Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teil 1
Einführung in die Grundbegriffe
Sekundarstufe 1
Datei Nr. 31101
Stand 29. März 2010
Friedrich W. Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Inhalt
§ 1 Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
1.1
1
Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse
1
Elementarereignis, sicheres und unmögliches Ereignis
3
Wie viele Ereignisse kann es geben?
7
1.2
Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit
9
1.3
Laplace-Experimente 2. Art
1.4
Experimente, bei denen die Elementarereignisse experimentell
bestimmt werden.
Fortsetzung in der Datei 31102
20
22
31101 Stochastik Einführung
Teil 1
1
§ 1 Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
1.1 Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse
Will man Vorhersagen über das Eintreten bestimmter Ereignisse (z. B. beim Würfeln) machen, dann
muss auch sicher stehen, dass das Ergebnis nur durch den Zufall beeinflusst wird. Manipulationen
(wie gezinkte Würfel) müssen ausgeschlossen sein. Thema dieses Heftes wird es sein, Vorhersagen
über das Eintreten bestimmter Ergebnisse zu machen, die bei einem nur durch den Zufall gesteuerten
Experiment, also einem Zufallsexperiment, eintreten können.
Wir müssen die Fachsprache dazu beherrschen. Dies sind die wichtigsten Fachbegriffe:
Zufallsexperimente sind beispielsweise
a)
b)
1.
Würfeln,
2.
das Werfen einer Münze,
3.
das Drehen eines Glücksrades,
4.
das Ziehen einer Spielkarte,
5.
das Entnehmen einer Kugel aus einem Topf.
Führt man die in a) genannten Experimente mehrfach nacheinander aus, dann
spricht man von mehrstufigen Zufallsexperimenten. Dabei muss man bisweilen
auf folgendes achten:
1.
Man kann einen Würfel dreimal nacheinander werfen oder aber mit drei Würfeln
zugleich werfen.
2.
Man kann eine gezogene Spielkarte vor dem nächsten Zug wieder zurücklegen,
so dass sie beim nächsten Zug wieder zur Verfügung steht.
3.
c)
Analoges gilt für das Entnehmen einer Lottokugel aus einem Lostopf.
Als Zufallsexperimente gelten auch Spiele, wenn man voraussetzt, dass der nächste
Spielzug wirklich vom Zufall bestimmt ist und nicht wie beim Schach durch Überlegung
geplant wird.
Beim Ziehen einer Kugel aus einem Topf (man nennt sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft Urne) oder einer Spielkarte usw. muss „blind“ gezogen werden, d.h. man
darf weder durch Sehen noch durch Tasten erkennen, welches Objekt man zieht, sonst
liegt kein Zufallsexperiment mehr vor.
Umfragen (unter Personen) und Auswählen von Personen aus einer Gruppe usw. sind
nur dann Zufallsexperimente, wenn diese auch wieder „blind“ geschehen.
Es gibt unzählige Arten von Zufallsexperimenten, die man sie nicht alle aufzählen kann.
Diese Liste umfasst nur häufig vorkommende Zufallsexperimente. Im Laufe des Unterrichts
werden weitere als Beispiele gestreift.
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Teil 1
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An einem Zufallsexperiment interessiert uns stets ein Merkmal.
Beim Würfeln sind es die oben gezeigten Zahlen (auch „Augen“ genannt),
beim Ziehen einer Spielkarte kann es der Spielkartenwert sein oder die Farbe der Karte,
beim Auswählen von Personen kann man gar viele Dinge erfragen usw.
Jedes Merkmal kann in verschiedenen Ausprägungen auftreten. Die Menge aller möglichen
Ausprägungen bilden die Ergebnismenge oder den Ergebnisraum. Man bezeichnet diesen sehr
oft mit S und bezeichnet diese Menge S auch als Grundmenge der Ergebnisse. Man liest dafür
auch das Wort Stichprobenraum.
a)
Das Zufallsexperiment „Würfeln“ hat bei einem normalen Würfel die Ergebnismenge
S = {1;2;3;4;5,6} . In dieser Schreibweise liegt bewusst ein Fehler: Man trennt die
einzelnen Ergebnisse durch Semikola. Zwischen 5 und 6 steht aber hier ein Komma.
Schüler sind da oft weniger genau und akzeptieren dieses Komma auch als
Trennungszeichen zwischen den Ergebnissen. Bei „Zahl“ besteht jedoch die
Verwechslungsgefahr mit Dezimalzahlen. Hier ist es zwar klar, dass es beim Würfeln
nicht das Ergebnis 5,6 geben kann, weil die Dezimalzahl „Fünf-Komma-Sechs“ auf
keinem Würfel aufgedruckt steht. Also denken wir uns einen Würfel so beschriftet
wie dieses Netz es zeigt, dann hat das
5,6
Experiment „einmal würfeln“ die Ergebnismenge
S = {1; 34 ; −2; −3,5;5,6}
Die auf zwei Feldern stehende 1
1
3
4
−3,5
1
wird nur einmal in S aufgezählt (es sei
denn, man hätte eine rote 1 und eine
blaue 1 aufgedruckt, dann wären dies
−2
unterscheidbare Ergebnisse.
Und das Ergebnis 5,6 ist jetzt eine einzige Zahl und auch wegen der Unterscheidung
zwischen Kommata und Semikolon klar als solche erkennbar.
Übrigens eignen sich solche selbst erstellten Würfel gut zum Rechentraining mit
rationalen Zahlen. Das Zufallsexperiment „Summe der Augenzahlen bei zweimaligem
Würfeln“ wiederholt dann etwas die Rechenfähigkeiten. Hier sind der Fantasie „böser“
Lehrer keine Grenzen gesetzt.
b)
Die Ergebnismenge beim Werfen einer Münze kann so aussehen: S = {B ; Z}
(Bild
oder Zahl), oder S = {W ; Z} (Wappen oder Zahl).
c)
Das Drehen des abgebildeten Glücksrades
führt zur Ergebnismenge S = {1; 2 ; 3} .
usw.
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1
3
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Teil 1
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Man muss auch zwischen Ergebnis und Ereignis unterscheiden:
a)
Beim Würfeln kann ein Spiel so aussehen: Wer eine gerade Zahl wirft, bekommt 10 Punkte
oder darf um 10 vorrücken usw. Hier wird man also belohnt, wenn das Ereignis „gerade Zahl“
eintritt. Dieses besteht aus den Ergebnissen 2, 4 oder 6. Daher sind Ereignisse mathematisch
gesehen auch wieder Mengen. Man schreibt das Ereignis A: „Es wird eine gerade Zahl
gewürfelt“ auch als A = {2 ; 4 ; 6} und identifiziert sozusagen Ereignisse mit Mengen.
Hier weitere Beispiele zu Ereignissen, die beim Würfeln vorkommen können:
B:
„Es wir eine Zahl gewürfelt, die größer als 3 ist“:
B = {4 ;5 ; 6}
C:
„Es wird die Zahl 5 oder 6 gewürfelt“:
C = {5 ; 6}
D:
„Es wird nicht die 2 gewürfelt“:
D = {1; 3 ; 4 ;5 ; 6}
E:
„Man würfelt weder die 1 noch die 3 noch die 5“:
E = {2 ;4 ; 6} .
Hier muss man erkennen, dass die Ereignisse A und E gleich sind! Wir halten fest: Ereignisse
können durch ganz verschiedene Texte oder Eigenschaften beschrieben werden. Wenn ihre
Ergebnismengen übereinstimmen, sind sie mathematisch gesehen dasselbe Ereignis!
