VIERFELDERTAFEL UND BAUMDIAGRAMM

Mathematik EP
-
Stochastik
VIERFELDERTAFEL UND BAUMDIAGRAMM
HIV - SCHNELLTEST
Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch
das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde,
verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als
nicht heilbar, kann jedoch „verlangsamend“
behandelt werden.
Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6
Wochen nach der Ansteckung vom Körper
gegen den Virus gebildet werden, nach.
DIE WICHTIGSTEN INFOS:
Etwa 0,1% einer Bevölkerung im reproduktionsfähigen
Alter sei HIV infiziert
 Ein AIDS-Test zeige bei 98% der Infizierten richtig an,
dass eine HIV-Infektion vorliege;
 allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise bei
1% der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen
dieser Infektion an.
 Bei einer „Reihenuntersuchung“ unterziehen sich
100.000 Personen aus der oben genannten
Bevölkerungsgruppe diesem Test.

PROBLEMATIK DES TESTS
 Welche
falschen Diagnosen können aus dem
Ergebnis eines solchen Tests resultieren?
Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst
• Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als
infektiös eingestuft.
•
ZIEL
 Beurteilung
der Test-Güte auf Grundlage der
Bestimmung von (u.A.) ...
•
der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1.
Fehlers (Infizierter wird negativ getestet)
•
der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2.
Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als
positiv getestet)
VORGEHEN
 Übersichtliche
Darstellung der verfügbaren
Daten/Zahlen in einer sogenannten
Mehrfeldertafel
 „Rekonstruktion“ von fehlenden Zahlen aus
dem Zusammenhang
 Bestimmung der gesuchten
Wahrscheinlichkeiten
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
Test negativ
Gesamt
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
Test negativ
Gesamt
0,1% von 100.000
= 100
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
Test positiv
NICHT-Infiziert
Gesamt
98% von 100
= 98
Test negativ
Gesamt
0,1% von 100.000
= 100
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
Test positiv
98
Test negativ
2
Gesamt
100
NICHT-Infiziert
Gesamt
99.900
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Test positiv
98
1% von 99.900
= 999
Test negativ
2
Gesamt
100
99.900
Gesamt
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
98
1% von 99.900
= 999
98 + 999
= 1097
Test negativ
2
99.900 – 999
= 98.901
2 + 98.901
= 98.903
100
99.900
100.000
Gesamt
DIE VIERFELDERTAFEL
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
98
999
1097
Test negativ
2
98.901
98.903
100
99.900
100.000
Gesamt
DIE VIERFELDERTAFEL
Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
Test positiv
Test negativ
Gesamt
NICHT-Infiziert
Gesamt
DIE VIERFELDERTAFEL
Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
98
100.000
999
100.000
1097
100.000
Test negativ
2
100.000
98901
100.000
98903
100.000
Gesamt
100
100.000
99900
100.000
100.000
100.000
DIE VIERFELDERTAFEL
Relative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
Infiziert
NICHT-Infiziert
Gesamt
Test positiv
0,00098
0.00999
0,01097
Test negativ
0,00002
0,98901
0,98903
0,001
0,999
1
Gesamt
ABKÜRZUNGEN
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird
zufällig eine Person ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person
infiziert?
Tafel
Lösung:
P(J)
= Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte
= 100 / 100.000
= 0.001 bzw. 0,1%
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird
zufällig eine Person ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser
getesteten Person negativ?
Tafel
Lösung: P(T) = Anz. negativ getestet / Anz. Untersuchte
= 98903 / 100.000
= 0.98903 bzw. 98,9%
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Zurück zum Ausgangsproblem (1):
Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d.h.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines
Infizierten negativ ?
Wir schreiben: PJ
(T)
Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung,
dass die Person infiziert (J) ist.
Tafel
Tafel
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ?
- mit einem Baumdiagramm:
P( J ⋂ T)
= 0,00098
Gesucht:
PJ (T)
P( J ⋂ T)
= 0,00002
T
T
P( J ⋂ T)
= 0,00999
P( J ⋂ T)
= 0,98901
T
T
J
J
0,001
0,999
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Zurück zum Ausgangsproblem (2):
Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös
eingestuft, d.h.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines
NICHT-Infizierten positiv ?
Wir schreiben: PJ
(T)
Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung,
dass die Person NICHT infiziert (J) ist.
Tafel
Tafel
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv ?
- mit einem Baumdiagramm:
P( J ⋂ T)
P( J ⋂ T)
= 0,00002 = 0,00999
P( J ⋂ T)
= 0,00098
T
T
T
T
J
0,0
P( J ⋂ T)
= 0,98901
0,9
DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
1.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person
infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ
war? (3)
2.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person
wirklich infiziert, wenn der Test positiv war? (4)
3.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein
positives Testergebnis vor? P(T)
Tafel
Tafel
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung,
dass der Test negativ war?
- mit dem „umgekehrten“ Baumdiagramm:
P( T ⋂ J)
P( T ⋂ J)
= 0,00999 = 0,00002
P( T ⋂ J)
= 0,00098
J
J
P( T ⋂ J)
= 0,98901
J
J
T
T
0,01097
0,98903
LÖSUNG (4)
Tafel
LÖSUNG (4)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung,
dass der Test positiv war?
- mit dem „umgekehrten“ Baumdiagramm:
P( T ⋂ J)
P( T ⋂ J)
= 0,00999 = 0,00002
P( T ⋂ J)
= 0,00098
J
J
T
0,01097
P( T ⋂ J)
= 0,98901
J
J
T
0,98903
Tafel
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?
- mit einem Baumdiagramm (keine bedingte Wahrscheinlichkeit !) :
P( J ⋂ T)
P( J ⋂ T)
= 0,00002 = 0,00999
P( J ⋂ T)
= 0,00098
T
T
P( J ⋂ T)
= 0,98901
T
T
P (T) =
= P(J ⋂ T) + P(J ⋂ T)
= 0,00098 + 0,00999
= 0,01097 bzw. 1,097%
J
J
0,001
0,999
AUFGABEN
Hausarbeit:
(vom neuen Arbeitsblatt)
Aufgabe 1)
„Polizei warnt vor Alkohol am Steuer“