein achsennaher Strahl. Ein paralleles Strahlenbündel wird daher nicht
in einen Punkt fokussiert. Die Grenzfläche des fokussierten Strahlenbündels wird als
Kaustik bezeichnet.
Kaustik
Experiment: Sphärische Aberration.
• Koma: Bei einem Strahlenbündel, das eine Linse schief durchläuft werden die Strahlen, die unterschiedliche Bereiche der Linse durchlaufen auf verschiedene Punkte der
Bildebene abgebildet. Das Bild einer punktförmigen Lichtquelle führt zu einer „verwaschendn Bildkurve“.
1-18
1.2 Optische Abbildung
Experiment: Koma.
• Astigmatismus: Läuft ein Strahlenbündel schräg durch eine Linse, so werden die
Strahlen der Meridian-Ebene (Ebene definiert durch die optische Achse und den
Mittenstrahl des Bündels) und der Sagittal-Ebene (Ebene senkrecht zur MeridianEbene die den Mittenstrahl enthält) in unterschiedliche Bildpunkte abgebildet. Die
Querschnittsfläche des Strahlenbündels ist hinter der Linse nicht mehr konstant.
x1 x 2 x 3
y
x4
x5
Seitenansicht
x
z
Draufsicht
x
y
Strahlprofil
z
y
z
x1
y
z
x2
y
z
x3
y
z
x4
x5
Experiment: Astigmatismus.
1-19
1 Geometrische Optik
1.3 Matrizenoptik
Der Verlauf von Lichtstrahlen durch komplizierte optische Systeme kann effizient mit Hilfe
der Matrizenoptik berechnet werden. Wir nehmen hierbei an, dass die paraxiale Näherung
gültig ist.
Ein Lichtstrahl wird durch den Abstand r von der optischen Achse und den Neigungswinkel ϕ gegen die optische Achse charakterisiert. Diese Größen fassen wir zum Strahlvektor
s zusammen:
s = (r, ϕ) .
(1.3.1)
Der Einfluss eines optischen Elements auf den Lichtstrahl kann durch eine 2 × 2-Matrix
(ABCD-Matrix) beschrieben werden:
r2
ϕ2
!
=
A B
C D
!
r1
ϕ1
!
(1.3.2)
Die ABCD-Matrix einer Abfolge von j optischen Elementen kann durch einfache Matrixmultiplikation berechnet werden:
A B
C D
!
=
Aj Bj
C j Dj
!
···
A2 B2
C 2 D2
!
A1 B1
C 1 D1
!
.
(1.3.3)
Wichtig: Die Reihenfolge der optischen Elemente ist bei der Matrixmultiplikation unbedingt zu beachten.
1.3.1 Propagation in einem homogenen Medium
j2
j1
r2
r1
d
Abbildung 1.18: Propagation eines Lichtstrahls in einem homogenen Medium.
Strahlvektor am Anfang der Strecke: s1 = (r1 , ϕ1 )
1-20
1.3 Matrizenoptik
Strahlvektor nachdem der Strahl die Strecke d entlang der optischen Achse zurückgelegt
hat:
r2 = r1 + ϕ 1 d
(1.3.4)
ϕ2 = ϕ1
(1.3.5)
Matrixschreibweise:
r2
α2
!
=
1 d
0 1
!
r1
α1
!
(1.3.6)
1.3.2 Brechung an einer ebenen Fläche
j2
j1
r1 r2
n1 n2
Abbildung 1.19: Brechung eines Lichtstrahls an einer ebenen Grenzfläche.
Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (ϕ) ≈ ϕ]:
n1 ϕ1 = n2 ϕ2
(1.3.7)
Strahlvektor in Medium 2 direkt hinter der Grenzfläche:
r2 = r1
ϕ2 =
(1.3.8)
n1
ϕ1
n2
(1.3.9)
Matrixschreibweise:
r2
ϕ2
!
=
1
0
0
n1
n2
!
r1
ϕ1
!
(1.3.10)
1-21
1 Geometrische Optik
R
a1
a2
r1 r2
j1
j2
M
n1 n2
Abbildung 1.20: Brechung eines Lichtstrahls an einer sphärischen Grenzfläche.
1.3.3 Brechung an einer sphärischen Fläche
Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (α) ≈ α]:
n1 α1 = n2 α2
(1.3.11)
Man entnimmt der Abbildung2 :
r2 = r1
(1.3.12)
α1 − ϕ1 = α2 − ϕ2 =
r1
.
R
(1.3.13)
Einsetzen liefert:
n1
n1 − n2 r1
.
ϕ2 = ϕ1 +
n2
n2 R
(1.3.14)
Matrixschreibweise:
r2
ϕ2
!
=
1
0
n1 −n2
n2 R
n1
n2
!
r1
ϕ1
!
