Anwendungsbeispiel mathe

Anwendungsbeispiel der mathematischen
Modellierung
Modell:
Wir haben jeweils in Gruppen mehrere Beispiele modelliert, bei denen wir Gegenstände durch
die Luft befördern sollten. Für unsere Ergebnisse benötigten wir einige Formel aus der Physik,
um z.B. Luftwiderstand oder Erdanziehung zu berechnen. Hier haben wir ein Beispiel aufgeführt,
in das alle oben genannten Gesetze aus der Physik einbezogen sind. Auf alle Formeln werden
wir später noch ausführlich eingehen.
Geschichte:
In den nächsten Tagen erwarten wir Besuch vom Landesbeauftragten der Juniorakademie
Michael Funke. Damit wir rechtzeitig über seine Ankunft informiert werden, soll unsere
stellvertretende Akademieleiterin Ellen Rauscher an einer günstigen Stelle postiert werden. Von
dort aus wird sie eine Warnrakete abschießen.
So wissen wir genau, wann unser Gast eintrifft und haben noch genug Zeit, Ordnung zu
schaffen. Unser Forscherteam entwickelte das Raketenmodell Funke 0708 Analog. Wir nahmen
uns vor, die exakte Flughöhe der Rakete zu berechnen, damit alle sie rechtzeitig und gut sehen
konnten.
Aufgabe:
Als Daten waren uns gegeben:
- Die Rakete hat 800 g Startgewicht,
- davon sind 400g Treibstoff.
- Sie wird mit einem Schub von 7000 N in die Höhe geschossen,
- und verbraucht ihren Treibstoff in 20 Sekunden.
Vorgehensweise:
Zuerst überlegten wir uns Modellannahmen, die auf unsere Aufgabe zutreffen. Wir nahmen an,
dass die Rakete gerade hoch fliegt und das Wetter optimal ist.
Danach berechneten wir mit den unten aufgeführten Formeln die Beschleunigung und die
Geschwindigkeit der Rakete. Mit der Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitraum können wir
die zurückgelegte Strecke und damit die Höhe der Rakete berechnen.
Nun hatten wir eine erste Lösung, mit der wir angeben konnten,
- auf welcher Höhe sich die Rakete nach einer bestimmten Zeit befindet,
- mit welcher Geschwindigkeit sie fliegt und
- wie viel Masse sie nach einer Zeit verliert.
Allerdings hatten wir hier weder die Erdanziehung noch den Luftwiderstand berücksichtigt.
Zudem überlegten wir uns, dass sich die Erdanziehung verringert, je höher die Rakete steigt.
Unsere Erkenntnisse haben wir in den erweiterten Formeln berücksichtigt.
Formeln aus der Physik:
Wir haben hier vorab alle Formeln aufgelistet, die wir für unsere Ergebnisse benötigen. Wir
werden anschließend unsere Lösungen schrittweise vorstellen:
Einheiten:
T
Zeit in Sekunden
dt
Zeitschritt
M
Masse eines Körpers in Kilogramm
S
Zurückgelegte Strecke in Meter
V
Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde
A
Beschleunigung
in
Meter
pro
F
M
G
M
R
A
CW-Wert
X
P
Sekundequadrat
Kraft in Newton(Kg*m/s^2)
Masse der Erde in Kilogramm
Gravitationskonstante
Masse des von der Erde angezogenen
Körpers in Kilogramm
Abstand der Körpermittelpunkte
dem Wind ausgesetzte Fläche eines
Körpers in Quadratmeter
Luftwiderstandsbeiwert
Windgeschwindigkeit
Dichte der Luft in Kilogramm pro
Kubikmeter
Kraft: F(t)=m(t)* a(t)
Umformung nach Beschleunigung:
Beschleunigung: a(t)= F(t)/m(t)
Approximation der Beschleunigung über die Geschwindigkeit: a(t)=(v(t+dt)-v (t))/ dt
Umformung nach Geschwindigkeit:
Geschwindigkeit: v(t+ dt)= v(t)-a(t)* dt
Approximation der Geschwindigkeit über die Strecke: v(t)= (s(t+dt)- s(t))/ dt
Umformung nach Strecke: s(t+ dt)= s(t)+ v(t)* dt
Mathematische Modellierung des Beispiels:
1)a(t=1)=7000N/0.8kg=8750 m/s^2
Die Beschleunigung ist die Kraft der Rakete durch ihre aktuelle Masse. Nachdem wir die
Einheiten wegkürzen, erhalten wir für die Beschleunigung (nach der ersten Sekunde) die Einheit
Meter pro Sekundequadrat. In den nächsten Sekunden wird die Beschleunigung zunehmen, weil
die Masse der Rakete abnimmt.
2)v(t=1)=8750m/s^2*1s=8750m/s
Die Geschwindigkeit nach einer Sekunde ist die Beschleunigung mal einer Sekunde. Die
Geschwindigkeit nimmt zu, da auch die Beschleunigung größer wird.
