Klassische Mechanik Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik

Skript zum Ferienkurs
Physik für Elektroingenieure
Wintersemester 2015 / 16
Nr. 1
Rupert Heider
17.03.2016
Klassische Mechanik
Inhaltsverzeichnis
Klassische Mechanik
1
1
Kinematik
1
1.1 Bewegung in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Dynamik für Punktmassen
4
2.1 Newton’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bezugssysteme und Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
7
2
3
Arbeit, Energie, Leistung
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
5
Arbeit . . . . . . . . .
Potentielle Energie . .
Kinetische Energie . .
Energieerhaltungssatz
Leistung . . . . . . . .
9
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9
9
10
10
11
Stöße zwischen Punktmassen
11
4.1 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
14
Dynamik des starren Körpers
14
5.1
5.2
5.3
5.4
Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) . .
Bewegung des Massenmittelpunkts . .
Drehmoment . . . . . . . . . . . . . .
Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
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15
16
16
17
1 Kinematik
Definition: Mathematische Beschreibung der Bewegung eines Körpers im Raum.
Der Massenpunkt ist eine Idealisierung realer Körper. Die Ausdehnung des Körpers wird vernachlässigt und seine Gesamtmasse wird als im Schwerpunkt vereinigt angenommen. Diese
Vereinfachung ist gültig, falls die Ausdehnung des Körpers klein gegenüber den Distanzen
seiner Bewegung ist.
1
Die Lage des Massenpunktes wird im kartesischen Koordinatensystem durch den Ortsvektor
beschrieben:


~x (t)
~r (t) = ~y(t) 
(1)
~z(t)
1.1 Bewegung in 3D
Die Funktion ~r = ~r (t) stellt eine Kurve im Raum dar, die der Massenpunkt im Laufe der Zeit
durchläuft: die sogenannte Bahnkurve. Die Bewegung, die der Massenpunkt beim Durchlaufen der Bahnkurve vollzieht, nennt man Translation.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit. Sie ist wie der Ortsvektor ~r
ein Vektor. Der Vektor ~v liegt stets tangential zur Bahnkurve.
(2)
˙ 
~x (t)
~
dr ( t )
˙

~v(t) =
= ~r = ~y˙ (t) 
dt
~z˙ (t)
Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit wiederum wird als Beschleunigung bezeichnet
und ist definiert als:
¨ 
~x (t)
d~v(t)
¨

~a(t) =
(3)
= ~r = ~y¨ (t) 
dt
~z¨(t)
Um aus einer Beschleunigung die Geschwindigkeit zu erhalten, muss die Beschleunigung
komponentenweise integriert werden:
(4)
~v(t) − ~v(0) =
Z t
0
~a(t0 )dt0
Entsprechend muss die Geschwindigkeit integriert werden, um den Ort zu erhalten:
(5)
~r (t) −~r (0) =
Z t
0
~v(t0 )dt0
Die Beschleunigung ist folglich gleich der 1. zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeit und
gleich der 2. Ableitung des Ortes. Für eindimensionale Probleme kann man mit den Skalaren
r (t), v(t), a(t) rechnen.
2
Für den Spezialfall konstanter Beschleunigung
in x-Richtung ( a x = const.) folgt mit v x (0) = v0 und x (0) = x0 :
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
(6)
(7)
v x ( t ) = v0 +
x ( t ) = x0 +
Z t
0
Z t
0
a x dt0 = v0 + a x t
1
(v0 + a · t0 )dt0 = x0 + v0 · t + a · t2
2
Dies gilt auch analog für die x- und y-Komponente. Daraus erhält man die allgemeine Form
der Bewegungsgleichungen für nicht konstante Beschleunigung:
(8)
1
~r (t) = ~r0 + v~0 · t + ~a · t2
2
(9)
~v(t) = v~0 +~a · t
Für die Größen ~a, ~v,~r gilt die Vektoraddition und die Bewegung in einer Richtung hat keinen
Einfluss auf die Bewegung senkrecht dazu. Bei Bewegungen in mehreren Dimensionen betrachtet man jede Dimension für sich!
