¨UBERBLICK UND ¨UBUNGSSERIE 6 Wir haben folgende Kriterien

ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 6
ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Wir haben folgende Kriterien für Konvergenz einer Reihe gesehen:
• Notwendige Bedingung: Die Folge muss eine Nullfolge sein.
• Für eine Folge mit nicht-negativen Gliedern ist die Konvergenz der Reihe äquivalent zur
Beschränktheit der Folge der Partialsummen.
• Leibniz: Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.
• Cauchy: Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz.
• Das Majorantenkriterium.
• Das Quotientenkriterium.
• Das Wurzelkriterium.
Aufgabe 6.1. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
X
n
kn
, k > 0,
1 + kn
X √
n
n−1
2
X n + 2n
,
n
n
n!
,
X nn
,
(2n)!
n
X (n!)2
n
2n2
.
? Aufgabe 6.2. Es sei (an ) eine Folge. Beweisen Sie:
(i) lim sup an = +∞ genau dann, wenn eine Teilfolge existiert, die gegen +∞ konvergiert.
n→∞
(ii) lim sup an = −∞ genau dann, wenn die Folge gegen −∞ konvergiert.
n→∞
(iii) lim sup an = L ∈ R genau dann, wenn
n→∞
– ∀ε > 0 ∃N ∈ N so dass, für n > N gilt an < L + ε,
– eine Teilfolge existiert, die gegen L konvergiert.
Was sind die analogen Aussagen für den limes inferior?
? Aufgabe 6.3. Beweisen Sie:
(i) Falls man mit dem Quotientenkriterium zeigen kann, dass eine Reihe konvergiert, so kann man dies
auch mit dem Wurzelkriterium tun.
1
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ANALYSIS I HS14 – SERIE 6
(ii) Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
(iii) Das Quotientenkriterium mit lim sup an Stelle von lim gilt nicht.
Wir haben zudem Rechenregeln studiert.
Aufgabe 6.4. Gegeben sind zwei komplexe Zahlen α und β. Finden Sie zwei divergente Reihen
P
k bk , so dass
X
α ak + β b k
P
k
ak und
k
konvergiert.
Wir haben Potenzreihen definiert, den Konvergenzradius eingeführt und für letzten Formeln (von
Cauchy-Hadamard und Euler) kennengelernt.
P
Aufgabe 6.5. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n an z n , wobei

 bn für n gerade
√
2
an = n ,
an = q n , q ∈ C ,
an =
 cn für n ungerade,
b, c ∈ C .
Aufgabe 6.6. Finden Sie eine Potenzreihe P (z) mit positivem und endlichen Konvergenzradius R und
zwei Punkte z1 und z2 mit |z1 | = |z2 | = R, so dass P (z1 ) konvergiert und P (z2 ) divergiert.
Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben
sind für das Ergänzungsprogramm gedacht.
Webseite: http://www.math.unibas.ch/crippa
Email: [email protected]
Abgabe: bis Freitag 31.10. um 12:00 Uhr