Elektronische Messtechnik - Beuth Hochschule für Technik Berlin

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Elektronische Messtechnik
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
Stand WS 2011/12
Elektronische Messtechnik
EMT4
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
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Inhaltsverzeichnis
1
2
Literatur
Analoge Signalaufbereitung
2.1
Vorbetrachtung
2.2
Strukturen von Messsystemen
2.3
Antialiasing-Filter
2.4
Abtast-Halte-Verstärker
2.5
Multiplexer
2.6
Messverstärker
2.7
Instrumentationsverstärker
2.8
Nyquist Kriterium
3 Digital-Analog-Umsetzer (DAU)
3.1
Summation gewichteter Ströme
3.2
Leiternetzwerk
4 Analog-Digital-Umsetzer (ADU)
4.1
ADU mit schrittweiser Näherung (Sukzessive Approximation)
4.2
Flash ADU
4.3
Kaskadenumsetzer
4.4
Dual-Slope-ADU (Integrierendes Verfahren)
4.5
Sigma-Delta-Umsetzer
4.6
ADU-Fehler
5 Sensorprinzipien
5.1
Temperaturmessung
5.2
Kraftmessung
Elektronische Messtechnik
EMT4
3
5
5
6
9
18
22
24
33
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45
49
58
62
62
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1
Literatur
Elektrotechnik
Paul, R.
Band I: Elektrische Erscheinungen und Felder
Band II: Netzwerke
Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Theoretische Elektrotechnik und Elektronik
Küpfmüller, Kohn
Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Halbleiter-Schaltungstechnik
Tietze, Schenk
Springer Verlag Berlin
Analoge Schaltungen
Seifert, M.
Verlag Technik GmbH
Elektrische Messtechnik
Patzelt, Schweinzer
Springer Verlag Wien
PC-Messtechnik
Schwetlick. H.
Vieweg Verlag Braunschweig
Grundlagen der elektrischen Messtechnik
Frohne, Ueckert
Teubner Verlag Stuttgart
Elektrische Messtechnik
Schrüfer, E.
Hanser Verlag München
Taschenbuch der elektrischen Messtechnik
Tränkler. H.-R.
Oldenbourg Verlag München
Elektronische Messtechnik
Schmusch, W.
Vogel Verlag Würzburg
Elektrische und elektronische Messtechnik
Felderhoff
Hanser Verlag München
Elektrische Messtechnik
Bergmann
Vieweg Verlag Braunschweig
Elektronische Messtechnik
EMT4
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Handbuch der industriellen Messtechnik
Profos, Pfeifer
Oldenbourg Verlag München
Signalübertragung
Lüke
Springer Verlag Berlin
Analoge und digitale Filter und Systeme
Achenbach, J.-J.
Bd.1 Grundlagen, BI Wissenschaftsverlag Mannheim
Signale und Systeme ( Lehrbuch und Arbeitsbuch)
Oppenheim, Willsky
VCH Verlagsgesellschaft Weinheim
Digitale Signalverarbeitung
Kammeyer, Kroschel
Teubner Verlag Stuttgart
Entwurf und Realisierung digitaler Filter
Azizi
OldenbourgVerlag München
FFT
Brigham
Oldenbourg Verlag München
Zeitdiskrete Signalverarbeitung
Oppenheim, Schafer, Buck
Pearson Studium
The Data Conversion Handbook
Kester
Analog Devices
Op Amp Applivations Handbook
Jung
Analog Devices
Interfacetechnik
Hirt
TU Ilmenau
Elektrische Messtechnik
Pfeiffer
VDE Verlag
Übungen zur Elektrischen Messtechnik
Schoen, Pfeiffer
VDE Verlag
Elektronische Messtechnik
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2
2.1
Analoge Signalaufbereitung
Vorbetrachtung
Bei der Konzeptionserstellung für die messtechnische Instrumentierung eines Prozesses sind vorab
Überlegungen anzustellen, welche Prozesssignale erfasst werden müssen, damit der Prozess
hinreichend genau beobachtet, gesteuert oder geregelt werden kann. Ohne Anspruch auf
Vollständigkeit ist folgendes festzulegen:
 Wie viele Messgrößen sind zu erfassen und welcher Art (anlog oder digital) sind diese
Größen?
 Ist eine Signalkonditionierung erforderlich oder liegen die Messgrößen als Einheitssignale
bereits vor (z.B. 0-10 V oder 0/4-20mA)?
 Für welche Messgrößen ist eine Potentialtrennung erforderlich. Sind massebezogene
Kanäle oder Differenzkanäle hinreichend?
 Welche Messunsicherheit ist für die einzelnen Messgrößen zulässig und welche
Schlussfolgerungen sind daraus für die A/D-Umsetzer-Auflösungen zu ziehen?
 Welchen Frequenzinhalt haben diese Größen und welche Forderungen ergeben sich
hieraus für die Abtastfrequenzen und die Summenabtastfrequenz der Messeinrichtung?
 Müssen die Messgrößen zeitgleich erfasst werden, weil Berechnungen verschiedener
Messgrößen zu gemeinsamen Zeitpunkten erforderlich sind (z.B. Leistungsmessung),
oder können die Messgrößen im Zeitmultiplexverfahren (zeitlich nacheinander) erfasst
werden?
 Welche Messdauer ist für die Kanäle geplant und was bedeutet dies für den Messwertspeicher?
 Ist eine Datenreduktion in Form von Triggereinrichtungen oder sonstigen Verfahren
erforderlich und wie komplex soll diese Einrichtung sein?
 Ist eine Online-Verrechnung der Messdaten erforderlich?
 Welche Anforderungen sind an die Robustheit der Messanlage zu stellen (Verhalten bei
Störungen, Selbststartfähigkeit...)?
 Welche Anforderungen sind an die Verfügbarkeit (zulässige Ausfallrate, USV...) zu
stellen?
 Ist ein Einsatz bei besonderen Umweltbedingungen geplant (Temperaturbereich, Klima,
Schockbeanspruchung, Explosionsschutz, Einsatz in der Humanmedizin...)
 Welche Entfernungen zwischen PC und Messort liegen vor und was bedeutet dies für das
Interface?
 Müssen mehrere Messgeräte an unterschiedlichen Messorten zusammenarbeiten und soll die
Messung synchron erfolgen?
Aus den verschiedenen Anforderungen ergeben sich eine Reihe von messtechnischen Lösungen,
die nachfolgend diskutiert werden. Derzeit ist ein Trend darin zu sehen, dass versucht wird, immer
mehr analoge Funktionen von Messbaugruppen durch "Software", d.h. durch Rechenprogramme auf
digitalen Signalprozessoren zu verwirklichen. Beispiele hierfür sind Kennlinienkorrekturen,
Kennwertberechnungen (Mittelwert, Effektivwert...), Signalfilterung.
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2.2
Strukturen von Messsystemen
Die Grundstrukturen der Messsysteme sind in Abb.2.2.1 wiedergegeben.
Abb.2.2.1: Strukturen von Messsystemen
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Die in Abb.2.2.1 a) gezeigte Lösung wird bei einfachen Systemen (PC-Einsteckkarten) aus Kostengründen angewendet, hat aber eine Reihe entscheidender Nachteile gegenüber den übrigen
Lösungen. Die Problematik einer solchen Anordnung liegt bei den gemultiplexten Signaleingängen,
da hier das Messsignal erst hinter den Multiplexern verstärkt wird. Dadurch werden sämtliche
Fehler des Multiplexers mitverstärkt und sind dem Messsignal überlagert. Hinzu kommt, dass die
Messunsicherheit entscheidend vom Innenwiderstand der Signalquellen abhängt.
Wie später noch gezeigt wird, ist zur Vermeidung von Aliasingeffekten ein Filter im Regelfall
erforderlich oder die Abtastfrequenz des Messsignals muss entsprechend hoch gewählt werden.
Da nur ein S&H-Baustein im System vorhanden ist, ist eine Erfassung aller n-Kanäle zu
einem Zeitpunkt nicht möglich.
Abb.2.2.2: Abtastung zweier Messkanäle
Ob die gleichzeitige Signalerfassung erforderlich ist, hängt direkt von der Anwendung ab. Fehlende
Messwerte können bei mit Rechnerunterstützung online durch Interpolationsverfahren berechnet
werden. Eine Anordnung nach Abb.2.2.1 b) kann ebenfalls nicht mehrere Kanäle gleichzeitig
erfassen und arbeitet nach dem Zeitmultiplexverfahren. Die beschriebenen Nachteile der Lösung
nach Abb.2.2.1 a) sind aber nicht mehr vorhanden. Bei dieser Lösung ist eine unabhängige
Spannungsbereichswahl für jeden Kanal möglich und die zu messende Signalquelle wird nicht
durch Leckströme des Multiplexers belastet. Der auch weiterhin in den Multiplexer fließende
Leckstrom wird bei Variante Abb.2.2.1 b) von den ausgangsseitig niederohmigen Verstärkern
problemlos zur Verfügung gestellt und verursacht keinen Spannungsabfall am Innenwiderstand der
Messquelle. Müssen alle Kanäle zum gleichen Zeitpunkt erfasst werden, so kommen die
Anordnungen nach Abb.2.2.1 c) und d) in Betracht. Die Anordnung nach Abb.2.2.1 d) ermöglicht
eine parallele A/D-Umsetzung aller Kanäle, wodurch sich hohe Datenraten erzielen lassen. Diese
Anordnung ist durch die n AD-Umsetzer relativ teuer. Bei der Lösung nach Abb.2.2.1 c) sind die
S&H- Bausteine so auszulegen, dass die n-fache AD-Umsetzzeit nur einen tolerierbaren
Spannungsrückgang (durch Droop-Rate) verursacht.
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Manche PC-Einsteckkarten tasten grundsätzlich mit der höchst möglichen Abtastrate des ADUmsetzers ab und speichern nur entsprechend der eingestellten Abtastrate. Sie haben dadurch
scheinbar auch bei gemultiplexten Systemen einen vernachlässigbaren Zeitversatz zwischen den
Kanälen. Beispielsweise sei die maximale AD-Umsetzerfrequenz 10 kHz und es sollen ein Stromund ein Spannungskanals mit 50 Hz Sinussignal abgetastet werden. Der zeitliche Fehler von nur
100 µs entspricht einer Phasenverschiebung von 1,8°. Dieser ist unabhängig von der Speicherrate,
die in diesem Fall üblicherweise 1 oder 5 kHz je Kanal beträgt. Damit wird die Blindleistungsbestimmung bei nahezu ohmschen Lasten praktisch nicht möglich.
Nachfolgend sind zwei Beispiele von handelsüblichen PC-gestützten Messsystemen (PCEinsteckkarten) angegeben, die entsprechend Abb.2.2.1 a) bzw. c) realisiert sind.
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Beide Systeme überlassen die Problematik der Signal-Bandbegrenzung zur Vermeidung von
Aliasingfehlern dem Anwender. Ein weiterer wichtiger Punkt für die Verwendbarkeit ergibt sich aus
den unterschiedlichen Möglichkeiten der Einstellung der Abtastraten für die einzelnen Kanäle.
Einfache Systeme erlauben die Abtastrate des AD-Umsetzers (Summenabtastrate) lediglich
gleichmäßig auf die gemultiplexten Kanäle aufzuteilen. Dies führt dazu, dass die Abtastrate nicht
entsprechend den Anforderungen des Messprozesses aufteilbar ist. Häufig kommt es vor, dass
einige Kanäle schnell und viele Kanäle langsam abzutasten sind. Muss man sich nach der
schnellsten Abtastrate richten und gilt diese für sämtliche Kanäle, so ist die Gefahr, ein "Datengrab"
zu erzeugen, recht hoch. Besser geeignet sind Systeme, bei denen jedem Kanal eine individuelle
Abtastrate zugeordnet werden kann. Häufig reicht es, mindestens zwei unterschiedliche Abtastraten
für die Gruppe der langsamen und der schnellen Kanäle zuordnen zu können.
2.3
Antialiasing-Filter
Bei der Abtastung eines auf fb bandbegrenzten Messsignals ergibt sich für das Spektrum des
abgetasteten Signals eine periodische Wiederholung des Basisspektrums. Um Überlappungen der
durch die Abtastung entstehenden zusätzlichen Frequenzanteile zu vermeiden, muss für die
Abtastfrequenz fab = 1 / Tab (Tab = Abtastzeit) das Abtasttheorem gelten:
fab > 2 · fb
Die im Messsignal enthaltenen Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz müssen zur
Vermeidung des Aliasings mit einem Tiefpassfilter derart gedämpft werden, dass die Amplituden
kleiner als die Auflösung des Analog-Digital-Umsetzers (ULSB) sind. Dieses Tiefpassfilter wird
Antialiasingfilter genannt.
Die erforderliche Dämpfung des Antialiasingfilters bei der halben Abtastfrequenz ATP(fab/2)
errechnet sich nach (bei N-Bit ADU):

U max
f 
ATP  ab 20 
lg

U LSB
2 



dB 20 
lg 2 N 1 
dB 20 
lg 2 N 
dB 6,02 
N
dB





Aus der Grenzfrequenz des Filters fgr und der erforderlichen Dämpfung ATP(fab/2) kann die
Steilheit bzw. Ordnung des Filters abgeschätzt werden.
Filtersteilheit in dB/Dekade
Dek
f 
ATP  ab 
2 

 f  f gr 

lg ab lg

Hz  
2 
Hz 
Dieser Berechnung liegt der asymptotische Verlauf des Amplitudenfrequenzgangs zugrunde, die
wirkliche Dämpfung bei der halben Abtastfrequenz muss überprüft werden!
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Beispiel:
Ein Messsystem habe ein Antialiasingfilter mit der Grenzfrequenz fgr = 20kHz.
Die Abtastfrequenz soll fab = 100kHz betragen.
Es wird ein 16 Bit ADU eingesetzt.
a) Erforderliche (minimale) Dämpfung des Antialiasingfilters bei der halben Abtastfrequenz:

U max
f 
ATP  ab 20 
lg

U LSB
2 



dB 20 
lg 2 N 1 
dB 6,02 
N
dB 96,32 
dB




b) Filtersteilheit des Filters:
Dek
f 
ATP  ab 
96,32 
dB
2 


242 
dB / Dekade
Dekade
 f ab  f gr  0,39794 
lg
lg 

Hz  
2 
Hz 
c) Filterordnung:
n = 13
d) Reduzierung der Filterordnung durch 20-faches Oversampling (fab = 20·40kHz = 800kHz):
Dek 74 
dB / Dekade
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
n=4
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Einfacher RC-Tiefpass:
-
Frequenzgang (sinusförmige Eingangssignale):
U
A ( j) U
-
a
e
1