F:
„Die gewürfelte Zahl ist 2“:
F = {2}
G:
„Es wird die 5 gewürfelt“:
G = {5}
Ereignisse, die nur ein Ergebnis besitzen, nennt man Elementarereignisse.
Es gibt bei diesem Zufallsexperiment „Würfeln“ genau 6 Elementarereignisse.
H:
„Es wird die Zahl 7 gewürfelt“:
H={
}
Weil dies bei einem üblichen Würfel dies nicht möglich ist, besitzt H kein Ergebnis.
Man schreibt dann die leere Menge als Ereignismenge auf. Ereignisse, zu denen es kein
Ergebnis gibt, nennt man das unmögliche Ereignis. Es gibt übrigens nur ein unmögliches
Ereignis: H’: „Es wird die Zahl 8 gewürfelt“ ist nämlich dieselbe leere Menge.
I:
„Es wird eine Zahl kleiner als 9 gewürfelt“.
Dies ist das sichere Ereignis, denn es tritt bei jedem Wurf ein. Seine Ergebnismenge
ist die Grundmenge I = S = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
Es gibt sehr viel mehr Ereignisse, aber doch nicht beliebig viele. Man kann im Unterricht
die Kinder einmal alle denkbaren Ergebnismengen, also Ereignisse aufschreiben lassen.
Dabei muss man beachten, dass die Reihenfolge der Ergebnisse in einer Menge unwichtig ist.
Also stellen
{2 ; 3 ; 5} = {2 ; 5 ; 3} = {3 ; 2 ; 5} = {3 ; 5 ; 2} = {5 ; 2 ; 3} = {5 ; 3 ; 2}
dieselbe Menge dar, die man übrigens verbal so beschreiben kann: „Es wird eine Primzahl
gewürfelt“. (Eine Primzahl besitzt genau 2 Teiler, die 1 und sich selbst. Daher ist 1 keine
Primzahl). Wir werden später zeigen, dass es beim Würfeln 64 mögliche Ereignisse gibt.
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b)
Teil 1
4
Das Zufallsexperiment „Werfen einer Münze“ besitzt die Ergebnismenge S = {W ; Z} .
Wir wollen jetzt einmal alle möglichen Ereignisse finden, die es dazu gibt.
Dazu müssen wir uns gemerkt haben:
Jedes Ereignis ist eine Menge, deren Elemente aus der Ergebnismenge S stammen,
die also Element von S sind. Man sagt daher:
Jede Teilmenge der Menge S ist ein Ereignis.
Auf der Suche nach allen möglichen Ereignissen, die beim Werfen einer Münze eintreten
können, müssen wir also sämtliche Teilmengen von S bestimmen.
1. Schritt:
Es gibt 2 Teilmengen mit nur einem Element (Elementarereignisse):
A = {W } und B = {Z} .
2. Schritt:
Das Ereignis C = {
}
besitzt kein Element aus S. Eine Beispiel für eine
verbale Beschreibung ist „Man wirft die Zahl 7“. Da es (zumindest in Deutschland)
keine Münze mit dem Wert 7 € gibt, liegt hier das unmögliche Ereignis vor.
3. Schritt:
Das Ereignis „Man wirft Zahl oder Wappen“ wird durch die Grundmenge
dargestellt. Diese gilt auch als Teilmenge, sozusagen von sich selbst.
Es hat sich bewährt, dass man jede Menge auch als Teilmenge von sich selbst
bezeichnet, oft sagt man dann auch „unechte Teilmenge“ dazu.
Ergebnis:
Die Grundmenge S = {W ; Z} besitzt 4 Teilmengen:
2 mit je einem Element, dazu die leere Menge und die Grundmenge selbst.
Das gilt natürlich auch für jedes andere Zufallsexperiment, dessen Grundmenge nur aus zwei
Elementen besteht. Denken wir uns einen Stapel mit 10 Karten, von denen 3 rot und 7 schwarz
sind, dann gehört zum Zufallsexperiment „Ziehen einer Karte“ die Grundmenge S = {r ; s} .
Und genau wie oben gibt es dazu 4 Teilmengen, also kann man genau vier mögliche Ereignisse
erwarten. Und immer gehören das unmögliche Ereignis
c)
{}
und das sichere Ereignis S dazu.
Das Drehen des abgebildeten Glücksrades
führt zur Ergebnismenge S = {1; 2 ; 3} .
Aufgabe:
2
1
3
Schreibe alle 8 Teilmengen auf, die es zu dieser Grundmenge gibt.
Versuche auch, zu jeder dieser Mengen (= zu jedem Ereignis) eine verbale Beschreibung zu
finden. Denke daran, dass man jedes Ereignis auf beliebig viele Arten beschreiben kann. Hier
sind also der Fantasie wenig Grenzen gesetzt.
Die Antwort steht auf der nächsten Seite.
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Teil 1
5
Lösung
1. Schritt:
Wenn das Rad an einer Zahl stehen bleibt, dann ist ein Elementarereignis eingetreten.
Davon gibt es diese drei:
2. Schritt:
3. Schritt:
A: „Es erscheint die Zahl 1“:
A = {1} ,
B: „Es erscheint eine Gerade Zahl“:
B = {2} ,
C: „Man erhält weder 1 noch 2“:
C = {3} .
Es gibt Ereignisse (= Teilmengen), die genau zwei Ergebnisse besitzen:
D: „Es erscheint eine Zahl, die kleiner als 3 ist.“
D = {1; 2} ,
E: „Es erscheint eine Zahl größer als 1“:
E = {2 ; 3} .
F: „Wir erhalten eine ungerade Zahl“:
F = {1; 3} .
Das unmögliche Ereignis:
U={
}.
Man könnte es z. B. so beschreiben: „Man erhält die Zahl 5“.
4, Schritt:
Das sichere Ereignis:
S = {1; 2 ; 3}
Eine mögliche Beschreibung ist etwa: „Man erhält eine Zahl kleiner als 4“.
Aufgabe:
Wir untersuchen weitere Ereignisse zu diesem Experiment. Da es keine anderen als die oben
genannten acht gibt, kann man sie diesen zuordnen: A, B, C, D, E, F, U oder S. Führe das aus:
E1:
Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist.
E2:
Man erhält eine Zahl, die kleiner als 10 ist.
E3:
Man erhält eine Primzahl.
E4:
Man erhält eine Zahl, die ungleich 1 ist.
E5:
Man erhält keine Primzahl.
E6:
Man erhält die Lösung der Gleichung 2 ⋅ x + 3 = 13 .
E7:
Man erhält eine gerade Zahl.
E8:
Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat:
„Addiert man zu ihrem Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert“.
E9:
Man erhält eine Zahl, die blau ist.
E10:
Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist.
Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite:
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6
Lösung
E1 = D = {1; 2}
Man erhält eine Zahl, die Teiler von 8 ist.
E2 = S = {1; 2 ; 3} Man erhält eine Zahl, die kleiner als 10 ist.
E3 = E = {2 ; 3}
Man erhält eine Primzahl.
E4 = E = {2 ; 3}
Man erhält eine Zahl, die ungleich 1 ist.
E5 = A = {1}
Man erhält keine Primzahl.
E6 = U = {
Man erhält die Lösung der Gleichung 2 ⋅ x + 3 = 13 .