1.2 Kreisbewegung
Nun betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn (Umfang U =
2rπ). Hierfür wechseln wir in Polarkoordinaten:
x (t)
r · cos(φ(t))
(10)
→
y(t)
r · sin(φ(t))
Die beiden Freiheitsgrade sind hierbei der zeitabhängige Winkel φ(t) zwischen der x-Achse
und dem Ortsvektor (im Bogenmaß) und der konstante Radius r der Kreisbahn. Die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz ω ist die zeitliche Ableitung des Winkels φ:
(11)
ω=
v
dφ(t)
= 2π f =
dt
r
Hierbei bezeichnet f = T1 die Frequenz. T wiederum ist die Zeit, die der Massenpunkt für
einen vollen Umlauf der Kreisbahn (φ = 2π = 360◦ ) benötigt. v bezeichnet die tangentiale Geschwindigkeit (oder auch Bahngeschwindigkeit). Sie ändert ständig ihre Richtung,
während ihr Betrag konstant bleibt. Verantwortlich für diese Richtungsänderung ist die Zentripetalbeschleunigung a Z .
v2
r
Sie steht senkrecht zum Tangentialvektor und zeigt immer zum Kreismittelpunkt. Vektoriell
gelten folgende Zusammenhänge zwischen Bahngeschwindigkeit v, Winkelgeschwindigkeit
ω und Zentripetalbeschleunigung a Z :
(12)
(13)
(14)
(15)
aZ = ω2 · r =
~v = ω
~ ×~r
1
~ = 2 (~r × ~v)
ω
r
~ × ~v = ω
~ × (~
a~Z = ω
ω ×~r )
3
Es ist hieraus ersichtlich, dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Bewegungsebene steht, er bildet mit dem Ortsvektor ~r und der Tangentialgeschwindigkeit ~v ein
rechtshändiges System (vgl. Kreuzprodukt).
Bei einer beschleunigten Kreisbewegung kommt zusätzlich zur Zentripetalbeschleunigung
noch eine tangentiale Beschleunigung at hinzu.
2 Dynamik für Punktmassen
Bisher wurde die Bewegung eines Massenpunktes bzw. eines Körpers betrachtet ohne auf deren Ursache einzugehen. Wir wollen jetzt die Frage untersuchen, warum ein Körper gerade
die Bewegung ausführt, die wir beobachten. Die Ursache Ursache sind Kräfte, die auf den
Massenpunkt einwirken und so eine Änderung seines Bewegungszustandes hervorrufen.
2.1 Newton’sche Gesetze
Man kann die mathematische Beschreibung der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss
von Kräften auf wenige Grundgleichungen zurückführen. Newton ist bei der Beschreibung
des Kraftbegriffes und seines Zusammenhanges mit der Bewegung eines Körpers von drei aus
der Erfahrung gewonnenen Grundannahmen ausgegangen, den Newton’schen Gesetzen:
1. Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustandes gezwungen
wird. (Trägheitsprinzip)
Das Maß für den Bewegungszustand ist der Impuls ~p = m · ~v.
Einheit des Impulses: [ p] = kg · m · s−1
Der Impuls und somit die Geschwindigkeit ~v bleiben folglich konstant, solange keine
Kräfte auf den Körper wirken, oder alle wirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben.
(16)
∑ ~Fi = 0 ⇒ ~p = const.
i
2. Die Ursache einer zeitlichen Änderung des Impulses (Beschleunigung) eines Körpers
konstanter Masse ist eine Kraft. (Aktionsprinzip)
(17)
~F = d ~p = m · d~v = m · a
dt
dt
Die Beschleunigung eines Körpers konstanter Masse ist also proportional zur Kraft, welche auf den Körper wirkt. ~F = m ·~a
3. Kräfte treten immer paarweise auf. Die Kraft, welche ein Körper K1 auf einen Körper
K2 ausübt (actio), ist stets entgegegesetzt gleich der Kraft, die Körper K2 auf Körper K1
(reactio) ausübt. (Reaktionsprinzip)
(18)
~F12 = −~F21
4
Körper K1 und Körper K2 definieren ein System von Körpern, auf das insgesamt keine äußere
Kraft wirkt (abgeschlossenes System):
~Fges = ∑ ~Fi = ~F12 + ~F21 = ~F12 − ~F12 = 0
(19)
i
Der Impuls eines abgeschlossenen Systems ist also erhalten (Impulserhaltung):
(20)
0=
d
d
d
∑ ~Fi = ∑ dt ~pi = dt ∑ ~pi = dt ~pges
i
i
i
2.2 Kräfte
Da Geschwindigkeitsänderungen Vektoren sind, müssen auch Kräfte durch Vektoren beschrieben werden, d.h. sie sind erst durch Angabe von Größe(Betrag) und Richtung eindeutig festgelegt. Greifen an einem Punkt mehrere Kräfte an, so ist die Gesamtkraft (resultierende Kraft)
die Vektorsumme der einzelnen Kräfte (Superpositionsprinzip)
Die Einheit der Kraft ist Newton: [ F ] = 1N = 1 kgm·s2
Im Folgenden wollen wir einige wichtige Kräfte betrachten:
2.2.1 Gravitationskraft
Die Wechselwirkung zwischen zwei Massenpunkten mit den Massen m1 und m2 wird beschrieben durch die Gravitationskraft:
~FG = − Gm1 m2 r̂
r2
(21)
3
Hierbei bezeichnet G = 6.674 · 10−11 kgm·s2 die Gravitationskonstante und r̂ den Einheitsvektor
in Verbindungsrichtung, d.h. die Gravitationskraft wirkt immer in Richtung der Verbindungslinie der beiden Massen. Im Schwerefeld der Erde kann r näherungsweise mit dem Erdradius
gleichgesetzt werden und es folgt
FG = −m · g
(22)
wobei g =
G · MErde
r2Erde
= 9, 81 m
die Erdbeschleunigung ist.