(1.3.15)
1.3.4 ABCD-Matrix einer Linse
Für eine Linse der Dicke d mit sphärischen Grenzflächen aus einem Material mit Brechungsindex n gilt:
2
ϕ2 ist hier negativ, da der Winkel im Gegenuhrzeigersinn von der optischen Achse aus gemessen wird.
1-22
1.3 Matrizenoptik
A B
C D
!
1
=
0
n
n−1
R2

= 
!
− (n − 1)
1 d
0 1
!
1
0
1−n
nR1
1
n
(n−1)d
nR1
(n−1)d
1
1
−
+
R1
R2
nR1 R2
1 −
Ist die Linse dünn (d → 0), so erhalten wir mit
A B
C D
!
1 0
− f1 1
=
1
f
!
1+
d
n
(n−1)d
nR2
= (n − 1)
1
R1

(1.3.16)

−
1
R2
:
!
(1.3.17)
Die Abbildung mit einer dünnen Linse kann durch die folgende Matrix beschrieben werden:
!
!
!
!
!
1 − fb g + b − bg
1 0
1 g
A B
1 b
f
=
.
(1.3.18)
=
− f1 1
0 1
C D
0 1
− f1
1 − fg
Bei der Abbildung hängt der Ort des Bildpunktes nicht vom Winkel ϕ1 des ausgehenden
Strahls ab ⇒ g + b − bg
= 0.
f
Somit erhalten wir wieder die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse:
1
1 1
+ = .
g b
f
(1.3.19)
1.3.5 ABCD-Matrix eines abbildenden Systems
Wir betrachten jetzt ein abbildendes System der Dicke d, das durch die Matrix
M̃ =
A B
C D
!
(1.3.20)
charakterisiert wird.
Analog zum Fall der dünnen Linse erhalten wir:
A B
C D
!
!
!
=
=
A + db C B + dg A + db D + dg db C
C
D + dg C
A B
C D
1 dg
0 1
!
1 db
0 1
!
.
(1.3.21)
1-23
1 Geometrische Optik
Hierbei sind dg und db die Abstände des Gegenstands und des Bildpunktes von der Vorderseite bzw. von der Rückseite des abbildenden Systems.
Ohne Beweis: Die Determinante dieser ABCD-Matrix ist 1.
Mit B = 0 folgt AD = 1 und damit
(A + db C) (D + dg C) = 1.
(1.3.22)
Kurze Umformung liefert mit f ≡ −1/C:
f 2 = (f A − db ) (f D − dg )
= (f − [db + (1 − A) f ]) (f − [dg + (1 − D) f ])
(1.3.23)
(1.3.24)
Mit den Definitionen
pg = (1 − D) f
pb = (1 − A) f
(1.3.25)
(1.3.26)
1
1
1
+
= .
d g + pg d b + pb
f
(1.3.27)
folgt
Das abbildende System verhält sich exakt wie eine dünne Linse der Brennweite f wenn
wir die Gegenstandsweite g = dg + pg und Bildweite b = db + pb auf die Hauptpunkte P1
und P2 beziehen.
Dicke Linsen
Kann die Dicke d einer sphärischen Linse nicht vernachlässigt werden, so folgt mit Hilfe
von Gleichung (1.3.16):
!
1
1
(n − 1) d
1
= (n − 1)
−
+
.
f
R1 R2
nR1 R2
(1.3.28)
Für die Entfernung der Hauptpunkte von den Linsengrenzflächen erhalten wir:
1-24
(n − 1) f d
.
nR2
(n − 1) f d
=
.
nR1
pg = −
(1.3.29)
pb
(1.3.30)
1.3 Matrizenoptik
d
f
f
B
A
Fg
P2
P1
dg
pg
Fb
pb
db
g
b
Abbildung 1.21: Abbildung mit einer dicken Linse. P1 und P2 sind der vordere und hintere
Hauptpunkt der Linse .
Beispiel: Bikonvexe Linse mit R1 = 20 cm, R2 = −30 cm, d = 1 cm und n = 1.5.
Einsetzen liefert:
• f = 20 cm
• pg = 2.7 mm
• pb = 4.0 mm
Linsensysteme
Betrachte ein System aus zwei dünnen Linsen mit Brennweiten f1 und f2 im Abstand d:
A B
C D
!
=
=
1 0
− f12 1
− f11
!
1 − fd1
− f12 +
1 d
0 1
d
f1 f2
!
1 0
− f11 1
d
1 − fd2
!
.
!