3)m(t)=0.8kg-0.02kg*t
Da wir gegeben haben, dass unsere Rakete ihre 400g Treibstoff in 20 s verbraucht,
benötigt sie für jede Sekunde 20g Treibstoff. Ihre Masse nimmt also sekündlich um 20g ab.
4)s(t+dt)=s(t)+v(t)*dt
Die Höhe der Rakete nach einer bestimmten Zeit t+dt berechnen wir, indem wir zu der
vorherigen Höhe die aktuelle Geschwindigkeit mal den Zeitschritt addieren. So erhalten wir die
neue
Höhe
der
Rakete
nach
einem
weiteren
Zeitschritt.
Wir wiederholen die vier Schritte jeweils für alle weiteren Zeitschritte, bis t=20s.
Höhe der Rakete in m nach
einer best. Zeit
Geschwindigkeit nach einer
bestimmten Zeit
An unseren Graphen sehen wir, dass die Rakete in unserem Modell nach 20 Sekunden ca. eine
Höhe von 2000 m erreicht. Ihre Geschwindigkeit beträgt etwa 225 m/s.
Nun überlegten wir uns, dass wir auch die Erdanziehung berücksichtigen mussten. Dafür gibt es
eine allgemeine Formel.
Gravitation = Gravitationskonstante * Masse der Erde * Masse der Rakete / Abstand der
Körpermittelpunkte ^2
Diese Gravitation (Erdanziehungskraft) ziehen wir von der Schubkraft der Rakete ab, weil die
beiden Kräfte sich entgegenwirken. Außerdem beachten wir so, dass sich die Erdanziehung
verringert, je höher die Rakete steigt.
Daraus ergibt sich eine neue Formel zur Beschleunigung, denn der Schub von 7000N verringert
sich:
a(t)=(7000N-Gravitation)/m(t)
Der Rest läuft analog zu der ersten Rechnung oben.
Wir sehen nun, dass die Gravitation großen Einfluss auf die Höhe unserer Rakete hat, sie steigt
in 20s nur ca. 180 m hoch. Auch die Geschwindigkeit wird kleiner, weil sich die Beschleunigung
aufgrund der Erdanziehungskraft reduziert.
Allerdings ist in diesem Modell nicht der natürliche Luftwiderstand eingerechnet. Auch diese
Kraft wird von dem Raketenschub abgezogen. Wir berechnen den Luftwiderstand wie folgt:
Luftwiderstandskraft= Dem Wind ausgesetzte Fläche* CW-Wert*Windgeschwindigkeit^2*Hälfte
der Luftdichte
Als Einheit ergibt sich Newton.
Die neue Beschleunigung wird nochmals reduziert:
a(t)=(7000N-Gravitation-Luftwiderstand)/m(t)
m(t) bezeichnet die aktuelle Masse der Rakete nach einer bestimmten Zeit.
Nun sehen wir, dass der Luftwiderstand nur einen sehr geringen Einfluss auf die
Beschleunigung und somit die Höhe unserer Rakete hat, da der Graph sich kaum verändert hat.
Dies liegt an der aerodynamischen( windschnittigen ) Form der Rakete. Die Geschwindigkeit hat
sich ebenfalls kaum verändert.
Jetzt sind wir fast am Ende unserer Programmierung angelangt. Wir beziehen zum Schluss mit
ein, dass die Rakete nach 20s zwar keinen Treibstoff mehr zur Verfügung hat, aber aufgrund
ihrer Energie noch ein Stück weiterfliegt. So ist der höchste Punkt nicht nach 20 Sekunden.
Daher haben wir die Grafik etwas erweitert.
Jetzt können wir an unserem Graphen das Endgültige Flugmodell für unsere Rakete aufstellen:
In den ersten 7 Sekunden beschleunigt die Rakete und verliert Gewicht, weil sie Treibstoff
verbraucht. Erst danach ist sie leicht genug, um in die Höhe zu steigen. Ihre Geschwindigkeit ist
während der Beschleunigung gleich 0, ab 7 Sekunden steigt sie rasant an und unsere Rakete
erreicht nach 20 Sekunden ihre Höchstgeschwindigkeit. Bis zu diesem Zeitpunkt fliegt sie noch
mit Treibstoff hoch. Jetzt ist ihr Treibstoff verbraucht und ihre Geschwindigkeit nimmt schnell ab.
Weil sie noch Energie hat, steigt sie noch etwa 5 Sekunden weiter an. Ihre maximale Höhe
beträgt 342.6 Meter. Danach fällt sie herunter und prallt nach gesamt 33 Sekunden auf den
Erdboden. Ihre Geschwindigkeit und Höhe sind wieder gleich 0.
Ende der Geschichte:
So konnten wir die Höhe unserer Rakete berechnen und bestätigen, dass die Rakete
funktionstauglich ist. Unsere Mission ist erfolgreich beendet und alle wurden rechtzeitig über das
Eintreffen von unserem Akademieorganisator Michael Funke informiert. Es blieb uns genug Zeit
Ordnung zu schaffen und es wurde ein gemütlicher und lustiger Abschluss.
Wir haben wieder bewiesen, dass ohne
Mathematik
viel
Dinge
nicht
gut
funktionieren!