}
Die Lösung ist 5, und die gehört nicht zur Grundmenge S.
E7 = B = {2}
Man erhält eine gerade Zahl.
E8 = E = {2 ; 3}
Man erhält eine Zahl, die folgende Eigenschaft hat: „Addiert man zu ihrem
Quadrat die 6, dann erhält man ihren fünffachen Wert“.
Am schnellsten geht es, wenn man die Probe für alle drei Zahlen der
Grundmenge durchführt:
E9 = B = {2}
x = 1:
12 + 6 = 7 und 5 ⋅ 1 = 5
x = 2:
2 + 6 = 10 und 2 ⋅ 5 = 10 stimmt!
x = 3:
32 + 6 = 15 und 3 ⋅ 5 = 15 stimmt.
stimmt nicht.
2
Man erhält eine Zahl, die blau ist.
Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E9 = U = {
E10 = F = {1; 3}
}.
Man erhält eine Zahl, deren Farbe rot oder schwarz ist.
Hat man eine Schwarz-weiß-Kopie der Aufgabe, dann ist E9 = S = {1; 2 ; 3} ,
denn sind alle Zahlen schwarz.
d)
Das Drehen des abgebildeten Glücksrades
führt zur Ergebnismenge S = {1; 2 ; 3 ; 4} .
Die Aufzählung aller Teilmengen gestaltet sich hier etwas
1 2
4 3
aufwendiger.
Wie immer gehören die leere Menge
{}
für das unmögliche Ereignis und die Grundmenge
S = {1; 2 ; 3 ; 4} für das sichere Ereignis dazu. Dann die vier Elementarereignisse (die je nur 1
Ergebnis zulassen):
{1} ; {2} ; {3} ; {4} .
Nun folgen die Teilmengen, die genau 2 Ergebnisse (Elemente von S) enthalten und schließlich
diejenigen mit 3 Ergebnissen.
Schreibe sie bitte selbst auf!
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Teil 1
7
{1; 2} , {1; 3} , {1 ; 4} ,
{2 ; 3} , {2; 4}
{3; 4}
Teilmengen mit 2 Elementen:
(Erklärung: In der 1. Reihe stehen die drei Teilmengen, die mit 1 beginnen,
darunter diejenigen, die mit 2 beginnen, und schließlich gibt es noch ein Paar, das mit 3
{2 ; 1} , {3 ; 1} , {3 ; 2} ,{4 ;1} , {4 ; 2} und {4 ; 3} sind identisch
mit {1; 2} , {1; 3} , {2 ; 3} , {1; 4} , {2 ; 4} und {3 ; 4} , weil die Reihenfolge der Aufzählung
beginnt. Die Paare
in einer Menge keine Rolle spielt!
{1; 2 ; 3} ; {1; 2 ; 4} ; {1; 3 ; 4} ; {2 ; 3 ; 4}
Teilmengen mit 3 Elementen:
Diese sind wieder leichter zu finden: Wenn drei von vier Elemente vorhanden sein sollen,
dann fehlt immer eines, also zuerst die 4, dann die 3, dann 2 und am Ende die Zahl 1.
Wir addieren zusammen:
Leere Menge, Grundmenge, 4 Elementarereignisse, 6 Ereignisse
mit 2 Ergebnissen und 4 mit 3 Ergebnissen.
Das sind zusammen 16 mögliche Ereignisse.
Hier eine Zusammenstellung der bisherigen Ergebnisse:
Anzahl der Elemente
S = (Beispiel)
Anzahl der Teilmengen (Ereignisse)
2
{W; Z}
4
3
{1;2;3}
8
4
{1;2;3,4}
16
Man kann folgendes feststellen:
Mit zunehmender Anzahl von Ergebnissen (d. h. Elementen in S)
verdoppelt sich die Zahl der Ereignisse.
Wenn man aus einem Stapel mit 5 Spielkarten {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5} eine Karte zieht,
Vermutung:
dann gibt es 32 mögliche Ereignisse.
Dies bedeutet verallgemeinert:
Hat ein Zufallsexperiment insgesamt n Elementarereignisse,
dann gibt es dazu z = 2n Ereignisse.
In einer Tabelle sieht das so aus:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
2
4
8
16
32
64
128
256
516
1024
2048
4096
AUFGABE:
Notiere alle 32 Teilmengen von S = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5} .
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Teil 1
8
Lösung
Unmögliches Ereignis:
{ }
Elementarereignisse:
{1} , {2} , {3} , {4}
Ereignisse mit 2 Elementen:
{1; 2} , {1 ; 3} , {1; 4} , {1; 5} ,
{2 ; 3} , {2 ; 4} , {2 ; 5} ,
{3 ; 4} , {3 ; 5} und
{4 ; 5}
Ereignisse mit 3 Elementen:
{1; 2 ; 3} , {1 ; 2 ; 4} , {1; 2 ; 5} ,
{1; 3 ; 4} , {1; 3 ; 5} ,
{1; 4 ; 5} ,
{2 ; 3 ; 4} , {2 ; 3 ; 5} ,
{2 ; 4 ; 5}
{3 ; 4 ; 5}
Ereignisse mit 4 Elementen:
{1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } ; {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ; {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ;
{1; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ; { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
und
{5}
mit 1 und 2
mit 1 und 3
mit 1 und 4
mit 2 und 3
mit 2 und 4
mit 2 und 4
Hier fehlt jeweils eines der 5 Elemente.
S = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} .
Das sichere Ereignis:
Das sind zusammen 32 Ereignisse (Teilmengen von S).
Ergänzung:
Für Interessierte sei verraten, wieso sich die Anzahl der Teilmengen verdoppelt, wenn man ein
Element mehr dazu nimmt:
Man nehme das Beispiel (d) her, dort hat S = {1 ; 2 ; 3 ; 4} schon 16 Ereignisse.
Diese sind alle ohne die Zahl 5.
Nehmen wir überall noch die 5 dazu, kommen nochmals 16 Teilmengen dazu, und man hat
genau die 32 Mengen von oben!
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Teil 1
9
1.2 Laplace-Experimente und ihre Wahrscheinlichkeit
1.
Lesetext zur Einführung
Unser Ziel ist es, die Chancen für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung
eines Zufallsexperiments zahlenmäßig zu erfassen. Dies ist quasi ein Blick in die Zukunft: Was
können wir erwarten?
Wie man den Blick in die Vergangenheit schafft, das wurde in 14101 besprochen. Wenn man das in
Frage kommende Experiment ganz oft durchführt, kann man die Ergebnisse statistisch erfassen und
auswerten. Die Auswertung kann ganz einfach dadurch geschehen, dass man die relative Häufigkeit
der einzelnen Ergebnisse oder Ereignisse berechnet. Wenn man hier möglichst aussagekräftige
Werte bekommen will, muss man das Experiment möglichst oft durchführen.
Beispiel 1: Man wirft eine Münze mit den Oberflächen Wappen und Zahl. Das Zufallsexperiment
„Werfen einer Münze“ hat somit die Ergebnismenge S = {W ; Z} . Wenn man nur 10-mal wirft,
kann es sein, dass man 3-mal Wappen und 7-mal Zahl bekommt oder 6-mal Wappen und 4-mal Zahl.
Wenn die Münze gleichmäßig gearbeitet (man sagt „ideal“) ist, dann wird aber folgendes eintreten: Je
öfter man wirft, desto mehr nähern sich die relativen Häufigkeiten beider Ergebnisse dem Wert 0,5.