s2
5
2.2.2 Coulombkraft
Die Coulombkraft beschreibt die Kraft auf 2 Ladungen. Dieses Gesetz gilt analog zum Gravitationsgesetz, mit dem Unterschied der Stärke und der Tatsache, dass sie sowohl abstoßend,
als auch anziehend wirken kann:
~FC =
(23)
1 q·Q
r̂
4πe0 r2
Hierbei ist e = 8.85 · 10−12 VA··ms ist die Dielektrizitätskonstante.
2.2.3 Federkraft
Die Federkonstante oder Federhärte verbindet die Auslenkung einer Feder mit der daraus
resultierenden Kraft. Bei einer linearen Feder ist dieser Anstieg der Kraft eine Konstante.
Nach dem hookeschen Gesetz ist die Federkraft ~Fk einer Feder proportional zur Auslenkung
~x (linear-elastisches Verhalten):
F = −k · ~x
(24)
Je größer k, desto härter die Feder.
2.2.4 Zentripetalkraft
Um einen Körper auf der Kreisbahn zu halten ist die Zentripetalbeschleunigung nötig. Mit
dem 2. Newtonschen Gesetz folgt daraus eine nach innen (zum Kreismittelpunkt) gerichtete
Kraft, die Zentripetalkraft
(25)
FZ = m · a Z = m · ω 2 · r = m ·
v2
r
FZ zeigt wie a Z immer zum Kreismittelpunkt.
2.2.5 Reibungskraft
Reibung: Widerstand, der in der Berührungsfläche zweier Körper bei ihren relativen Bewegungen zueinander auftritt. Die Reibungskraft ~FR ist der Geschwindigkeit ~v entgegengesetzt.
Ursachen für Reibung: Kräfte zwischen Molekülen beider Flächen, räumliche Hindernisse (z.B.
Vorsprünge), etc.
6
Übt ein Körper eine Kraft tangential zu einer Oberfläche aus, so bezeichnet die Reibungskraft
die Gegenkraft, welche die Oberfläche auf den Körper ausübt. Man unterscheidet zwischen
Haftreibung und Gleitreibung, dies drückt sich durch unterschiedliche Reibungskoeffizienten µ H bzw. µG aus, es gilt
(26)
FR,H = µ H · FN
und
FR,G = µG · FN
wobei FN die Normalkraft bezeichnet. Die Normalkraft steht immer senkrecht auf die Oberfläche!
Die Haftreibungskraft ist entgegen der Zugkraft gerichtet und betragsmäßig gleich groß, also
genau so, dass sich der Körper nicht bewegt. Erhöht man die Zugkraft, steigt die Haftreibungskraft auch an, bis ein bestimmter Wert FH erreicht ist. Ist die Zugkraft größer als diese
Haftkraft, setzt sich der Körper in Bewegung und es wirkt Gleitreibung. Die Gleitreibungskraft
ist wie die Haftreibungskraft proportional zur Normalkraft FN . Es gilt µG < µ H .
2.3 Bezugssysteme und Scheinkräfte
Die Beschreibung von mechanischen Vorgängen ist in verschiedenen Bezugssystemen möglich. Jedes Bezugssystem ist durch sein Koordinatensystem definiert. Ein Bezugssystem, in
dem die Newtonschen Gesetze gelten, heißt Inertialsystem. Jedes Bezugssystem, das sich
relativ zum einem Inertialsystem gleichmäßig bewegt, ist selbst ein Inertialsystem.
Wenn ein Bezugssystem gegenüber einem als ruhend gedachten Beobachter beschleunigt
wird, so beobachtet ein mitbewegter Beobachter eine Trägheitskraft, die für den ruhenden
Beobachter nicht existiert. Die Trägheitskraft FT (z.B. Zentrifugalkraft) hat eine entgegengesetzte Richtung zur Beschleunigung des Bezugssystems.
In vielen Fällen kann die Wahl des richtigen Bezugssystems die Rechnung in einer Aufgabe erheblich vereinfachen. Beim Stoß zweier Teilchen beispielsweise ist es oft sinnvoll im
Schwerpunktsystem (welches ein sich relativ zum ruhenden System bewegendes Bezugssystem darstellt) zu rechnen.
