Gleichspannungswandler - Lehrstuhl für Elektrische

Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik
Technische Universität München
Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel
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Elektrische Antriebe
Grundlagen und Anwendungen
Übung 4: Gleichspannungswandler
1
1
Theorie
Wie in den vergangenen Übungen nun erläutert wurde, dient für die Steuerung oder Regelung
einer Gleichstrommaschine im Ankerstellbetrieb die Ankerspannung Ua als Stellgröße. Dies erfordert also ein Element, das aus einer in der Regel konstanten Spannungsquelle Uq , wie z.B.
einem Akku oder einer gleichgerichteten Netzspannung, die beliebig veränderliche Gleichspannung Ua erzeugt. Beim Prinzip des Spannungsteilers in Abbildung 1.1 links kann die AusgangsRv
Uq
Ua
Ua
Uq
RL
RL
Abbildung 1.1: links: Variabler Spannungsteiler, rechts: Linearregler
spannung Ua durch das Verstellen des veränderlichen Widerstandes Rv beliebige Werte zwischen
0 und Uq annehmen.
RL
Uq
(1.1)
Rv + RL
Der Linearregler rechts regelt die Spannung selbstständig auf den von der Z-Diode vorgegebenen
Wert. Schaltungen dieser Art haben den wesentlichen Nachteil, dass bei unterschiedlichen Spannungen auf q- und a-Seite (in etwa) gleiche Ströme fließen. Die Leistungsdifferenz Uq iq − Ua iq
findet sich als Verlust im veränderlichen Widerstand bzw. im Transistor wieder. Will man auf
diese Weise eine Gleichstrommaschine regeln, muss man einen Wärmestrom in der Größenordnung ihrer Nennleistung abführen können und dabei Wirkungsgrade in Kauf nehmen, die in
bestimmten Betriebspunkten gegen Null gehen.
Ua =
Deshalb greift man zum Stellen der Spannung für Gleichstrommaschinen heute fast ausschließlich auf schaltende Regler zurück, die für fast jeden Betriebspunkt Wirkungsgrade oberhalb
η ≥ 80% haben. Die zwei grundlegenden Arten dieser Regler sollen in den folgenden Abschnitten erläutert werden.
1.1
Tiefsetzsteller
Die Aufgabe des Tiefsetzstellers ist es eine Spannung einzustellen, die kleinergleich der Quellspannung Uq ist. Der grundlegende Gedanke hinter seinem Prinzip ist, das ein Schalter S1 in
S1
Ua
Uq
RL
Abbildung 1.2: Herleitung Tiefsetzsteller für ohm’sche Last
sehr kurzen Intervallen abwechseln geschlossen und wieder geöffnet wird. Je kürzer die Einschaltzeit gegenüber der Ausschaltzeit ist, desto geringer ist der zeitliche Mittelwert der Spannung, die über RL abfällt und desto weniger Leistung wird folglich in ihm umgesetzt. Weil S1
2
entweder vollständig isolierend oder vollständig leitend ist, hat er keinen Zustand in dem eine
Spannung über ihm abfällt während dessen ein Strom durch ihn fließt. Deshalb stellt er den
mittleren Spannungswert Ūa idealisiert verlustfrei.
Ist RL beispielsweise durch den Draht einer Glühbirne realisiert, würde man ein ausreichend
schnelles An- und Abschalten nicht merken, weil das Glühen den ausgeschalteten Zustand überdauert. Dies lässt sich auf die meisten technischen Systeme übertragen, da die Auswirkungen
der Spannung meist träge eintreten.
Jedoch führt der gewöhnliche Fall einer Trägheit, die ohm’sch-induktive Last, in dieser Schaltung zu einem Problem: Wenn ein Strom durch die Last fließt, befindet sich Energie im Magnetfeld der Induktivität, welche fordert dass der Strom durch endliche Spannungen nur in endlich
kurzer Zeit wieder zu Null gebracht werden kann. Das Öffnen des idealen Schalters würde also
zu unendlichen Spannungen führen. In der Realität wird die in der Induktivität gespeicherte
Energie beim Abschalten in Wärmeenergie im Schalter gewandelt.
