1. Plenum "Vierfeldertafel/Bedingte Wahrscheinichkeiten"
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Mathematik EP - Stochastik VIERFELDERTAFEL UND BEDINGTE WKT. HIV - SCHNELLTEST Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1983 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als nicht heilbar, kann jedoch „verlangsamend“ behandelt werden. Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6 Wochen nach der Ansteckung vom Körper gegen den Virus gebildet werden, nach. DIE WICHTIGSTEN INFOS: Etwa 0,1% einer Bevölkerung im reproduktionsfähigen Alter sei HIV infiziert Ein AIDS-Test zeige bei 98% der Infizierten richtig an, dass eine HIV-Infektion vorliege; allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise bei 1% der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen dieser Infektion an. Bei einer „Reihenuntersuchung“ unterziehen sich 100.000 Personen aus der oben genannten Bevölkerungsgruppe diesem Test. PROBLEMATIK DES TESTS Welche falschen Diagnosen können aus dem Ergebnis eines solchen Tests resultieren? Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft. ZIEL Beurteilung der Test-Güte auf Grundlage der Bestimmung von (u.A.) ... der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Fehlers (Infizierter wird negativ getestet) der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2. Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als positiv getestet) VORGEHEN Übersichtliche Darstellung der verfügbaren Daten/Zahlen in einer sogenannten Mehrfeldertafel „Rekonstruktion“ von fehlenden Zahlen aus dem Zusammenhang Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt 0,1% von 100.000 = 100 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert Test positiv NICHT-Infiziert Gesamt 98% von 100 = 98 Test negativ Gesamt 0,1% von 100.000 = 100 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert Test positiv 98 Test negativ 2 Gesamt 100 NICHT-Infiziert Gesamt 99.900 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Test positiv 98 1% von 99.900 = 999 Test negativ 2 Gesamt 100 99.900 Gesamt 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 1% von 99.900 = 999 98 + 999 = 1097 Test negativ 2 99.900 – 999 = 98.901 2 + 98.901 = 98.903 Gesamt 100 99.900 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 999 1097 Test negativ 2 98.901 98.903 Gesamt 100 99.900 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert Test positiv Test negativ Gesamt NICHT-Infiziert Gesamt DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 100.000 999 100.000 1097 100.000 Test negativ 2 100.000 98901 100.000 98903 100.000 Gesamt 100 100.000 99900 100.000 100.000 100.000 DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 0,00098 0.00999 0,01097 Test negativ 0,00002 0,98901 0,98903 0,001 0,999 1 Gesamt ABKÜRZUNGEN J = Person ist infiziert J = Person ist nicht infiziert T = Test zeigt, an dass Person infiziert T = Test zeigt an, dass Person nicht infiziert ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN… Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person infiziert? Lösung: P(J) = Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte = 100 / 100.000 = 0.001 bzw. 0,1% ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN… Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser Person negativ? Lösung: P( T ) = Anz. negativ Getesteter Anz. Untersuchte = 98903 / 100.000 = 0,98903 bzw. 98,903% ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN… Zurück zum Ausgangsproblem (1): Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d.h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ ? Wir schreiben: PJ (T) Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person infiziert (J) ist. LÖSUNG ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN… Zurück zum Ausgangsproblem (2): Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft, d.h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv ? Wir schreiben: PJ (T) Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person NICHT infiziert (J) ist. LÖSUNG DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN… 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war? 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war? 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor? LÖSUNG (1) LÖSUNG (2) LÖSUNG (3) AUFGABEN Hausarbeit: S. 200 Aufgabe 1: Vierfeldertafel zu absoluten und relativen Häufigkeiten