1 jRC
(eingeschwungener Zustand)
Übertragungsfunktion (beliebige Eingangssignale):
L
u a (t )
1
A ( s) Lu (t )1 sRC
s = + j
e
s

gr
j
f
S gr j f gr j
1 1
f gr 2RC
1
1
A ( S ) 1 S 1 j
1
A ( S )  1 2
1
A (S ) 
S
-
Normierung für allgemeine Darstellung:
-
Für = 0 gilt (eingeschwungener Zustand):
-
Grenzfrequenz des RC-Tiefpasses:
-
Daraus folgt für RC-Tiefpass:
-
Betrag der Übertragungsfunktion:
-
Für >> 1 folgt:
 Verstärkungsabnahme von 20dB/Dekade
Einschwingverhalten:
-
Wichtig bei impulsförmigen Signalen
Betrachtung der Polstellen in der s-Ebene (Laplace-Ebene)
Polstelle des RC-TP:
1 + s RC = 1 + s = 0
 s = -1/
Negative reelle Polstelle bedeutet ein
gedämpftes Einschwingen,
ohne Überschwingen !
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Idealer Tiefpass:
Reales Filter soll sich dem idealen Filter
annähern, soweit es wirtschaftliche
Randbedingungen erlauben
RC-Tiefpass:
-
Erhöhung der Steilheit im Sperrbereich durch Reihenschaltung von RC-Tiefpässen, d.h.
(n RC-TP) ergeben eine Steilheit von (–n 20dB/Dekade)
1
Übertragungsfunktion:
A ( S ) 
1 1 S 

1 2 S 
... 1 n S 
mit
1, 2, ..., n reell und positiv
Entkoppelte RC-Filter-Kaskade:
-
Dieses Filter hat immer gedämpftes Einschwingverhalten (ohne Überschwingen)
Ausmultiplizieren der Klammern in A(s) ergibt:
A0
A ( S ) 1 c S c S
1
mit
-
2
2
... c n S n
c1, c2, ..., cn reell und positiv
Höchste Potenz von S = Filterordnung
Bestimmen der Koeffizienten für entsprechende Annäherung an idealen Tiefpass
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Beispiel:
RC-TP 4.Ordnung mit 
1= 
2= 
3= 
4

1
A ( j) 1 j
4
Abweichung bei gr:
4
3dB = 12dB anstelle von 3d
- Durchlassbereich mit großer Dämpfung
- Verringerung der Abweichung bei gr:













Kur
vena
c
h„
r
e
c
ht
s
“ve
r
s
c
hi
e
be
n,
d.h. verkleinern
 Abweichung im Sperrbereich von
Asymptote
-
 Optimierung des Frequenzgangs nach verschiedenen Gesichtspunkten
 Für die Realisierung von Filtern ist es günstig, das Nennerpolynom in Faktoren zu zerlegen:
A0
A ( S ) 1 a1 S b1 S 2 1 
a 2 S b2 S 2 .....
ai, bi : reelle positive Koeffizienten; bei ungerader Ordnung ist b1 = 0



 Die Koeffizienten ai, bi werden nach Optimierungsmethoden bestimmt
 Dabei entstehen i. Allg. konjugiert komplexe Pole, die man nicht mit passiven RC-Schaltungen
realisieren kann
 Konjugiert komplexe Pole können z.B. mit LRC-Schaltungen erzeugt werden:
- im HF-Bereich bereiten Induktivitäten keine Probleme
- im NF-Bereich bereiten große Induktivitäten (unhandlich, schlechte elektrische
Eigenschaften) Probleme und werden nicht eingesetzt
 RC-Schaltungen mit aktiven Bauelementen (z.B. OP)  Aktive Filter
 Vergleich der wichtigsten optimierten Frequenzgänge und Sprungantworten
- Butterworth-TP: Amplitudengang verläuft möglichst lange „
horizontal“i
m
Durchlassbereich; oberhalb der Grenzfrequenz Abfall mit „
mittlerer“Steilheit;
Sprungantwort zeigt Überschwingen (Zunahme mit der Ordnung)
- Tschebyscheff-TP: Amplitudengang mit „
großer“Steilheit oberhalb der Grenzfrequenz; im
Durchlassbereich jedoch eine Welligkeit mit konstanter Amplitude; Sprungantwort zeigt
großes Überschwingen (Zunahme mit der Ordnung und Welligkeit)
- Bessel-TP: Optimales Rechteckübertragungsverhalten, d.h. konstante Gruppenlaufzeit über
großen Frequenzbereich im Durchlassbereich (Phasenverschiebung ist proportional zur
Fr
e
que
nz
)
;da
f
ürnur„
g
e
r
i
ng
e
“St
e
i
l
he
i
ti
mSpe
r
r
be
r
e
i
c
h; Sprungantwort zeigt nur geringes
Überschwingen (<1%)
 Alle Filtercharakteristiken können mit derselben Schaltung realisiert werden; nur die
Widerstands- und Kapazitätswerte bestimmen den Filtertyp
 Frequenzgänge der Schaltungen müssen allgemein berechnet werden
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Beispiel: Bessel-TP
-
Koeffizienten müssen so gewählt werden, dass die Gruppenlaufzeit tgrup unterhalb der
Grenzfrequenz = 1 möglichst wenig von abhängt
-
TP 2.Ordnung mit S = j:
A0
A0

A 
1 a S b S  
1 ja b  
2
1
1
Definition der Gruppenlaufzeit:
t
-
1
 a1 

arctan 

1 b12 


mit
-
2
1
grup
d

d
Normierte Gruppenlaufzeit (für Rechnung einfacher):
t grup

T grup Tgr t grup f
gr
gr
gr d
1 d
t grup     
2
2 d
2 d


a1 1 b12
1


T grup 2 1 a12 2 b1 2 b12 4

Für << 1 gilt:
-





a1
1 b12


T grup 2 1 a12 2 b1 2
Gruppenlaufzeit ist frequenzunabhängig, wenn die Koeffizienten von 2 übereinstimmen:
b1 a12 2 
b1
1 2
b1  
a1
3
-
Bei der Grenzfrequenz = 1 gilt:
2
A
-
1
1
 
2
2 
1 b1 a12
Aus beiden Beziehungen ergibt sich:
a1 = 1,3617
-
b1 = 0,6180
Für Filter höherer Ordnung wird die Rechnung sehr aufwendig, da ein nichtlineares
Gleichungssystem zu lösen ist
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Beispiel: Tiefpassfilter 2.Ordnung
1. Es soll ein passives Tiefpassfilter mit den folgenden Eigenschaften entwickelt werden:
Grenzfrequenz:
fgr = 16 kHz
Flankensteilheit für f >> fgr: -40dB/Dekade
Durchlassverhalten:
Sprungantwort mit geringem Überschwingen
-
Welche Filtercharakteristik ist zu wählen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aus welchen Bauelementen muss das Filter bestehen?
Geben Sie eine Schaltung an.
Berechnen Sie die Übertragungsfunktion V‘
.
Dimensionieren Sie das Filter durch Koeffizientenvergleich. Wählen Sie R = 50.
2. Das passive Filter soll durch ein aktives ersetzt werden. Die Schaltung sei vorgegeben. Der
Frequenzgang lautet für diese Schaltung:
1
V '
1 2gr RC1 
S gr2 R 2 C1C 2 
S2
S j

gr
Dimensionieren Sie das Filter durch Koeffizientenvergleich. Wählen Sie R = 10 k.
Hinweise:
Normierte Bessel-Polynome:
n
1
2
3
4
N(S)
1+S
1 + 1,362 S + 0,618 S 2
1 + 1,756 S + 1,233 S 2 + 0,361 S 3
1 + 2,114 S + 1,915 S 2 + 0,900 S 3 + 0,190 S 4
Es gilt: V‘=1/N(
S)
Passives Filter
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Aktives Filter
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Lösung:
1. Butterworth- und Tschebyscheff-Tiefpässe besitzen ein beträchtliches Überschwingen in der
Sprungantwort. Ideales Rechteckverhalten besitzen Filter frequenzunabhängiger Gruppenlaufzeit, d.h. frequenzproportionaler Phasenverschiebung. Dieses Verhalten wird am besten
durch Bessel-Filter approximiert. Da eine Flankensteilheit von –40dB/Dekade gefordert wird,
muss ein Filter zweiter Ordnung entworfen werden. Der Frequenzgang lautet:
2.
1
j
V' 
mit
S
2
gr
1 1,362 
S 0,618 
S
Dieser Frequenzgang kann nur mit L, C und R realisiert werden, da er konjugiert komplexe Pole
aufweist.
Frequenzgang des passiven Filters:
U
1
1
V'  2 

2
U 1 1 jRC ( j) LC 1 gr RC 
S gr2 LC 
S2
Koeffizientenvergleich:
gr RC = 1,362
und
gr2 LC = 0,618
R = 50 (gewählt)
1,362
C
0,27 F
gr R
0,618
L  2 0,23mH
gr C
3. Um konjugiert komplexe Pole zu erzeugen, muss man LRC-Schaltungen verwenden. Im
Hochfrequenzbereich macht die Realisierung der benötigten Induktivitäten meist keine
Schwierigkeiten. Im Niederfrequenzbereich werden meist große Induktivitäten notwendig, die
unhandlich sind und schlechte elektrische Eigenschaften besitzen. Die Verwendung von
Induktivitäten lässt sich im NF-Bereich jedoch vermeiden, wenn man zu den RC-Schaltungen
aktive Bauelemente hinzufügt. Diese Schaltungen werden aktive Filter genannt. Die Schaltung
des aktiven Filters und seine Übertragungsfunktion wurden vorgegeben; die Berechnung der
Übertragungsfunktion ist i. Allg. sehr aufwendig.
Koeffizientenvergleich:
2 gr RC1 = 1,362
und
gr2 R 2 C1C2 = 0,618
R = 10 k(gewählt)
1,362
C1 
0,68nF
2gr R
0,618
C 2  2 2 0,91nF
gr R C1
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Die Bandbegrenzung des Basisspektrums wird bei DAS mit Multiplexern durch Tiefpassfilter vor
dem Multiplexer durchgeführt (Abb.2.3.1). Üblicherweise sind Antialiasingfilter analoge Filter
höherer Ordnung (4.-8.-ter Ordnung).
Abb.2.3.1: Einfaches Antialiasingfilter mit nach geschaltetem Multiplexer für 2 Kanäle
Dabei bieten die Filter eine zusätzliche Schutzfunktion (Strombegrenzung) für die Klemmdioden
am Eingang des Multiplexers. Ein Widerstand RF = 10k gestattet bei einem zulässigen
Fehlerstrom von 20mA einen Eingangsspannungsschutz bis 200V. Bei dieser Lösung der
Signalbandbegrenzung können allerdings nicht zu vernachlässigende Messfehler auftreten.
Beispiel:
Es seien RF1 = RF2 = 10 kund CF1 = CF2 = 20 nF sowie CM = 20 pF
U1 = +10 V sei die Kanalspannung
Der Kondensator CM trägt die Ladung QM = CM U1 = 20 pF 10 V = 2 10-10 As
Die Spannung U2 sei -10V
Der Kondensator CF2 trägt die Ladung Q2 = CF2 U2 = 20 nF (-10 V) = - 2 10-7 As
Nachdem U2 durchgeschaltet wurde, entsteht durch Addition der Ladungen eine Ausgangsspannung Ua = (QM + Q2) / (CM + CF2) = -9,98 V
Dies entspricht einem Fehler von 20 mV. Bei einem 12-Bit-System entspricht ein LSB im ±10-VBereich 4,88 mV, d. h. der Fehler beträgt mehr als 4 LSB. Der Kondensator CM wird zwar von
der Quelle U2 nachgeladen, nach einer Zeitkonstanten = (CF2 + CM) RF2 = 200 s reduziert
sich der Fehler auf ca. 7 mV.
Setzt man ein 16-Bit-System voraus und wartet ein Einschwingen auf die Fehlergrenze ½ LSB
(305µV) ab, so müssen ca. 12 Zeitkonstanten abgewartet werden (12 200 s = 2,4 ms). Diese
Überlegungen zeigen, dass durch diese Ladungsausgleichseffekte nur geringe Signalfrequenzen
verarbeitet werden können. Abhilfe Schaffen sog. Buffer (Verstärker V = 1), die vor den
Multiplexer zu schalten sind (Abb.2.3.2). Diese Buffer verhindern den Entzug von Ladungen aus
den Filterkondensatoren, da jetzt die Ladung des Multiplexer-Kondensators CM aus den
Verstärkern erfolgt. Dadurch ist eine erhebliche Steigerung der zu verarbeitenden Signalfrequenzen möglich.
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Abb.2.3.2: Einfaches Antialiasingfilter mit Bufferverstärkern
2.4
Abtast-Halte-Verstärker
Sample&Hold-Ba
us
t
e
i
neha
be
ndi
eAuf
g
a
be
,Spa
nnung
s
we
r
t
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nne
i
nna
c
hg
e
s
c
ha
l
t
e
t
e
rAD-Umsetzer diese konstante Spannung
umsetzen.
 Abtast-Halte-Glied (Sample and Hold):
Ein:
ua = ue (wie Analogschalter)
Aus:
ua = ue (taus) --> ue im Ausschaltzeitpunkt
S&H wird auch Track and Hold - Schaltung genannt
 Prinzipieller Aufbau:
Impedanzwandler
- Quelle soll nicht belastet
werden
- Hoher Ausgangsstrom,
damit Kondensator
schnell umgeladen wird
Speicher
- Schalter S geschlossen:
Kondensator wird
aufgeladen
- Gute Isolation ist
erforderlich (großer Roff)
Impedanzwandler
- Kondensator soll nicht
belastet werden, wenn
Schalter S geschlossen ist
Abb.2.4.1: Abtast-Halte-Verstärker
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Nichtideale Eigenschaften:
Abb.2.4.2: Nichtideale Eigenschaften eines S&H
 Maximale Anstiegsgeschwindigkeit (Slew Rate):
z.B. 5V/µs; abhängig vom maximalen Ausgangsstrom des OP1
 Einstellzeit tE (Acquisition Time):
z.B. 4µs; Zeit bis Ausgangsspannung (dauerhaft) innerhalb einer vorgegebener Toleranz gleich
der Eingangsspannung ist; abhängig vom Durchlasswiderstand Ron des Schalters und vom
Speicherkondensator C; es gilt: tE = Ron C 4,6 für 1% Toleranz und tE = Ron C 6,9 für
0,1% Toleranz; C tE
 Aperture-Zeit tA (Aperture Delay):
z.B. 0,2µs; Halten: Zeit bis der Schalter öffnet
 Schwankungen (abhängig von ue): Aperture-Jitter tA
 Ausgangsspannung macht kleinen Spannungssprung Ua (Hold-Step):
z.B. 10mV; Ladung der Schalterkapazität Cs fließt in den Speicherkondensator C;
C Ua
 Durchgriff (Feed-through):
z.B. 80dB; Änderung der Eingangsspannung koppelt kapazitiv auf die Ausgangsspannung ein
(kapazitiver Spannungsteiler)
 Haltedrift (Droop):
z.B. 30mV/s; abhängig vom Eingangsstrom des OP2 und vom Sperrstrom des Schalters;
mit Entladestrom IL gilt: (Ua/t) = (IL/C)  OP2 mit FET-Eingang
Wahl des Speicherkondensators:
 C groß: positiv beim Halten
 C klein: positiv beim Folgen
Die Notwendigkeit von S&H-Bausteinen in einem Datenverarbeitungssystem lässt sich anhand
folgender Überlegung leicht einsehen. Soll beispielsweise eine sinusförmige Spannung
u (t ) uˆ
sin(
t ) mit n-bit Genauigkeit umgesetzt werden, so muss man fordern, dass sich
während der Umsetzzeit tu des AD-Umsetzers die Spannung u(t) um nicht mehr als
2
uˆ
1LSB  n
ändert.
2 1
du
Im Nulldurchgang (maximale Steigung!) von u(t) gilt:
uˆ

dt t 0
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Mit du u = 1 LSB und dt tu ergibt sich die maximal zu verarbeitende Frequenz fmax zu:
1
f max 
n