2.3.1 Galilei-Transformation
Im Folgenden werden für das ruhende System ungestrichene Koordinaten und für das sich mit
einer Geschwindigkeit ~u bewegende System gestrichene Koordinaten verwendet. Die GalileiTransformationen lauten dann wie folgt:
(27)
(28)
~r 0 (t) = ~r (t) − ~u(t) · t
~v0 (t) = ~v(t) − ~u(t) · t
7
Beschleunigung, Kraft und Zeit sind in beiden Bezugssystemen gleich, es gelten somit die
gleichen physikalischen Gesetze.
2.3.2 Corioliskraft und Zentrifugalkraft
~ gleichmäßig rotierendes Bezugssystem, welches den selben
Nun betrachten wir ein mit ω
Ursprung wie das ruhende besitzt. Hierbei handelt es sich um ein Nichtinertialsystem, das
gegenüber einem Inertialsystem beschleunigt ist. Bei der Transformation von einem Inertialsystem in ein beschleunigtes System entstehen Scheinkräfte, die für den Beobachter im
beschleunigten System genauso real zu spüren wie alle anderen Kräfte auch.
Wenn ~r bzw. ~v Ort bzw. Bahngeschwindigkeit im ungestrichenen (ruhenden) System und ~v0
~ rotierenden System) beschreiben, dann gilt
die Bahngeschwindigkeit im gestrichenen (mit ω
(29)
~v0 = ~v − ω
~ ×~r
Für Beschleunigungen ergibt sich folgender Zusammenhang:
0
0
~
~
~ ×v +ω
~ × (~
~a = a + 2 ω
ω ×~r )
(30)
Die Kraft auf den Körper, die der Beobachter im gestrichenen System misst, unterscheidet
sich von der Kraft, die im ungestrichenen System gemessen wird:
~F 0 = m~a0 = m~a − 2m ω
~ × ~v0 − mω
~ × (~
ω ×~r )
(31)
Die zusätzlichen Kräfte sind Scheinkräfte, die man
muss, um auf die sel berücksichtigen
~ × ~v0 ist die Corioliskraft und ~FZ f =
ben Gesetzmäßigkeiten zu kommen. ~FC = −2m ω
~ × (~
−mω
ω ×~r ) ist die Zentrifugalkraft. Die Corioliskraft tritt bei im rotierenden System ru~ parallel sind.
henden Körpern nicht auf. Die Zentrifugalkraft verschwindet, wenn ~r und ω
8
3 Arbeit, Energie, Leistung
Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit den wichtigen Begriffen Arbeit, kinetische und potentielle Energie und Leistung vertraut machen, um dann den Energieerhaltungssatz der Mechanik
zu formulieren.
3.1 Arbeit
Kann jedem Ort ~r eine Kraft zugeordnet werden, so spricht man von einem Kraftfeld ~F (~r ).
Legt ein Körper in diesem Kraftfeld die infinitesimale Wegstrecke d~r zurück, so wird an ihm
die mechanische Arbeit dW = ~F (~r )d~r verrichtet.
Die Arbeit ist definiert als das Skalarprodukt von Kraft und Weg (Arbeit = Kraft in Richtung
des Weges mal Weg).
kg·m2
Die Einheit der Arbeit ist Joule (Newton x Meter): [W ] = Nm = J = s2 .
Integriert man nun über dW, so erhält man die Gesamtarbeit, die entlang des Weges γ von A
nach B verrichtet wurde:
(32)
W=
Z
~F (~r ) · d~r
γ
Ist die Kraft konstant und der Weg geradlinig, so vereinfacht sich die Formel zu
W = ~F ·~r
(33)
Hieraus sieht man, dass Kräfte, die senkrecht auf ~r stehen, keine Arbeit verrichten.
Bei konservativen Kraftfeldern, wie zum Beispiel der Gravitationskraft ist die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg zwischen A und B und das Integral verschwindet für geschlossene
Kurven von A zurück nach A. Die Arbeit hängt also nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht
vom Wege zwischen den beiden Punkten.
Hinweis: Auf einen Körper kann Kraft ausgeübt werden, ohne dass Arbeit verrichtet wird (z.B.
das Halten einer Masse, ohne sie zu Bewegen)!