Das passt zur Vorstellung der gleichen Chancen beider Seiten. Es wird aber sicher bei 100 000
Würfen nur sehr selten auf genau 50 000-mal W und 50 000-mal Z hinauslaufen, aber wir können
dann vielleicht so um 49 000-mal W und 51 000-mal Z bekommen, was den relativen Häufigkeiten
hWappen =
49 000
100 000
= 0,49 bzw. hZahl = 0,51 entspricht. Die Mathematiker formulieren es so: Mit
zunehmendem Umfang der Stichprobe bzw. mit zunehmender Anzahl der Würfe stabilisieren sich die
relativen Häufigkeiten. Wenn beide Seiten der Münze die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben, dann
ist dies die „ideale“ relative Häufigkeit genau 0,5, und dies nennt man dann die Wahrscheinlichkeit
dieser beiden Ergebnisse.
Beispiel 2: Beim Werfen eines Würfels können wir 6 Ergebnisse erwarten. Ist der Würfel ideal, dann
ist jede Zahl gleichberechtigt. Dann werden sich die relativen Häufigkeiten nach häufigem Würfeln bei
1
6
stabilisieren, denn die Summe aller relativen Häufigkeiten ist 1, und alle sind im Idealfall gleich
groß. Also sagt man: Jedes Ergebnis tritt mit der Wahrscheinlichkeit
1
6
auf. Das ist dann die
Vorhersage der zu erwartenden relativen Häufigkeit bei häufigem Würfeln.
Beispiel 3: Das Glücksrad heißt ideal, wenn alle drei Sektoren
gleich (kongruent) sind, also dieselben Innenwinkel besitzen
(und das Rad sonst auch gleichmäßig gearbeitet ist).
Dann hat jede Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit. Würde man sehr oft
2
1
3
spielen, dann würden sich die relativen Häufigkeiten h(1), h(2) und h(3) deren Summe ja 1 ist - wegen der gleichen Chancen bei
1
3
einpendeln.
Man ordnet daher jedem der Elementarereignisse {1} , {2}, {3} die Wahrscheinlichkeit
1
3
Friedrich Buckel
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zu!
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2.
Teil 1
10
Merke
Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse (Ausgänge) die gleichen
Wahrscheinlichkeiten besitzen, nennt man ein Laplace-Experiment.
Alle möglichen Elementarereignisse haben dann die gleiche
Wahrscheinlichkeit.
Besitzt die Ergebnismenge n Ergebnisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit
von jedem Elementarereignis n1 .
Dies ist die vorhergesagte relative Häufigkeit, der man sich nähern würde,
wenn man das Experiment sehr oft durchführen würde.
3.
Formulierungen
Beispiel 1: Werfen einer Münze
Dieses Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S = {W ; Z} .
Man kann nun sagen:
Das Ergebnis W (Wappen) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p W =
Das Ereignis
{W }
(
)
besitzt die Wahrscheinlichkeit P {W } =
1
2
1
2
auf,
oder:
.
Entsprechend gilt:
Das Ergebnis Z (Zahl) tritt mit der Wahrscheinlichkeit p Z =
Das Ereignis
{Z}
( )
besitzt die Wahrscheinlichkeit P {Z} =
1
2
1
2
auf,
oder:
.
Erklärung der Schreibweise:
Die Schreibweise pW verwendet man für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses oder
Merkmals. Für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen verwendet man in der Regel
das große P mit zwei Klammern, zwischen die man das Ereignis schreibt, also P( ).
Wenn A das Ereignis A = {1; 3} ist, dann bezeichnet man mit P(A) seine Wahrscheinlichkeit.
Man kann aber auch statt A die Mengenschreibweise verwenden, dann aber kommen eben die
(
)
Mengenklammern noch dazu: P {1; 3} ist dann die Wahrscheinlichkeit P(A).
Die richtige Verwendung der Klammern ist sehr wichtig.
Falsch und damit sogar sinnlos wäre beispielsweise die Schreibweise P (1; 3 ) , denn
zwischen den runden Klammern steht jetzt keine Menge und daher auch kein Ereignis!
(
)
Falsch ist auch P {A} , wenn man damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnen
(
)
will. P {A} bedeutet nämlich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {A} , also des Eintretens
des Ergebnisses A (etwa ein As in einem Stapel Spielkarten), nicht des Ereignisses A.
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Teil 1
11
Schüler haben da lange Verständnisprobleme, weil die mathematische Fachsprache sehr genau ist.
Man darf die Begriffe Ergebnis und Ereignis nicht verwechseln.
Beispiel 2: Würfeln
Wenn beim Würfeln die Zahl 5 als Ergebnis auftritt, dann ist das Ereignis {5} eingetreten.
Bei einem idealen Würfel (also einem Würfel, bei dem also alle 6 Ergebnisse mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit eintreten, man nennt einen solchen Würfel auch Laplace-Würfel oder kurz
1
6
L-Würfel), sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse
p1 = p2 = p3 = p 4 = p5 = p6 =
1
6
. Das kann man so schreiben:
.
Natürlich sind dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die 6 Elementarereignisse
{1}
bis {6}
1
6
.
Das ist genau dasselbe, nur man muss es jetzt, weil man von Ereignissen spricht, mit der
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Mengenschreibweise notieren: P {1} = P {2} = P {3} = P {4} = P {5} = P {6} =
4.
1
6
.
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit mehr als einem Ergebnis.
Lesetext: Bleiben wir beim Beispiel „Würfeln“.
Welche Wahrscheinlichkeit besitzt das Ereignis A: „Man würfelt eine gerade Zahl“?
Wir können A als Menge A = {2 ; 4 ;6} schreiben und zeigen damit, welche Ergebnisse
möglich sind, damit wir sagen können, das Ereignis A ist eingetreten.
Jeder stellt sofort fest: Das ist genau die Hälfte aller Möglichkeiten, also wird die
Wahrscheinlichkeit
1
2
sein. (D. h. wenn man sehr oft würfelt, wird die relative Häufigkeit
für das Eintreten des Ereignisses A etwa 0,5 sein.)
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B = {1; 6} ist P (B ) =
1
3
, denn hier liegen zwei
„günstige“ Ergebnisse vor. Wenn eines von diesen vorkommt, dann ist das Ereignis B
eingetreten. Das sind 2 von 6 Möglichkeiten, also ein Drittel aller Ergebnisse.
Das Ereignis C = {3 ; 4 ;5 ; 6} (eine Zahl größer als 2 würfeln) hat vier günstige von
insgesamt 6 möglichen Ergebnissen ein. Damit können wir in 4 von 6 Fällen mit C rechnen.
Die Wahrscheinlichkeit von C ist daher P ( C ) =
4
6
=
2
3
.
MERKE:
Umfasst die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments genau n Elemente und bezieht sich
ein Ereignis E auf insgesamt g Elemente, dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit für
g
das Eintreten des Ereignisses E durch die Formel P (E ) =
.
m
P (E) =
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Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
also
P (E) =
g
m
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5.
Teil 1
12
Musterbeispiele und Aufgaben
Beispiel 1
1 2
4 3
Das Glücksrad.
Wenn das Rad ideal ist, dann tritt jede dieser Zahlen
mit der Wahrscheinlichkeit
( )
( )
1
4
ein.