2 1tu
Beispiel:
12-bit ADU mit 1 µs Umsetzzeit
1
f max 
12

2 11s 78Hz
D.h. der ADU mit 10 6 Messungen pro Sekunde kann lediglich analoge Signale bis
78Hz verarbeiten, sofern kein S&H-Baustein eingesetzt wird.
Beispiel:
Dem 12-bit ADU mit tu = 1µs wird ein S&H-Baustein vorgeschaltet mit einem
Aperture-Jitter tA = 50 ps.
Damit ergibt sich eine maximale Frequenz des analogen Messsignals zu:
1
1
f max 

780kHz
n
12

2 1t A 2 1100 ps
Dieser Wert bedeutet allerdings nicht, dass Analogsignale bis 780kHz verarbeitet
werden können, da der Frequenzbereich aufgrund der maximalen Abtastfrequenz von
1MHz und des Abtasttheorems auf 500kHz beschränkt bleibt.
Der S&H-Baustein stellt in einem Abtastsystem meist eine der größten Fehlerquellen dar. Die
Anforderungen sind extrem, da er einerseits die Geschwindigkeit eines HF-Verstärkers besitzen soll
und andererseits die Genauigkeit eines Präzisionsverstärkers. Entsprechend sind die Kosten für
einen solchen Baustein relativ hoch und liegen im Bereich eines ADU. Falls die Verrechnung
zeitgleich abgetasteter Kanäle erfolgen muss, kann jedoch nicht auf kanalindividuelle S&HBausteine verzichtet werden.
Der Anschluss des Haltekondensators Ch soll mit einem Guard-Ring, der auf gleichem Potential liegt
wie der Ausgang, abgeschirmt werden. Hierdurch werden Leckströme über den Oberflächen- und
Innenwiderstand der gedruckten Schaltungen vermieden (Abb.2.4.3).
Ri: Innenwiderstand des Haltekondensators Ch ( Ri )
RIn: Innenwiderstand der Leiterplatte ( RIn )
Ro: Oberflächenwiderstand der Leiterplatte ( Ro = R1 + R2)
Abb.2.4.3: Haltekondensator mir Guard-Ring
Entscheidend ist meist der Oberflächenwiderstand Ro der Leiterplatte, der Isolationswiderstand und
der Innenwiderstand sind vernachlässigbar. Der Oberflächenwiderstand ist deshalb entscheidend, da
er z.B. durch Anfassen der Leiterplatte mit schweißigen Fingern erheblich verkleinert werden kann.
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a)
Abb.2.4.4:
b)
a) Ersatzschaltbild des S/H-Bausteins ohne Guard-Ring
b) Ersatzschaltbild des S/H-Bausteins mit Guard-Ring
Durch den Guard-Ring wird der Oberflächenwiderstand Ro in die Widerstände R1 und R2
aufgeteilt. Durch die Verbindung des Ausgangs des Operationsverstärkers mit dem Guard-Ring ist
der Widerstand R2 praktisch stromlos, da über ihn nur noch die Differenzeingangsspannung des
Operationsverstärkers abfällt. Da durch R2 kein Strom fließt und in den Pluseingang des
Operationsverstärkers ebenfalls kein Strom fließt, wird dem Kondensator Ch keine Ladung
entzogen. Über R1 liegt zwar die Ausgangsspannung Ua(t), jedoch wird der Leckstrom ILe vom
Operationsverstärker geliefert und nicht vom Kondensator (Abb.2.4.4).
Beispiel: Es sollen die Verhältnisse an einer Schaltung ohne Guard-Ring untersucht werden.
Spannung am Haltkondensator:
Kapazität des Haltkondensators:
Oberflächenwiderstand:
UCh = 10V
Ch = 500pF
Ro = 1G
Damit ergeben sich:
Leckstrom
ILe = UCh / Ro = 10nA
Droop Rate
du/dt = ILe / Ch = 20 V/s
Bei einem ADU mit einer Umsetzzeit tu = 10µs ändert sich die Spannung am Haltkondensator
zwischen zwei Umsetzungen um
U = du/dt tu = 200µV
Be
ie
i
ne
m16Bi
tADUmi
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hU=0… 10Vbe
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eAuf
l
ös
ung
10V
U LSB  16
153V
2 1
Damit verursacht die Droop Rate einen Fehler von mehr als 1 LSB.
Der Guard-Ring schafft durch eine Verringerung des Leckstroms Abhilfe bei diesem Problem.
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2.5
Multiplexer
Beispiel:
CMOS-Schalter
Aufbau:
Funktionsweise:
 Die Eingangsspannung sei ue = -10 V bis +10 V
 Die Beträge der Schwellenspannungen beider FETs seien Up < 5 V
 Schalter leitend: Ust = +15 V, d.h. G1 von T1 liegt auf Potential +15 V und G2 von T2 liegt auf
–15 V; für den gesamten Eingangsspannungsbereich sind beide FETs leitend
 Fallunterscheidung: steigt ue von 0 V auf +10 V, so wird UGS1 betragsmäßig kleiner und T1
hochohmiger; andererseits wird UGS2 betragsmäßig größer und T2 niederohmiger;
sinkt ue von 0 V auf –10 V, so wird entsprechend T1 niederohmiger und T2 hochohmiger
 Schalter sperrend: Ust = -15 V, d.h. G1 von T1 liegt auf Potential -15 V und G2 von T2 liegt auf
+15 V; für den gesamten Eingangsspannungsbereich sind beide FETs sperrend
Verlauf des Drain-Source-Widerstand RDS
 Aber: Bei Standard CMOS-Schaltern darf die Eingangsspannung nicht außerhalb des definierten Bereiches liegen, weil der Schalter durch Latch-Up zerstört werden könnte. Die KanalSubstrat-Diode wird leitend und überschwemmt das Substrat mit Ladungsträgern. Diese können
den sog. parasitären Thyristor zünden, der die Betriebsspannung kurzschließt. Evtl. ist mit
einem Vorwiderstand der Strom auf 1 mA zu begrenzen. Bei CMOS-Schaltern mit dielektrischer Isolation ist das Substrat durch eine Oxidschicht vom Kanal isoliert und verhindert den
Latch-Up. Der Herstellungsprozess ist jedoch teurer.
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Beispiel:
Analogmultiplexer
 Analogmultiplexer ist die wichtigste Anwendung von elektronischen Schaltern (Multiplexer =
Scanner = Messstellenumschalter)
 Ein Analogmultiplexer schaltet N Eingangssignale zeitlich nacheinander (Zeitmultiplex) auf
eine Ausgangsleitung; am Ausgang erscheinen die Abtastwerte der verschiedenen
Eingangskanäle zeitlich gestaffelt
 Die Auswahl eines bestimmten Eingangssignals erfolgt durch eine digitale Adresse (z.B. im
Dualcode); mit einer 4-Bit-Adresse können 16 Eingänge adressiert werden
 Systeme mit mehreren Analogeingängen werden aus Aufwandsgründen nur mit einem ADU
(Analog-Digital-Umsetzer) konzipiert; vor den ADU wird ein Analogmultiplexer geschaltet, der
sequentiell je einen analogen Eingangskanal an den ADU-Eingang schaltet
 „
Br
e
a
k-before-ma
kes
wi
t
c
hi
ng“vermeidet eine Überlagerung zweier Eingangssignale
 Aufbau:
 Funktionsweise:
- Durch Anlegen einer 4-Bit-Adresse im Dualcode an die Eingänge A0 bis A3 wird je einer der
16 Eingänge mit dem Ausgang verbunden, z.B. soll bei der Adresse 0000 der Eingang 1 zum
Ausgang durchgeschaltet werden
- Der Dekoder wandelt die Adresse (Dualcode) in den 1-aus-N-Code um, so dass nur ein
Eingangssignal zum Ausgang gelangt, die übrigen 15 Eingänge werden gesperrt
- Mit dem Enable-Eingang kann der Multiplexer deaktiviert werden, d.h. kein Eingangssignal
wird auf den Ausgang gelegt
Als Schalter werden meist CMOS-Schalter verwendet
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2.6
2.6.1
Messverstärker
Signalflussplan
Ue
‘=Ke Ue
Ur = Kr Ua
UD = Ue
‘–Ur
Eingangs-Vierpol:
Ke = (Ue
‘/Ue) = (UD / Ue) |Ua=0
Rückkopplungs-Vierpol:
Kr = (Ur / Ua) = (-UD / Ua) |Ue=0
Offene Verstärkung:
Gegengekoppelte Verstärkung:
VD = Ua / UD
V‘=Ua / Ue = ???
UD = Ue
‘–Ur = Ke Ue –Kr Ua = Ua / VD
VD Ke Ue –VD Kr Ua = Ua
VD Ke Ue = Ua (1 + VD Kr)
U
V 
Ke
V
 a  D
U e 1 V D 
Kr
Für (VD Kr) >> 1 gilt die Vereinfachung: V‘Ke / Kr





Gegenkopplung vermindert die Verstärkung
Rückgekoppelte Verstärkung V‘i
s
tf
ürVD  unabhängig von der offenen Verstärkung
VD und wird nur von der äußeren Beschaltung Ke, Kr bestimmt
Einfluss auf Eingangs- und Ausgangswiderstand des Verstärkers
Bandbreite fgr wird vergrößert
Keine Verbesserung des Nullpunktfehlers
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2.6.2
Invertierender Verstärker (Umkehr-Verstärker)
Eingangs-Vierpol:
Ke = (Ue
‘/Ue) = (UD / Ue) |Ua=0 = - Z2 / (Z1 + Z2)
Rückkopplungs-Vierpol:
Kr = (Ur / Ua) = (-UD / Ua) |Ue=0 = Z1 / (Z1 + Z2)
Z2
V

Z 1 Z 2
Z 1
VD
Gegengekoppelte Verstärkung:
Für V D   gilt die Vereinfachung:
V‘=Ua / Ue - Z2 / Z1
Eingangswiderstand (Virtuelle Masse UD = 0):
re‘Z1
Für Z1 = R1 gilt:
r
e
‘R1
Ausgangswiderstand:
r
a
‘=- dUa / dIa
für dUe = 0 bzw. Ue = konst.
(Minuszeichen, weil Bezugsrichtung des Stroms Ia aus OPV heraus)
Aus
dUa = VD dUD –ra dIa
folgt
dUa = -VD Kr dUa –ra dIa
und
dUD = - Kr dUa
dUa (1 + VD Kr) = - ra dIa
r
a
‘=r
a/(
1+VD Kr) ra / (VD Kr)
mit |VD Kr| >> 1
r
a
‘(ra / VD) (1 + Z2 / Z1) ra (V‘/VD)
mit |Z2 / Z1| >> 1
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2.6.3
Nichtinvertierender Verstärker (Elektrometer-Verstärker)
Eingangs-Vierpol:
Ke = (Ue
‘/Ue) = (UD / Ue) |Ua=0 1
mit UZ1 0
für reD >> |(Z1||Z2)|
Rückkopplungs-Vierpol:
Kr = (Ur / Ua) = (-UD / Ua) |Ue=0 = Z1 / (Z1 + Z2)
Z1
Z2