S1
D1 Ua
Uq
RL
LL
Abbildung 1.3: Herleitung Tiefsetzsteller für ohm’sch-induktive Last
Mit Freilaufdiode D1 in Abbildung 1.3 kann der Strom auch nach dem Abschalten weiter
fließen, dies aber nun mit Spannung Ua = 0. S1 schaltet damit nur die Spannung über der Last,
nichtmehr aber den Strom.
Bekommt die Last, wie in Abbildung 1.4 dargestellt, noch eine kapazitive Komponente CL ,
ergibt sich ein Problem beim Einschaltvorgang. Wenn sich die Spannung über dem Kondensator
idealisiert in unendlich kurzer Zeit von Ua zu Uq ändert, ergibt sich dort theoretisch ein unendlich
hoher Strom. In der Realität entsteht auch dabei Wärme im Schalter.
S1
L1
RL
Uq
D1
CL
Ua
LL
Abbildung 1.4: Herleitung Tiefsetzsteller für ohm’sch-induktiv-kapazitive Last
Durch die Spule L1 am Ausgang der Schaltung kann es nicht zu einem unendlichen Stromanstieg und damit in endlicher Zeit auch nicht zu einem unendlichen Strom kommen, wodurch
der Tiefsetzsteller aus Abbildung 1.4 für alle Arten einer Last, sei sie ohm’sch, induktiv oder
kapazitiv, verwendet werden kann.
Schaltzustände Um die Funktionsweise des Tiefsetzstellers zu verstehen soll nun analysiert
werden, welche Auswirkung die zwei abwechselnden Zustände von S1 auf die Signalverläufe in
der Schaltung haben. Dazu wird die Last, wie in Abbildung 1.5 dargestellt, vereinfachend als
rein ohm’sch angenommen. Die stromführenden Pfade sind für beide Zustände rot markiert.
3
S1
Uq
S1
L1
D1
Ua
L1
D1
Uq
RL
Ua
RL
Abbildung 1.5: links: S1 leitend, rechts: S1 isolierend
Weil die Quellspannung Uq im Leitenden Zustand in über der Diode in Sperrrichtung abfällt,
wirkt die Diode isolierend. Die Quellspannung führt deshalb dazu, dass der durch L1 träge
Strom anwächst. Wird der Schalter geöffnet, ist ein weiterer Stromfluss durch den linken Teil
nicht mehr möglich. Der zuvor in der Induktivität aufgebaute Strom fließt nun durch die Diode
weiter (über der in Durchlassrichtung idealisiert keine Spannung abfällt) und baut sich durch
den Lastwiderstand allmählich ab.
In beiden Zuständen durchfließt der Laststrom iL also die Reihenschaltung aus L1 und RL ,
über der immer die Spannung abfällt, die auch über der Diode anliegt.
(1.2)
UD = RL iL + L1 i̇L
Die Lösung der der Differentialgleichung ergibt, analog zur Herleitung in der letzten Übung, bei
einer lineare inhomogenen DGL 1. Ordnung einen Ausgleichsvorgang mit e−t -Charakteristik.
R
− LL t
iL (t) = i0 e
1
1
+
L1
Zt
RL
t
R
− LL t
UD e L1 dt e
1
(1.3)
0
Wenn der Schalter S1 geschlossen ist, gleicht die Diodenspannung UD der Quellspannung Uq ;
wenn S1 offen ist, ist UD = 0.
(
UD = Uq , S1 = 1
UD =
(1.4)
UD = 0
, S1 = 0
Wie nun schon angerissen, sind zeitlichen Intervalle, in denen der Schalter abwechselnd geschlossen (on) bzw. geöffnet (off) ist, sehr kurz. Die Summe beider ist die Periodendauer Tp .