(1.3.31)
1-25
1 Geometrische Optik
Die Brennweite des Linsensystems folgt aus
1
1
1
d
=
+
−
.
f
f1 f2 f1 f2
(1.3.32)
Für die geometrische Bildkonstruktion vernachlässigen wir zunächst die zweite Linse. Das
von der ersten Linse erzeugte Bild dient dann als Gegenstand für die Abbildung mit der
zweiten Linse. Für den zweiten Schritt eignen sich insbesondere die Strahlen durch das
Zentrum und den hinteren Fokus der zweiten Linse (siehe Abbildung 1.22).
d
Fb,1 B
A
Fg,1
Fg,2
B´
Fb,2
Abbildung 1.22: Geometrische Bildkonstruktion für ein System aus zwei Linsen.
1.4 Optische Systeme
1.4.1 Das Auge
Das menschliche Auge ist ein adaptives optisches Instrument. Durch den Augenmuskel
kann die bikonvexe Augenlinse verformt werden (Änderung der Brennweite), so dass Gegenstände in verschiedenen Abständen scharf auf die Netzhaut (fixe Bildweite b = 22 mm)
abgebildet werden:
• Entspanntes Auge (Blick ins Unendliche): Gegenstandsbrennweite fg = 17 mm, Bildbrennweite fb = 22 mm.
1-26
1.4 Optische Systeme
Augenmuskel
Hornhaut
Iris
Pupille
vordere
Augenkammer
Sehnerv
Linse
Netzhaut
Glaskörper
Abbildung 1.23: Schematischer Aufbau des menschlichen Auges (Quelle: Wikipedia, modifiziert).
• Betrachten eines nahen Gegenstandes in der minimale Gegenstandsweite gmin =
100 mm: fg = 14 mm und fb = 19 mm.
Ein Gegenstand kann ohne Ermüdung betrachtet werden, wenn die Gegenstandsweite
nicht kleiner als die deutliche Sehweite s0 = 25 cm ist. Die deutliche Sehweite dient in der
Mikroskopie als Bezugsgröße.
Kurz- und Weitsichtigkeit
Kann der Augenmuskel die Linse nicht hinreichend strecken, so ist fb zu klein und das
scharfe Bild des Gegenstandes liegt vor der Netzhaut ⇒ Kurzsichtigkeit.
Wird die Augenlinse nicht mehr genügend gekrümmt, so liegt das scharfe Bild des Gegenstandes hinter der Netzhaut ⇒ Weitsichtigkeit.
Kurz- und Weitsichtigkeit können durch eine geeignete Streu- bzw. Sammellinse korrigiert
werden (siehe Abbildung 1.24).
1-27
1 Geometrische Optik
Kurzsichtigkeit
mit Korrekturlinse
ohne
Weitsichtigkeit
ohne Korrekturlinse
mit
Abbildung 1.24: Kurz- und Weitsichtigkeit mit Korrektur durch eine geeignete Streu- bzw. eine
Sammellinse.
Sehwinkel
Die subjektiv wahrgenommene Größe eines Gegenstandes wird durch den Winkel β zwischen den Lichtstrahlen, die von den Randpunkten des Gegenstandes ausgehen, bestimmt.
Für einen Gegenstand mit Durchmesser D im Abstand g gilt:
β
tan
2
!
=
1D
D
⇒β≈ .
2g
g
(1.4.1)
Der kleinste vom Auge noch auflösbare Sehwinkel beträgt βmin = 1′ . Zwei Objektpunkte
können mit bloßem Auge in der deutlichen Sehweite noch aufgelöst werden, wenn ihr
Abstand größer als ∆xmin ≈ s0 βmin = 73 µm ist.
Fb
b
D
Netzhaut
g
Abbildung 1.25: Definition des Sehwinkels.
1-28
1.4 Optische Systeme
1.4.2 Die Lupe
Durch geeignete optische Instrumente kann der Sehwinkel vergrößert werden. Die Winkelvergrößerung VW ist definiert als
VW ≡
Sehwinkel mit Lupe
.
Sehwinkel ohne Lupe
(1.4.2)
Die Lupe ist eine Sammellinse mit kurzer Brennweite f die zwischen Auge und Gegenstand
gehalten wird.
Ohne Lupe
hg
b0
s0
Mit Lupe
hb
b
hg
F
g
l
f
b
L
Abbildung 1.26: Vergrößerung des Sehwinkels mit der Hilfe einer Lupe.
Ohne Lupe:
β0 ≈
hg
.
s0
(1.4.3)
Mit Lupe:
β≈
hb
.
L
(1.4.4)
1-29
1 Geometrische Optik
Damit:
VW =
hb s0
.
hg L
(1.4.5)
Mit hb /hg = −b/g (Vorzeichenkonvention!) und der Linsengleichung folgt:
VW
bs0
b
=−
= 1−
gL
f
!
s0
L−l
= 1+
L
f
!
s0
.