Z 1 Z 2
Z 1 Z 2
Z 1
Z 1
VD
VD
Gegengekoppelte Verstärkung:
V

Für V D   gilt die Vereinfachung:
V‘=Ua / Ue = 1 + (Z2 / Z1)
Eingangswiderstand:
re‘= Ue / Ie
Mit
Ie UD / reD für reD >> Z1
UD = Ua / VD = (V‘
Ue) / VD
folgt
Ie (V‘
Ue) / (VD reD)
und
r
e
‘=(
VD / V‘
)reD
Ausgangswiderstand:
r
a
‘= ra / (1 + VD Kr) ra / (VD Kr)
sehr hochohmig !
mit |VD Kr| >> 1
r
a‘(ra / VD) (1 + Z2 / Z1) ra (V‘/VD)
wie Umkehrverstärker !
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2.6.4
Vergleich Umkehr- und Elektrometer-Verstärker
Umkehr-Verstärker
Elektrometer-Verstärker
Der Eingangsstrom i1 wird durch den über das Die Eingangsspannung ue wird durch die über
Gegenkopplungsnetzwerk rückgeführten
das Gegenkopplungsnetzwerk rückgeführte
Strom i2 kompensiert.
Spannung uZ1 kompensiert.
Die Schaltung wirkt zwischen Ausgang und
dem invertierenden Eingang wie eine Stromquelle. Die Ausgangsspannung stellt sich so
ein, dass der Eingangsstrom i1 auch durch Z2
fließt.
Die Schaltung wirkt zwischen Ausgang und
dem invertierenden Eingang wie eine Stromquelle. Die Ausgangsspannung stellt sich so
ein, dass der Strom, der durch Z2 fließt, über
Z1 den Spannungsabfall uZ1 = ue erzeugt.
Der Eingang ist niederohmig (bzw. = Z1).
Der Eingang ist hochohmig.
Die Ausgangspolarität ist umgekehrt zur
Eingangspolarität.
Die Ausgangspolarität ist gleich der
Eingangspolarität.
Die Gleichtaktaussteuerung ist gleich Null,
die Spannung am Summierpunkt bleibt
konstant gleich Null.
Die Gleichtaktaussteuerung ist gleich der
Eingangsspannung.
Aufgabe: Elektrometer-Verstärker mit reellen Rückkoppelwiderständen R1 und R2
Eine Spannung Ue = 1mV soll auf Ua = 1V verstärkt werden. Der Fehler darf höchstens Ua/Ua =
0,001 betragen. Es gilt reD = 1010 und ra = 100.De
rFr
e
que
nz
ga
ngde
sOP’
ss
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ie
i
nTi
e
f
pa
s
s
5
1.Ordnung mit VD0 = 10 und fgr = 10 Hz.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Be
r
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c
hnedi
eg
e
ge
ng
e
koppe
l
t
eVe
r
s
t
ä
r
kungV’
ideal für einen idealen OPV (VD) und
dimensioniere R1 und R2.
Be
r
e
c
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eg
e
ge
ng
e
koppe
l
t
eVe
r
s
t
ä
r
kungV’
real für einen realen OPV (VD endlich) und
dimensioniere R1 und R2.
Ist es zulässig, mit der Annahme eines idealen OPV die Schaltung zu dimensionieren?
Berechne Eingangs- und Ausgangswiderstand der Schaltung.
Kons
t
r
ui
e
r
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nFr
e
que
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g
a
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g
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koppe
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s
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ä
r
kungV‘(
As
y
mpt
ot
e
n)und
gebe die Bandbreite B bzw. Grenzfrequenz fgr an.
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2.6.5
Subtrahierer
 Für u2 = 0 arbeitet die Schaltung als Umkehrverstärker mit
u
a1
N 
u1
 Für u1 = 0 arbeitet die Schaltung als Elektrometerverstärker mit vorgeschaltetem
Spannungsteiler.
Es gilt:
V
P
R

P
R
R 

 
u
1 

u2 
P
P
2
P
P
P
und
u
a2
   
1  u
1 

P
N
2
P
Für die Ausgangsspannung ergibt sich:
u u u
a
a1
a2
1     
u u
1 

N
P
2
N
1
P
Für N P folgt:
u u u 
a
2
1
mit :„
Di
f
f
e
r
e
nz
ve
r
s
t
ä
r
kung
s
f
a
kt
or
“
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Berechnung der Gleichtaktunterdrückung mit dem Ansatz:
1
1
u 2 uG 2 u D
u1 uG 2 u D
Es folgt für die Ausgangsspannung:

1
1
1 N  







 
 

N 


u a   P 
u
u
u
u
G
D
G
D

2


1 P  2 


 1 N

1
1 N   

 1 





u a   P N uG 2  P 2 N 
u D


1
1
P
P




u V u V u
a
G
G
D
D
1   
  1      
1 1 
1   1  
V
 
G  2  
2 
1
V
1   
1  


 
1 
N
P
D
P
G
N
N
P
N
P
P
N
N
P
P
N
N
P
Mit
1
1
 2  und  2 
N
P
fo lg t :

G 
1 


 G ist umgekehrt proportional zur Toleranz der Widerstandsverhältnisse (
)
 G ist außerdem proportional zu (
„
Di
f
f
e
r
e
nz
ve
r
s
t
ä
r
kung
s
f
a
kt
or
“
)
Beispiel:
Zwei Spannungen u1 10V und u2 10V sollen voneinander subtrahiert werden. Bei einer
Differenz | u2 –u1 | 0,1V soll die Ausgangsspannung ua = 5 V betragen. Der relative Fehler
(ua/ua) darf höchstens 0,01 betragen.
Berechne die erforderliche Gleichtaktunterdrückung und die zulässige Widerstandstoleranz.
 VD = 5V / 0,1V = 50 = 
ua 0,01 5V = 0,05V
Annahme:
VG sei die einzige Fehlerquelle  VG (ua/u1) = (ua/u2) = 0,05V/10V = 0,005
Lösung:
50
4
V
G  D 0,005 
10 80 dB
VG
 1 

0,005 0,5%

G
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2.6.6
Nullpunktfehler
a) Nullpunktfehler bei einer Spannungsmessung
Untersuchung der Einflussgrößen nach dem Superpositionsprinzip:
i) Einfluss der Offsetspannung Uo (uq = 0 , I B = 0 , I B = 0):
V‘=ua
1 / Uo = 1 + (R2/R1)

ua1 = (1 + R2/R1) Uo
Die Offsetspannung wird wie die Eingangsspannung verstärkt und überlagert sich dieser.
ii) Einfluss von I B (Uo = 0, uq = 0 , I B = 0):
Idealer Verstärker: I B fließt über Rq und verursacht Spannungsabfall Rq I B, der eine
Ausgangsspannung
ua2 = (1 + R2/R1) Rq I B
zur Folge hat.
iii) Einfluss von I B (Uo = 0, uq = 0 , I B = 0):
Idealer Verstärker: I B fließt über R1 mit Spannungsfall R1 I B.
Daraus folgt: UR1 = ( I B + IR2) R1
Masche am Eingang mit ue = 0 (UD = 0): UR1 = 0  ua3 = IR2 R2 = - I B R2
iv) Die Addition ergibt die Ausgangsspannung:
ua = ua1 + ua2 + ua3 = (1 + R2/R1) 
[Uo + Rq I B - R1 R2 I B / (R1 + R2)]
Falls I B = I B gilt, kompensieren sie sich für:
Rq = R1 R2 / (R1 + R2)
Diese Beziehung ist bei der Dimensionierung der Widerstände R1 und R2 zu beachten! Für
V‘>>1s
ol
l
t
eR1 Rq sein und danach R2 (>> R1) bestimmt werden.
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b) Nullpunktfehler bei einer Strommessung
Untersuchung der Einflussgrößen nach dem Superpositionsprinzip:
i) Einfluss der Offsetspannung Uo (iq = 0 , I B = 0 , I B = 0):
ie = - Uo / Rq

ig = (ua1 - Uo) / Rg
ie = - ig
ua1 = (1 + Rg/Rq)Uo
Wegen des hohen Innenwiderstands Rq der Stromquelle (Rq >> Rg) gilt:

ua1 Uo
Die Offsetspannung wird bei der Strommessung praktisch nicht verstärkt und kann i. Allg.
unberücksichtigt bleiben.
ii) Einfluss von I B (Uo = 0, iq = 0, I B = 0):
Bei einem großen Innenwiderstand Rq der Stromquelle fließt praktisch kein Strom über Rq,
d.h. ie = 0.
I B = - ig = - ua2/Rg 
ua2 = - I B Rg
iii) Einfluss von I B (Uo = 0, iq = 0, I B = 0):
Der Strom I B fließt bei Rp = 0 zur Masse ab, d.h.

ua3 = 0
iv) Die Addition ergibt die Ausgangsspannung:
ua = ua1 + ua2 + ua3 = Uo - I B Rg
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Die Schaltung des invertierenden Verstärkers lässt sich verbessern, indem der p-Eingang über einen
Widerstand Rp 0 an Masse gelegt wird.
Mit
Rp = Rg || Rq = Rg Rq / (Rg + Rq)
entsteht am p-Eingang eine Spannung Up = Rp I B, die zu folgender Ausgangsspannung ua3 führt:
ua3 = ig Rg + Rp I B
Mit
ig = - ie = Rp I B / Rq

ua3 = Rp I B (Rg/Rq + 1) Rp I B Rg I B
Rq >> Rg
Rp Rg
folgt
Damit können sich die Wirkungen der Eingangsruheströme gegenseitig aufheben und es folgt für
die Ausgangsspannung:
ua = ua1 + ua2 + ua3 = Uo + ( I B- I B) Rg
c) Nullpunktfehler beim Subtrahierer
Der Subtrahierer ist mit RN = RP = R und N = P = sowie kurzgeschlossenen Spannungsquellen
U1 und U2 dargestellt. Für ihn heben sich die Eingangsruheströme I Bund I B gegenseitig auf. Die
Offsetspannung Uo führt zu den Strömen
i1 = - Uo / (R/)
Mit i1 = - ig ergibt sich
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ig = (ua –Uo) / R
ua = (1 + ) Uo
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2.7
Instrumentationsverstärker
Anwendung:
 Me
s
s
unge
i
ne
r„
erdfreien“Spa
nnungi
s
ti
nde
rMe
s
s
t
e
c
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khä
uf
i
ge
r
f
or
de
r
l
i
c
h,d.
h.di
e
Ausgangsspannung einer Signalquelle darf mit keinem Anschluss mit Erde verbunden werden
(z.B. Brückenschaltungen und Sensoren mit Brückenprinzip).
 Übertragung leistungsschwacher Signale über längere Leitungen in elektromagnetisch gestörter
Umgebung verursacht hauptsächlich Gleichtaktstörspannungen, die das Nutzsignal um ein
Vielfaches übertreffen können.




Nichtinvertierende und invertierende Verstärkerschaltungen sind nicht geeignet, da einer der
beiden Eingänge auf Bezugspotential liegt.
Subtrahierschaltung erfüllt diese Forderung, besitzt jedoch eine zu kleine Eingangsimpedanz
Subtrahierschaltung mit Vorschaltung zweier zusätzlicher Impedanzwandler
Schaltung wird Instrumentationsverstärker genannt (universeller Messverstärker, als IC
erhältlich)
Eigenschaften:








Instrumentationsverstärker sind gegengekoppelte Differenzverstärker mit hohem
Eingangwiderstand und hoher Gleichtaktunterdrückung
Einstellbarer Verstärkungsfaktor (z.B. 1 ... 1000 durch äußeren Widerstand)
Hohe Linearität
Hohe Genauigkeit und Konstanz (d.h. große Differenzverstärkung und
Präzisionswiderstände im Gegenkopplungskreis)
Geringe Drift und geringes Rauschen
Gute Langzeitstabilität
Niedriger TK
Kurze Einschwingzeit
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Schaltung:
Funktionsweise:
Für ideale OPVs (UD=0) liegt die Spannungsdifferenz (ue1-ue2) an R1, der mit zwei Widerständen
Ro einen Spannungsteiler bildet. Die Spannung u12 beträgt demnach:
2 R R   
u u
R

12
u
0
1
e1
e2
1
Die Differenzverstärkung der 1.Stufe beträgt:
2 R R
u u 
R
V D1 
u

12
e1
e2
0
1
1
Bei reiner Gleichtaktaussteuerung ue1 = ue2 = ug ist die Spannung an R1 gleich Null und es gilt
ua1 = ua2 = ug, d.h. die Gleichtaktverstärkung der 1.Stufe beträgt:
V
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G1
1
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Die Gleichtaktunterdrückung der 1.Stufe beträgt somit:
2 R R   R
1 2
R
R
V
CMR1  D1 
V
0
1
1
G1
0
1
Die Gleichtaktunterdrückung der 2.Stufe beträgt für =1:


1 
 2 
CMR 


2
Die gesamte Gleichtaktunterdrückung ist das Produkt der Gleichtaktunterdrückungen beider Stufen:
CMR CMR CMR
1

2 

  R0 

1
2
2

R1 

 
Die gesamte Differenzverstärkung ist das Produkt der Differenzverstärkungen beider Stufen:

R0 







V D V D1 V D 2 1 2
1
R1 


Vorteile bei vier gleichgroßen Widerständen R:



Gleichtaktunterdrückung CMR ist proportional zu /, d.h. Widerstandstoleranzen müssen
klein sein.
Es ist technologisch einfacher, vier gleichgroße Widerstände mit geringen Toleranzen
herzustellen (IC) als Widerstände im bestimmten Verhältnis.
Die drei OPVss
i
ndi
mI
C„
g
l
e
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c
he
n“Umge
bungs
be
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ng
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n(
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nde
r
n.Di
eOf
f
s
e
t
s
pa
nnu
nge
n
der beiden Impedanzwandler gehen als Differenz in das Gesamtergebnis ein und werden
sich somit weitgehend kompensieren. Daher führt nur noch die Offsetspannung des
Subtrahierers zu einem Fehler. Um ihn gering zu halten, ist die Differenzverstärkung dieser
Stufe gering zu halten, z.B. Eins. Die Verstärkung der Gesamtschaltung wird daher von der
1.Stufe bestimmt, was auch günstig für das Rauschverhalten ist.
CMR: Common Mode Rejektion
CMRR: Common Mode Rejektion Ratio
CMRR = 20 lg(CMR) dB
Preiswerte Instrumentationverstärker:
 AD 620 von Analog Device (V: 1 bis 1000; CMRR: 110dB; Uo: 30µV; dUo/dT: 1µV/K)
 INA 114 von Burr Brown (V: 1 bis 1000; CMRR: 115dB; Uo: 25µV; dUo/dT: 0,25µV/K)
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2.8
Nyquist Kriterium
Bei der Abtastung eines kontinuierlichen analogen Signals mit der Abtastfrequenz fs (sampling
frequency) führt eine Erhöhung der Abtastfrequenz zu einer präziseren digitalen Darstellung. Eine
Reduzierung der Abtastfrequenz kann ab einer bestimmten Frequenz zu einem irreversiblen
Informationsverlust führen. Die mathematische Basis des Abtastvorgangs schuf Harry Nyquist in
seinen Veröffentlichungen aus den Jahren 1924 uns 1928. Diese Arbeiten benutzte Claude Shannon
im Jahre 1948 in seiner Veröffentlichung zu der Kommunikationstheorie.
Das Nyquist Kriterium besagt, dass die Abtastfrequenz mindestens doppelt so groß sein muss wie
die höchste im abgetasteten Signal vorhandene Frequenz, ansonsten geht Information des Signals
verloren. Bei Verletzung dieses Kriteriums tritt der sog. Aliasing-Effekt auf. Dieser Effekt kann im
Zeit- und Frequenzbereich dargestellt werden. Abb.2.8.1 zeigt ein sinusförmiges Signal mit der
Frequenz fa, das mit der Frequenz fs abgetastet wird. Das Nyquist Kriterium wird dabei nicht
eingehalten. Die Verbindung der Abtastwerte führt zu einer Sinusschwingung mit der zu niedrigen
Frequenz (fs-fa).
Abb.2.8.1: Aliasing im Zeitbereich
Dieser Aliasing-Effekt korrespondiert mit der Darstellung im Frequenzbereich in Abb.2.8.2B. In
Abb.2.8.2A ist das Spektrum bei idealer Abtastung bei Einhaltung des Nyquist Kriteriums fs > 2fa
da
r
g
e
s
t
e
l
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kt
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que
nz
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n
K f S f a
Elektronische Messtechnik
mit
EMT4
K=1,2,3,…
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Abb.
2.
8.
2:Er
z
e
ug
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I
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c
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eAbt
a
s
t
ung
Die Nyquist Bandbreite ist definiert als das Spektrum von f = 0Hz bis f = fs/2. Das gesamte
Spektrum ist in eine unendliche Anzahl von Nyquist Zonen aufgeteilt, die jeweils die Breite fs/2
annehmen. In der Praxis ersetzt ein ADU mit anschließender FFT den idealen Abtaster. Der FFTAlgorithmus berechnet nur das Spektrum von f = 0Hz bis f = fs/2 und zeigt die Signale und
„
I
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g
e
s
“de
re
r
s
t
e
nNy
qui
s
tZone
.
Jede Frequenzkomponente (Signal und Rauschen), die außerhalb der Nyquist Bandbreite existiert,
e
r
z
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ug
tbe
ide
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a
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t
ung„
I
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s
e
rVor
g
a
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r
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Al
i
a
s
i
ng“
genannt und muss durch ein sog. Antialiasing-Filter verhindert werden. Dieses Antialiasing-Filter
ist ein analoges Tiefpassfilter und muss vor dem Abtastvorgang eine Bandbegrenzung vornehmen.
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3
3.1
Digital-Analog-Umsetzer (DAU)
Summation gewichteter Ströme
Bei diesem Verfahren werden die Widerstände so gewählt, dass durch sie bei geschlossenem
Schalter ein Strom fließt, der dem betreffenden Stellenwert entspricht. Die Schalter müssen immer
dann geschlossen werden, wenn in der betreffenden Stelle eine logische „
1“auftritt. Wegen der
Gegenkopplung des Operationsverstärkers über den Widerstand RFB bleibt der Summationspunkt
aus Nullpotential. Die Teilströme werden somit ohne gegenseitige Beeinflussung aufsummiert.
Wenn der von zo gesteuerte Schalter geschlossen ist, ergibt sich die Ausgangsspannung:
R
1
U a U LSB 
U ref  FB  
U ref
16 
R
16
Im allgemeinen Fall erhält man:
1
1
1
1
U a  
U ref 
z3  
U ref 
z2  
U ref 
z1  
U ref 
z0
2
4
8
16
Daraus ergibt sich:
1
Z
U a  
U ref 