Konvention: W > 0: Kraft verrichtet Arbeit am Körper, dem Körper wird Arbeit zugeführt;
W < 0: Der Körper verrichtet Arbeit
3.2 Potentielle Energie
In konservativen Kraftfeldern wird die Arbeit, die bei Bewegen des Körpers verrichtet wird,
in potentieller Energie gespeichert. Das heißt, dass die verrichtete Arbeit beim Verschieben
von Punkt A nach Punk tB gleich der Potentialdifferenz (Differenz der potentiellen Energie)
zwischen A und B ist:
(34)
W=
Z
~F · d~r = ∆E pot = E A,pot − EB,pot
γ
Dieses Integral ist bei konservativen Kraftfelder wegunabhängig, es genügt also die potentielle Energie bei Start- bzw. Endpunkt zu kennen. Entlang eines geschlossenen Weges wird
keine Arbeit verrichtet, es gilt also E A,pot = EB,pot .
Eine absolute Angabe der potentiellen Energie ohne Bezugspunkt ist nicht möglich. Betrachten wir als Beispiel einen Stein, den wir von Höhe h1 auf h2 heben möchten, so ergibt sich
9
eine Potentialdifferenz von
(35)
∆E pot = −
Z h2
h1
(−m · g) dz = m · g · h2 − m · g · h1 = m · g · (h2 − h1 )
Setzt man den Bezugspunkt (also dort wo E pot = 0) auf die Erdoberfläche, so besitzt ein
Körper der Masse m im Abstand h von der Erdoberfläche die potentielle Energie
E pot = m · g · h
(36)
Ein weiteres Beispiel ist die potentielle Energie einer gespannten Feder:
(37)
E pot =
1
k ( x − x0 )2
2
Ein Körper mit potentieller Energie hat also die Möglichkeit, diese gespeicherte Energie wieder in Arbeit zu verwandeln.
Zusammengefasst: Energie ist die Fähigkeit eines Körpers Arbeit zu leisten, anders ausgedrückt: die Arbeit die in einen Körper „hineingesteckt“ wurde.
3.3 Kinetische Energie
Betrachten wir einen Körper, der mit der Kraft ~F von A nach B beschleunigt werden soll.
Die Arbeit, die geleistet wird, um den Körper zu beschleunigen, wird in der sogenannten
kinetischen Energie gespeichert:
(38) Z
Z t2
Z v2
Z B
Z B
B
1
d~v
1
d~v
~
~vd~v = mv2B − mv2A
~vdt = m
· d~r = m
W=
F · d~r =
(m ·~a) · d~r = m
2
2
t1 dt
v1
A
A
A dt
Wird ein Körper von v = 0 auf v beschleunigt, so besitzt er eine kinetische Energie von
(39)
Ekin =
1 2
mv
2
3.4 Energieerhaltungssatz
In einem nach außen abgeschlossenen System gilt allgemein stets die Erhaltung der Gesamtenergie.
(40)
E1,kin + E1,pot = E2,kin + E2,pot + Q
Dabei bezeichnet Q jene Energie, die während des Prozesses in Wärme umgewandelt wurde
(also durch dissipative Kräfte wie z.B. Reibung).
In einem konservativen (keine dissipativen Kräfte) Kraftfeld ist in jedem Raumpunkt P die
Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines Massenpunktes konstant. Diese konstante Summe heißt mechanische Gesamtenergie E. Die Gesamtenergie E bleibt bei erhalten:
(41)
E1,kin + E1,pot = E2,kin + E2,pot
10
3.5 Leistung
Definition: Leistung ist die Geschwindigkeit, mit der Arbeit verrichtet wird, also Arbeit pro
Zeiteinheit.
(42)
(43)
P=
dW
dt
dW = ~F · d~r = ~F · ~vdt
⇒
P=
dW
= ~F · ~v
dt
Oder anders ausgedrückt: Leistung ist die Rate, mit der Energie umgewandelt wird:
(44)
P=
dE
dt
Die Einheit der Leistung ist das Watt: [ P] = W ≡
J
s
=
kg·m2
s3
4 Stöße zwischen Punktmassen
Wenn sich zwei Teilchen einander annähern, werden durch die gegenseitige Wechselwirkung beide Teilchen abgelenkt, und zwar im gesamten Bereich, in dem diese Wechselwirkung
merklich ist. Dadurch ändern beide Teilchen ihren Impuls, oft auch ihre kinetische Energie.
Aber es gilt immer: Solange keine äußeren Kräfte wirken, bleiben Energie und Impuls des
Gesamtsystems erhalten!
Wenn wir Stoßprozesse betrachten (z.b. stoßende Kugeln oder kollidierende Fahrzeuge)
benutzen wir also die Tatsache, dass in abgeschlossenen Systemen stets Energie- und Impulserhaltung gelten. Da die Systeme abgeschlossen sind, spielen potentielle Energien dabei
keine Rolle, die Gesamtenergie des Stoßsystems besteht somit aus kinetischen Energien bzw.
eventuellen Wärmeenergien (welche aufgrund von Reibungsverlusten entstehen).