( )
( )
Also gilt P {1} = P {2} = P {3} = P {4} =
1
4
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für andere Ereignisse:
A:
Man erhält eine ungerade Zahl:
A = {1; 3} , 1 und 3 sind die für A günstigen Ergebnisse.
g
2
1
P(A) =
=
=
m 4 2
B:
Man erhält eine Zahl größer als 1:
B = {2 ; 3 ; 4} , es gibt 3 günstige Ergebnisse für B: 2, 3 und 4.
P (B ) =
C:
g
3
=
m
4
Man erhält eine Zahl größer als 6:
C = { } , es gibt kein günstiges Ergebnis, es liegt das unmögliche Ereignis vor.
P (C) = P
D:
({ }) = 04 = 0
Man erhält eine Zahl kleiner 5:
D = {1; 2 ; 3 ; 4} = S , es liegt das sichere Ereignis vor:
P (D ) = P ( S ) =
Merke:
4
=1
4
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0.
Beispiel 2
Werfen eines L-Würfels
Dieses Experiment hat den Ergebnisraum S = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
A:
Es wird 3 oder 5 gewürfelt.
A = {3 ; 5}
B:
Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt
B = {1; 3 ; 5}
C:
Es wird eine Zahl größer als 2 gewürfelt
C = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
D:
Die gewürfelte Zahl ist ein Teiler von 12
D = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6}
In A haben wir 2 günstige Ergebnisse:
P (A) =
B lässt gleich 3 Möglichkeiten zu:
P (B) =
Für C gilt:
P (C ) =
g
m
= 64 =
Und schließlich haben wir
P (D) =
g
m
=
Friedrich Buckel
g
m
g
m
= 62 = 31 .
= 36 = 21 .
2
3
5
6
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31101 Stochastik Einführung
Teil 1
13
Beispiel 3: Ziehen einer Karte aus einem Kartenstapel
Wir betrachten folgendes Musterkartenspiel, mit dem wir uns noch öfters beschäftigen werden:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dieser Stapel enthält 40 Karten, und zwar 4 mal die Karten mit den Zahlen 0 bis 9, und dies jeweils in
den Farben rot, blau, gelb und schwarz. Ist der Stapel gut durchgemischt, dann hat jede Karte
dieselbe Chance, gezogen zu werden, und zwar geschieht dies mit der Wahrscheinlichkeit
1
40
= 0,025 , denn die relativen Häufigkeiten werden sich für alle beim gleichen Wert stabilisieren: Die
1
40
Summe dieser Werte ist 1, also entfällt auf jede Karte
= 0,025 .
Unter den 40 Karten sind vier verschiedene Farben, jede kommt 10-mal vor, also hat jede Farbe die
1
4
gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, tritt also mit der Wahrscheinlichkeit
Wir wollen nochmals darüber nachdenken: Jede Karte hat die Wahrscheinlichkeit
1
40
= 0, 25 auf.
. Für jede Farbe
hat man 10 Karten zur Auswahl, also ist g = 10 und wir erhalten durch diese Überlegung für jede
Farbe die Wahrscheinlichkeit
g
m
=
10
40
=
1
4
.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 0 (Ereignis B)? Die 0 gibt es viermal, also haben wir
g = 4 Chancen, d.h. die Wahrscheinlichkeit P (B) =
g
m
=
4
40
= 101 = 0,1
Es wird eine gelbe 4 gezogen:
P (E) =
F:
Es wird keine rote Zahl gezogen:
P (F ) =
G:
Es wird eine 2 oder eine 5 gezogen:
P (G) =
H:
Es wird eine blaue Karte oder eine gerade Zahl gezogen.
E:
1
40
.
g
m
g
m
=
=
30
40
8
40
=
=
3
4
1
5
.
= 0,2
Jetzt wird es schwierig. Falsch ist diese Überlegung: Es gibt 10 blaue Karten und es gibt
20 gerade Zahlen, also haben wir 30 günstige Ergebnisse. Es sind in Wirklichkeit nur 25:
Zuerst nehmen wir alle 10 blauen Karten als günstig an, dann die restlichen aber nicht blauen,
also 0, 2, 4, 6, 8 mit der Farben rot gelb und schwarz, das sind 15, zusammen:
g = 10 + 15 = 25 . (In der falschen Überlegung wurden die blauen geraden Zahlen doppelt
gezählt!). Also folgt:
P (H) =
25
40
=
5
8
.
Dieses Problem der doppelten Aufzählung kommt durch das Wort „oder“ zustande und wird
später ausführlich untersucht.
Friedrich Buckel
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Beispiel 4
a)
Teil 1
14
Das Spiel Mensch-Ärgere-Dich-Nicht
Zwei gelbe und zwei blaue Spielfiguren stehen so auf dem Spielfeld:
Blau würfelt einmal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er eine gelbe Figur schlagen
(Ereignis A)?
Lösung:
Für dieses Ereignis A gilt: Unter 6 Möglichkeiten sind zum Schlagen die Zahlen 1, 3 und 5,
günstig, also ist g = 3.
P = mg = 36 = 21 .
b)
Blau darf zweimal würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schlägt er gelb?
Lösung:
⎧⎪(1| 1) , (1 | 2) , (1 | 3) , (1| 4) , (1 | 5) , (1| 6) ,⎫
⎪
⎪⎪
⎪
Bei zweimaligem Würfeln gibt es 36 mögliche
⎪⎪(2 | 1) , (2 | 2) , (2 | 3) , (2 | 4) , (2 | 5) , (2 | 6) , ⎪
⎪
⎪
⎪
(3 | 1) , (3 | 2) , (3 | 3) , (3 | 4) , (3 | 5) , (3 | 6) , ⎪⎪
Ergebnisse. Diese schreibt man als Paare auf.
⎪
S=⎨
⎬
⎪⎪(4 | 1) , ( 4 | 2) , ( 4 | 3) , ( 4 | 4) , ( 4 | 5) , ( 4 | 6) ,⎪
Die erste Zahl gibt den ersten Würfel an,
⎪⎪(5 | 1) , (5 | 2) , (5 | 3) , (5 | 4) , (5 | 5) , (5 | 6) , ⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
die zweite Zahl den zweiten Würfel:
⎪⎩(6 | 1) , (6 | 2) , (6 | 3) , (6 | 4) , (6 | 5) , (6 | 6) ,⎪
⎪
⎭
Er muss um 7 Felder vorankommen, also helfen ihm diese Doppelwürfe zum Schlagen:
{(1 | 6) ; (2 | 5) ; (3 | 4) ; ( 4 | 3) ; (5 | 2) ; (6 | 1)} .
Das ergibt:
P = mg =
6
36
=
1
6
(Zusatz-)Aufgabe 1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit schlägt blau bei zweimaligem Würfeln in den Aufgaben c) und d) gelb?
c)
d)
Lösung auf der nächsten Seite!
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Teil 1
15
Lösung
c)
Hier reicht die Augensumme 8 oder 9. Daher gehören diese Würfelergebnisse zum Ereignis C:
C = { ( 2 | 6) ; (3 | 5) ; ( 4 | 4 ) ; (5 | 3 ) ; ( 6 | 2) ; ( 3 | 6 ) ; ( 4 | 5 ) ; ( 5 | 4 ) ; ( 6 | 3 ) }
Augensumme 8
Augensumme 9
Dies sind 5 + 4 = 9 günstige Ergebnisse von 36 möglichen: P ( C ) =
d)
g
9
1
=
=
m 36
4
Der linke blaue schlägt mit 7 oder 9, der rechte mit 9 oder 11.