8
z 3 4 
z 2 2 
z1 z 0 
U ref 
16
Z max 1
Abb.3.1.1: DAU mit Summation gewichteter Ströme
3.2
Leiternetzwerk
Bei diesem DA-Umsetzer realisiert man die Gewichtung der Stufen durch Anwendung einer
fortgesetzten Spannungsteilung mit Hilfe eines Leiternetzwerkes. Das Grundelement eines solchen
Leiternetzwerkes stellt ein belasteter Spannungsteiler dar, der folgende Eigenschaften besitzen soll:
 Belastet man ihn mit einem Lastwiderstand Rp, soll sein Eingangswiderstand Re ebenfalls
den Wert Rp annehmen.
 Die Kettenabschwächung = U2 / U1 soll bei dieser Belastung gleich einem vorgegebenen
Wert sein.
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Abb.3.2.1: Eine Stufe des Leiternetzwerkes
Mit diesen beiden Bedingungen erhält man die Dimensionierungsvorschrift:
2

1 

R
R1 

q
und

1 

R
Rp 

q
Im Fall der Dualcodierung ist = 0,5. Wenn man Rq = 2R vorgibt, erhält man:
R1 = R
und
Rp = 2R
Die Referenzspannungsquelle wird mit dem konstanten Widerstand
Re = (2R || 2R) = R
belastet.
Die Ausgangsspannung des Summierverstärkers ergibt sich zu:
R
Z

U a RFB 
I K 
U ref  FB 
8
z 3 4 
z 2 2 
z1 z 0 
U ref 
16 
R
Z max 1
Dieser DAU benötigt lediglich Widerstände der Größe R, wenn man die Widerstände 2R durch
Reihenschaltung von zwei Widerständen ersetzt. Daher ist die Anordnung gut geeignet für die
Herstellung als monolithisch integrierte Schaltung. Dabei lassen sich leicht die erforderlichen
Paarungstoleranzen für die Widerstände erreichen. Der DAU mit Leiternetzwerk ist die gebräuchliche Schaltung in CMOS-Technologie.
Abb.3.2.2: DAU mit Leiternetzwerk
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4
Analog-Digital-Umsetzer (ADU)
A/D-Umsetzer bilden das Bindeglied zwischen der analogen Welt des zu messenden Prozesses und
der digitalen Welt der rechnergestützten Aufbereitung und Weiterverarbeitung. Sie dienen der
Umsetzung der analogen in die digitale Darstellung von Messwerten.
Der am häufigsten in der Messtechnik eingesetzte ADU arbeitet nach dem Prinzip der sukzessiven
Approximation (schrittweise Näherung). Er gewährleistet eine hohe Auflösung (18Bit) bei einer
ausreichenden Umsetzzeit (1µs). Für Anwendungen, bei denen der Effektivwert einer Größe die
interessierende Größe darstellt (z.B. bei Digital-Multimetern), gibt es integrierende Verfahren, wie
Dual Slope (Zwei-Rampen-ADU). In den letzten Jahren gewinnen Sigma-Delta-Umsetzer für
digitale Abtastsysteme in der Messtechnik an Bedeutung.
Abb.4.0.1 ADU-Architekturen in Abhängigkeit der Anwendung, Auflösung und Abtastrate.
Abb.4.0.1: ADU-Architekturen
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4.1
ADU mit schrittweiser Näherung (Sukzessive Approximation)
Dieses Verfahren wird bei digitalen Abtastsystemen in der Messtechnik am häufigsten eingesetzt.
Es kann mit dem Wägeprinzip verglichen werden. Der ADU besteht aus einem Komparator, einer
Ablaufsteuerung (SA-Register) und einem DA-Umsetzer. Das SA-Register setzt das höchstwertige
Bit (
Bi
tn)a
uf„
1“unds
omi
tdie Vergleichsspannung UDA auf ca. 0,5·UDA,max (= 0,5·Ux,max). Gilt
UDA < USH, so bleibt das n-t
eBi
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uf„
1“g
e
s
e
t
z
t
, andernfalls wird es zurück a
uf„
0“gesetzt. Danach
wird das zweithöchste Bit (Bit n-1)a
uf„
1“gesetzt (UDA entspricht nun ca. 0,75·UDA,max) und der
Vergleich UDA < USH durchgeführt. Sukzessive werden alle Bits bis zum niederwertigsten Bit
gesetzt und der Vergleich mit Hilfe des Komparators durchgeführt. Bei einem n-Bit ADU ist der
Vorgang nach n Vergleichsschritten abgeschlossen. Damit die Konstanz der Messgröße, die
digitalisiert werden soll, während einer AD-Umsetzung (n Vergleichsschritte) gewährleistet ist,
muss ein Sample&Hold-Glied vorgesehen werden. Dieses S&H-Glied ist oftmals im SAR-ADU
bereits integriert.
Abb.4.1.1: BSB des ADU mit schrittweiser Näherung
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Abb.4.1.2: Zeitablauf der AD-Umsetzung
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4.2
Flash ADU
Bei diesem Verfahren wird die Eingangsspannung Ux gleichzeitig mit allen äquidistanten
Bezugsspannungen verglichen. Diese werden über Widerstandsteiler erzeugt. Legt man eine
Eingangsspannung Ux an, die z.B. zwischen 3/2·ULSB und 5/2·ULSB liegt, liefern die Komparatoren
K1 und K2 eine „
Eins“undde
rKomparator K3 eine „
Null“
. Man benötigt eine Logik, die diese
Komparatorzustände in den Dualcode (D1 D0)übersetzt. Diese Umsetzung wird mit einem sog.
Prioritätsdecoder realisiert. Man darf jedoch den Prioritätsdecoder nicht unmittelbar an die
Ausgänge der Komparatoren anschließen. Infolge von Schwankungen der Eingangsspannung und
Laufzeitunterschieden der Komparatoren könnten im Dualcode kurzzeitig falsche Zahlenwerte
auftreten. Diese Fehler lassen sich durch eine Synchronisation mit D-Flip-Flops vermeiden. Der
Synchronisierzeitpunkt wird durch die Triggerflanke des Taktes bestimmt.
Abb.4.2.1: Prinzipschaltbild eines 2Bit Flash-ADU
Da bei diesem Verfahren 2n-1 Komparatoren benötigt werden, beschränkt sich derzeit der Einsatz
auf Systeme mit 8 bis maximal 10 Bit. Jedes weitere Bit verdoppelt die Anzahl der Komparatoren.
Der Vorteil dieser Verfahren besteht in der hohen Umsetzfrequenz, die bei 8 Bit Systemen bis in
den GHz-Bereich reicht.
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4.3
Kaskadenumsetzer
Der Kaskadenumsetzer verbindet das Prinzip der sukzessiven Approximation mit dem der
direktvergleichenden ADU. Besonders nachteilig bei den direktvergleichenden ADU (FlashUmsetzer) ist die hohe Anzahl von benötigten Komparatoren (z.B. 1023 Komparatoren für einen
10Bit-ADU). Diesen Nachteil kann man vermeiden, wenn man eine Umsetzung in zwei Schritten
durchführt.
Prinzipschaltbild eines 12Bit-Kaskadenumsetzers
Zu Beginn des Umsetzvorganges steht der Schalter S in Stellung 1 und der Flash-ADU ermittelt die
höherwertigen 6Bit. Das Ergebnis stellt den grob quantisierten Wert der Eingangsspannung Ux dar.
Danach wird mit einem DAU die zugehörige Analogspannung dargestellt und die Differenz
zwischen der Eingangsspannung Ux und der Ausgangsspannung des DAU gebildet. Damit diese
Differenz in den Eingangsspannungsbereich des ADU fällt, muss eine Verstärkung -in unserem
Beispiel um den Faktor 26 = 64 - vorgenommen werden. Dazu wird der Schalter S in die Stellung 2
gebracht. Im zweiten Umsetzzyklus ermittelt der Flash ADU die niederwertigen 6Bit. Damit das
Ergebnis der gesamten Umsetzung nicht schon im Bit 6 unsicher ist, muss der 6Bit-ADU die
Genauigkeit eines 12Bit-Umsetzers aufweisen. Kaskadenumsetzer werden in der Praxis sehr häufig
eingesetzt, wenn Umsetzfrequenzen >1 MHz bei Auflösung >10 Bit erforderlich sind.
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4.4
Dual-Slope-ADU (Integrierendes Verfahren)
Der Dual-Slope-ADU ist ein integrierendes Zweirampenverfahren, das Messstörungen unterdrücken kann.
Integrierer
Abb.4.4.1: Blockschaltbild des Dual-Slope ADU
Das Messsignal Ux lädt während einer konstanten Zeit t1 den zu Beginn der Messung entladenen
Kondensator eines Integrieres auf den Wert Uˆ
t1 erhält die Steuerung die
I . Nach Ablauf der Zeit 
I
nf
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i
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Übe
r
l
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uf
“vom Zä
hl
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runds
e
t
z
tden Schalter auf die Referenzspannung Uref, die eine
entgegen gesetzte Polarität zu Ux besitzen muss. Anschließend wird die Zeit t2 gemessen, die
notwendig ist, um den Kondensator bei vorgegebenem Entladestrom (mit Uref) zu entladen. Nach
Ablauf der Zeit t2 e
r
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l
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ue
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ungvom Kompa
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St
op“undhä
l
tde
n
Zähler (Zählerstand n) mit Hilfe des Tores an.
Die Zeit t1 ist durch die Zählerkapazität K (maximaler Zählerstand) und durch die Clockfrequenz
fCl des Generators nach t1=K/fCl festgelegt Ist beispielsweise K=100.000 und fCl = 1 MHz, so wird
t1 = 100 ms.
Abb.4.4.2: Zeitlicher Ablauf des Dual-Slope-Verfahrens
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1
U I (t )  
U X dt
RC 
t2
1
Uˆ



U X dt
I
RC t
1
Während der Zeit t1 gilt:
Im Umschaltpunkt t2 (Überlauf des Zählers) gilt:
Es wird sofort auf die Referenzspannung Uref (umgekehrtes Vorzeichen zu Ux) umgeschaltet.
1
U I (t ) Uˆ
U ref dt
I 
RC 
Während der Zeit t2 gilt:
Der Ablauf wird durch den Komparator zum Zeitpunkt t3 gestoppt, sobald UI(t) = 0V erreicht:
t3
1
U I (t 3 ) 0 Uˆ
U ref dt
I 
RC t
2
t2
Es gilt
t3
1
1

U X dt  
U ref dt

RC t1
RC t
2
bzw.
t t
t
U X U ref 3 2  2
t 2 t1 t1
Während der Zeit t2 wird der Zähler mit der Clockfrequenz fCl getaktet und der Vorgang zum
Zeitpunkt t3 gestoppt. Der Zählerstand zum Zeitpunkt t3 sei n = t2·fCl. Damit erhält man als
Messergebnis:
U ref
UX 

n bzw.
K
K
n

UX
U ref
Das Messergebnis ist unabhängig von den Parametern R, C und fCl; sie müssen allerdings während
eines Messzyklusses t1...t3 konstant sein. Dagegen spielt die Langzeitdrift dieser Werte keine Rolle.
Messunsicherheiten < 10 5 sind bei diesem Verfahren möglich.
Um die häufig vorkommenden Störungen, die mit der Netzfrequenz und deren ganzzahligen
Vielfachen auftreten, zu unterdrücken, wird für die Zeit t1 ein ganzzahliges Vielfaches der
Netzperiodendauer (TN = TS) gewählt. Es soll die Störunterdrückung des integrierenden Verfahrens
bei sinusförmiger Störung untersucht werden. Die Messgröße sei Ux und die Störgröße lasse sich
durch u S (t ) uˆ
sin(S 
t ) beschreiben. Die Integrationszeit sei Ti = t1. Damit ergibt sich das
S 
gesamte Messsignal als Summe von Mess- und Störgröße: u (t ) U X uˆ
sin(S 
t ) .
S 
Integrierende Umsetzer bilden den arithmetischen Mittelwert über die Integrationszeit Ti:
Ti
1
U U X  
uˆ
sin(S 
t ) 
dt
S 
Ti 
0
Der arithmetische Mittelwert der Störgröße ist:
Ti
uˆ
1