Innerhalb dieser kurzen Zeiten ist die Diodenspannung allerdings konstant, wodurch sich die
Lösung (1.3) vereinfacht.
R
− LL t
iL (t) =i0 e
1
1
+ UD
L1
Zt
RL
t
R
− LL t
e L1 dt e
1
(1.5)
0
t
R
1
L1 RLL t
− Lt
=i0 e 1 + UD
e L1
e 1
L1
RL
0
RL RL
U
D
t
t
−
−
1 − e L1
=i0 e L1 +
RL
R
UD
− Lt
=i0 +
− i0
1 − e L1
RL
R
− LL t
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Innerhalb der sehr kurzen Intervalle ton bzw. tof f ergibt sich deshalb, beginnend vom Anfangswert i0 des jeweiligen Intervalls, ein e-förmiger Übergang mit der Zeitkonstante RLL1 , der
für t → ∞ gegen seinen Endwert URDL konvergiert. Weil aber RLL1 >> Tp ist, erscheinen die
Stromverläufe innerhalb der kurzen Intervalle nahezu linear.
4
Tt
S1
1
0
ton
t
tof f
U
UD
UL
UR
Uq
0
t
iL = iR
iq/D
t
iq
iD
t
Abbildung 1.6: Signalverläufe Tiefsetzsteller
In Abbildung 1.6 sind die Signalverläufe in einem Tiefsetzsteller dargestellt. UR ist der Zustandsgröße iL proportional und kann sich damit niemals sprunghaft ändern. Wenn sich also
die Diodenspannung UD beim Schalten sprunghaft ändert, dann macht sich dies zunächst nur
über der Induktivität bemerkbar. Dort nimmt die Spannung sprunghaft entsprechend positive
oder negative Werte an die zu einem allmählichen Ansteigen oder Abfallen des Stromes führen.
Abbildung 1.6 beschreibt bereits den stationären Zustand, der dadurch gekennzeichnet ist, dass
der Strom innerhalb der Phase ton genau so weit ansteigt, wie er während tof f wieder abfällt
und damit in jeder Periode die gleichen Signalverläufe entstehen. Dazu ist es notwendig, dass
das Integral der Spannung der Induktivität UL über eine Periode Tp Null ergibt (die Flächen
unter der Kurve UL müssen oberhalb und unterhalb der t-Achse gleich groß sein). Hierfür
wird vereinfachend angenommen, dass die Ausgangsspannung Ua = Ra ia für sehr kurze Zeiten
Tp << RLL1 konstant ist.
0=
ZTp
(1.9)
UL dt
0
ZTp
Zton
0 = Uq − Ua dt + −Ua dt
(1.10)
ton
0
0 = (Uq − Ua ) ton − Ua tof f
Ua
ton
ton
=
=
=p
Uq
ton + tof f
Tp
(1.11)
(1.12)
Das sog. Tastverhältnis p verkörpert beim Tiefsetzsteller also den Proportionalitätsfaktor mit
dem die Quellspannung Uq in die Ausgangsspannung Ua überführt wird.
Zur Veränderung des Tastverhältnisses gibt es mehrere Ansätze.
5
• Bei der Pulsebreitenmodulation oder PWM wird das Tastverhältnis verändert indem man
bei konstanter PWM-Frequenz fP W M = T1p = const. die Einschaltdauer ton variiert.
• Bei der Pulsfrequenzmodulation oder PFM wird bei konstanter Pulsbreite ton die Periodendauer Tp variiert.
Umsetzung Statt dem Schalter S1 kommt in der Umsetzung ein schaltender Transistor (z.B.
ein FET oder IGBT) oder ein abschaltbarer Thyristor zum Einsatz, der wie in Abbildung 1.7
angedeutet mit einem PWM- oder PFM-Signal angesteuert wird, wodurch er in sehr kurzen Abständen zwischen dem leitenden und isolierenden Zustand wechselt. Zur zusätzlichen Glättung
der Ausgangsspannung wird in der Regel ein Glättungskondensator C1 zum Ausgang parallel
geschaltet.