Bei elastischen Stößen bleibt die gesamte kinetische Energie erhalten, wobei sich die kinetische Energie jedes einzelnen Teilchens im Allgemeinen ändert! Bei inelastischen Stößen
ist die gesamte kinetische Energie kleiner als vorher. Ein Teil der kinetischen Energie ist in
innere Energie (z.B. Wärme) umgewandelt worden. Der Impulserhaltungssatz jedoch gilt für
beide Arten von Stößen.
4.1 Elastischer Stoß
Ein elastischer Stoß ist ein kurz andauernder Zusammenprall zweier sich relativ zueinander bewegender Körper unter Impuls- und Energieaustausch.
Elastische Stöße sind also Vorgänge, bei denen nur momentartig Kräfte zwischen Punktmassen wirken. Dadurch kann Impuls und Energie zwischen diesen übertragen werden. Hier
betrachten wir freie Teilchen, das heißt sie üben weder aufeinander Kräfte aus, wenn sie
sich nicht berühren, noch wirken äußere Kräfte auf sie. Bei elastischen Stößen entsteht keine
Wärme (keine Reibungsverluste), d.h. es wird nur kinetische Energie übertragen.
4.1.1 Zentraler, elastischer Stoß
Wir betrachten nun den vereinfachten Fall zweier Stoßpartner mit Massen m1 und m2 , die
einen zentralen Stoß ausführen, d.h. die gesamte Bewegung findet in einer Dimension statt,
11
ihre beiden Schwerpunkte und die Richtung, in der sie aufeinander stoßen, liegen also alle
auf einer Linie. Es gelten also Energieerhaltung
(45)
0
0
1
1
1
1
m1 v21 + m2 v22 = m1 v12 + m2 v22
2
2
2
2
und Impulserhaltung
(46)
p1 + p2 = p10 + p20
(47)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20
Man kann die Energien in Abhängigkeit der jeweiligen Impulse schreiben:
0
(48)
(49)
(50)
0
p21
p12
p12
p22
+
=
+
m1 m2
m1 m2
0
0
p21 − p12
p22 − p22
=
m1
m2
0
0
0
( p1 − p1 ) ( p1 + p1 )
( p − p2 ) ( p20 + p2 )
= 2
m1
m2
Aus der Impulserhaltung folgt, dass ( p1 − p10 ) = ( p20 − p2 ), also können wir dies Klammern
beidseitig kürzen und erhalten
(51)
m2 p1 + p10 = m1 p20 + p2
Hier ersetzen wir nun p20 durch ( p1 + p2 − p10 ) (Impulserhaltung) und formen weiter um
(52)
m2 p1 + m2 p10 = m1 p1 + 2p2 − p10
(53)
(54)
(55)
m2 p10 + m1 p10 = (m1 − m2 ) p1 + 2m1 p2
m2 m1 v10 + m21 v10 = (m1 − m2 ) m1 v1 + 2m1 m2 v2
(m1 + m2 ) v10 = (m1 − m2 ) v1 + 2m2 v2
und schließlich finden wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit v10 des ersten Körpers
nach dem Stoß in Abhängigkeit der Geschwindigkeiten vor dem Stoß:
(56)
v10 =
(m1 − m2 ) v1 + 2m2 v2
m1 + m2
Für den zweiten Körper erhalten wir analog (Indizes vertauschen) einen Ausdruck für die
Geschwindigkeit v20
(57)
v20 =
(m2 − m1 ) v2 + 2m1 v1
m1 + m2
12
Wir wollen nun einige Spezialfälle betrachten:
• Bei einem Stoß zweier Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit (v1 = v2 = v) erhalten
wir auch nach dem Stoß v10 = v20 = v. Es hat also kein Energieaustausch stattgefunden.
• Man kann auch zeigen, dass ein Stoß Galilei-invariant ist: Ob man im bewegten System
den Stoß beobachtet oder die Teilchen im entgegengesetzt bewegten System stoßen,
macht keinen Unterschied. Dies steht im Einklang mit dem obigen Punkt, da sich dort
ein Inertialsystem finden lässt, in dem beide Teilchen ruhen.
• Für Teilchen gleicher Masse m1 = m2 = m gilt p10 = p2 und p20 = p1 , die Impulse
werden also vertauscht, die Körper tauschen Geschwindigkeiten.