US  
uˆ
sin(S 
t ) 
dt  S 
cos(S 
Ti ) cos()
S 

Ti 0
Ti 
S
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Mit der Beziehung
sin() 
sin( ) 12 

cos() cos()
sowie

T
 S i
2
erhält man
uˆ
U S (Ti )  S
S 
Ti
und

T
 S i 
2


T  S 
Ti
sin 
f S 
Ti 
 


2
sin  S i 
sin 

uˆ

sin 
f S 
Ti 
S 


f S 
Ti
 2   2



sin( x)
Mit der Spaltfunktion si ( x) 
ergibt sich:
x
U S (Ti ) uˆ
si 
f S 
Ti 

sin 
f S 
Ti 
S 
Hieraus folgt für den relativen Fehler:
uˆ
US
Frel 
 S 
si 
f S 
Ti 

sin 
f S 
Ti 
UX UX
Der maximale relative Fehler ( sin 
f S 
Ti 1
) errechnet sich aus:
uˆ
Frel ,max  S 
si 
f S 
Ti 
UX
Abb.4.4.3 zeigt den Verlauf des normierten maximalen relativen Fehlers, der mit wachsendem
Produkt aus Störfrequenz fs und Integrationszeit Ti abnimmt. Der Fehler wird Null, wenn für das
Produkt fs·Ti = m mit m = 1, 2, 3,... (m: ganze Zahl) bzw. Ti = m·Ts gilt. Um Störungen mit der
Netzfrequenz fN = fS (und deren ganzzahlige Vielfache) zu unterdrücken, wird die Zeit t1 = Ti =
m·TS als ganzzahliges Vielfaches der Netzperiodendauer gewählt.
U
Frel ,max  X si (f S 
Ti )
uˆ
S
Abb.4.4.3: Maximaler relativer Fehler (normiert)
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Definition der Stördämpfung:
U S
a S 20 
lg
uˆ
S

20 
lg
si (f S 
Ti ) 
sin(f S 
Ti ) 


Definition der minimalen Stördämpfung:
aS , min 20 
lg
si (f S 
Ti ) 
Abb.4.4.4: Stördämfung
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4.5
Sigma-Delta-Umsetzer
Der Sigma-Delta-Umsetzer hat sich im Anwendungsbereich der Audiotechnik durchgesetzt und
dringt derzeit auch auf das Gebiet der Messtechnik vor. Mit ihm lassen sich hohe Auflösungen
(max. 24 Bit) und sehr gute Signal-Rausch-Verältnisse (SNR) erreichen. Abb.4.5.1 zeigt, dass der
-Umsetzer aus einem -Modulator und einem digitalen Filter hoher Ordnung besteht.
Abb.4.5.1: Blockschaltbild des -ADU
Abb.4.5.2: -Modulator
Das Grundprinzip des Sigma-Delta-Umsetzers (Abb.4.5.2) ist ein Regelkreis, bestehend aus
Integrierer und nachgeschaltetem Komparator. Da der Komparator nur die logischen Werte "0" und
"1" ausgeben kann und der Mittelwert ( U IE ) aus der Differenz von Eingangssignal Ux und
Komparatorsignal UD Null ergeben muss (sonst geht der Integrierer in die Begrenzung), entspricht
der Mittelwert des Komparatorausgangssignals ( U Aus ) gleich dem Eingangssignal Ux. Da das
Komparatorausgangssignal UAus digital ist, muss ein 1 Bit DAC dieses Signal für die
Differenzbildung in ein analoges Signal umsetzen. Durch digitale Tiefpass-Filterung wird der
Mittelwert aus dem Komparatorausgangssignal ermitteln.
Das Messsignal Ux wird sehr stark überabgetastet (Oversampling), so dass das Messrauschen über
einen großen Frequenzbereich verteilt wird. Im relevanten Bereich bis zur halben Abtastfrequenz
ergibt sich somit eine verringerte Rauchleistungsdichte. Der dargestellte Regelkreis bewirkt
zusätzlich eine Verschiebung des Rauschspektrums zu hohen Frequenzen (Noise-Shaping).
Die Funktion soll an einem einfachen Beispiel vorgestellt werden:
Ux = 5/8V
+URef = 1V
-UR e f = 0V
Integrierer speichert den letzten Ausgangswert und addiert den neuen Eingangswert
Komparator schaltet seinen Ausgang UAus auf logisch "1 ", falls UIA 0V
UAus logisch "1 " setzt UD = +UR ef
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Dann kann folgende Tabelle angeben werden:
Takt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Ux in V
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
5/8
UD in V
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
UIE in V
-3/8
-3/8
5/8
-3/8
5/8
-3/8
-3/8
5/8
-3/8
-3/8
5/8
-3/8
5/8
-3/8
-3/8
5/8
UIA in V
0
-3/8
2/8
-1/8
4/8
1/8
-2/8
3/8
0/8
-3/8
2/8
-1/8
4/8
1/8
-2/8
3/8
UAus
„
1“
„
0“
„
1“
„
0“
„
1“
„
1“
„
0“
„
1“
„
1“
„
0“
„
1“
„
0“
„
1“
„
1“
„
0“
„
1“
Die logische „
0“
-„
1“
-Folge von UAus ergibt einen Bitstrom, der im Mittel den Wert U Aus = 5/8V
ergibt (Abb.4.5.3).
Abb.4.5.3: Bitmuster am Ausgang des -Modulators
Die Mittelung (und Datenreduktion) erfolgt mit dem digitalen Filter. Mit diesen Umsetzern sind
derzeit Auflösungen zwischen 16 und 24 Bit möglich.
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Quantisierungsrauschen
Der n-Bit ADU habe den Eingangsspannungsbereich ±V. Somit lässt sich die Auflösung ULSB
berechnen:
2
V
2
V
V
U LSB  n
 n  n 1
2 1
2
2
Abb.4.5.4: Quantisierungrauschen (Quantisierungsfehler)
Der Effektivwert des Quantisierungsrauschens ist entsprechend der Abb.4.5.4:
2
U Noise
T /2
 U LSB dt U LSB  V
1
 


t

T T / 2
12
12 
2 n 1
T


Bei einem sinusförmigen Signal mit der Amplitude A gilt für den Effektivwert:
U Signal 
A
2
Das Signal-Rausch-Verhältnis (Signal-Noise-Ratio) kann wie folgt angegeben werden:
U Signal
A
2 n 1 12 A n 3 A n
SNR 

  
2   
2 1,5
U Noise
V
2 V
2 V
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Das Verhältnis in dB ausgedrückt, ergibt:
 
A n

A 
A 
SNRdB 20 
lg 
2 1,5 20 
lg 20 
n
lg 2 20 
lg 1,5 20 
lg 6,02 
n 1,76
V
V
V




Für einen 1Bit ADU mit optimaler Aussteuerung (A=V) ergibt sich ein Signal-Rausch-Verhältnis
von SNRdB = 7,78dB.
Für einen 24Bit ADU (mit A=V) muss ein SNRdB = 146dB erreicht werden. Dies ist nur mit
Oversampling und Noise-Shaping möglich.
Oversampling
Es ist zu beachten, dass das Signal-Rausch-Verhältnis SNRdB bis zur Abtastfrequenz fab bzw. im
Bereich (–fab/2) bis (+fab/2) gilt:
SNRdB = SNR|fab
Nach dem Abtasttheorem muss erfüllt sein fab > 2 fsignal,max
Abb.4.5.5: Rauschleistungsdichte ohne Oversampling
Das Messsignal wird mit einem Faktor k 2 r (z.B. k=128) überabgetastet, so dass das Messrauschen über den k-fachen Frequenzbereich verteilt wird.
Bei k-fachem Oversampling gilt
fab > k 2 fsignal,max
Abb.4.5.6: Rauschleistungsdichte mit Oversampling
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Aus dem Effektivwert der Rauschspannung
ergibt sich die Rauschleistung (normiert mit R = 1)
U
U Noise  LSB
12
2
U
PNoise  LSB
12
2
Für die Rauschleistungsdichte gilt
p Noise
P
U
 Noise  LSB
f ab
12 f ab
Wird die Abtastfrequenz um den Faktor k erhöht, so muss sich die Rauschleistungsdichte bei
gleicher Rauschleistung um den Faktor k verringern.
Für die Rauchspannung im Frequenzbereich von 0 bis fab/2 ergibt sich
U
 LSB
12
bei der Abtastfrequenz fab
U Noise
fab
bei der Abtastfrequenz k fab
U Noise
k
fab

U LSB
12  k
U Noise
fab
1

k
Bei k-fachem Oversampling wird die Rauschspannung um den Faktor 1 / k verringert.
Für das Signal-Rausch-Verhältnis ergibt sich bei k-fachem Oversampling
 U Signal
SNR k fab 20 
lg

U
 Noise k fab

U Signal

20 
lg
k 



U

 Noise fab

bzw.
A 
SNRdB|k fab = SNRdB|fab + 10 · lg(k) = 20 
lg 6,02 
n 1,76 + 10 · lg(k)
V

A 
SNRdB|k fab = 20 
lg 6,02 
n 1,76 + 3,01· r
V

Für einen 1Bit ADU (A=V) mit 128-fachem Oversampling ergibt sich
SNRdB|128fab = SNRdB|fab + 10 lg(128) = 7,78 dB + 21,07 dB = 28,85 dB
Allein mit Oversampling kann das erforderliche Signal-Rausch-Verhältnis nicht erreicht werden.
Allerdings kann die Ordnung des Antialiasingfilters stark reduziert werden (meist 2.Ordnung).
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Noise-Shaping
Der -Modulator kann durch ein vereinfachtes Blockschaltbild (Abb.4.5.7) dargestellt werden.
Dabei wird der mit der Abtastfrequenz synchron arbeitende Komparator als Rauschquelle mit 1Bit
Rauschen UNoise betrachtet. Der 1Bit DAU nimmt nur eine Pegelanpassung vor.
Abb.4.5.7: Blockschaltbild des -Modulators
Das Ausgangssignal lässt sich nach folgender Gleichung angeben:
U U Aus
1
1
U Aus U Noise  X


UX 

U Noise
1
j
1 j
1
j
Demnach wird die Messspannung Ux tiefpassgefiltert und die Rauschspannung UNoise hochpassgefiltert. Infolge dieses Hochpasses verbleibt nur noch ein kleiner Teil der Rauschleistung im
Frequenzbereich von 0 bis fab/2 (Abb.4.5.8).
Abb.4.5.8: Noise-Shaping
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Der diskrete Integrierer berechnet den neuen Ausgangswert UIA(n+1) aus dem vorhandenen
Ausgangswert UIA(n) und dem Eingangswert UIE(n). Daraus resultiert die Netzwerkstruktur in
Abb.4.5.9 und die z-Übertragungsfunktion des Integrierers
z 1
H I ( z) 
1 z 1
Abb.4.5.9: Diskreter Integrierer
Für den Sigma-Delta-Modulator 1.Ordnung ergibt sich die Netzwerkstruktur nach Abb.4.5.10 mit
der Signal-Übertragungsfunktion S(z) und der Rausch-Übertragungsfunktion N(z)
S ( z ) z 1
N ( z ) 1 z 1
Abb.4.5.10: Sigma-Delta-Modulator 1.Ordnung
Die Rauschleistung PNoise im Frequenzbereich (–fab/2) bis (+fab/2) lässt sich wie folgt berechnen:
fab / 2
PNoise 
p

Noise
N ( f ) df
2
fab / 2
2
Bei einem k-fachen Oversampling und ohne Berücksichtigung des Noise Shaping, d.h. N ( f ) 1 ,
ergibt sich für die Rauschleistung PNoise im Frequenzbereich (–fab/2) bis (+fab/2):
U2
PNoise p Noise f ab  LSB
12 
k
Die gesamte Rauschleistung PNoise im Frequenzbereich (–k·fab/2) bis (+k·fab/2) ist konstant und
unabhängig von k !
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Bei einem k-fachen Oversampling und mit Berücksichtigung des Noise Shaping muss zunächst
2
N ( f ) berechnet werden.
N ( z ) 1 z 1
Die Rausch-Übertragungsfunktion im z-Bereich lautet
Daraus lässt sich mit z e j2f / fab die Rausch-Übertragungsfunktion im Frequenzbereich N(f) wie
folgt herleiten:
N ( f ) 1 e
j 
2

f / fab
e jf / fab e jf / fab 2 j 
sin 
f / fab 
 jf / fab  jf / fab 
j
e
e
e f / fab
N ( f ) 2 
sin 
f / fab 
N ( f ) 4 
sin 2 
f / fab 
2
Die Rauschleistung PNoise im Frequenzbereich (–fab/2) bis (+fab/2) lässt sich wie folgt berechnen:
fab / 2
fab / 2

f
2
p

N
(
f
)
df

p

4
sin 2 

Noise
Noise



 k f ab
fab / 2
fab / 2
PNoise 


df


k f


 k f
 
PNoise p Noise 
2 f ab  ab 
sin   ab 
sin  



k  
 k


2
U LSB
PNoise 
12 
k f ab
U2
PNoise  LSB
12
PNoise
k f




2 f ab 2  ab 
sin  



k 


2 2



 
sin  


k  k 


2
2 2  3 

U LSB





 

12 
k 
k3 
k 6 


U2
PNoise  LSB
12
2 

 3
3
k 

Der Effektivwert der sinusförmigen Signalspannung beträgt
U Signal 
A
2
Der Effektivwert der Rauschspannung lässt sich mit der hergeleiteten Rauschleistung angeben
2 
U
V

U Noise  PNoise  LSB   2 

n
3
k  3
12
2
3
k3

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Für das Signal-Rausch-Verhältnis eines Sigma-Delta-Modulators 1.Ordnung ergibt sich bei kfachem Oversampling k 2 r und Noise Shaping


A 
SNRdB|k fab = 20 
lg 6,02 
n 3,41 9,03 
r
V

Abb.4.5.11: Sigma-Delta-Modulator 2.Ordnung
Für einen Sigma-Delta-Modulator 2.Ordnung mit der Struktur nach Abb.4.5.11 lässt sich die
Rauschleistung im Frequenzbereich (–fab/2) bis (fab/2) mit k-fachem Oversampling und Noise
Shaping herleiten
U2
PNoise  LSB
12
4 

