Mathematische Texte - Beuth Hochschule für Technik Berlin
Werbung
Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, 1+x größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt von 1+x mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, 1+x größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt von 1+x mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist das n-fache Produkt von 1 + x mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist das n-fache Produkt von 1 + x mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n ≥ 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n ≥ 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Die Bernoulli-Ungleichung Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins. ∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 1/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1+x)n (1+x) ≥ (1+nx)(1+x) = 1+nx +x +nx 2 = 1+(n+1)x +nx 2 ≥ 1+(n+1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1+x)n (1+x) ≥ (1+nx)(1+x) = 1+nx +x +nx 2 = 1+(n+1)x +nx 2 ≥ 1+(n+1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen der (IV) sofort (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + ↑ (IV) 2 x) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + ↑ (IV) 2 x) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = ↑ (IV), x ≥ −1 2 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = ↑ (IV), x ≥ −1 2 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = ↑ (IV), x ≥ −1 2 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = . ↑ (IV), x ≥ −1 2 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) . . ↑ (IV), x ≥ −1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. . ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx ≥ 0 2 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. Markierungen entsprechen Nebensätzen. ↑ nx ≥ 0 2 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ... ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 ... ... = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. Keine Lücken sondern Zeilenumbrüche ↑ nx ≥ 0 2 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 (1 + x)n+1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ⇒ (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 ⇒ (1 + x)n+1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Mathematische Texte Axiome Mathematische Texte . . . . . . sind sprachliche Texte. . . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . . . . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen. Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ⇒ (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) ↑ (IV), x ≥ −1 n+1 ⇒ (1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx ⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ (IV), x ≥ −1 2 ↑ nx 2 ≥ 0 Steffen Voigtmann = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. ↑ nx 2 ≥ 0 Beuth Hochschule für Technik Berlin 2/3 Ein Gedicht von Tartaglia (um 1540) Quando chel cubo con le cose appresso Se agguaglia à qualche numero discreto Trouan dui altri differenti in esso. Da poi terrai questo per consueto Che’llor produtto sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose neto, El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi ben sottratti Varra la tua cosa principale. Questi trouai, & non con paßi tardi Nel mille cinquecenté, quatroe trenta Con fondamenti ben sald’è gagliardi Nella Citta dal mar’intorno centa. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin Wenn der Kubus mit den Coßen daneben gleich ist einer diskreten Zahl, finden sich als Differenz zwei andere in dieser. Dann halte es wie gewöhnlich, daß nämlich ihr Produkt gleich sei dem Kubus des Drittels der Coßen, Und der Rest dann, so die Regel, ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert wird sein deine Hauptcoß. Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts, im Jahre tausendfünfhundertvierunddreißig mit Begründungen triftig und fest In der Stadt vom Meer rings umgürtet. 3/3 Ein Gedicht von Tartaglia (um 1540) Quando chel cubo con le cose appresso Se agguaglia à qualche numero discreto Trouan dui altri differenti in esso. Da poi terrai questo per consueto Che’llor produtto sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose neto, El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi ben sottratti Varra la tua cosa principale. Questi trouai, & non con paßi tardi Nel mille cinquecenté, quatroe trenta Con fondamenti ben sald’è gagliardi Nella Citta dal mar’intorno centa. Wenn der Kubus mit den Coßen daneben gleich ist einer diskreten Zahl, finden sich als Differenz zwei andere in dieser. Dann halte es wie gewöhnlich, daß nämlich ihr Produkt gleich sei dem Kubus des Drittels der Coßen, Und der Rest dann, so die Regel, ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert wird sein deine Hauptcoß. Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts, im Jahre tausendfünfhundertvierunddreißig mit Begründungen triftig und fest In der Stadt vom Meer rings umgürtet. Welches mathematische Problem wird hier gelöst? Überprüfen die Lösungsformel von Tartaglia an einem Beispiel. Steffen Voigtmann Beuth Hochschule für Technik Berlin 3/3