• Wenn einer der beiden Körper vor dem Stoß ruht (v2 = 0) und seine Masse sehr groß
gegenüber der Masse des anderern Körpers ist (m2 m1 ) erhalten wir
( m1 − m2 )
·v
( m1 + m2 ) 1
1
m2 m
−
1
m
2
· v1
=
1
+
1
m2 m
m2
v10 =
(58)
(59)
= − v1
(60)
Das schwere Teilchen bleibt also in Ruhe und das mit ihm kollidierende Teilchen wird
durch einen elastischen Stoß einfach nur reflektiert.
4.1.2 Nichtzentraler, elastischer Stoß
Nun müssen die Impulse vor und nach dem Stoß nicht mehr unbedingt in die gleiche Richtung zeigen, und die Impulse nach dem Stoß dürfen voneinander linear unabhängig sein. Da
jedoch durch die Impulserhaltung die Impulse vor dem Stoß linear abhängig von denen nach
dem Stoß sind, kann die gesamte Bewegung noch in einer Ebene beschrieben werden. Der
Einfachheit halber betrachten wir hier den Stoß in einem System, in welchem die Masse m2
anfangs ruht.
Die Impulserhaltung ist nun eine Gleichung für Vektoren:
(61)
(62)
(63)
(64)
~p1 = ~p10 + ~p20 ⇒
p ges,x = m1~v1 = m1 v10 cos Θ1 + m2 v20 cos Θ2
p ges,y = 0 = m1 v10 sin Θ1 + m2 v20 sin Θ2
13
Die Energieerhaltung ergibt
0
0
0
0
p21
p2
p2
= 1 + 2
2m1
2m1 2m2
(65)
p2
p2
(~p10 + ~p20 )2
= 1 + 2
2m1
2m1 2m2
0
02
0
0
0
p12
p1
~p1 · ~p2
p22
+2
=
+
2m1
4m1 m2
2m1 2m2
(66)
(67)
Für den Spezialfall gleicher Massen m1 = m2 = m lässt sich dies vereinfachen zu
~p10 · ~p20 = 0
(68)
Die Impulse und damit die Geschwindigkeiten sind in diesem Fall nach dem Stoß also senkrecht zueinander. Die Teilchen fliegen senkrecht auseinander.
4.2 Inelastischer Stoß
Stoßen zwei Körper inelastisch gilt die Erhaltung der kinetischen Energie nicht mehr. Die
Energieerhaltung lässt sich aber weiter formulieren, indem man berücksichtigt, dass die restliche Energie in Wärme (mittels Reibung) umgewandelt wurde. Impulserhaltung gilt weiter
wie bisher. Im Allgemeinen ist dieses System nicht mehr zu lösen, man kann allerdings den
sehr nützlichen Spezialfall des vollkommen inelastischen Stoßes betrachten. Hierbei bewegen sich die beiden Massen m1 und m2 nach dem Stoß als eine Masse m1 + m2 mit der
Geschwindigkeit ~v fort, als würden sie zusammenkleben. Diese Geschwindigkeit ~v erhält man
direkt aus der Impulserhaltung
(69)
m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~v
⇒
~v =
m1~v1 + m2~v2
( m1 + m2 )
Die Menge an kinetischer Energie, die beim Stoß in Wärmeenergie umgewandelt wurde,
berechnet man mit
0
(70)
Eth = ∆Ekin = Ekin − Ekin = Ekin,v1 + Ekin,v2 − Ekin,v
5 Dynamik des starren Körpers
Bisher haben wir idealisierte Körper betrachtet, die nur aus einem Massenpunkt bestehen
und keine räumliche Ausdehnung besitzen. Alle Phänomene jedoch, die mit der räumlichen
Gestalt eines Körpers zusammenhängen (z.B. Rotation des Körpers um feste oder freie Achsen), erfordern zu ihrer Erklärung eine Erweiterung unseres Modells.
Ein starrer Körper ist nun der Spezialfall eines Mehrteilchensystems, in dem die Teilchen
alle ihre Abstände zueinander beibehalten. Einen räumlich ausgedehnten starren Körper mit
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der Gesamtmasse M und dem Volumen V kann man in sehr viele kleine Massen ∆mi zerlegen,
die miteinander starr verbunden sind und die man als Massenpunkte behandeln kann:
N
(71)
M=
∑ ∆mi
i
Da man in Problemen mit starren Körpern häufig Gegenstände wie Kreisel und Rollen betrachtet ist es praktisch, wenn man sich einen starren Körper als Grenzfall von vielen Punktmassen mi vorstellt. Die Angabe von Massen mi und Orten ~ri wird dann ersetzt durch die
Angabe einer Dichteverteilung
(72)
ρ(~r ) =
∑ ρi (~r)
;
M=
i
Z
V
dVρ(~r )
5.1 Massenmittelpunkt (Schwerpunkt)
Sehr hilfreich in der Beschreibung von Mehrteilchensystemen sind Schwerpunktkoordinaten. Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) RS eines Systems aus N Teilchen ist definiert
als
(73)
N
~RS = 1 ∑ mi ·~ri
M i
1
oder ~RS =
M
Z
1
dVρ(~r )~r =
M
V
Z
V
~rdm
Spezialfall: m1 = m2 : Der Schwerpunkt liegt in der Mitte der Verbindungslinie zwischen den
Körpern.