 5
5
k 

Daraus errechnet sich das Signal-Rausch-Verhältnis
A 
SNRdB|k fab = 20 
lg 6,02 
n 11,14 15,05 
r
V

Für einen Sigma-Delta-Modulator N-ter Ordnung gilt
PNoise
2


U LSB
2N




12 

2
N 1

k 2N 1
A 
SNRdB|k fab = 20 

lg 6,02 
n 1,76 10 
lg
2
N 1
9.94 
N 3,01 
2
N 1

r
V

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4.6
4.6.1
ADU-Fehler
Quantisierungfehler
Unter (Wert-)Quantisierung versteht man die Unterteilung eines kontinuierlichen Wertebereiches
des analogen Eingangssignals in eine endliche Anzahl i.d.R. gleichgroßer Teilbereiche, die LSB
(Least Significant Bit) oder ULSB genannt werden.
U
U LSB  n FS
2 1
FS: Full Scale
n: Bitzahl des ADU
Alle (unendlich vielen) analogen Werte eines Teilbereiches werden durch eine digitale Zahl
dargestellt. Dadurch entsteht bei der Analog-Digital-Umsetzung ein systematischer Fehler, der als
Quantisierungsfehler oder Quantisierungsr
a
us
c
he
n be
z
e
i
c
hne
twi
r
d.De
rQua
nt
i
s
i
e
r
ung
s
f
e
hl
e
rε
liegt im Bereich -0,5·ULSB …+0,
5·
ULSB. Abb.4.6.1 zeigt die Übertragungkennlinie eines 3Bit-ADU.
Abb.4.6.1: Übertragungskennlinie eines 3Bit-ADU
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4.6.2
Verstärkungs- und Offsetfehler
Der Verstärkungsfehler bewirkt einen veränderten Anstieg gegenüber der idealen Umsetzerkennlinie. Der Fehler ist abgleichbar.
Der Offsetfehler macht sich als Versatz der Umsetzerkennlinie im Ursprung bemerkbar. Der Fehler
ist abgleichbar.
Beide Fehler sind in Abb.4.6.2 dargestellt.
Abb.4.6.2: Verstärkungs- und Offsetfehler
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4.6.3
Integrale und differentielle Nichlinearität
Die integrale Nichtlinearität gibt die maximale Abweichung der realen Übertragungskennlinie von
der idealen an und wird üblicherweise in LSB angegeben. Die integrale Nichtlinearität ist nicht
abgleichbar.
Die differentielle Nichtlinearität ist die Abweichung jeder Stufenbreite von der idealen Breite
„
1LSB“ a
n.De
rADU-Hersteller gibt nur die maximale Abweichung an. Die differentielle
Nichtlinearität ist nicht abgleichbar.
Abb.4.6.3 zeigt die Nichtlinearitäten.
Abb.4.6.3: Integrale (NL) und differentielle (DNL) Nichtlinearität
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4.6.4
Monotonie und Missing Code
Monotonie bedeutet, dass bei steigendem analogen Eingangswert die Umsetzterkennlinie ebenfalls
ansteigt, d.h. die Zahl am ADU-Ausgang nicht kleiner wird. Monotonie erfordert eine differentielle
Nichtlinearität DNL 
1LSB 
.
Bleibt die Zahl am ADU-Ausgang trotz steigender analoger Eingangsgröße konstant oder fällt
sogar, dann entsteht ein sog. Missing Code, d.h. eine Zahl tritt nicht auf. Um einen Missing Code zu
vermeiden, muss für die differentielle Nichtlinearität DNL 
1LSB gelten.
Abb.4.6.4 zeigt eine nicht monotone Kennlinie mit Missing Code.
Abb.4.6.4: Monotonie und Missing Code
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5
5.1
Sensorprinzipien
Temperaturmessung
Im Bereich der physikalischen Messtechnik sind Temperaturen die am häufigsten zu messenden
Größen. Insbesondere in der Prozess- und Verfahrenstechnik stellt die Temperaturmessung das
"messtechnische Rückrad" dar. Hier sollen die beiden wichtigsten Temperatursensoren
Widerstandsthermometer und Thermoelement vorgestellt werden.
5.1.1 Widerstandsthermometer
Beim Widerstandsthermometer wird ausgenutzt, dass der elektrische Widerstand R mit steigender
Temperatur TM zunimmt (positiver Temperaturkoeffizient, PTC). Der Zusammenhang zwischen der
Temperatur und dem Widerstand kann durch ein Polynom höherer Ordnung


R (TM ) R0 1 A 
(TM T0 ) B 
(TM T0 ) 2 C 
(TM T0 ) 3 ...
beschrieben werden. Ro ist der Nennwiderstand, der für eine bestimmte Temperatur To gültig ist.
TM ist die Temperatur des Widerstands und A, B, C... sind materialabhängige Konstanten. Die
Terme höherer Ordnung werden je nach Genauigkeit der Messung berücksichtigt.
Als Widerstandsmaterila hat sich in der industriellen Messtechnik Platin durchgesetzt. Zu seinen
Vorteilen zählen die hohe chemische Beständigkeit, leichte Drahtherstellung und gute Reproduzierbarkeit. Die Eigenschaften sind in der europäischen Norm DIN EN 60 751 vollständig festgelegt, so
dass für Platinmesswiderstände eine universelle Austauschbarkeit besteht. Beispielsweise gilt beim
Pt100 Ro=100 bei To=0°C und der Messbereich erstreckt sich von -200°C bis 850°C. Bei der
Festlegung der Grundwertreihe unterscheidet man zwei Temperaturbereiche, -200°C bis 0°C und
0°C bis 850°C.
Für den Temperaturbereich von -200°C bis 0°C gilt ein Polynom dritten Grades:

R(TM ) R0 
1 A 
TM B 
TM C 
(TM 100
C) 
TM
2
3

Für den Temperaturbereich von 0°C bis 850°C gilt ein Polynom zweiten Grades:

R(TM ) R0 
1 A 
TM B 
TM
Für die Koeffizienten gilt:
2

A 3,9083 
10 3 

C 1
B 5,775 
10 7 

C 2 .
C 4,183 
10 12 

C 4
Der PT100 ist der am häufigsten eingesetzte Nennwiderstand. Nach der Norm werden auch
Nennwiderstände mit 500und 1000angeboten, die eine höhere Empfindlichkeit E aufweisen.
Es gilt:
PT100:
E 0,4/ K
PT500:
E 2,0/ K
PT1000:
E 4,0/ K
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Die Gleichungen geben die Abhängigkeit des Widerstands von der Temperatur an und nicht die
Ermittlung der Temperatur aus dem gemessenen Widerstand. Für den Temperaturbereich von 0°C
bis 850°C lässt sich eine geschlossene Gleichung für die Berechnung der Temperatur angeben:
A 
R0  
A
R0 4 
B
R0 
R0 RM 
TM 
2
B
R0
2
Für den Temperaturbereich von -200°C bis 0°C lässt sich keine geschlossene Gleichung für die
Berechnung der Temperatur angeben. Es muss ein numerisches Näherungsverfahren angewendet
werden, z.B. das Newtonsche Näherungsverfahren. Beginnend mit einem beliebigen Startwert To
werden die Iterationswerte nach der folgenden Gleichung berechnet:



R (T ) RM
R 1 A 
Ti B 
Ti 2 C 
Ti 100
C

Ti 3 R M
Ti 1 Ti  i '
Ti  0
2
R (Ti )