D = { (1| 6 ) ; ( 2 | 5 ) ; ( 3 | 4 ) ; ( 4 | 3 ) ; ( 5 | 2 ) : ( 6 | 1) ; ( 3 | 6 ) ; ( 4 | 5 ) ; ( 5 | 4 ) ; ( 6 | 3 ) : ( 5 | 6 ) ; ( 6 | 5 )
Augensumme 7
Augensumme 9
}
Augensumme 11
g
12
1
=
= .
Das sind 6 + 4 + 2 = 12 günstige von 36 möglichen: P (D ) =
m 36 3
Dass man mit der Augensumme 9 jeweils die Auswahl hat, wer wen schlagen soll,
ist unerheblich. Es lediglich darum, dass man in diesem Fall schlagen kann.
Beispiel 5:
Würfeln mit zwei Würfeln
Die Ergebnismenge S mit ihren 36 Paaren kann man sehr schön in einem Achsenkreuz sichtbar
machen:
⎧(1| 1) , (1| 2) , (1| 3) , (1| 4) , (1| 5) , (1| 6) ,⎪
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
(2 | 1) , (2 | 2) , (2 | 3) , (2 | 4) , (2 | 5) , (2 | 6) , ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(3 | 1) , (3 | 2) , (3 | 3) , (3 | 4) , (3 | 5) , (3 | 6) , ⎪⎪
⎪
S=⎨
(4 | 1) , ( 4 | 2) , ( 4 | 3) , ( 4 | 4) , ( 4 | 5) , ( 4 | 6) ,⎬⎪⎪
⎪
⎪
⎪
(5 | 1) , (5 | 2) , (5 | 3) , (5 | 4) , (5 | 5) , (5 | 6) , ⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(6 | 1) , (6 | 2) , (6 | 3) , (6 | 4) , (6 | 5) , (6 | 6) ,⎪
⎪
⎩
⎭
S
Dabei ist x die Variable für die Augenzahl des 1. Würfels
und y die Variable für die Augenzahl des 2. Würfels.
Aufgabe 2:
A:
B:
C:
D:
E:
F:
G:
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Die Augensumme ist 6.
Die Differenz der beiden Augenzahlen ist 2.
Das Produkt der Augenzahlen ist 12.
Der zweite Würfel zeigt eine größere Zahl als der erste.
Ein Würfel zeigt die 4.
Es wird ein Pasch geworfen.
Die Summe der Quadrate beider Augenzahlen ist 41.
Die Lösung steht auf der nächsten Seite.
Friedrich Buckel
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Teil 1
16
Lösung
A = {(1| 5) ; (2 | 4) ; (3 | 3) ; ( 4 | 2) ; (5 | 1)} ,
P (A) =
5
36
.
B = {(1| 3) ; (2 | 4) ; (3 | 5) ; ( 4 | 6) ; (3 | 1) ; ( 4 | 2) ; (5 | 3) ; ( 6 | 4)} ,
P (B) =
8
36
= 92 .
C = {(2 | 6) ; (3 | 4) ; (6 | 2) ; ( 4 | 3)} , also
P (C ) =
4
36
=
1
9
Das Ereignis D stellt man so im Koordinatensystem dar:
D = {(1| 2) ; (1| 3) ; (1 | 4) ; ... ; (5 | 6)
}
D
D enthält also 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Ergebnisse.
Daher ist P (D) =
S
15
36
⎪⎧(1| 4) ; (2 | 4) ; (3 | 4) ; ( 4 | 4) ; (5 | 4) ; (6 | 4) ;⎪⎫
⎬,
⎪⎩⎪(4 | 1) ; ( 4 | 2) ; (4 | 3) ; ( 4 | 4) ; (4 | 5) ; (4 | 6)⎪⎭⎪
E=⎪
⎨
P (D) =
11
36
F = {(1 | 1) , (2 | 2) , (3 | 3) , ( 4 | 4) , (5 | 5) , (6 | 6)} ,
P (F) =
6
36
=
G = {(4 | 5) ; (5 | 4)} , ergibt:
P ( G) =
2
36
= 181
1
6
Aufgabe 3
Welche Ereignisse des Zufallsexperimentes Würfeln mit 2 idealen Würfeln sind in diesen
Gitterdiagrammen dargestellt? Berechne auch die Wahrscheinlichkeit dazu.
a)
b)
S
d)
Friedrich Buckel
S
e)
S
c)
S
f)
S
S
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Teil 1
17
Lösung
a)
A:
Die beiden Augenzahlen unterscheiden sich höchstens um 1.
b)
B:
Die zweite Zahl ist 2 (die erste ist beliebig).
c)
C:
Die Summe ist 5 oder 9.
d)
D:
Die 1. Zahl ist 4 oder die 2. Zahl ist 5.
e)
E:
Die Zahlen sind gleich oder haben die Summe 7.
f)
F:
Die Summe ist größer als 8 (bzw. ist mindestens 9).
Beispiel 6
16
4
=
36
9
6
1
P (B ) =
=
36 6
8
2
P (C) =
=
36 9
11
P (D ) =
36
12
1
P (E ) =
=
36 3
10
5
P (F ) =
=
.
36 18
P(A) =
Lottozettel
Ein Lottozettel besteht aus 49 Feldern, in denen die Zahlen 1 bis 49 stehen.
Für einen Lotto-Tipp kreuzt man 6 dieser Zahlen an, die Reihenfolge ist natürlich egal.
Friedrich hat diese Zahlen angekreuzt:
2, 5, 13, 23, 45, 46.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Ziehung der ersten Kugel (aus 49, welche ebenfalls
die Zahlen 1 bis 49 tragen), eine dieser angekreuzten Zahlen gezogen wird?
Bei der ersten Ziehung sind noch 49 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene
eine der aufgeschriebenen ist, berechnet man also durch
P (A) =
6
49
≈ 0,122 .
Nehmen wir an, dies hat geklappt, wie sieht es dann bei der 2. Ziehung aus?
Nun sind noch 48 Kugeln vorhanden und eine der 5 verbleibenden soll gezogen werden:
P (B) =
5
48
≈ 0,104
Aufgabe 4
Hans und Peter spielen ihr eigenes Lottosystem. Dazu verwenden sie Lottozettel mit 9 Feldern
und den Zahlen 1 bis 9. Zur Ziehung verwenden sie Kugeln mit den aufgedruckten Zahlen
1 bis 9. Auf einem Lottozettel darf man 3 Zahlen ankreuzen. Hans kreuzt die Zahlen 7, 8 und 9
an. Peter zieht eine Zahl.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Hans diese Zahl angekreuzt?
Dann zieht Peter die nächste Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Hans nun diese Zahl
angekreuzt, wenn die erste ein Treffer war?
Friedrich Buckel
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Teil 1
18
Lösung
g
3
1
= = .
m 9 3
2
1
P (B ) = = .
8
4
Beim 1. Zug hat man drei günstige Zahlen unter 9 vorhandenen: P ( A ) =
Beim 2. Zug können noch 2 Zahlen aus 8 gezogen werden:
Beispiel 7
Skatkarten
Zu einem Skatspiel gehören 32 Skatkarten mit vier verschiedenen „Spiel-Farben“:
Kreuz, Pik, Herz und Karo.
Jede Farbe besteht aus 8 verschiedenen Werten: 7, 8, 9, 10, Bube (B), Dame (D), König (K)
und As (A).
Außerdem sind die Spielfarben Kreuz und Pik schwarze Karten, Herz und Karo rote Karten.