15
5.2 Bewegung des Massenmittelpunkts
Jede Bewegung eines starren Körpers lässt sich zerlegen in eine Bewegung des Schwerpunktes und eine Drehung um den Schwerpunkt, d.h. für jeden im Körper fixierten Ortsvektor
~ri gilt:
~r˙i = ~R˙ + ω × ~ri − ~R
(74)
~ ein Vektor, der in die Richtung der Drehachse zeigt und den Betrag der WinkelgeDabei ist ω
schwindigkeit ω besitzt. Ein starrer Körper kann also verschoben und gedreht werden, aber
nicht gedehnt, gestaucht, gebogen, verdreht oder gespalten.
~ hat er also 3 + 3 = 6 Freiheitsgrade der Bewegung.
Durch die Wahl von ~R und ω
Damit sich ein Körper aber überhaupt bewegt, müssen allgemein Kräfte wirken. Sind davon
mehrere vorhanden, konnte man sie für eine Punktmasse einfach addieren. Bei einem starren, ausgedehnten Körper macht sich jedoch bemerkbar, dass der Angriffspunkt wichtig ist.
~Fi = mi~r¨i ist eine lokale Kraft auf einen einzelnen Massenpunkt. Es gilt:
(75)
d2
d2 r i
~
~
=
F
=
F
=
m
∑ i ges ∑ i dt2 dt2
i
i
∑ mi~ri =
i
d2
~S = M R~¨S
MR
dt2
Der Massenmittelpunkt bewegt sich also wie ein Massenpunkt der Masse M unter Einfluss
der Kraft Fges .
5.3 Drehmoment
Das Drehmoment spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für geradlinige
Bewegungen. Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen
und den Körper verwinden oder verbiegen. Das Drehmoment ist definiert als "Kraft mal
Kraftarm":
(76)
~ = ~r × ~F
M
Einheit des Drehmoments ist das Newtonmeter: [ M] = Nm =
kg·m2
.
s2
Wirkt also eine Kraft rechtwinklig auf einen Hebelarm, so ergibt sich der Betrag des Drehmoments M aus der Länge r des Hebelarms multipliziert mit dem Betrag F der Kraft.
Die Richtung des Drehmomentvektors ergibt sich auch aus der Rechte-Hand-Regel, die bei
16
Vektorprodukten allgemein gilt: Wenn man mit dem Daumen der rechten Hand in Richtung
des Abstandsvektors ~r zeigt und mit dem Zeigefinger in Richtung der Kraft ~F, dann gibt der
~ an. Daher kann man aus der Richtung
Mittelfinger die Richtung des Drehmomentvektors M
des Drehmomentvektors nach der Korkenzieherregel den Drehsinn ablesen.
5.4 Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
Der Drehimpuls einer Masse, die sich auf einer beliebigen Bahn bewegt, ist definiert als Kreuzprodukt zwischen Ort und Impuls, also
(77)
~L = ~r × ~p = m · (~r × ~v)
Bei einer Kreisbewegung kann man sich den Drehimpuls in Bezug auf das Zentrum des Kreises als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse der Bewegung angibt. Seine Länge
gibt den Schwung der Drehung an. Je länger der Pfeil, desto größer der Drehimpuls. Bei einer Kreisbewegung steht der Drehimpuls also senkrecht auf der Ebene, in der sich die Masse
bewegt, sofern sich der Bezugspunkt des Drehimpulses ebenfalls in dieser Ebene befindet.
Der Drehimpulsvektor zeigt in die Richtung, die mit dem Ort und der Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten
Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in
Richtung des Drehimpulses.
Das Drehmoment ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses:
(78)
~
~ = dL =
D
dt
d~r
dt
× ~p +~r ×
d~p
= ~r × ~F
dt
Hier wurde benutzt, dass ~v und ~p in die gleiche Richtung zeigen und somit ihr Kreuzprodukt
verschwindet.
Aus der Tatsache, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung im Raum abhängen, folgt, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist. Anders ausgedrückt: Der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert, egal welche Kräfte und
Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies gilt für den Drehimpuls bezüglich beliebiger Achsen und wird als Drehimpulserhaltung bezeichnet:
Ohne Einwirkung eines äußeren Drehmoments bleibt der Drehimpuls nach Betrag und Richtung
konstant!
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