R0 A 2 
B
Ti C 3 
Ti 
Ti 100
C
Ti 3



Die Temperatur für diesen Bereich lässt sich auch aus der Grundwerttabelle ermitteln; nicht
enthaltene Zwischenwerte müssen durch lineare Interpolation berechnet werden. Mit zwei
benachbarten Temperatur-/Widerstandspaaren (T1/R1 und T2/R2) ober- bzw. unterhalb des
gesuchten Wertes gilt:
T T
RM R1 
TM T1  2 1 
R2 R1
Für die Bestimmung des Widerstandswertes RM wird ein Konstantstrom I vorgegeben und der
Spannungsabfall U am Widerstand ausgewertet. Um eine Erwärmung des Sensors zu vermeiden,
muss ein möglichst kleiner Messstrom (üblicherweise I 1mA) gewählt werden.
Folgende Schaltungen sind gebräuchlich.
Bei der Zweileitertechnik Abb.5.1.1 speist die Stromquelle den Widerstand und die Spannung U
setzt sich aus dem Spannungsabfall am Widerstand und den temperaturabhängigen
Zuleitungswiderständen der Anschlusskabel zusammen. Dadurch entsteht ein systematischer
Messfehler durch den Spannungsabfall an den Zuleitungen.
U = I·(RPT100 + 2·RL)
Abb.5.1.1: Zweileitertechnik
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Eine bessere Methode stellt die Dreileitertechnik Abb.5.1.2 dar. Durch Messung der Spannungen
U1 und U2 lässt sich der Einfluss der Zuleitungswiderstände eliminieren. Voraussetzung hierfür ist,
dass sowohl Hin- als auch Rückleiter gleichlang und von gleichem Material sind und dass sie
denselben Temperaturen ausgesetzt sind.
U1 = UPT100 + URL
U2 = UPT100 + URL/2
UM = 2·U2 –U1 = UPT100
Abb.5.1.2: Dreileitertechnik
Die optimale Messmethode ist die Vierleitertechnik Abb.5.1.3. Unter der Voraussetzung, dass die
Spannung U stromlos gemessen werden kann, ist sowohl die Spannung am Messwiderstand als
auch der Strom durch den Messwiderstand bekannt und damit der Widerstand bestimmbar.
U = I·RPT100
Abb.5.1.3: Vierleitertechnik
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Die wichtige Kenngröße „
Empfindlichkeit E“ist die Widerstandsänderung ΔR bezogen auf die
zugehörige Temperaturänderung ΔT. Beim Pt100 beträgt die Empfindlichkeit ca. 0,4/K, wodurch
sich bei einem Konstantstrom von I = 1mA eine Spannungsänderung pro Kelvin von etwa ΔU/
K=
400µV/K ergibt.
In der DIN EN 60 751 sind die Toleranzklassen angegeben. Die Toleranz in der Einheit Kelvin
ergibt sich bei Einsetzen des Zahlenwertes der Widerstandstemperatur TM in °C nach:
Klasse AA:
Klasse A:
Klasse B:
Klasse B:
ΔT=±(0,10 + 0,0017 · |TM|)
ΔT=±(0,15 + 0,002 · |TM|)
ΔT=±(0,30 + 0,005 · |TM|)
ΔT=±(0,60 + 0,01 · |TM|)
mit
mit
mit
mit
TM = -70°C bis 250°C
TM = -200°C bis 650°C
TM = -200°C bis 850°C
TM = -200°C bis 850°C
Die Klassen AA und A gelten nur für Drei- und Vierleitertechnik.
Beispiel:
Mit einem Pt100 Widerstandsthermometer der Klasse A wurde eine Temperatur von TM = -80°C
gemessen. Damit ergibt sich die maximale Messunsicherheit (ohne Fehler des Messgerätes) zu
ΔT=±(0,15 + 0,002 |-80|) = ±0,31 K,
so dass das Messergebnis aufgrund der Sensorunsicherheit TM = (-80 ± 0,31)°C lautet.
5.1.2
Thermoelement
Verbindet man zwei unterschiedliche elektrische Leiter aus den Materialien A und B und setzt diese
einer Temperaturdifferenz aus, so wird eine sog. Thermospannung erzeugt (Abb.5.1.4). Der
ursächliche physikalische Effekt wird Seebeck-Effekt genannt. Je nach verwendeten Materialien
und den Temperaturen der Messstelle und Vergleichsstelle ergeben sich Thermospannungen, die
üblicherweise im mV-Bereich liegen und in erster Näherung der Temperaturdifferenz zwischen
Mess- und Vergleichstemperatur proportional ist.
Abb.5.1.4: Thermoelement
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UthA = KA (
Θ1 –Θ2)
UthB = KB (
Θ1 –Θ2)
UAB = (KA - KB )(
Θ1 –Θ2) = KAB (
Θ1 –Θ2)
Mit
Seebeck-Koeffizient Material A:
Seebeck-Koeffizient Material B:
Seebeck-Koeffizient Thermoelement:
KA
KB
KAB =1μV/
K… 100μV/
K
Messstellentemperatur:
Vergleichsstellentemperatur:
Θ1
Θ2
Das thermoelektrische Verfahren ist nur für die Messung von Temperaturdifferenzen geeignet.
Die Tab.5.1.1 zeigt die Thermospannung einiger Metalle für die Messstellentemperatur 100°C
bezogen auf Platin als Messleitung und der Vergleichsstellentemperatur (Referenztemperatur) von
0°C.
Material
Konstantan
Nickel
Paladium
Platin
Kupfer
Manganin
Eisen
Silizium
Thermospannung Uth
in mV/100K
-3,40
-1,90
-0,28
0,00
+0,75
+0,60
+1,88
+44,80
Tab.5.1.1: Thermoelektrische Spannungsreihe für 0°C und 100°C
Der Messkreis Abb.5.1.5 bestehe aus dem Thermoelement mit den Materialien A und B sowie der
Messleitung aus dem Material C (z.B. Cu). Die Thermospannung Uth wird mit einem hochohmigen
Messinstrument gemessen. Die Temperaturen der Verg
l
e
i
c
hs
s
s
t
e
l
l
e
nΘV1 undΘV2 beeinflussen die
Thermospannung. Di
eMe
s
s
s
t
e
l
l
e
nt
e
mpe
r
a
t
urs
e
iΘM.
Abb.5.1.5: Thermoelement A-B mit Anschlussleitung C
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Für die Vergleichsstellentemperatur gilt:
ΘV = ΘV1 = ΘV2
Durch die Thermoelektrische Spannungsreihe sind die Seebeck-Koeffizienten KA, KB und KC der
Materialien A, B und C gegen Platin gegeben. Die Thermospannung Uth berechnet sich aus der
Summe der vier Teilspannungen Uth1, Uth2, Uth3 und Uth4:
Uth = Uth1 + Uth2 + Uth3 + Uth4
Mit
Uth1 = KC (ΘV –Θ0)
Uth2 = KA (ΘM –ΘV)
Uth3 = KB (ΘV –ΘM)
Uth4 = KC (Θ0 –ΘV)
Uth = (KA - KB )(
ΘM –ΘV) = KAB (
ΘM –ΘV)
ergibt sich:
Die entstehende Thermospannung hängt von der Temperaturdifferenz zwischen Messstelle
und Vergleichsstelle ab!
Die Übergänge (Anschlussstelle = Vergleichsstelle) zum Material C (z.B. Kupferleitungen) müssen
auf gleicher und bekannter Temperatur Θvgehalten werden.
Die folgenden Thermoelemente sind hinsichtlich der Thermospannung und deren Toleranzen
weltweit (IEC), europäisch (EN) und national (DIN) genormt.
Element
Typ
Fe-CuNi
(EisenKonstantan)
J
MaximalTemp. °C
750
Cu-CuNi
(KupferKonstantan)
T
350
NiCr-Ni
(NickelchromNickel)
K
NiCrSi-NiSi
(NicrosilNisil)
NiCr-CuNi
(NickelchromKonstantan)
definiert
bis °C
1200
Grenzabweichungen
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
-40...750°C: ±0,004 T
-40...750°C: ±0,0075 T
-
oder ± 1,5°C
oder ± 2,5°C
-
400
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
-40...350°C: ±0,004 T
-40...350°C: ±0,0075 T
-200...40°C: ±0,015 T
oder ± 0,5°C
oder ± 1,0°C
oder ± 1,0°C
1200
1370
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
-40...1000°C: ±0,004 T
-40...1200°C: ±0,0075 T
-200...40°C: ±0,015 T
oder ± 1,5°C
oder ± 2,5°C
oder ± 2,5°C
N
1200
1300
E
900
1000
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
Pt10Rh-Pt
(PlatinRhodiumPlatin)
S
1600
1540
Klasse 1
Pt13Rh-Pt
(PlatinRhodiumPlatin)
Pt30Rh-Pt6Rh
(PlatinRhodiumPlatinRhodium)
R
1600
1760
B
1700
1820
Tab.5.1.2:
wie bei Typ K
-40...800°C: ±0,004 T
-40...900°C: ±0,0075 T
-200...40°C: ±0,015 T
oder ± 1,5°C
oder ± 2,5°C
oder ± 2,5°C
0...1600°C: ±[1+(T-1100°C)0,003]
oder ± 1,0°C
Klasse 2 -40...1600°C: ±0,0025 T oder ± 1,5°C
Klasse 3
wie bei Typ S
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
600...1700°C:
600...1700°C:
-
±0,0025 T oder ± 1,5°C
±0,005 T oder ± 4,0°C
-
Thermoelemente mit Temperaturbereiche und Grenzabweichungen nach DIN IEC
584 bzw. DIN EN 60584
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Fe-CuNi
(EisenKonstantan)
Cu-CuNi
(KupferKonstantan)
Tab.5.1.3:
L
900
900
0...900°C:
±0,0075 T
± 3,0°C
U
600
600
0...600°C:
±0,0075 T
± 3,0°C
Thermoelemente mit Temperaturbereiche und Grenzabweichungen nach DIN 43710
(nicht mehr gültig)
In Tab.5.1.2 und Tab.5.1.3 sind Thermoelemente mit Messbereichen und Fehlerklassen angegeben.
Es gelten jeweils die größeren Toleranzwerte.
Die Thermoelemente Typ "L" und "U" sind in der alten Norm DIN 43710 angegeben und treten
g
e
ge
nübe
rde
nTy
pe
n„
J
“und„
T“na
c
hDI
N EN 60584i
nde
nHi
nt
e
r
g
r
und.Di
ej
e
we
i
l
i
g
e
n
Elemente sind aufgrund unterschiedlicher Legierungen nicht kompatibel.
Die Maximaltemperatur ist diejenige Temperatur, bis zu der eine Grenzabweichung festgelegt ist.
Mit "definiert bis" ist die Temperatur gemeint, bis zu der die Thermospannung genormt ist.
Die Empfindlichkeit von Thermoelementen ist i.Allg. geringer als die von Widerstandsthermometern. Beispielsweise beträgt die Empfindlichkeit eines Thermoelements vom Typ K etwa
40µV/K und damit nur 10% des Pt100-Wertes. Bei Thermoelementen, die für hohe Temperaturen
geeignet sind (z.B. Typ S oder B), ist die Empfindlichkeit noch wesentlich geringer.
Die Überbrückung größerer Entfernungen zwischen Messstelle und Messgerät wird mit sog.
Ausgleichsleitungen realisiert. Diese Leitungen bestehen aus denselben Materialien wie die
Schenkel des Thermoelements bzw. aus Materialien mit den gleichen thermoelektrischen
Eigenschaften, so dass die Temperatur der Anschlussstelle keinen Einfluss auf das Messergebnis
hat. Bekannt sein muss die Temperatur Θvder Vergleichsstelle, die sich üblicherweise direkt am
Messgerät befindet. Die Temperatur Θv wird häufig mit Widerstandsthermometern erfasst.
Abb.5.1.6: Thermoelement mit Ausgleichsleitungen
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Tab.5.1.4 zeigt die farbliche Kennzeichnung der Anschlussleitungen nach IEC 584.
Thermoelement
Max.-Temperatur
Fe-CuNi„
J
“
750°C
Cu-CuNi„
T“
350°C
NiCr-Ni„
K“
1200°C
NiCr-CuNi„
E“
900°C
NiCrSi-Ni
Si„
N“
1200°C
Pt10Rh-Pt„
S“
1600°C
Pt13Rh-Pt„
R“
1600°C
Pt30Rh-Pt
6Rh„
B“
1700°C
Definiert bis
1200°C
400°C
1370°C
1000°C
1300°C
1540°C
1760°C
1820°C
Plus-Schenkel Minus-Schenkel
Schwarz
Weiß
Braun
Weiß
Grün
Weiß
Violett
Weiß
Rosa
Weiß
Orange
Weiß
Orange
Weiß
Grau
Weiß
Tab.5.1.4: Farbliche Kennzeichnung der Anschlussleitungen von Thermoelementen
Aufbau von Thermoelementen
Es gibt folgende Arten:
Ungeschützt: Thermoelement ist ungeschützt, geringe thermische Trägheit, alle elektromagnetischen und umweltbedingten Störungen werden in das Messsystem eingeleitet.
Mantelthermoelement geschützt: aber unisoliert, entsprechend der Eigenschaften des Mantelmaterials guter Umweltschutz des Thermoelementes, thermisch träger als ungeschütztes
Thermoelement.
Mantelthermoelement geschützt und isoliert: zusätzlich gegen Potentialunterschiede zwischen
Messstelle und Messgerät geschützt.
Aufbau eines industriellen Thermoelementes / Einsatz typisch in der Verfahrenstechnik
Mantelrohrmaterialien: Metallisch bis 1150 °C und keramisch bis 1650 °C
Typische Einbaufehler
 Thermoelement taucht nicht ausreichend in das Messobjekt ein, es besteht keine innige
Kontaktierung
 Falsche Auswahl der Ausgleichsleitung
 Falscher Anschluss der Werkstoffpaarungen
 Zuleitung unterbrochen
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5.2
Kraftmessung
Zur Messung dieser physikalischen Größe sind Messungen mit Dehnungsmessstreifen (DMS) in
Messbrücken und mit piezoelektrischen Aufnehmern üblich.
5.2.1
Dehnungsmessstreifen (DMS)
Zunächst wird kurz auf die Wheatstonsche Messbrücke (Abb.5.2.1) eingegangen. Die Brücke soll
mit der Spannung UB gespeist werden. Dann bilden die Widerstände R1, R2 bzw. R3, R4 jeweils
nicht belastete Spannungsteiler.
Abb.5.2.1: Wheatstonsche Brücke
Für die Messspannung UM ergibt sich:
 R1
R3

U M U 1 U 3 U B 
R R R R
2
3
4
1




Sind die Widerstände gleich, so ist die Brücke abgeglichen und es gilt UM = 0V. Dies gilt auch für
den Fall R1/R2 = R3/R4.
Ändert sich der Widerstand R1 um R1, so ergibt sich eine Änderung der Messspannung nach:
 R1 R1
R3

U M U B 
R R R R R
1
2
3
4
1




Mit der Annahme R1/R2 = 1 und R3/R4 = 1 folgt:
 R1 R1
1

U M U B 
 
2 
U B
 R1 R1 2 
2 
R1 2 
R1 2 
R1 R1 





4
R1 2 
R1


Da i. Allg. 4 R1 >> 2 R1 gilt, ergibt sich:
R1 


U M U B 
4 

R
 1
In der DMS-Technik kann von gleichen Widerständen (120, 350,...,1000) ausgegangen
werden und die Widerstandsänderungen sind relativ klein. Der DMS wird durch seinen k-Faktor
beschrieben. Dieser setzt die relative Widerstandsänderung zur relativen Längenänderung des
DMS ins Verhältnis:
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R
k R
l
l
bzw.
R
l
k  k 

R
l
mit = Dehnung
Bei metallischen DMS ist der k-Faktor ca. 2 und aus den DMS-Datenblättern zu entnehmen.
Damit kann die Spannungsänderung der Brückendiagonalen nach
U
U M  B 
k

4
berechnet werden.
Beispiel:
An einem 70 cm langen Stab aus Gussstahl mit einem Querschnitt von 10 cm2 soll eine Kraft von
100 kN angreifen. Die zugehörige Normalspannung (mechanische Spannung) ist definiert als
das Verhältnis von Kraft zu Fläche.
F
10 5 N
N
  3 2 10 8 2
A 10 m
m
Nach dem Hookeschen Gesetz sind mechanische Spannung und Dehnung proportional über den
Faktor E verbunden. Dieser Faktor wird als Elastizitätsmodul bezeichnet.
Der Elastizitätsmodul für Gussstahl ist 2
1011 N/m2, so dass sich eine Dehnung ergibt von
8 N
 10
m
m 2 5 
 
10 4 500 
10 6 500
11
E 2
m
10 N 2
m
Wegen der angreifenden Kraft wird der Stahlstab um l länger
l 
l 5 
10 4 
70cm 0,35mm
Es ergibt sich mit k = 2 und UB = 5V für eine Viertelbrücke:
U
U M  B 
k
1,25mV
4
Beim praktischen Einsatz wird UM verstärkt. Bei einem Verstärkungsfaktor von 2000 ergibt sich
eine Verstärkerausgangsspannung von 2,5V. Beim Messsystem ist üblicherweise der
Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und erzeugter mechanischer Spannung anzugeben, damit die
Anzeige in den Kurvenfenstern in N erfolgen kann. In diesem Beispiel ist also
100kN/2,5V=40kN/V als Faktor der Messkette anzugeben. Der Messbereich beträgt bei einem 10VEingangsbereich des Messsystems 400 kN.
Alternativ ist die Brückenausgangsspannung je Volt Brückenversorgungsspannung anzugeben. In
diesem Fall ist die Brückenempfindlichkeit UM /UB = 1,25mV / 5V = 0,25 mV/V. Das bedeutet,
dass sich je Volt Versorgungsspannung bei 100 kN eine Brückenausgangsspannung von 0,25 mV
ergibt. Der Messeffekt kann weiter verstärkt werden, falls zusätzliche DMS (Halb- oder
Vollbrücke) für die Messung verwendet werden.
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Kalibrierung von DMS-Schaltungen
Die Messkette „
DMS –Brückenschaltung –Verstärker“wandelt die nichtelektrische Messgröße
Dehnung in eine elektrische Spannung um. Zwischen den beiden Größen besteht folgender
Zusammenhang:
Dehnung = Kalibrierfaktor gemessene elektrische Spannung
Die quantitative Zuordnung zwischen Ausgang und Eingang der Messkette wird somit durch den
Kalibrierfaktor hergestellt, der sich aus einem Kalibriervorgang ergibt:
Kalibrierfaktor = gemessene Ausgangsspannung / bekannte, vorgegebene Dehnung
In der DMS-Technik ist eine direkte Art der Kalibrierung nicht möglich, da sich eine Dehnung als
Referenzwert für die Bestimmung des Kalibrierfaktors nur sehr schwer erzeugen lässt. Stattdessen
finden andere Verfahren Anwendung:
 Kalibrieren mit einem vom Messverstärker gelieferten Signal
 Kalibrieren mit einem Kalibriergerät
 direkte Nebenschlusskalibrierung (Shunt-Kalibrierung)
Verstärkereigenes Kalibriersignal
Einige Messverstärker enthalten Einrichtungen, mit denen ein definiertes Signal in den Messkreis
eingespeist werden kann. Der Betrag des Kalibriersignals kann entweder im Dehnungsmaß µm/m
oder in Brückenverstimmung mV/V angegeben sein. Da die Einspeisung erst am Verstärkereingang
erfolgt, bezieht sich der gewonnene Kalibrierfaktor nicht auf die gesamte Messkette, sondern nur
auf den Verstärkerteil ohne DMS und Zuleitungen.
Kalibriergerät
Um bei der Kalibrierung den Einfluss der Zuleitungen von der Messstelle zur Brücke zu erfassen,
den die erste Kalibrierart unberücksichtigt lässt, kann man anstelle des DMS ein im Handel
erhältliches Kalibriergerät (z.B. von der Fa. HBM, Abb.5.2.2) in die Messkette einfügen. Derartige
Geräte simulieren Dehnungsänderungen durch Widerstandsänderungen. Sie sind auf StandardWiderstandswerte (z.B. 120) festgelegt und erlauben die Vorgabe einzelner Stufen durch
einfaches Umschalten. Eine Messreihe, bei der zu vorgewählten Widerstandsänderungen (also
Schalterstellungen) die zugehörigen Verstärkerausgangsspannungen registriert werden, liefert hier
die Basis zur Bestimmung des Kalibrierfaktors, beispielsweise mittels linearer Regression.
Dieser ist eventuell noch zu korrigieren, wenn nämlich der k-Faktor des DMS nicht mit dem des
Kalibriergerätes von k = 2,00 übereinstimmt. Nach der Kalibrierung wird das Gerät aus der
Messkette entfernt und der DMS angeschlossen.
Abb.5.2.2: Beispiel eines DMS-Kalibrators für 120und 350 DMS
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Nebenschlusskalibrierung
Auch diese Kalibrierung arbeitet mit Widerstandsänderungen zur Simulation von Dehnungen.
Sie erfolgt aber direkt am DMS durch Parallelschalten von bekannten Widerständen
entsprechend der Gleichung
R1 


U M U B 
4 

 R1 
Hierin stellt R1 die Widerstandsänderung dar, die sich durch Parallelschalten des ShuntWiderstandes Rs mit R1 ergibt. Es gilt
R 
R
R1  1 S R1
R1 RS
Damit wird die Dehnung

1 R 1  RS

   
1


k R
k R1 RS

Für R1 = 120, Rs = 220k, k = 2 ergibt sich eine Dehnung = -268,55 m/m.
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