L
(1.4.6)
Stellt man den Gegenstand in den Brennpunkt der Linse, so erzeugt die Linse ein virtuelles
Bild im Unendlichen (L → ∞) mit
VW =
s0
.
f
(1.4.7)
Beispiel: f = 2 cm, s0 = 25 cm, Gegenstand im Brennpunkt der Linse → V = 12.5.
1.4.3 Das Mikroskop
Das Mikroskop ist ein optisches Gerät zum Betrachten kleiner Gegenstände. Es besteht
im Prinzip aus zwei Linsen. Die erste kurzbrennweitige Linse (Objektiv) bildet den Gegenstand in die Brennebene der zweiten Linse (Okular) ab. Diese erzeugt ein virtuelles
Bild des Gegenstandes im Unendlichen, das mit entspanntem Auge betrachtet werden
kann.
Linsengleichung für das Objektiv:
1 1
f1 g
gf1
1
= + ⇒b=
=
.
f1
g b
g − f1
δ
(1.4.8)
Typisch: δ ≪ f1 ⇒ hb ≫ hg .
Das Okular wird als Lupe für das Zwischenbild verwendet. Für den zugehörige Sehwinkel
folgt mit hb /hg = b/g
β≈
hb
hg b
=
.
f2
gf2
(1.4.9)
Ohne Mikroskop:
β0 ≈
1-30
hg
.
s0
(1.4.10)
1.4 Optische Systeme
Objekt Objektiv
Zwischenbild
F1
hg
Okular
f2
F2
hb
F1
d
f1
Auge
F2
b
b
b
g
d
Abbildung 1.27: Strahlengang in einem Mikroskop.
Winkelvergrößerung des Mikroskops:
VW =
hg b s0
bs0
=
.
gf2 hg
gf2
(1.4.11)
Die Tubuslänge t ist definiert als der Abstand zwischen dem bildseitigen Brennpunkt des
Objektivs und der Zwischenbildebene:
t = b − f1 .
(1.4.12)
Typischerweise ist t = 160 mm.
Mit t ≈ b und g ≈ f1 erhalten wir schließlich
VW ≈
t s0
.
f1 f2
(1.4.13)
Für Mikroskopobjektive wird normalerweise eine Maßstabszahl MObj angegeben mit
MObj =
t
.
f1
(1.4.14)
Beispiel: 20× Objektiv und Normtubus (t = 160 mm) ⇒ f1 = 8 mm.
Entsprechende Maßstabszahl MOku für das Okular:
s0
MOku = .
f2
(1.4.15)
1-31
1 Geometrische Optik
Beispiel: 10× Okular ⇒ f2 = 25 mm.
Die Winkelvergrößerung eines Mikroskops ist gegeben durch das Produkt der Maßstabszahlen von Objektiv und Okular:
VW = MObj MOku .
(1.4.16)
1.4.4 Das Fernrohr
Das Fernrohr dient zur Vergrößerung weit entfernter Objekte. Es besteht im Prinzip aus
zwei Linsen. Die erste langbrennweitige Linse erzeugt ein reelles Zwischenbild des Gegenstandes, das mit der zweiten als Lupe dienenden Linse betrachtet wird.
Keplersches Fernrohr
Wir betrachten zunächst ein Fernrohr aus zwei Sammellinsen (Keplersches Fernrohr), bei
dem der bildseitige Fokus der ersten Linse mit dem gegenstandsseitigen Fokus der zweiten
Linse zusammenfällt.
f1
b0
f2
F1=F2
b
hb
Keplersches Fernrohr
Abbildung 1.28: Strahlengang eines Keplerschen Fernrohrs.
Wir nehmen jetzt an, dass g ≫ f1 .
Sehwinkel ohne Fernrohr:
β0 ≈
1-32
hb
.
f1
(1.4.17)
1.4 Optische Systeme
Sehwinkel mit Fernrohr:
β≈
hb
.
f2
(1.4.18)
Winkelvergrößerung des Fernrohrs:
VW =
f1
.
f2
(1.4.19)
Beachte: Das Keplersche Fernrohr erzeugt ein umgekehrtes Bild des Gegenstandes.
Galileisches Fernrohr
Beim Galileischen Fernrohr wird die zweite Sammellinse durch eine Zerstreulinse ersetzt.
Die beiden Linsen werden so angeordnet, dass die bildseitigen Brennpunkte zusammenfallen. Diese Anordnung erlaubt eine aufrechte Betrachtung des Objekts.
f1
f2
b0
F1=F2
hb
b
Galileisches Fernrohr
Abbildung 1.29: Strahlengang eines Galileischen Fernrohrs.
Analoge Betrachtung ergibt für die Winkelvergrößerung:
VW =
f1
.
|f2 |
(1.4.20)
1-33