100

III. Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Mehrstufige Zufallsexperimente
a) Ereignisse und die Vierfeldertafel
Beispiel:
Es werden 100 MTG-Schüler(innen) zufällig ausgesucht.
60 von ihnen haben mit Englisch kein Problem.
50 von ihnen haben mit Mathe kein Problem.
30 von ihnen haben in beiden Fächern Probleme.
Folgende Ereignisse werden definiert:
E: „kein Problem in Englisch“ und M: „kein Problem in Mathe“.
Damit ergeben sich die Gegenereignisse, (d.h. genau das Gegenteil tritt ein):
E : „mit Englisch ein Problem“ und
M : „mit Mathe ein Problem“.
Frage:
Besteht ein Zusammenhang zwischen den Ereignissen E und M?
E
E
M
Summe
50
30
M
Summe
60
100
E
M
40
20
M
Summe 60
E
10
30
40
Summe
50
50
100
Die fett geschriebenen Zahlen entnimmt man der Angabe. Man trägt die Angaben in die
Felder ein, die beide zutreffen (wie beim Schiffe versenken), also die 100 in die
Gesamtsumme, 60 in die Gesamtsumme für E (da in der Angabe nichts weiter über Mathe
steht),…
Die restlichen Felder in der rechten Vierfeldertafel ergeben sich, da sie die Endsummen in
den Zeilen und Spalten ergeben müssen.
Wir wollen aber nicht nur mit absoluten Zahlen rechnen, sondern mit Wahrscheinlichkeiten in
%. Dazu legt man dann eine weitere „Vierfeldertafel“ an, in der man alle Einträge durch die
Gesamtsumme dividiert, also den Anteil vom Ganzen ausrechnet:
E
E
Summe
M
40:100 10:100
50:100
M
20:100 30:100 50:100
Summe
60:100 40:100 100:100
in %
E
E
Summe
M
40%
10%
50%
20%
30%
50%
M
Das Schöne in dieser Vierfeldertafel ist, dass
Summe 60%
40%
100%
hier auch die Summen in allen Zeilen und Spalten
sich insgesamt zu 1, d.h. 100% ergänzen.
Merke: Zwei Ereignisse A und B ermöglichen eine Zerlegung der Ergebnismenge  eines
Zufallsexperiments in vier Teilmengen: A  B, A  B, A  B, A  B .
Jedes Ergebnis gehört dabei genau einer Teilmenge an. Die zugehörigen Anzahlen von
Elementen können in eine Vierfeldertafel eingetragen werden.
Die Anzahlen von A, A, B, B treten
 als Spaltensummen bzw. Zeilensummen auf:

B
B
A
AB
AB
A
A
A  
B
AB
A
B

B






Aufgaben:

1. 125 Schüler werden nachihrer Teilnahme am Wahlunterricht Französisch (F) und
Informatik (I) befragt: 30 Schüler besuchen Französisch und 20 Informatik. die relative
Häufigkeit der Schüler, die nur Französisch besuchen beträgt 11,2%.
a) Erstelle eine Vierfeldertafel.
b) Bestimme die relative Häufigkeit der Schüler, die nur am Informatikkurs teilnehmen.
c) Bestimme die Anzahl der Schüler, die keinen der beiden Wahlkurse besuchen.
d) Bestimme die relative Häufigkeit der Schüler, die mindestens einen Wahlkurs besuchen.
2. Zwei Laufräder L1 und L2 einer Maschine sind hohen Beanspruchungen ausgesetzt. Die
Maschine erfüllt ihre Funktion, wenn mindestens eines der Laufräder intakt ist. Der
Hersteller gibt folgende Garantiedaten: Die Wahrscheinlichkeit, dass L1 die Laufzeit nicht
durchhält, ist 5%; für L2 werden für vorzeitiges Versagen 6% angegeben. Beide Räder sollen
mit 90%iger Sicherheit gleichzeitig ihre volle Funktion erfüllen.
Folgende Ereignisse werden definiert:
A: „Laufrad L1 ist defekt“
B: „Laufrad L2 ist defekt“
a) Erstelle eine Vierfeldertafel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt,
b) dass die Maschine versagt? c) dass L1 intakt ist und L2 ausfällt?
d) dass genau ein Laufrad defekt ist?
3. Einer Gruppe von Amateurfunkern stehen für Funkkontakte zwei Frequenzen A und B zur
Verfügung. Die Erfahrung zeigt bald, dass die Frequenz A mit der Wahrscheinlichkeit 30%,
die Frequenz B mit der Wahrscheinlichkeit 50% gestört ist. In 40% der Fälle gibt es nur auf
der Frequenz A Funkkontakt. Ein Teilnehmer der Gruppe versucht Funkkontakt mit den
anderen aufzunehmen.
Folgende Ereignisse werden definiert:
A: „Funkkontakt auf Frequenz A vorhanden“
B: „Funkkontakt auf Frequenz B vorhanden“
a) Erstelle eine Vierfeldertafel!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Teilnehmer
b) Funkkontakt bekommt?
c) nur auf einer Frequenz sprechen kann?
d) ideale Funkverhältnisse vorfindet?
4. 40% einer Schülergruppe lernen Englisch; 30% lernen Mathe und 20% lernen Mathe, aber
kein Englisch.
Folgende Ereignisse werden definiert:
E: „Schüler lernt Englisch“
M: „Schüler lernt Mathe“
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler
a) beide Fächer lernt?
b) genau eines der Fächer lernt?
c) mindestens ein Fach lernt?
5. Auf einem Jahrmarkt werden in einer Glücksbude zwei Lotterien A und B angeboten. Der
Budenbesitzer behauptet – und wir wollen ihm hier glauben – dass jedes 3. Los der Lotterie A
und jedes 4. Los der Lotterie B gewinnt. Außerdem sagt er, dass bei Abnahme von je einem
Los aus beiden Lotterien jeder 12. Spieler mit beiden Losen gewinnt.
Folgende Ereignisse werden definiert:
A: „Lotterie A gewinnt“
B: „Lotterie B gewinnt“
Sie kaufen je ein Los aus beiden Lotterien:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie nichts?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt höchstens ein Los?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt nur ein Los?
2. Vierfeldertafel und Baumdiagramm
Wenn Objekte mit zwei Merkmalen vorliegen, wie zum Beispiel die 90 Schüler der 10
Jahrgangsstufen, von denen 35 ein Instrument spielen, 50 an Fußball interessiert sind und 25
weder an Fußball noch am Instrument Interesse zeigen, kann man durch jedes Merkmal ein
Ereignis festlegen und die Situation in einer Vierfeldertafel darstellen:
I
I
F
20/90
30/90
50/90

F
15/90
25/90
40/90
35/90
55/90
90/90 =1
Mit den Daten einer Vierfeldertafel kann man auch ein Baumdiagramm erstellen. Dazu muss
das einfstufige Zufallsexperiment „Zufälliges Auswählen eines Schülers aus der 10.
Jahrgangsstufe“ als zweistufiges betrachtet werden:
In der ersten Stufe wird z.B. nur das Merkmal Instrumentalist beachtet und in der 2. Stufe
das Merkmal Fußballfan:
Bearbeite die Aufgaben ab S. 70 und entscheide, ob die Lösung mit Baumdiagramm,
Vierfeldertafel oder beidem möglich ist.
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es gibt Situationen, in denen Vorinformationen die Einschätzung der Lage beeinflussen.
Würfelt man z.B. mit geschlossenen Augen und erfährt, dass man eine gerade Zahl gewürfelt
hat, dann wird man für sechs die Wahrscheinlichkeit 1/3 ansetzen und nicht 1/6. Deutet man
die gegebene Vorinformation als ein Ereignis, das bereits eingetreten ist, so kann man das
einstufige Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels“ als zweistufiges ansehen:
1. Stufe: Ereignis G: „gerade Augenzahl“
2. Stufe: Ereignis S: „Augenzahl 6“
Da der Ausgang der 1. Stufe den der 2. Stufe beeinflusst, spricht man von der bedingten
Wahrscheinlichkeit PG(S) als der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von S unter der
Bedingung, dass G bereits eingetreten ist.
Im Baumdiagramm findet man die bedingten
Wahrscheinlichkeiten PG(S), PG( S ), P(S) an den
Zweigen der 2. Stufe.
Nach den Pfadregeln gilt:
P(G  S)

P(G) PG (S)  P(G  S) , also folgt: PG (S) 
P(G)

Mit der Vierfeldertafel lassen sich bedingte
Wahrscheinlichkeiten ebenfalls bestimmen,
nämlich als Quotient aus dem Eintrag einer
Inneren Zelle und dem einer Randzelle.
Achtung: PA (B)  P(A  B) !!!
P.S. Ist PG(S ) = P(S), so nennt man die beiden Ereignisse G und S stochastisch unabhängig (11.
Klasse)

Aufgaben dazu S. 78 – 82 und LS. S. 101 - 103