S1
L1
C1 Ua
D1
Uq
ZL
Abbildung 1.7: Tiefsetzsteller
1.2
Hochsetzsteller
Der Hochsetzsteller ist aus den gleichen Elementen aufgebaut wie der Tiefsetzsteller, jedoch
ist die Anordnung zweckbedingt anders. Auch hier wird im eingeschalteten Zustand elektrische
Energie in magnetische Energie in einer Induktivität überführt um sie im ausgeschalteten Zustand auf anderem Potenzial wieder zu entnehmen. In Abbildung 1.8 ist die Umsetzung eines
D1
L1
C1 Ua
S1
Uq
ZL
Abbildung 1.8: Hochsetzsteller
Hochsetzstellers dargestellt; mit Feldeffekttransistor S1 als schaltendes Element und allgemeiner
Impedanz ZL als Last.
Die Funktionsweise des Hochsetzstellers soll nun in drei Schritten beschrieben werden.
Schritt 1 - Erstes Schließen des Schalters Während einer ersten Phase ton schließt der
Schalter S1 die Induktivität über der Spannungsquelle Uq kurz, wodurch sich in der Induktivität
ein linear steigender Strom aufbaut.
1
i(ton ) =
L1
Zton
Uq
Uq dt + i0 =
ton + i0
L1
0
6
(1.13)
Weil über dem Schalter S1 keine Spannung abfällt kann auch keine Spannung in Durchlassrichtung der Diode abfallen. Deshalb fließt im ersten Schritt nur in den in Abbildung 1.9 rot
markierten
Pfaden links von der Diode ein Strom.
PSfrag
D1
L1
S1
Uq
C1 Ua
ZL
Abbildung 1.9: Schaltzustand 1
Schritt 2 - Öffnen des Schalters Der nun nach der ersten Phase in der Induktivität vorhandene Strom kann nicht sprunghaft, sondern nur allmählich geändert werden. Wird also der
Schalter S1 während tof f geöffnet, erzwingt die aufgebaute magnetische Energie einen weiteren
Stromfluss, der nun aber durch die Diode D1 auf ein beliebiges Potenzial fließt. Je höher das
Potenzial, desto schneller vollzieht sich der Stromabbau.
D1
L1
Uq
S1
C1 Ua
ZL
Abbildung 1.10: Schaltzustand 2
Wie in Abbildung 1.10 dargestellt fließt der Strom in dieser Phase auf das Potenzial der Ausgangsspannung und teilt sich dort auf in den Laststrom und einen Strom iC , der die Kapazität
belädt. Durch die Ladung der Kapazität ergibt sich eine Ausgangsspannung.
1
Ua =
C1
ZTp
(iq − ia ) dt
(1.14)
ton
Erst wenn die Ausgangsspannung größer ist als die Quellspannung fällt über der Induktivität
eine negative Spannung ab und der Strom wird verzögert. Damit wird sich bei dieser Schaltung
auf der Ausgangsseite immer eine Spannung einstellen, die größer ist als die Quellspannung.
Schritt 3 - Erneutes Schließen des Schalters Wird nun der Schalter S1 wieder geschlossen, bricht die Spannung über ihm zusammen. Die nun vom Kondensator eingeprägte Spannung (die größer ist als die Quellspannung) fällt über der Diode in Sperrrichtung ab, weshalb
sich der Kondensator in diese Richtung nicht entladen kann. Während sich in der Induktivität
der Strom also erneut aufbaut, versorgt der Kondensator die Last weiterhin mit Strom und sorgt
damit dafür, dass die Ausgangsspannung innerhalb ton nicht zusammenbricht. Damit ergeben
sich wie in Abbildung 1.11 dargestellt in dieser Phase zwei unabhängige Stromkreise.