Aufgabe
Aus einem vollständigen Skatkartensatz wird eine Karte zufällig gezogen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
A:
Man zieht ein As.
B:
Man zieht eine rote Dame.
C:
Man zieht eine Zahlenkarte.
D:
Man zieht das Herz-As.
E:
Man zieht eine rote oder eine schwarze Karte.
F:
Man zieht einen Buben oder eine Kreuzkarte.
Friedrich Buckel
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Teil 1
19
Lösung
A:
Man zieht ein As.
Es gibt Asse unter 32 Karten:
B:
1
8
P (B ) =
2
32
=
1
16
P (C) =
1
2
P(D) =
1
32
= 0,125
= 0,0625
= 0,5
Man zieht das Herz-As.
Es gibt nur ein Herz-As:
E:
=
Man zieht eine Zahlenkarte.
Die Hälfte aller Karten sind Zahlenkarten:
D:
4
32
Man zieht eine rote Dame.
Es gibt 2 rote Damen:
C:
P(A) =
Man zieht eine rote oder eine schwarze Karte.
Damit kann jeder Karte gezogen werden.
Das ist das sichere Ereignis:
F:
P (E ) = 1
Man zieht einen Buben oder eine Kreuzkarte.
Es gibt 4 Buben und 8 Kreuzkarten, das sind
zusammen aber nicht 12 sondern nur 11 Karten,
weil der Kreuz-Bube nicht doppelt gezählt werden darf:
Friedrich Buckel
P (F ) =
11
32
.
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Teil 1
20
1.3 Laplace-Experimente 2.Art
sind eine Sorte Experiment, die sich schnell auf die eben besprochenen einfachen
Laplace-Ereignisse zurückführen lassen.
Beispiel 1
Vierer-Glücksrad
Das nebenstehende Glücksrad hat vier gleich wahrscheinliche Felder.
daher ist das Drehen des Rades ein Laplace-Experiment, und die
1
Wahrscheinlichkeit für eines der vier “als verschieden anzusehenden“
1
4
Felder ist je
2
2 4
. Untersucht man jedoch das Merkmal “Zahl“, dann besitzt
dieses nur drei Ausprägungen: S = {1; 2 ; 4} , und diese Zahlen sind
nicht gleichwahrscheinlich, also liegt doch kein Laplace-Experiment vor.
Wir können es jedoch auf ein solches zurückführen, da die vier Felder gleich wahrscheinlich sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 2 erscheint, kann mal also berechnen p 2 =
g
m
= 24 =
1
2
berechnen, denn zwei der vier Felder tragen die Zahl 2.
Ich bezeichne ein Experiment als Laplace-Experiment 2. Art, wenn es durch feinere
Unterteilung auf ein Laplace-Experiment zurückzuführen ist.
Beispiel 2:
Farbenwürfel
Das nebenstehende Netz eines Würfels führt zu
einem weiteren Laplace-Experiment 2. Art.
Die Farben blau, gelb und rot erscheinen beim
Würfeln nicht mit derselben Wahrscheinlichkeit.
Aber durch eine feinere Unterteilung gelangt man zu
den bekannten 6 gleichwahrscheinlichen Feldern des Würfels.
Blau gehört zu einem Feld ist
pblau = 61 ,
gelb gehört zu 2 Feldern, also ist
pgelb = 62 = 31 .
und rot gehört zu 3 Feldern, also ist
prot = 36 = 21 .
2
Beispiel 3:
Analog zu Beispiel 2 errechnen wir hier die
1
1
1
1
Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse {1} und {2}:
P ({1}) =
4
6
=
Friedrich Buckel
2
3
und ebenso: P ({2}) =
2
6
=
1
3
.
2
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Beispiel 4:
Teil 1
21
Urnenexperiment – einfache Ziehung
Das so genannte Urnenexperiment ist ein beliebtes Modell für allerlei Experimente.
Zunächst das Grundmuster. In einem Gefäß - Mathematiker nennen es traditionell eine URNE befinden sich Kugeln, die man beim bloßen anfassen (ohne hinzusehen) nicht unterscheiden kann.
Diese Kugeln können gleich oder verschieden sein, farbig oder einfarbig, und bedruckt mit allerlei
Schabernack. Dann lässt man daraus eine Kugel ziehen (später werden es mehrere sein) und
berechnet dann die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse. Über die Bedeutung solcher
Urnenexperimente werden wir später „sprechen“.
Man entnimmt aus nebenstehender Urne eine Kugel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse:
A:
B:
C:
D:
Die Kugel ist gelb.
Die Kugel ist blau.
Die Kugel ist rot.
Die Kugel ist grün.
Zunächst stellt man fest, dass die Urne 9 Kugeln enthält. Also gibt es für das Ziehen einer Kugel
m = 9 Möglichkeiten.
P (A) =
Für gelb gibt es g = 4 günstige Fälle, also ist:
P (B) =
Für blau gibt es g = 3 günstige Fälle, also ist:
P (C) =
Für rot folgt:
P (D) =
Und für grün (es sind keine grünen Kugeln da!) gilt
g
m
g
m
g
m
g
m
=
=
=
=
4
9
3
=
9
2
9
0
1
3
=0.
9
MERKE:
Liefert ein Laplace-Experiment m mögliche gleichwahrscheinliche Ergebnisse,
und existieren für ein Ereignis g günstige Ergebnisse, dann berechnet man
dessen Wahrscheinlichkeiten durch die Formel
P=
Friedrich Buckel
g
m
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Teil 1
22
1.4 Experimente, bei denen die Elementarereignisse experimentell bestimmt
werden.
Man kann jede berechnete Wahrscheinlichkeit experimentell überprüfen, indem man das
entsprechende Zufallsexperiment sehr oft durchführt. Die dann berechnete relative Häufigkeit
wird bekanntlich von der Wahrscheinlichkeit vorhergesagt und sollte daher ungefähr gleich
groß sein.
Beispiel
Wenn man mit einem idealen Würfel wirft, dann kann weiß man, dass jede Zahl mit der
Wahrscheinlichkeit
1
6
≈ 0,1667 erscheint. Dies ist eine Voraussage der zu erwartenden
relativen Häufigkeit.
Man darf jedoch nicht davon ausgehen, dass man bei 10 Würfenfür jedes der Ergebnisse
1, 2, 3, 4, 5, 6 nach Auswertung des Versuchs auf diese relative Häufigkeit kommt.
Diese Voraussage gilt nur für eine sehr große Anzahl von Experimenten (Würfen).
Dann nähert man sich diesem Wert.
Analoges gilt für alle Zufallsexperimente:
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Vorhersage der zu erwartenden
relativen Häufigkeit. Aber erst bei einer sehr großen Anzahl der
Experimentausführungen nähert sich die relative Häufigkeit diesem
Wert an.
Das zufällige Auftreten der einzelnen Ergebnisse wird erst mit einer
sehr großen Anzahl von Experimenten ausgeglichen. Man sagt:
Dann stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten.
Das hat eine wichtige Konsequenz:
Bei Experimenten, die auf Grund unregelmäßiger Bauart keine Vorausberechnung von
Wahrscheinlichkeiten gestatten, gilt dieses Gesetz der Stabilisierung auch. Also kann man dort
den Weg umgekehrt beschreiben und das Experiment so lange betreiben, bis sich die
relativen Häufigkeiten hinreichend stabilisiert haben. Diesen Wert definiert man dann als
Wahrscheinlichkeit des betreffenden Ergebnisses.
Schauen wir uns einige Beispiele dazu an.
Friedrich Buckel
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31101 Stochastik Einführung
Beispiel 1:
Teil 1
23
Das Reißnagelexperiment
Ein Reißnagel kann auf einer Steinplatte in genau zwei Positionen liegen bleiben:
Position 1:
Position 2:
Experiment 1:
Wir benötigen 5 (oder 10) Schülergruppen, die jeweils 10 Reißnägel erhalten.
Das Experiment besteht darin, dass 20-mal diese 10 Reißnägel gleichzeitig geworfen werden.
Das ergibt genau 200 Würfe. Dabei werden die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen
notiert. Die Ergebnisse werden von jeder Gruppe in Tabelle 1 (nächste Seite) eingetragen.
Im 2. Schritt werden die ermittelten absoluten Häufigkeiten fortgesetzt summiert, d.h. in der
erste Spalte stehen dann die absoluten Häufigkeiten zu 10 Würfen, in der 2. Spalte zu den
ersten 20 Würfen, in der 3. die zu den ersten 30 Würfen usw. Dies verarbeitet man in Tabelle 2.
Im 3. Schritt summiert man diese Häufigkeiten für alle 5 Gruppen, d.h. die 1. Spalte enthält
dann Häufigkeiten für 50 Würfe, die zweite für 100 Würfe usw. (Tabelle 3).
In Tabelle 4 überträgt man dann die zugehörigen relativen Häufigkeiten. Jetzt sollte man
beobachten können, dass die Schwankungen dieser relativen Häufigkeiten immer kleiner
werden, je größer der Umfang der Stichprobe, also die Anzahl der Würfe ist.
Im letzten Schritt kann man dann die relative Häufigkeit in Abhängigkeit vom Umfang der
Stichprobe in einem Achsenkreuz darstellen.
Man stellt fest, dass sich die Werte stabilisieren, d. h. sich immer besser einem Wert nähern.
Diesen so genannten Grenzwert übernehmen wir und definieren aus ihm heraus die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Reißnagel in Position 1 liegen bleibt
Ich habe zweimal mit 5 Schülergruppen diese Reißnägel werfen lassen. Dazu gibt es in der
Datei 31020 Formulare zum Eintragen der Ergebnisse.
Ich füge hier die teilweise ausgefüllten Blätter und die Auswertung aus beiden Gruppen am
Ende des Textes bei.
Friedrich Buckel
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31021 Stochastik Einführung
Teil 1
24
Auswertungsblatt: Der 1. Reißnagel-Versuch
1. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 10 Reißnägel und tragen die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein.
Wurf
1
{P1}
{P2}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
10
10
10
10
10
10
Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
2. Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so dass man diese für 10, 20, 30, ..., 200 Würfe erhält:A48
Wurf
1
{P1}
{P2}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
200
Und hier ihre Aufsummierung aus dem 1. Schritt.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
3. Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen
Wurf
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
{P1}
{P2}
25
53
73
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
93 114 144 169 187 209 232 250 271 292 315 341 362 374 401 425 449
4. Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 100, 150 , ... 1000 Würfe.:
Wurf
{P1}
{P2}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,500 530 487 465 456 480 483 468 464 464 455 452 449 450 455 453 440 446 447 449
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
Die Ergebnisse im 4. Schritt stellen immer Tausendstel dar.
Die relativen Häufigkeiten für P2 (Position 2) errechnen sich natürlich über die Formel: 1 – P({P1}).
Friedrich Buckel
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31021 Stochastik Einführung
Teil 1
25
Auswertungsblatt: Der 2. Reißnagel-Versuch
1. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 10 Reißnägel und tragen die absoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein.
Wurf
1
{P1}
{P2}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
10
10
10
10
10
10
Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
2. Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so dass man diese für 10, 20, 30, ..., 200 Würfe erhält:A48
Wurf
1
{P1}
{P2}
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
200
Und hier ihre Aufsummierung aus dem 1. Schritt.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
3. Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen
Wurf
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
{P1}
{P2}
24
43
60
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
89 103 140 157 186 210 228 251 273 290 318 331 362 338 405 422 443
4. Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 100, 150 , ... 1000 Würfe.:
Wurf
1
{P1}
{P2}
0,480
430 400 445 412 467 449 465 467 456 456 455 446 454 441 453 451 450 444 443
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
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3
4
5
6
7
8
9
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31101 Stochastik Einführung
Teil 1
1
Diagramm zu den beiden Reißnagelversuchen
h(n) = 0,...
600
500
400
Reihe1
Reihe2
300
200
100
19
17
15
500
13
11
9
250
7
100
5
3
1
0
750
1000
n = Umfang der Stichprobe
Man erkennt, dass sich beide Testreihen bei etwa 0,45 stabilisieren.
Dies kann man so formulieren: lim h ( n ) ≈ 0, 45
n→∞
Also definiert man als Wahrscheinlichkeit für die Position 1:
P(Pos1) = 0,45.
Da die Summe aller relativen Häufigkeiten 1 ist, gilt dies auch für die Wahrscheinlichkeiten.
Also folgt für die zweite Position:
P(Pos 1) + P(Pos 2) = 1
Bemerkung:
⇒ P ( Pos 2 ) = 1 − P ( Pos 1) = 0,55 .
Dies gilt nicht für alle Arten von Reißzwecken.
Wenn beispielweise der Kopf leicht gerundet ist, dann ist die Position 1 weniger
stabil, weil der Reißnagel abrollen kann. Dann könnte dort auch 0,4 oder 0,35
als Wahrscheinlichkeit vorkommen.
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31101 Stochastik Einführung
Beispiel 2:
Teil 1
2
Schiefer Würfel
Nebenstehender „Würfel“ besitzt 5 Oberflächen:
2
1
Drei außen herum im „Mantel“, eine oben und eine unten.
Darauf sind die Zahlen 1 bis 5 aufgedruckt.
Es ist klar, dass es sich nicht um ein Laplace-Würfel handelt, denn die Seiten (Zahlen)
treten mit ganz unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auf.
Durch ein lange dauerndes Würfelexperiment (z.B. n = 1000 Versuche) bekommt man
ein einigermaßen stabiles Ergebnis für die relativen Häufigkeiten, die man dann als
Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen festlegen kann.
Etwa dieses Ergebnis:
p1 = 0,26 ,
Beispiel 3:
p2 = 0,14 ,
p3 = 0,32 ,
p4 = 0,11 und p5 = 0,17 .
Ungleiches Glückrad
Ein Rad wurde in 4 ungleiche Sektoren eingeteilt.
Damit erscheinen die vier Zahlen mit unterschiedlichen
3
Wahrscheinlichkeiten am Haltepfleil.
Ergebnis nach vielen Drehungen:
1
4
2
p1 = 0,30 , p2 = 0,17 , p3 = 0,39 , p4 = 0,14 .
ACHTUNG KONTROLLE:
Für Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten gelten bestimmte
Gesetze, die man nicht überschreiten darf (sonst ist ein Fehler passiert):
1.
Jede dieser Werte ist eine Zahl aus dem Bereich 0 ≤ p ≤ 1 .
Tritt 0 auf, dann liegt das unmögliche Ereignis vor, tritt 1 auf,
gibt es nur ein Ergebnis, es ist das sichere Ereignis.
2.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse
ist 1.
Friedrich Buckel
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