7
D1
L1
Uq
S1
C1 Ua
ZL
Abbildung 1.11: Schaltzustand 3
Signalverläufe Werden die Schritte 2 und 3 abwechselnd mit immer gleichen Zeiten ton und
tof f durchlaufen stellt sich auch hier ein stationärer Zustand ein, in dem sich die Signalverläufe, wie in Abbildung 1.12 qualitativ dargestellt, wiederholen. Dafür wurde zur Vereinfachung
angenommen, dass die Last ZL rein ohm’sch ist. Es ist zu erkennen, dass beim Einschalten
Tt
S1
1
0
ton
U
t
tof f
UR/C
Uq
US
0
t
UL
i
0
iL
iR
t
iC
Abbildung 1.12: Signalverläufe Hochsetzsteller
des Schalters S1 über der Induktivität die Quellspannung Uq konstant anliegt, weshalb sich der
Strom iL in dieser Zeit (ton ) linear erhöht. Dabei ergibt sich eine Spannungs-Zeit-Fläche, die
im stationären Zustand der zugehörigen Fläche in der Phase tof f gleicht. Die beiden Flächen
sind in Abbildung 1.12 blau markiert. Die Spannung über dem Widerstand und der Kapazität
UR/C ergibt sich als Summe aus Uq und UL und liegt damit, gemäß dem Namen der Schaltung oberhalb von Uq . Ihr Form gleicht während tof f der von UL . Am Ende der Phase tof f
erreicht UR/C seinen Maximalwert von dem aus beginnen in der folgenden Phase ton dann der
e−t -förmige Abklingvorgang startet. Dieser ist das Resultat der Entladung des Kondensators
über die ohm’sche Last ZL . Für den stationären Zustand ist die Steigung hierbei genau so stark,
dass nach ton genau wieder der Startwert der letzten Phase tof f erreicht wird, womit nun wieder
eine identische Phase beginnen kann. Der stationäre Zustand erfordert zudem auch, dass die
Flächen unter der Stromkurve der Kapazität iC in Summe 0 ergeben, denn sonst würde der
8
Kondensator über mehrere Perioden weiter beladen werden und damit die Ausgangsspannung
allmählich steigen.
Neben den bekannten e−t -förmigen Verläufen sind nun auch davon abweichende Trajektorien
zu erkennen. Diese entstehen immer aus Signalverläufen der Phase tof f . Weil in dieser Phase
der linke mit dem rechten Teil der Schaltung gekoppelt ist, sind die Induktivität, die Kapazität
und der Widerstand miteinander verschalten. Daraus ergibt sich eine Eigendynamik zweiter
Ordnung, die bei üblicher Schaltungsdimensionierung aperiodisch aber nicht e−t -förmig verläuft.
Am Beispiel von UR/C zeigt sich, dass eine solche Kurve bedingt durch die Anfangswerte ihrer
Zustände zunächst von ihrem Endwert (hier Uq ) weglaufen kann um später doch aperiodisch
zu konvergieren.
Tastverhältnis Wie schon für den Tiefsetzsteller erarbeitet, kann auch hier aus dem Tastverhältnis p das Verhältnis zwischen Quell- und Ausgangsspannung beschrieben werden. Dazu
wird wieder von einer näherungsweise konstanten Ausgangsspannung Ua ausgegangen und für
den stationären Zustand gefordert, dass das Integral der Spannung UL über eine Periode Tp
gleich Null ergibt.
0=
ZTp
(1.15)
UL dt
0
ZTp
Zton
0 = Uq dt + Uq − Ua dt
(1.16)
ton
0
0 = Uq ton + (Uq − Ua ) tof f
Ua
ton + tof f
1
=
=
Uq
tof f
1−p
(1.17)
(1.18)
Folglich ist die minimale Ausgangsspannung unter p = 0 die Quellspannung Ua = Uq und für
ein großes Tastverhältnis p → 1, d.h. bei sehr langen Kurzschlußphasen, geht die Ausgangsspannung gegen Ua → ∞.
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